Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Nguyễn Hoàng Cương
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định
I. Mở đầu:
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, phép
vị tự và đồng dạng là các phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm bất
kì. Chúng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn.
Ngoài các phép dời hình, phép vị tự và đồng dạng, còn một phép biến hình khác
với những tính chất rất thú vị. Đó là phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cũng có thể
biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, nhưng có thể biến
một đường thẳng thành một đường tròn, còn 1 đường tròn thành một đường thẳng. Đặc
biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình.
Phép nghịch đảo cũng có một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các bài
toán hình học phẳng.
II. Nội dung chuyên đề:
A. Các khái niệm:
1. Định nghĩa:
a) Cho trước một điểm O và một số thực k 0 , với mỗi điểm M khác O ta dựng
một điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho OM .OM ' k
(1)
Khi đó ta nói M’ là ảnh của điểm M qua phép nghịch đảo tâm O phương tích k
(hoặc hệ số k )
●
O
M
M’
Khi M O thì M’ là điểm vô cực và kí hiệu và khi M là điểm vô cực thì
M’ trùng với O
Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là:
f O, k : M M '
b) Cho một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép nghịch đảo
f O, k lập thành hình H’ được gọi là ảnh của hình H (hình nghịch đảo của H) và
được kí hiệu: f O, k : H H’
1
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
2. Các khái niệm khác liên quan:
a) Xét phép nghịch đảo f O, k với k > 0. Đường tròn tâm O, bán kính R k
được gọi là đường tròn nghịch đảo thực. Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O bán kính
R
k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo
Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối với phép
nghịch đảo đó.
b) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d1 và d2 lần
lượt là các tiếp tuyến của hai đường tròn tại A. Góc tạo bởi d1 và d2 được gọi là góc tạo
bởi hai đường tròn (O1) và (O2). Nếu góc đó vuông thì ta nói hai đường tròn (O1) và
(O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) tại điểm A.
Ta nhận thấy góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại B bằng góc đó tại A.
Góc tạo bởi một đường thẳng và một đường tròn là góc tạo bởi đường thẳng đó
với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chung của chúng.
B. Các tính chất:
Cho phép nghịch đảo f O, k với k 0
1. Tính chất 1: Phép nghịch đảo f O, k là phép biến đổi 1 - 1
2. Tính chất 2: Phép biến đổi f f O, k f O, k là phép đồng nhất.
3. Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f O, k thì A' B'
k
AB
OA.OB
4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng d.
5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C)
tại O.
7. Tính chất 7: Ảnh của đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
tròn ' . Đường tròn ' cũng là ảnh của đường tròn qua phép vị tự VO , với
k
, p là phương tích của O đối với đường tròn .
p
2
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
8. Tính chất 8: Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn cùng đi qua tâm nghịch
đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
9. Tính chất 9: Góc tạo bởi hai đường tròn và ' cùng đi qua tâm nghịch đảo O
có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
10. Tính chất 10: Nếu đường thẳng d và đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo
O, thì góc tạo bởi d và có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch
đảo đó.
11. Tính chất 11: Góc tạo bởi hai đường tròn và ' không cùng đi qua tâm nghịch
đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
C. Các bài toán áp dụng:
I. Dạng toán: Chứng minh các tính chất hình học
Bài 1: Cho đa giác A1 A2 ...An nội tiếp đường tròn (C). M là một điểm bất kì trên cung
A1 An (cung không chứa đỉnh nào của đa giác). Gọi d1 , d 2 ,..., d n lần lượt là khoảng cách
từ M đến các đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , ..., An A1 . Chứng minh rằng:
an n1 ai
với ai là độ dài các cạnh Ai Ai 1
d n i 1 d i
A
n1
A1
Giải:
d1
Gọi R là bán kính của đường
M
An
an
tròn (C).
