Mô tả:
KIỂM TRA BÀI CŨ
Cho hàm số y = f(t) = 2t + 1
1.Tìm họ nguyên hàm F(t) của hàm số đó .
2.Tính F(5) – F(1).
Đáp án
1. Họ nguyên hàm của hàm số f(t) là F(t) = t 2 + t + C , C R.
2. Ta có F(5) – F(1) = 25 +5 + C – 1 – 1 – C = 28
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Hoạt động 1
y
11
y = 2x + 1
f(t)
gsp
3
S
x
O1
t 5
Graph
Gọi T hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y =2x + 1 ,
trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = t ( 1 t 5 ) .
1. Tính diện tích S của hình thang T khi t = 5
2. Tính diện tích S(t) của hình thang T khi t [ 1 ; 5]
3. Chứng minh rằng :
S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 , t [1 ; 5].
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
y
y = f(x)
B
A
x
O 1 a
gsp2
b
Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
Hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
1.Diện tích hình thang
cong
y
y = f(x)
a
x
A
1
x
gsp
Hình phẳng trên đây có phải là một hình thang cong
theo định nghĩa trên không ?
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Hình thang cong sau được giới hạn bởi các đường nào ?
Ví dụ 1
Cho hình thang cong giới hạn bởi đường
cong y = x2 , trục hoành và các đường
thẳng x = 0 , x = 1 .
1.Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số đã
cho .
2. Tính F(1) – F(0) .
3.Tính diện tích S của hình phẳng đó .
y
y = x2
1
x
O
x
gsp
1
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Trả lời
1. Họ nguyên hàm của hàm
số y = x2 là :
y
y = x2
1
x3
F ( x)
C , CR
3
x
2. F(1) - F(0)
3
3
1
0
1
C
C
3
3
3
O
x
1
Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
Tính S(0)
Tính S(1)
Graph
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2
.
Người ta chứng minh được S’(x) = x2 , x [0 ; 1 ]
y
A
1
y = f(x)
F
O
gsp
E
Q
P
M
x
N
x+ h
x
1
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Diện tích S(x) của hình thang cong đã cho là một hàm số theo x
và S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 trên [ 0 ; 1 ].
Tính S(x)
x3
F ( x)
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2
3
x3
S ( x)
C , CR
3
Mà S(0) = 0 nên C = 0
Vậy:
Ví dụ
S(3) = 9
x3
S ( x)
3
S (1)
1
3
Nội dung
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .
Với mỗi x [ a ; b ] , kí hiệu
S(x) của phần hình thang cong đó
nằm giữa hai đường thẳng vuông
góc với trục Ox lần lượt tại a và
tại x .
Ta cũng chứng minh được
S(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên đoạn [a ; b ] .
S(a) = 0
y
y = f(x)
B
A
E
M
O 1 a
N
x
gsp
K
b
x
Nội dung
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Với mỗi x [ a ; b ] , kí hiệu
S(x) của phần hình thang cong
đó nằm giữa hai đường thẳng
vuông góc với trục Ox lần lượt
tại a và tại x .
y
y = f(x)
B
A
E
M
O 1 a
N
x
K
b
Chứng minh rằng :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a ; b] thì sao S(b) = F(b) – F(a) .
Vì F(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên
ta có
S(x) = F(x) + C , với C là một hằng số thực .
Mà S(a) = 0 , do đó S(a) = F(a) + C = 0
Suy ra C = - F(a)
Graph
Vậy S(b) = F(b) – F(a) .
x
Nội dung
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
2. Định nghĩa tích phân
1.Diện tích hình thang
cong
y
?2
y = f(x)
B
A
E
M
O 1 a
N
x
K
b
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích phân
x
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ] .
F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) .
Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
Với mỗi x [a ; b] ,gọi S(x) là diện tích của hình thang cong
đã cho giới bởi đồ thị của f(x) , trục hoành và các đường
thẳng vuông góc với trục hoành tại a và tại x .
Vì F( x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x)
trên đoạn [a ; b] nên ta có :
S(b) = F(b) – F(a)
S(b) = G(b) – G(a)
Do đó F(b) – F(a) = G(b) – G(a) .
Nội dung
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa :
1.Diện tích hình thang
cong
y
b
y = f(x)
B
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a)
b
a
A
E
M
O 1 a
N
x
K
b
x
b
Ta gọi
Là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên .
a
S( b) = F( b) – F(a)
f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
f(x) là hàm số dưới dấu tích phân .
2. Định nghĩa tích phân
Chú ý :
a
f ( x)dx 0
a
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
Nội dung
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa :
1.Diện tích hình thang
cong
y
b
f ( x)dx F ( x)
y = f(x)
B
A
N
x
a
F (b) F (a)
a
E
M
O 1 a
b
K
b
x
2
S( b) = F( b) – F(a)
Ví dụ 2
Tính
1
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích phân
2xdx
2
Giải
1)
2 xdx x
1
2 2
1
22 1 4 1 3
Nội dung
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
1.Diện tích hình thang
cong
Ví dụ 3
Tính các tích phân sau :
1/
y
y = f(x)
e
4
B
1/
A
E
x dx
2
2/
1
M
O 1 a
N
x
K
b
1
1 t dt
x
Giải
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích phân
4
1/
3 4
x
2
1 x dx 3
e
1
43 13
21
3 3
1
e
2) dt ln 1 ln e ln 1 1 0 1
t
1
Nội dung
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
1.Diện tích hình thang
cong
y
Nhận xét :
a/ Tích phân của một hàm số f từ a đến b chỉ phụ
thuộc vào quy tắc f và các cận a , b mà không phụ
thuộc vào kí hiệu biến x , t .
y = f(x)
B
A
E
M
O 1 a
N
x
K
b
x
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích phân
b/ Ý nghĩa hình học của tích phân .
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b ]
,thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới
hạnbởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng
x =a; x=b.
Nội dung
Củng cố :
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
y
1.Diện tích hình thang
cong
y
Sử dụng ý nghĩa của tích
phân hãy tính diện tích
hình thang cong bên .
y = f(x)
B
A
E
y = x2
1
x
O
M
O 1 a
N
x
1
2
x
K
b
Giải :
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích phân
Hình thang cong trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 1 , x = 2 .
Do đó diện tích S của hình thang cong trên là :
b
f ( x)dx F ( x) a
b
a
F (b) F (a)
2
S=
x3
2
1 x dx 3
2
1
23 12
7
3
3
3
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
1. Học khái niệm hình thang cong , diện tích hình thang cong.
2. Học định nghĩa tích phân xác định , các kí hiệu và cách đọc các
kí hiệu đó ; cách tính tích phân ; xem lại các ví dụ .
3. Ý nghĩa hình học của tích phân .
4. Làm bài tập 1 , 2 SGK .
- Xem thêm -