Giáo án ôn tập toán lớp 9 hay và đầy đủ
«n tËp to¸n 9
A. môc tiªu chung
PhÇn I : §¹i sè
¤n tËp ch¬ng 1:
C¨n bËc hai - C¨n bËc ba
Môc ®Ých yªu cÇu:
HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 1 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n:
- §Þnh nghÜa, ký hiÖu c¨n bËc hai sè häc vµ vËn dông ®Ó chøng minh mét sè tÝnh chÊt
cña phÐp khai ph¬ng
- N¾m ®îc mèi liªn hÖ gi÷a phÐp khai ph¬ng víi phÐp b×nh ph¬ng, vËn dông ®Ó t×m
mét sè nÕu biÕt b×nh ph¬ng hoÆc c¨n bËc hai cña nã
- N¾m ®îc liªn hÖ gi÷a thø tù víi phÐp khai ph¬ng vµ biÕt dïng ®Ó so s¸nh c¸c sè
- BiÕt c¸ch x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc vµ cã kü n¨ng thùc hiÖn gi¶i
mét sè bµi tËp
- Cã kü n¨ng biÕn ®æi biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai vµ sö dông kü n¨ng ®ã trong
tÝnh to¸n, rót gän, so s¸nh sè, gi¶i to¸n vÒ biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai. BiÕt sö dông
b¶ng vµ m¸y tÝnh bá tói ®Ó t×m c¨n bËc hai cña mét sè.
- Cã ®îc mét sè hiÓu biÕt ®¬n gi¶n vÒ c¨n bËc ba
¤n tËp ch¬ng 2:
Hµm sè bËc nhÊt
Môc ®Ých yªu cÇu:
- HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 2 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n vÒ hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ≠ 0), tËp x¸c ®Þnh, sù biÕn thiªn, ®å thÞ; ý
nghÜa cña c¸c hÖ sè a vµ b; ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng y = ax + b (a ≠ 0) vµ y = a’x + b’
(a’ ≠ 0) song song víi nhau, c¾t nhau, trïng nhau; n¾m v÷ng kh¸i niÖm “Gãc t¹o bëi ®êng
th¼ng y = ax + b (a ≠ 0) vµ trôc Ox”, kh¸i niÖm hÖ sè gãc vµ ý nghÜa cña nã.
- RÌn luyÖn kü n¨ng vÏ thµnh th¹o ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a ≠ 0); x¸c ®Þnh ®îc
täa ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng c¾t nhau; biÕt ¸p dông ®Þnh lý Py-ta-go ®Ó tÝnh kho¶ng
c¸ch gi÷a hai ®iÓm trªn mÆt ph¼ng täa ®é.
¤n tËp ch¬ng 3:
HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
Môc ®Ých yªu cÇu:
- HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 3 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn; hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn; c¸c ph¬ng ph¸p
gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.
- RÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn; biÕt dùa vµo mèi quan hÖ
gi÷a c¸c hÖ sè ®Ó dù ®o¸n sè nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh; minh häc h×nh häc nghiÖm cña hÖ
ph¬ng tr×nh.
Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh,
lËp ph¬ng tr×nh
Môc ®Ých yªu cÇu:
Trªn c¬ së häc sinh ®· häc ë líp 8 vÒ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh gi¸o
viªn cung cÊp cho häc sinh ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh gióp häc
sinh n¾m ®îc c¸ch gi¶i vµ vËn dông vµo viÖc gi¶i c¸c bµi tËp
- Híng dÉn gióp häc sinh n¾m ®îc c¸ch ph©n tÝch bµi to¸n, lùa chän c¸ch ®Æt Èn, vµ
biÓu diÔn c¸c mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®Ó lËp nªn ph¬ng tr×nh
- Häc sinh rÌn luyÖn kü n¨ng tr×nh bµy bµi gi¶i vµ cã øng dông ®Ó gi¶i mét sè bµi
to¸n thùc tÕ
¤n tËp ch¬ng 3:
hµm sè y= ax2- ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
Môc ®Ých yªu cÇu
- HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 4 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n: §Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña hµm sè y = ax 2 (a ≠ 0); ®å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0);
ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn; hÖ thøc Vi-Ðt vµ c¸c øng dông
- RÌn luyÖn kü n¨ng vÏ ®å th× hµm sè y = ax 2 (a ≠ 0); t×m täa ®é giao ®iÓm cña c¸c
®å thÞ hµm sè bËc nhÊt vµ bËc hai; gi¶i thµnh th¹o ph¬ng tr×nh bËc hai b»ng c«ng thøc
nghiÖm; øng dông hÖ thøc Vi- Ðt ®Ó nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai; t×m hai sè khi
biÕt tæng vµ tÝch cña nã; gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai cã chøa tham sè.