A1
a1
Xét phép nghịch đảo tâm M
O
A2
A4
phương tích k
A3
Khi đó phép nghịch đảo f M , k
biến đường tròn (C) thành đường
d
A'1
A'2
A'3
A'4
thẳng d không đi qua M
Trên đường thẳng d ta gọi Ai' f Ai thì ta có: A1' An' A1' A2' A2' A3' ... An' 1 An' (*)
3
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Do đó ta có i 1, n Ai' Ai'1 k
k
2S MA A .sin Ai MAi 1
i i 1
2S MA A .d i
i i 1
Thay vào (*) ta có: k
k
Ai Ai 1
Ai Ai 1 .d i .sin Ai MAi 1
k
MAi .MAi 1
MAi .MAi 1 .d i .sin Ai MAi 1
sin Ai MAi 1
sin Ai MAi 1
ai
k
k
di
di
2 Rd i
n 1
an
a
a
a
n i (đpcm)
k i
2 Rd n
2 Rd i
d n i 1 d i
Bài 2: Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi M, N, E lần lượt là giao điểm của
các cặp đường thẳng: B’C’ và BC; C’A’ và CA; A’B’ và AB. Chứng minh rằng 3 điểm
M, N, E thẳng hàng.
Giải:
Gọi (C1), (C2) lần lượt là đường
A
tròn đường kính AI và A1I
Khi đó: B1C1 là trục đẳng phương của hai
đường tròn (I) và (C1) và; BC là trục đẳng
phương của hai đường tròn (I) và (C2)
B'
C'
P
M
B
Mà BC B1C1 = M
I
A'
C
nên PM / C PM / C
1
2
Gọi M’ là giao điểm thứ hai (khác I) của
E
hai đường tròn (C1) và (C2) thì M IM’
Ta có: IM’ AM’ và IM’ A1M’ nên 3
điểm A, A1, M’ thẳng hàng.
N
Theo định lý Ceva ta có 3 đường thẳng
AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P
· ' P 900 hay M’ thuộc đường tròn (C) đường kính IP
Suy ra IM
Tương tự nếu gọi
N’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính B1I
E’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính C1I
thì N’ và E’ cũng thuộc đường tròn (C) đường kính IP
IM.IM’ = IN.IN’ = IE.IE’ = R (với R là bán kính đường tròn đường kính IP)
4
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Xét phép nghịch đảo cực I, phương trình R2 : f I , R 2 ta có:
f I , R 2 biến các điểm M’, N’, E’ thành các điểm tương ứng là M, N, E
f I , R 2 biến đường tròn (C) đường kính IP thành đường thẳng d không qua I
Do các điểm M’, N’, E’ thuộc đường tròn (C) nên các điểm M, N, E thuộc đường thẳng
d hay M, N, E thẳng hàng.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một tiếp tuyến của
(O) tại điểm M bất kì trên đường tròn cắt (O’) tại B và C. Chứng minh rằng AM là
đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC.
Giải:
d'
d
A
O'
O
M'
C
I
B'
H
B
M
Hạ AH BC. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k = AH2 : f A, AH 2
f A, AH 2 biến tiếp tuyến tại M với đường (O) thành tiếp tuyến với đường tròn (I)
đường kính AH
f A, AH 2 : M M’; B B’; C C’ sao cho M’, B’, C’ thuộc (I)
f A, AH 2 : (O) d là tiếp tuyến với (I) tại M’; d OA
(O’) d’ qua B’, C’ và d’ O’A
5
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
¼
¼
Vì d // d’ và M’ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (I) M
'B' M
'C '
¼ ' NC
¼'
Gọi N là điểm đối xứng với M’ qua I N (I) NB
AN là phân giác của góc BAC AM là phân giác của góc BAC
Vậy AM là phân giác của góc tạo bởi AB và AC.
Bài 4: (Thi Olympic Bungari - vòng 4 - 1995)
Cho tam giác ABC có chu vi 2p cho trước. Các điểm E, F nằm trên đường thẳng AB sao
cho CE = CF = p. Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp (k1) ứng với cạnh AB của tam
giác ABC tiếp xúc với đường tròn (k2) ngoại tiếp tam giác EFC.
Giải:
Vì CP = CQ = CE = CF = p nên suy ra 4 điểm P, Q,
C
E, F cùng thuộc đường tròn (C, p)
Xét phép nghịch đảo cực C phương tích p2 ta có:
f C , p 2 : P P ;
Q
Q Q
P
Do đó: f k1 k1
Mặt khác:
f E E
f k2 EF
f F F
Mà k1 tiếp xúc với EF nên k1 tiếp xúc với k 2
F
B
A
E
O
O'
k2
k1
Bài 5: Cho hai đường tròn (C1) có tâm O1 và bán kính
R1, đường tròn (C2) có tâm O2 và bán kính R2. Điểm I không nằm trên cả hai đường tròn.
