Mô tả:
Chương III :
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Bài 1
click
I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm :
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
a) f x 3x 2
x ;
b)
f x
1
cos 2 x
x ;
2 2
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa :
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu F’(x) = f(x) với mọi x K
Ví dụ 1 :
a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì
F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x (- ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
1
1
f x
x
;
F
'
x
tan
x
'
Vì
cos 2 x
cos 2 x
2 2
x ;
2 2
Nêu thêm một số ví dụ khác :
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
f x
1
x
x 0;
click
Định lý 1 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số
C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này .
Định lý 2 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm
của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh :
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi
x K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x K
Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C
Hay G(x) = F(x) + C mọi x K
F(x) + C , C R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
f x dx = F x + C
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :
a) Với x (- ; + ) ,
2xdx x
b) Với x ( 0 ; + ) ,
1
x dx ln x C
c) Với x ( - ; + ) ,
cos x.dx sin x C
2
C
click
2. Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1 :
f ' x dx = f x + C
Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .
cos x '.dx sin x .dx cos x C
Ví dụ 3 :
Tính chất 2 :
Chứng minh :
kf x dx = k f x dx
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
'
k
1
1
Vì k ≠ 0 nên f x F '( x)
F
x
Theo t/c 1 ta có :
k
k
'
1
1
f x dx k F ( x) dx k F x C1 F x kC1
k
k
C1 R
F x C k . f x dx
Tính chất 3 :
f x g x dx = f x dx g x dx
Tự chứng minh t/c này
click
Ví dụ 4 :
Giải :
f x 3sin x
Tìm nguyên hàm của hàm số
Với x ( 0 ; + ∞) , ta có :
2
x
0;
2
1
3sin
x
dx
3
sin
xdx
2
x dx 3cos x 2 ln x C
x
3. Sự tồn tại của nguyên hàm :
Định lý 3 :
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5 :
a)
Hàm số
f x x
2
3
Có nguyên hàm trên ( 0 ; + )
2
3
3 53
x .dx 5 .x C
b)
Hàm số
g x
1
sin 2 x
Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ
1
sin 2 x .dx cot x C
click
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp :
0dx C
ax
a dx ln a C 0 a 1
x
dx x C
x dx
1
x 1 C
1
cos x.dx sin x C
1
x dx ln x C
x
x
e
dx
e
C
Ví dụ 6 :
a)
1
sin x.dx cos x C
1
cos2 x .dx tan x C
1
sin 2 x .dx cot x C
Tính :
2
2 x
1
dx
3
2
x
0; 2 x 2 dx x
2
3
dx
1
2 3
x 3x 3 C
3
click
b)
x 1
3cos
x
3
dx
;
3 cos xdx
1
x
3
dx
3
1 3x
3sin x
C
3 ln 3
3x 1
3sin x
C
ln 3
Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên
từng khoảng xác định của nó.
II - PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số :
a) Cho :
x 1
10
dx Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du
b) Cho :
ln x
x dx
Định lý 1 :
Nếu . f u du F u C Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :
Chứng minh :
Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu , theo t và dt
f u x .u ' x .dx F u x C
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
click
Hệ quả :
Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có
Ví dụ 7 :
Tính :
Giải :
Vì
f ax b dx =
1
F ax b + C
a
sin 3x 1 .dx
sin udu cos u C Nên theo hệ quả ta có :
1
sin
3
x
1
dx
cos 3x 1 C
3
Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm
ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8 :
Giải :
Tính :
x
x 1
5
.dx
Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và
x
x 1
5
dx
x
x 1
5
dx
u 1
1
1
du 4 5
5
u
u
u
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
x
x 1
5
u 1
du
5
u
Khi đó :
4
5
du u du u du
1 1
1 1
. 3 . 4 C
3 u
4 u
dx
1
1 1
.
.
C
3
x 1 4 x 1 3
click
1
2. Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần :
Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :
x.cos x '.dx
Định lý 2 :
&
cos x.dx
Từ đó tính :
x.sin x.dx
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
u x .v ' x .dx u x .v x u ' x .v x .dx
Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
u x .v ' x .dx u x .v x '.dx u ' x .v x .dx
u x .v ' x .dx u x .v x u ' x .v x .dx
Vậy có :
Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng :
Ví dụ 9 :
Giải :
Tính :
a)
x
xe
dx
b)
u.dv = u.v v.du
x.cos x.dx
c)
ln x.dx
a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :
x.e dx x.e
x
x
e x .dx
x.e x e x C
click
b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :
x.cos xdx x.sin x sin x.dx
x.sin x cos x C
1
dx và v = x . Do đó :
x
x.ln x x C
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì du
ln x.dx x.ln x dx
Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và
điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
x
P
x
.
e
.dx
P x .ln x.dx
u
P x
?????
P(x)
?????
P(x)
dv
e x .dx
cosx.dx
?????
?????
lnx.dx
Ví dụ trắc nghiệm :
A
P x .cos x.dx
C
1 x
3. Bài tập về nhà :
Tính :
B
c 1 x
dx
1 x
C
Kết quả là :
2 1 x C
D
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008
2
C
1 x
- Xem thêm -