PhÇn II : h×nh häc
¤n tËp ch¬ng 1 :
HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng
Môc ®Ých yªu cÇu:
- HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 1 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n: C¸c c«ng thøc ®Þnh nghÜa tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän; hiÓu vµ n¾m ®îc c¸c
hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¹nh, gãc, ®êng cao, h×nh chiÕu cña c¹nh gãc vu«ng trªn c¹nh huyÒn
cña tam gi¸c vu«ng; n¾m ®îc cÊu t¹o cña b¶ng lîng gi¸c
- RÌn luyÖn kü n¨ng lËp c¸c tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän mét c¸ch thµnh th¹o; sö
dông thµnh th¹o b¶ng lîng gi¸c hoÆc m¸y tÝnh bá tói ®Ó tÝnh c¸c tû sè lîng gi¸c hoÆc tÝnh
gãc; cã kü n¨ng lµm ®îc bµi to¸n gi¶i tam gi¸c vu«ng; vËn dông gi¶i ®îc mét sè bµi to¸n
trong thùc tiÔn.
¤n tËp ch¬ng 2:
§êng trßn
Môc ®Ých yªu cÇu:
- HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 2 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n: Sù x¸c ®Þnh ®êng trßn, tÝnh chÊt ®èi xøng, liªn hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y, liªn
hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m; vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn; vÞ trÝ t¬ng
®èi cña hai ®êng trßn; ®êng trßn néi tiÕp, ngo¹i tiÕp vµ bµng tiÕp tam gi¸c
- Häc sinh ®îc rÌn luyÖn c¸c kü n¨ng vÒ vÏ h×nh, ®o ®¹c, biÕt vËn dông c¸c kiÕn thøc
vÒ ®êng trßn ®Ó gi¶i mét sè bµi tËp tÝnh to¸n vµ chøng minh; tiÕp tôc ®îc tËp dît kü n¨ng
quan s¸t vµ dù ®o¸n, ph©n tÝch t×m c¸ch gi¶i, ph¸t hiÖn c¸c tÝnh chÊt, nhËn biÕt c¸c quan hÖ
h×nh häc trong thùc tiÔn vµ ®êi sèng.
¤n tËp ch¬ng 3:
Gãc víi ®êng trßn
Môc ®Ých yªu cÇu:
HÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc cña ch¬ng 3 gióp häc sinh nhí l¹i vµ n¾m ch¾c c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n: Gãc ë t©m, gãc néi tiÕp, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung, gãc cã ®Ønh ë
bªn trong ®êng trßn, gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn; quü tÝch cung chøa gãc, ®iÒu kiÖn
®Ó tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn, c¸c ®a gi¸c ®Òu néi tiÕp vµ ngo¹i tiÕp ®êng trßn; c¸c c«ng
thøc tÝnh ®é dµi ®êng trßn, cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn, h×nh qu¹t trßn.
- Häc sinh ®îc rÌn luyÖn c¸c kü n¨ng ®o ®¹c, tÝnh to¸n vµ vÏ h×nh; rÌn luyÖn c¸c kh¶
n¨ng quan s¸t, dù ®o¸n, rÌn luyÖn tÝnh cÈn thËn chÝnh x¸c; n¾m ch¾c viÖc ®Þnh nghÜa kh¸i
niÖm h×nh häc vµ tr×nh bµy chøng minh h×nh häc.
Híng dÉn gi¶i ®Ò thi
Môc ®Ých yªu cÇu:
- Híng dÉn häc sinh c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó vËn dông vµ thö søc lµm hoµn thµnh
mét ®Ò thi. Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c ®Ò cña häc sinh ®Ó gi¸o viªn tæng hîp, nªu nhËn xÐt,
ph¸t hiÖn ra nh÷ng lçi häc sinh cßn m¾c ph¶i; kiÕn thøc nµo häc sinh cha n¾m ch¾c ®Ó tõ
®ã cã ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp víi tõng ®èi tîng häc sinh
- Häc sinh ®îc tù gi¸c huy ®éng, vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®îc ®Ó gi¶i c¸c ®Ò
thi. Tõ ®ã còng cè thªm cho m×nh vèn kiÕn thøc vµ ¸p dông mét c¸ch s¸ng t¹o vµo tõng bµi
to¸n cô thÓ.