Gọi f là phép nghịch đảo cực I phương tích k 0 , f C1 ; f C2 là các đường tròn ảnh
d 2 R12 R22
của C1 ; C2 . Đặt: C1 , C2
với d O1O2 . Chứng minh rằng:
2 R1 R2
1. Nếu I đồng thời nằm trong hoặc nằm ngoài cả hai đường tròn C1 ; C2 thì:
C1 , C2 f C1 , f C2
2. Nếu I nằm trong một đường tròn và nằm ngoài một đường tròn thì
C1 , C2 f C1 , f C2
6
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Giải: Gọi f C1 I1 , r1 ;
f C2 I 2 , r2
I1 I 2 r12 r22
Khi đó: f C1 , f C2
2r1r2
2
k
p1
f C2 I 2 , r2 nên: I1 VI O1 và I 2 VI
Vì f C1 I1 , r1 ;
II1
k
IO1
p1
II 2
và
k
p2
O
2
k
2
2
IO2 (với p1 PI / C IO1 R12 và p2 PI / C IO2 R22 )
p2
1
2
Khi đó ta có:
2
I1 I 2 I1 I 2 II 2 II1
2
2
2
2
k
k
IO22
2
2 IO1
IO1 IO2 = k 2 2
IO1 .IO2
p2
p1 p2
p2
p1
p1
p1 R12 p2 R22 IO12 IO22 O1O2 2
= k
2
2
p
p
p
p
1
2
1 2
2
2
1
1 R12 R22 p1 p2 R12 R22 O1O2
= k 2 2
p
p
p
p
p
p
2
1
2
1 2
1
2
R12 R22 R12 R22 O1O2 2
= k 2 2
p
p
p
p
2
1 2
1
2
k
p1
Vì I1 VI O1 và I 2 VI
nên ta có: r1
k
p2
O ;
2
f C1 I1 , r1 ;
f C2 I 2 , r2
k
k
R1 và r2
R2
p1
p2
Do đó:
2
2
2
r12 r22 R12 R22 O1O2 2
2
2
2
2 O1O2 R1 R2
I1 I 2 r1 r2 k
I1 I 2 k 2 2
k
p1 p2
p1 p2
k
2
2
I1 I 2 r12 r22
k 2 O1O2 R12 R22
f C1 , f C2
.
r1r2
2r1r2
p1 p2
2
1
=
2r1r2
2
2
kk
1 r1 p1 .r2 p2 O1O2 R12 R22
2
2
2
p p O1O2 R1 R2 2r r R R
p1 p2
1 2
1 2
1 2
p1 p2 O1O2 2 R12 R22
pp
=
= 1 2 . C1 , C2
.
p1 p2
p1 p2
R1 R2
7
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Do đó:
1. Nếu I nằm đồng thời ở trong hoặc ở ngoài cả hai đường tròn C1 ; C2 thì
p1 p2 0 nên C1 , C2 f C1 , f C2
2. Nếu I nằm trong một đường tròn và nằm ngoài một đường tròn thì p1 p2 0 nên
C1 , C2 f C1 , f C2
Bài 6: Cho hai đường tròn C1 , C2 tiếp xúc với nhau tại A . Một đường thẳng l qua
A cắt các đường tròn C1 , C2 tương ứng tại C1, C2 khác A . Một đường tròn C qua
C1, C2 cắt lại hai đường tròn C1 , C2 tại B1, B2 tương ứng. Gọi x là đường tròn
ngoại tiếp tam giác AB1B2 . Đường tròn k tiếp xúc với đường tròn x tại A , cắt
C1 , C2 lần lượt tại D1, D2
khác A . Chứng minh rằng:
1. Các điểm C1,C2 , D1, D2 hoặc cùng thuộc một đường tròn hoặc cùng thuộc một
đường thẳng.
2. Các điểm B1, B2 , D1, D2 cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi AC1, AC2
lần lượt là đường kính của đường tròn C1 , C2 tương ứng.
