Mô tả:
BÀI CŨ
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
•
•
•
•
a) F(x) = x2
b) F(x) = cosx
c) F(x) = C (C là hằng số)
d) F(x) = ex
Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là 2x
• a) F(x) = 2
• b) F(x) = 2x
• c) F(x) = x2 + 4
• d) F(x) = x2 + 3x
Ta đã học:
Tính đạo hàm của hàm số F(x)
(F(x))’=?
Bài toán mới:
Hàm số nào có đạo hàm là f(x)
trên khoảng K
( ? )’=f(x)
(hay Tìm F(x) để F’(x)=f(x))
F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên khoảng K
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•1. Nguyên hàm :
•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi
là nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x) với
mọi xK
Ví dụ:
1. Hàm số nào sau đây là một
nguyên hàm của hàm số
f(x)=3x2 trên R?
A. F(x) = 3x
B. F(x) = 6x
C. F(x) = x3 – 5
D. F(x) = x3 + 2x
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:
•1. Nguyên hàm :
•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi
là nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x) với
mọi xK
2. Hàm số nào sau đây là một
nguyên hàm của hàm số
f(x)=2cosx trên R?
A. F(x) = 1 – 2sinx
B. F(x) = 2sinx
C. F(x) = cos2x
D. F(x) = sin2x
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•1. Nguyên hàm :
•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi
là nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x) với
mọi xK
Ví dụ:
3. Hàm số nào sau đây là một
nguyên hàm của hàm số
1
f (x)
treân ;
2
cos x
2 2
A. F(x) = tgx
B. F(x) = -tgx
C. F(x) = cosx
D. F(x) = sinx
PHIẾU HỌC TẬP
Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là một
nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R?
A. F(x) = x2
B. F(x) = x2 + 5
C. F(x) = x2 - 2
D. F(x) = x2 + 2x
Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm số
f(x) = 2x trên R.
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:
•1. Nguyên hàm :
•Định lý :
•Nếu F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên K
•a)Hàm số G(x)= F(x)+C
cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K
•b) Mọi nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C , vơi C là hằng
số
4. Hàm số nào sau đây không
phải là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = 2x trên R?
A. F(x) = x2
B. F(x) = x2 + 5
C. F(x) = x2 - 2
D. F(x) = x2 + 2x
?
•Chöùng minh ñònh lyù:
•F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a;b):
•a) F(x)+C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f(x).
•b) Moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ñeàu coù daïng
F(x)+C
Ta chöùng minh (F(x) + C)’=f(x)
(F(x)+C)’=F’(x) + (C)’
F’(x)=f(x)
=f(x) + 0
=f(x)
Vaäy: F(x) + C cuõng laø moät
nguyeân haøm cuûa f(x)
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Họ nguyên hàm (tích phân bất
định) của f(x):
• 1. Nguyên hàm :
•Định lý:
•F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên K
•a)Hàm số G(x)= F(x)+C
cũng là một nguyên hàm
của f(x) trên K
Ví dụ:
•b) Mọi nguyên hàm của
2xdx
hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C , vơi C là
1
hằng số
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
cos
2
x
x C
2
dx tgx C
Sắp xếp các mảnh ghép sau để được một
mệnh đề đúng.
4 x dx
4
C x
3
4 x dx x C
3
4
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:
•2. Tính chất :
•Tính chất 1:
f ' ( x)dx f ( x) C
•Tính chất 2:
kf ( x)dx k f ( x)dx
•(k là hằng số khác 0
•Tính chất 3:
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
1.Tìm nguyên hàm của
hàm số sau
a) f(x) =(cosx)’
2
b)f(x) = 3sinx+
x
trên khoảng (0;+ )
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:
•3. Sự tồn tại của nguyên hàm :
•Định lí 3:
•Mọi hàm số f(x) liên tục trên K
đều có nguyên hàm trên K
•HS thừa nhận không chứng minh
Tìm nguyên hàm của hàm
số sau
a) f ( x) x
2
3
trên khoảng (0;+ )
1
b) g ( x ) 2
sin x
treân khoaûng (k ; (k 1) )
kZ
PHIẾU HỌC TẬP
Điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải
f’(x)
0
x 1
1
x
ex
a x ln a(a 0; a 1)
cosx
-sinx
1
cos 2 x
1
2
sin x
f(x)+C
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
0dx C
dx x C
x
a
x
a
dx ln a C (a 0, a 1)
cos xdx sin x C
1 1
x dx 1 x C ( 1)
sin xdx cos x C
1
x dx ln x C
1
cos 2 x dx tan x C
x
x
e
dx
e
C
1
sin 2 x dx cot x C
NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
Ví dụ: Tính
a) (2 x
1
2
3
x2
)dx treân khoaûng (0;)
b) (3cosx - 3x-1 )dxv treân khoaûng (-;)
Chú ý :Từ đây ,yêu cầu tìm nguyên hàm của 1 hàm số
được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định
của nó
NGUYÊN HÀM
II/ Phương pháp tìm nguyên hàm :
•2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
HÑ6 :
a)Cho (x - 1) dx.Ñaët u x -1
10
10
Haõy vieát (x - 1) dx theo u vaø du
lnx
t
b) Cho
dx.Ñaët x e
x
lnx
Haõy vieát
dx theo t vaø dt
x
NGUYÊN HÀM
II/ Phương pháp tìm nguyên hàm :
•1. Phương pháp đổi biến số :
•Định lí 1:
Neááu f(u)du F(u) C
vaø u u(x)laø ha øm soá coù
ñaïo haøm lieân tuïc thì :
f(u(x))u' (x)dx F(u(x)) C
Heä quaû :
Vôùi u ax b (a khaùc 0), ta coù
f (ax b)dx
1
F (ax b) C
Ví dụ:
x
Tính
dx
5
(x 5)
NGUYÊN HÀM
II/ Phương pháp tìm nguyên hàm :
•2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
Ta coù (xcosx)' cosx - xsinx
-xsinx (xcosx)'-c osx
Haõy tính (xcosx)' dx vaø cosxdx
Töø ñoù x sin xdx
NGUYÊN HÀM
II/ Phương pháp tìm nguyên hàm :
•2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
•Định lí 2:
Neááu hai haøm soá u u(x) vaø v v(x)
coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì :
u(x)v' (x)dx u(x)v(x) - u' (x)v(x)dx
Chuù yù :
Ví dụ:
Tính
a) xe x dx
b) x cos xdx
c
)
ln
dx
Vì v' (x)dx dv, u' (x)dx du neân ta coù
udu uv vdu
Điền u và dv thích hợp vào ô trống theo
phương pháp tính nguyên hàm từng
phần
P
(
x
)
e
dx
P( x) ln xdx
P
(
x
)
cos
xdx
x
u
dv
P(x)
x
e dx
- Xem thêm -