B. néi dung «n tËp
Buæi 1:
Ngµy d¹y: 21/10/...........
TiÕt 1-2:
Nh¾c l¹i vÒ c¨n bËc hai
A.Mục tiêu:
* HS coù khaû naêng :
- Bieát tìm ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa moät caên thöùc baäc hai
- Bieát coäng tröø caùc caên baäc hai ñoàng daïng
- Bieát bieát bieán ñoåi ñôn giaûn, ruùt goïn bieåu thöùc coù chöùa caên thöùc baäc hai
B Néi dung:
I. ¤n lÝ thuyÕt:
x 0
1. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai sè häc: x a 2
a
x
A
A2 A
A
2. H»ng ®¼ng thøc
2
a
víi a 0
nÕu A
0
II. Bµi tËp:
nÕu A < 0
Bµi 1: T×m nh÷ng kh¼ng ®Þnh ®óng trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau:
a, C¨n bËc hai cña 0, 81 lµ 0,9.
b, C¨n bËc hai cña 0, 81 lµ 0,9.
c, 0,81 = 0,9.
d, C¨n bËc hai sè häc cña 0, 81 lµ 0,9.
e, Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc hai.
f, 0,81 =- 0,9.
VËy c¸c kh¼ng ®Þnh ®óng lµ: b, d, e.
Bµi 2: Rót gän biÓu thøc sau:
a,
2
b, 9 4 5
31
5 2
2
2
3 1 3 2 =
5 1
2
5 1 =
3 1
3 1 3 2 3 1
= 5 4 5 4 5 1 =
5
2
3 1 3 2 3 2 2
2. 5.2 2 2 5 1 =
5 2 5 1 = 5 2 + 5 1 =2 5 1
c, 25 49 2 16
d,
x 5 . x
x2 5
=
x 5
x 5
5
= x
5
x - 4 + 4 - x
0
e, x - 4 + 16 8x x 2 = x - 4 + 4 x 2 = x - 4 + 4 x =
=
x - 4 + x - 4
2x - 8
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ:
a, x 2 2 5
x 2 5
x 2 5
x 2 5
x 7
x 3
VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 7; x2 = -3
b, x 2 6 x 9 10 x 3 2 10
VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 13;
Bµi 4: Rót gän biÓu thøc.
a, 9 x 25 x 16 x (víi x 0 )
c,
12
x 3 10
x 3 10
x 3 10
x2 = -7
b,
12
1
31
1.
1
3 1
3 1
3 1 . 3 1
3 1 1.
= 12.2 3 27.2 3 3 2.2 3 6 6
=
= 2 36 2 81 6 6 6 6
=
= 2.6 2.9 12 18 30
= 2 3 3
Bµi 5: So s¸nh
500
1
3 1
b, 2 5 45 500
= 2 5 32.5 102.5
= 2 5 3 5 10 5
= 5 5
d,
27 3 2 .2 3 6 6
45
1
31
d,
27 3 2 .2 3 6 6
Híng dÈn häc sinh
Ta cã:
a, 9 x 25 x 16 x (víi x 0 )
= 32 x 52 x 42 x
=3 x 5 x 4 x
=4 x
c,
2 5
3 1 3 1
3
2
12
2
1
2007 2006
vµ
1
2008 2007
Híng dÈn häc sinh
Ta cã:
1
=
2007 2006
1
=
2008 2007
1.
2008
Mµ
2007 2006
2007
1.
2006 .
2007 2006
2008 2007
2007 .
2008 2007
2007 2006 <
1
<
2007 2006
= 2007 2006
= 2008 2007
2008 2007
1
2008 2007
x 13
x 7
* Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 2:
TiÕt 3-4
Ngµy d¹y: 27/10/...........
Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng
A Môc tiªu:
- Cñng cè c¸c hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng.
- BiÕt vËn dông c¸c hÖ thøc trªn ®Ó lµm c¸c bµi tËp, øng dông c¸c hÖ thøc trªn vµo
thùc tÕ ®Ó tÝnh to¸n.