Giải:
(c)
k'1
k'2
(x')
l
(k)
k2
B'1
D2
B'2
C'1
C2
D1
k1
A
C1
B1
C'2
B2
(x)
Hình 1
D'2
(k')
D'1
Hình 2
1. Xét phép f là phép nghịch đảo cực A , phương tích k 0 thì
+) f biến đường tròn k1 , k2 thành các đường thẳng k1' , k2' tương ứng và k1' / / k2'
+) f biến đường tròn x , k thành các đường thẳng x '; k' tương ứng và x '/ / k '
+) f biến đường thẳng l thành chính nó
8
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Suy ra f biến các điểm B1, B2 , C1, C2 , D1, D2 tương ứng thành các điểm
B1' x ' k1' ; B2' x ' k2' ; C1' l k1' ; C2' l k 2' ; D1' k ' k1' ; D2' k ' k2'
Do đó tứ giác B1' B2' D2' D1' là hình bình hành (Hình 2)
·' B ' D' B
·' D' D' 1800 (1)
B
2 1 1
1 1 2
Vì C1, C2 , B1; B2 thuộc đường tròn C và A không thuộc đường tròn C
C1' , C2' , B1' ; B2' thuộc đường tròn C ' f
C B·B D C·C D
' '
2 1
'
1
'
1
'
2
'
2
(2)
·' D' D' C
·'C ' D' 1800
Từ (1) và (2) suy ra C
1 1 2
1 2 2
C1' , C2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn k3'
C1, C2 , D1, D2 hoặc cùng thuộc đường thẳng, hoặc cùng thuộc 1 đường tròn là tạo ảnh của
đường tròn k3' qua phép nghịch đảo f .
2. Ta có: Các điểm B1, B2 , D1, D2 cùng thuộc một đường tròn
Các điểm B1' , B2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn B1' B2' D2' D1' là hình chữ nhật
·' B' B' 900 C
·'C ' D' 900 đường thẳng l và đường tròn C ' trực giao với nhau
D
2
1 1 2
1 2 2
đường thẳng l và đường tròn C 2 trực giao với nhau
AC1, AC2 lần lượt là đường kính của đường tròn C1 , C2 tương ứng.
Bài 7: Cho đường tròn O có đường kính AB và một điểm C trên O , C A, C B .
Tiếp tuyến với O tại A cắt đường thẳng BC tại M . Gọi N là giao điểm của các tiếp
tuyến với O tại B và tại C . Đường thẳng AN cắt lại đường tròn O tại D khác A và
cắt đường thẳng BC tại F . Đường thẳng qua M , song song với AB cắt đường thẳng
OC tại I . Đường thẳng qua N , song song với AB cắt đường thẳng OD tại J . Gọi K là
giao điểm của hai đường thẳng MD, NC và E là giao điểm của hai đường thẳng MN , IJ .
1. Chứng minh rằng hai đường tròn MCE và NDE tiếp xúc với nhau.
2. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn đi qua các điểm C , D, E , F .
9
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Giải:
A
P
M
X
I
C
O
F
K
D
J
B
OC 2 CP.CN AP.BN OB 2
2OB.OC BN .2 AP
OA. AB BN . AM
AOM : BNA
·
·
AMO BAN
·
ADO
E
Y
1. Gọi P là giao điểm của AM
và NC thì PA PM PC .
Ta có OPN vuông tại O ,
đường cao OC nên suy ra
Suy ra tứ giác AMDO nội tiếp
đường tròn đường kính OM nên
N
·
·
ODM
OAM
900
Do đó MD là tiếp tuyến của O KC KD
Vì OBC : ICM và OAD : JDN nên suy ra IC IM và JD JN
Mặt khác ta có OM AN tại X và ON BM tại Y nên F là trực tâm của OMN .
Gọi E ' là giao điểm của OF và MN thì OE ' MN . Ta chứng minh E ' E .
Ta có MA2 MD2 MX .MO ME '.MN MB.MC
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k MA2 ta có: f biến các điểm B, N
thành các điểm C , E ' tương ứng
Suy ra f biến đường thẳng BN thành đường tròn MCE '
Vì BN tiếp xúc với O tại B và BN || AM nên đường tròn MCE ' tiếp xúc với O
tại C và tiếp xúc với AM tại M . Do đó I là tâm đường tròn MCE '
Chứng minh tương tự ta có J là tâm đường tròn NDE ' .
