T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
http://www.toanthpt.net
Cho hàm số : y = x 4 − 2mx 2 + 1 đồ thị (C m ); m là tham số . Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị là 3
đỉnh của tam giác đều .
y = x 4 − 2mx 2 + 1; D = ¡
x = 0
y ' = 4x 3 − 4mx = 4x (x 2 − m ); y ' = 0 ⇔ 4x (x 2 − m ) = 0 ⇔ 2
x = m (*)
Để (C m ) có 3 cực trị khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
khác 0 hay m > 0
Với m > 0 thì đồ thị (C m ) có 3 cực trị A(− m ; −m 2 + 1); B(0;1);C ( m ; −m 2 + 1)
Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên ∆ABC đều
AB = AC ⇔ AB 2 = AC 2 ⇔ m 4 + m = 4m ⇔ m (m 3 − 3) = 0 ⇒ m = 3 3 thỏa điều kiện m > 0
Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 4x + m đồ thị (C m ); m là tham số . Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị .
y = x 4 − mx 2 + 4x + m ⇒ y ' = 4x 3 − 2mx + 4 = f (x )
Cách 1 : Để hàm số có 3 cực trị khi phương trình f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi đó f (x ) có cực đại
cực tiểu và f (xCD ).f (xCT ) < 0
m
6
f (x ) có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi f '(x ) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0
f (x ) = 4x 3 − 2mx + 4 ⇒ f '(x ) = 12x 2 − 2m; f '(x ) = 0 ⇔ x 2 =
m
m
16m 3
).f (
= 16 −
< 0 ⇔ m 3 > 54 ⇔ m > 3 3 2 thỏa điều kiện m > 0 .
6
6
9.3
Cách 2 : Phương trình f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình 2x 3 + 2 = mx có 3 nghiệm
f (xCD ).f (xCT ) = f (−
phân biệt ; nghĩa là m =
2x 3 + 2
2
= 2x 2 + = g(x ) có 3 giao điểm
x
x
2
có tập xác định D = ¡ \ {0}
x
lim g(x ) = +∞; lim g(x ) = +∞; lim− g(x ) = −∞; lim+ g(x ) = +∞
g(x ) = 2x 2 +
x →−∞
g '(x ) = 4x −
x →+∞
x →0
x →0
2
4x − 2
1
=
; g '(x ) = 0 ⇔ x =
2
2
3
x
x
2
3
Dựa vào bảng biến thiên , f (x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi m > 3 3 2
x 2 + (3m + 2)x + 2m − 1
. Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm
x −1
cực trị tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2?.
Cho hàm số : y =