- RÌn cho häc sinh cã kü n¨ng tÝnh to¸n chÝnh x¸c.
B Néi dung:
I.Lý thuyÕt
A
+ b2 = ab’
+ c2 = ac’,
+ h2 = b’c’
+ a.h = b.c
1
1 1
+ 2 2 2
h
a
b
II .Bµi tËp
1)Bµi tËp 1
TÝnh x? y?
Gi¶i.
Trong tam gi¸c vu«ng ABC ta cã:
AH2 = BH.HC ( Theo ®Þnh lý 2 )
22 = 1.x x = 4.
AC2 = AH2 + HC2 ( Theo ®Þnh lý Pytago)
AC2 = 22 + 42
AC2 = 20
y = 20 2 5
2)Bµi tËp 2
TÝnh h ? x, y ?
Gi¶i. TÝnh h.
1
1 1
Ta cã 2 2 2 ( ®/l1)
h
3 4
2
2
2
1
4
3
5
2 2 2 2 2
h
3 .4
3 .4
3.4
h
2,4
5
ta l¹i cã 32 = x.a ( ®/l 1 )
b
c
h
b'
c'
b
h
c
a
A
y
2
x
1
B
H
C
4
3
h
x
y
a
9
7
x
y
32 9
x 1,8
a 5
y = a - x = 5 - 1,8 = 3,2
3)Bµi 3
TÝnh x, y ?
y 72 9 2
( §Þnh lý Pytago)
y 130
mµ
x.y = 7.9 (Theo hÖ thøc a.h= b.c)
63
63
x
y
130
* Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 3:
Ngµy d¹y: 03/11/...........
TiÕt 5-6: BiÕn ®æi biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
A Môc tiªu:
- Bieát tìm ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa moät caên thöùc baäc hai
- Bieát coäng tröø caùc caên baäc hai ñoàng daïng
- Bieát bieát bieán ñoåi ñôn giaûn, ruùt goïn bieåu thöùc coù chöùa caên thöùc baäc hai
- Bieát moät soá daïng toaùn lieân quan.
B Néi dung:
I. Lý thuyÕt:
x 0
2
x a
A víi A 0
A2 A
A víi A 0
1. a C 0, a x
3.
4.
2. Điều kiện tồn tại của
A là A 0.
A.B A. B với A 0, B 0
Tổng quát:
A1 A2 ... A n A1 . A2 ... An với Ai 0 ( 1 i n ).
5. Với A 0, B 0 ta có:
A
A
B
B
6. Khi đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|
A2 B A B
7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: A B A2 B với A 0
A B A2 B với A < 0
8. Khử mấu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:
Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương:
A
A.B
1
A.B ( B 0, A.B 0 )
2
B
B
|B|
9.Trục căn thức ở mẫu số:
Gồm các dạng cơ bản sau:
+
A
A. B
B
B
( Lưu ý: Nhân cả tử và mẫu với thừa số thích hợp để mẫu thành bình phương )
+
m
m( A B )
A B
A B
m
m( A B )
A B
A B
+
Một số lưu ý:
- A2 0 | A |0 A 0
- Muốn tìm các giá trị của x ( hoặc y,...) để
A 0 . Nếu biểu thức có dạng
A có nghĩa ta giải bất phương trình
m
ta giải bất phương trình A > 0.
A
- Khi giải phương trình chứa dấu căn bậc hai ( phương trình vô tỷ ) ta biến đổi về
dạng:
m 0
A( x ) m
2
A( x) m
II. Mét sè bµi tËp:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
a. 2 x 1
1
x 7
b.
1
Giải: a. 2 x 1 có nghĩa 2x - 1 0 2x 1 x
b.
x 7 0
1
có nghĩa
x 7
x 0
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a. 45 20
2
x 49
x 7
x 0
x 0
b. ( 3 5)( 3 5) 2
c.
1
6
2
3
2
3
2
3
d. 8 2 15
Giải: a. 45 20 = 9.5 4.5 3 5 2 5 (3 2) 5 5 5
2
2
b. ( 3 5)( 3 5) 2 = 3 5 2 3 5 2 0
c.
1
6
2
3
2
1
3
6
=
2
3
2
3.2
2.3 1
1
1
3 2 6
6 3. 6 6
2
2
3
2
2
3
d. 8 2 15 = 8 2. 3. 5
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
21 3
15 3
71
1 5
b
a
a b b a
c.
ab b
a ab
2
a.