Khi đó ta suy ra hai đường tròn
MCE '
và NDE ' tiếp xúc nhau tại E ' .
E ' là giao điểm của IJ và MN nên E ' E
Vậy hai đường tròn MCE và NDE tiếp xúc với nhau tại E.
2. Vì KC là tiếp tuyến chung của O và I ; KD là tiếp tuyến chung của O và J
nên ta suy ra PK / I PK /O PK / J , do đó K là tâm đẳng phương của 3 đường tròn
O , I , J
KC KD KE . Suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE (1).
10
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Mặt khác ta có MA2 MD2 MX .MO ME.MN MB.MC MF.MY nên phép nghịch
đảo f cực M , phương tích k MA2 biến các điểm F ,C , D, E tương ứng thành các
điểm Y , B, D, N .
Mà 4 điểm Y , B, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính BN nên 4 điểm F ,C , D, E
cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F ,C , D, E .
Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H , ba đường cao là AA1 , BB1 , CC1 . Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB . Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
MNP . Kí hiệu A ', B ', C ' lần lượt là các giao điểm thứ hai của MH , NH , PH và ,.
Chứng minh rằng A1 A ', B1B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng
Euler của tam giác ABC .
Giải:
Ta kí hiệu đường tròn qua 3 điểm X , Y , Z là XYZ .
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Ta biết rằng đi qua 9 điểm:
M , N , P, A1, B1, C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH .
Giả sử M ', N ', P ' là điểm đối xứng với M , N , P qua O .
Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k HM .HA ' HN.HB ' HP.HC '
Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1B ', C1C ' tương ứng thành các
đường tròn HMM ' , HNN ' , HPP ' , biến đường tròn thành chính nó và biến
đường thẳng Euler của ABC thành chính nó.
11
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của HNN ' và HPP ' là đường thẳng Euler của
ABC . Thật vậy:
Trục đẳng phương của và HNN ' là NN ' ;
Trục đẳng phương của và HPP ' là PP ' ;
Suy ra trục đẳng phương của HNN ' và HPP ' đi qua H và giao của NN ' và PP '
hay trục đẳng phương của HNN ' và HPP ' là đường thẳng HO .
Do đó trục đẳng phương của HNN ' và HPP ' chính là đường thẳng Euler ABC .
HPP ' và HMM ' ,
Tương tự, trục đẳng phương của
trục đẳng phương của
HMM ' và HNN ' cũng là đường thẳng Euler của ABC .
Do đó ba đường tròn HMM ' , HNN ' , HPP ' cùng đi qua một điểm trên đường
thẳng Euler của ABC . Từ đó suy ra A1 A', B1B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm
trên đường thẳng Euler của tam giác ABC .
Bài 9: Cho đường tròn O và dây cung UV . M là một điểm trên dây cung UV ; AC
và BD là hai dây cung khác của đường tròn O cùng đi qua M . Gọi X là giao điểm
của BC và UV ; Y là giao điểm của AD và UV . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
.
MX MV MY MU
Giải:
Đặt k MA.MC MB.MD MU .MV
B
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương
tích k , ta có
A
E
U
X
M
I
O1
J
V
Y
f biến các điểm A, D, U tương ứng
F
thành các điểm C , B, V .
N
O
Suy ra
O2
f
biến các đường thẳng
BC , AD tương ứng thành các đường
C
D
tròn
AMD , BMC
và biến đường
thẳng UV thành chính nó.
12
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Vì X là giao điểm của BC và UV và Y là giao điểm của AD và UV nên f
biến các điểm X , Y tương ứng thành các điểm F , E với F là giao điểm khác M của
đường tròn AMD và UV ; E là giao điểm khác M của đường tròn BMC và UV
Khi đó ta có: k MU .MV MX .MF MY .ME MU .MV MX .MF MY .ME k
Do đó
1
1
1
1
MF MU ME MV FU EV EU FV
MX MV MY MU
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của các đường tròn BMC , AMD thì OO1 BC (1)
Mặt khác ta có góc giữa O2 M và BC bằng góc giữa O2 M và đường tròn AMD và
bằng 900 (vì phép nghịch đảo f biến O2 M thành chính nó) nên O2 M BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OO1 || O2 M
Chứng minh tương tự ta suy ra OO2 || O1M , do đó tứ giác MO2OO1 là hình bình hành
có tâm N .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O1O2 xuống UV thì tứ giác O1O2 JI là
hình thanh vuông tại I , J
Mà N là trung điểm của O1O2 nên suy ra NI NJ
Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng là hai đường trung bình nên suy ra
OE OF (3)
Mặt khác OU OV (4)
Nên từ (3) và (4) suy ra EU FV (đpcm)
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với nhau và cắt nhau ở A, B. Lấy các điểm
C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau.