2
3 2. 3. 5 5 ( 3 5) 2 3 5
b. 5 2 x 2 8 x 7 18 x với x 0
Giải:
a. Gợi ý: Phân tích 21 3 và 15 3 thành nhân tử rồi rút gọn cho mẫu.
b. 5 2 x 2 8 x 7 18 x = 5 2 x 2 4.2 x 7 9.2 x 5 2 x 2.2 2 x 7.3 2 x
= 5 4 21 2x = 22 2x
b
a
b
a b b a =
ab b
a ab
a( a
b. b a . a
a . b ( a b )
=
a
.
b
(
a
b
)
c.
b)
a
b( a
a b( a
b )
= b . b a . a = b - a ( rút gọn tử và mẫu )
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a. 5 2 x 1 21
Giải:
b. 4 x 20 3 5 x 7 9 x 45 20
a. 5 2 x 1 21 5 2 x 21 1 2 x
20
4
5
2
2 x 42 2 x 16
16
x =8
2
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 8
b. ĐK: x + 5 0 x -5
4 x 20 3 5 x 7 9 x 45 20
4( x 5) 3 5 x 7 9( x 5) 20
2 x 5 3 5 x 7.3 x 5 20 (2 3 21) x 5 20
20 x 5 20 x 5 1 x 5 1 x = 1 - 5 = -4 ( thỏa ĐK )
Vậy phương trình có một nghiệm x = -4
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
1. Tính giá trị của biểu thức:
b)
a. 2 3 (2 3) 2
c.
28 12
7
b.
7 2 21
e. (2 5 3)(2 5 3)
5 5 5 5
5 5 5 5
d. 17 3 32 17 3 32
1
3
4
3) : 3
3
b.
3
3x
2
3x 5
b.
a 1
1
: 2
a a a a a a
f. (
2. Tìm x biết:
a. 9 x 2 6 x 1 2
1
3x
2
3. Rút gọn biểu thức:
a.
a b 2 ab
a b
a b
a b
x
x x 4
.
x 2 4 x
x 2
4. Cho biểu thức M =
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức M.
c. Tìm x để M > 3.
* Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 4:
TiÕt 7-8
Ngµy d¹y: 10/11/...........
LuyÖn tËp mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc
trong tam gi¸c vu«ng
A Môc tiªu:
- Cñng cè c¸c hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng.
- BiÕt vËn dông c¸c hÖ thøc trªn ®Ó lµm c¸c bµi tËp, øng dông c¸c hÖ thøc trªn vµo
thùc tÕ ®Ó tÝnh to¸n.
- RÌn cho häc sinh cã kü n¨ng tÝnh to¸n chÝnh x¸c.
B Néi dung:
I. Lý thuyÕt: HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng
Cho
1.
2.
3.
4.
ABC vu«ng t¹i A ®êng cao AH víi c¸c kÝ hiÖu qui íc nh h×nh vÏ
b 2 a.b '
c 2 a.c '
h 2 b '.c '
a.h b.c
1
1 1
2 2
2
h
b c
I. Bµi tËp:
1. Bµi tËp 1:
+) XÐt ABC vu«ng t¹i A
Ta cã: BC2 = AB2 + AC2 ( ®/l Pytago)
y2 = 72 + 92 = 130
y = 130
+) ¸p dông hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ta cã:
AB . AC = BC . AH ( ®/lÝ 3)
AB.AC
7.9
63
63
AH =
x=
BC
130
130
130
2. Bµi tËp 2:
GT ABC (A= 900)
AH BC, AH = 16 ; BH = 25
KL a) TÝnh AB , AC , BC , CH
b) AB = 12 ;BH = 6
TÝnh AH , AC , BC , CH
Gi¶i :
a) +) XÐt AHB ( H= 900)
Ta cã: AB2 = AH 2 + BH 2 (§Þnh lÝ Pytago)
AB2 = 162 + 252
AB2 = 256 + 625 = 881
AB = 881 29,68
+) ¸p dông hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong ABC vu«ng t¹i A ta cã :
AB 2 881
35,24
AB 2 = BC.BH BC =
BH
25