Bài 2: Cho bốn đường tròn cùng đi qua một điểm P nhưng không có đường tròn nào chứa
trong đường tròn nào. Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại P, hai đường tròn
còn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) tại P. Các giao điểm khác P của 4 đường tròn là A,
B, C, D. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi hai
đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
13
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Các nửa đường tròn đường kính
AB, BC, CA nằm về cúng một nửa mặt phẳng bờ AC. Chứng minh rằng đường tròn (O)
có đường kính bằng khoảng cách từ O đến BC với (O) là đường tròn tiếp xúc với cả ba
nửa đường tròn trên.
Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005)
Cho đường tròn (O, R). Giả sử có 6 đường tròn thay đổi nằm bên trong (O;R) là
(I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng lần lượt tiếp xúc trong với (O,
R) tại A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đường tròn (I1) tiếp xúc ngoài với đường tròn
(I2), đường tròn (I2) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I3), đường tròn (I3) tiếp xúc ngoài
với đường tròn (I4), đường tròn (I4) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I5), đường tròn (I5)
tiếp xúc ngoài với đường tròn (I6), đường tròn (I6) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I1).
1. Chứng minh rằng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1
2. Cho đường tròn (I , r) nằm bên trong (O; R) . Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn tại
6 đường tròn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất đã nêu ở đề bài và đồng thời 6
đường tròn này lại đều tiếp xúc ngoài với đường tròn (I , r) khi và chỉ khi
R r
2
4
d 2 Rr .
3
Bài 5: (Đề thi VMO - 2003)
Cho hai đường tròn cố định (k1), (k2) tiếp xúc trong tại P có tâm tương ứng là K1, K2
và bán kính lần lượt là R1, R2 (R1 < R2). Cho điểm K di động trên (k2) sao cho 3 điểm K,
K1, K2 không thẳng hàng. Từ K kẻ các tiếp tuyến KB, KC tới (k1) (với B, C là các tiếp
điểm). Các đường thẳng PB, PC cắt đường tròn (k2) tại D, E tương ứng. F là giao điểm
của DE với tiếp tuyến của đường tròn (k2) tại K. Chứng minh rằng F di động trên một
đường thẳng cố định.
II. Dạng toán: Tìm tập hợp điểm
Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và một điểm O cố định sao cho OI = 2R. Gọi
(C1), (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với đường tròn (C) và trực giao với nhau.
Gọi M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2). Tìm quỹ tích điểm M.
14
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Giải:
Phần thuận:
Xét
phép
f O, k
đảo
nghịch
c1
với
k PO / C 3R . Khi đó:
P'
2
P
f O, k :
J
C C
C d
M'
C d
Vì C ; C trực giao với nhau và cùng tiếp
xúc với C nên ta có d d và lần lượt tiếp
xúc với C tại P ' ; Q ' thỏa mãn: OP.OP ' OQ.OQ ' 3R
C ; C với C .
1
1
1
2
2
M
c2
Q
Q'
2
1
1
O
I
2
2
với P, Q là tiếp điểm của
2
Gọi M’ là giao điểm của hai đường thẳng d1 , d 2 thì khi đó M ' f M vì M là giao
điểm của hai đường tròn C1 ; C2
Mặt khác tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R
' I , R 2 f
IM ' R 2 M ' I , R 2 . Gọi ' là đường tròn I , R 2
M với
Vì M ' f M OM .OM ' 3R 2 M f M '
Ta có: PO / ' OI 2 R 2 2 R 2 ON .OM ' với N
2
3
3
3
3
2
OM .OM ' ON .OM ' OM ON M VO N M VO2 '
2
2
3
3R 2
Gọi J, r là tâm của đường tròn OJ OI và r
hay J là giao điểm
2
2
của đường tròn C và đường thẳng OI.
Phần đảo:
Lấy điểm M bất kì trên đường tròn = J, r . Gọi M ' f M . Qua M’ kẻ các
tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường tròn C . Khi đó
f O, k :
C C ;
M ' P' C1 ; M ' Q' C2
Ta phải chứng minh hai đường tròn C1 ; C2 cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với C và
trực giao với nhau.
15
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Thật vậy: vì f O, k :
C C ; M ' P' C ; M ' Q' C và M ' f M
nên hai đường tròn C ; C cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với C
1
1
2
2
k
p
O
Ta có: M ' f M nên M ' thuộc đường tròn C0 V
2
3R 2 9 R 2
Với p PO / OJ 2
2
2
OJ '
và k 3R 2 , J ' , r ' là đường tròn C0
k
2
k
OJ OJ và r ' r R 2 J ' I C0 I , R 2
p
3
p
IM ' R 2 nên tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R M ' P' M ' Q'
Do đó hai đường tròn C1 ; C2 trực giao với nhau.
3R 2
với J là giao điểm của
Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn J ,
2
đường tròn C và đường thẳng OI.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi d1 là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi
(C) là đường tròn thay đổi và luôn tiếp xúc với (O) và d1 tại hai điểm phân biệt. Gọi
(C1), (C2) là hai đường tròn bất kì của (C). Biết rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại
M. Tìm quỹ tích điểm M.
Giải:
c1
(D)
(d)
d1
*) Phần thuận:
Gọi f B, k là phép nghịch đảo cực B, phương tích
k 4R 2 .
Do B d1 và B O nên:
M c
2
f B, k biến:
A
J
d1 d1
O d với d AB tại H f A
C1 C '1 ; C2 C '2
Do C ; C tiếp xúc với (O) và d C ' , C '
tiếp xúc với d , d (1)
Mặt khác C ; C tiếp xúc nhau tại M
C ' , C ' tiếp xúc nhau tại M’
(2)
M ' f M
1
2
1
1
2
B
O
H
I
c'1
M' c'
2
1
1
1
2
2
16
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Từ (1) và (2) suy ra M ' thuộc đường thẳng D vuông góc với AB tại trung điểm I của BH.
Do M ' f M M thuộc đường tròn C0 đi qua B là ảnh của đường thẳng D qua
phép f B, k trừ điểm B
Gọi J f I thì C0 là đường tròn đường kính BJ
*) Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đường tròn C0 .Gọi M ' f M , d f O
Vẽ hai đường tròn C'1 , C'2 cùng tiếp xúc với d1 , d và tiếp xúc với nhau. Gọi
C f C' ; C f C' . Ta phải chứng minh hai đường tròn C ; C tiếp xúc
1
1
2
2
1
2
với (O) , d1 và tiếp xúc với nhau tại M.
(Điều này dễ dàng chứng minh được)
*) Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn C0 đường kính BJ trừ điểm B.
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn
(O). Xét các đường tròn tâm O’ đi qua A và trực giao với đường tròn (O)
1. Tìm quỹ tích các tâm O’
2. Gọi H là giao điểm của OO’ với dây cung chung của hai đường tròn.
Tìm quỹ tích điểm H.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai đường thẳng , ' song song với nhau, không có
điểm chung với đường tròn. ' và đường tròn (O) nằm về hai phía đối với đường thẳng
. Dựng hai tiếp tuyến x, y của đường tròn (O) song song với nhau và cắt , ' lần
lượt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Từ I kẻ các
tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q là các tiếp điểm). Gọi K là giao điểm của PQ và OI.
Tìm tập hợp điểm K khi các tiếp tuyến x, y thay đổi hướng.
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) và dây AB cố định. Với mỗi điểm M trên đường tròn (O),
dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp
xúc với AB tại B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Tìm
quỹ tích điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O).
17
Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông
Tài liệu tham khảo:
1. Các phép biến hình trong mặt phẳng - Nguyễn Mộng Hy
2. Các phép biến hình trong mặt phẳng - Đỗ Thanh Sơn
3. Các bài toán về hình học phẳng – Tập 2 –V.V Praxolov.
4. INVERSION IN GEOMETRY – ARTHUR BARAGAR.
5. Diễn đàn toán học Mathscope.
6. Các tài liệu trên Internet.
18
- Xem thêm -