L¹i cã : CH = BC - BH = 35,24 - 25 CH = 10,24
Mµ AC2 = BC . CH =35,24 . 10,24 = 360,8576
AC = 360,8576 18,99
b) XÐt AHB ( H= 900)
Ta cã: AB2 = AH 2 + BH 2 (§/lÝ Pytago)
AH 2 = AB2 - BH 2
AH 2 = 122 - 6 2 = 144 - 36 = 108
AH 2 = 108 AH = 108 10,39
Theo hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã :
AB2 = BC.BH (§/lÝ 1)
2
2
BC = AB 12 24
BH
6
Cã HC = BC - BH = 24 - 6 = 18
Mµ AC 2 = CH.BC ( §/L 1)
AC2 = 18.24 = 432
AC = 432 20,78
3. Bµi tËp 3:
GT
AB 5
AC 6
AH = 30 cm
KL TÝnh HB , HC
Híng dÈn häc sinh
- XÐt ABH vµ CAH
Cã AHB=AHC=900
AHB=CAH (cïng phô víi gãc BAH)
ABH S CAH (g.g)
AB AH
CA CH
5 30
6 CH
CH
+) MÆt kh¸c BH.CH = AH2 ( §/L 2)
BH =
AH 2 30 2
25
CH
36
( cm )
30.6
36 m
5
AB 5
AC 6
VËy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm )
Buæi 5:
TiÕt 9-10
Ngµy d¹y: 17/11/...........
LuyÖn tËp mét sè phÐp biÕn ®æi biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
I Môc tiªu
- LuyÖn tËp cho häc sinh c¸c phÐp tÝnh, c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ c¨n bËc hai.
- Thµnh th¹o t×m c¨n bËc hai cña mét sè kh«ng ©m b»ng m¸y tÝnh bá tói, tr×nh bµy khoa
häc chÝnh x¸c.
- VËn dông c¸c phÐp biÕn ®æi CBH vµo thùc hiÖn rót gän biÓu thøc
- RÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch gi¶i tam gi¸c vu«ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n vµ vËn dông c¸c
c«ng thøc linh ho¹t chÝnh x¸c.
II Néi dung
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc:
a, 2 50 3 450 4 200 : 10
b, 2 2 . 5 2 3 2 5
c,
2
2
3 1
3 1
d, 5 5 5 5
2
5 5
5
5
e, a a a a ( víi a > 0; a 1)
a a
a
a
Híng dÈn häc sinh
a, 2 50 3 450 4 200 : 10
c,
= 2 50 3 450 4 200
=
= 2 5 3 45 4 20
=
10
10
10
= 2 5 9 5 8 5 = 3 5
= 10 2 10 18 30 2 25
2.
3 1
3 1 . 3 1
3 1 2.
2 3 22 32
3
2
1
= 4 3
= 2 5 3 32.5 4 2 2.5
b, 2 2 . 5 2 3 2 5
2
2
3 1
31
2
3 1
= 4 3 2 3
2
d, 5 5 5 5
5 5 5 5
=
5 5 . 5 5 5 5 . 5 5
5 5 . 5 5
= 20 2 33
Bµi 2:
=
T×m x biÕt:
a) x 3 5
a) x 3 5
25 10 5 5 25 10 5 5
x 3
2
52
x 3 25
x 28 (tm®/k)
x 3
2
10
7 2
x 12 x 8 27 18
x 22.3 x 2 2.2 32.3
x 3 10
x 3 10
x 13
x 7
a,
b) x 12 18 x 8 27
x 3 10
Bµi 4:
2x 1
b) x 12 18 x 8 27
Híng dÈn häc sinh
x 2 6 x 9 10
2
2 x 1 49
2 x 50
x 25 (tm®/k)
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) x 2 6 x 9 10
a)
5
32.2
2 x 3 2 x 2 3 3 3 2
2x
3
2 3.
3
2
x
3
2
Rót gän biÓu thøc:
A = a a a a ( víi a > 0; a 1)
a a
a
a
2
=
a a a a
a a . a a
2
=
a 2 2a a a a 2 2a a a
a2
a
2
2
2a. a 1
2 a 1
= 2a 2 2a =
=
a. a 1
a a
VËy A =
b,
B = 1
a 1
2 a 1
a 1
a a a a
. 1
a 1
a 1
Ta cã: B = 1
a.
a 1
. 1
a 1
( víi a > 0; a 1)
a.
a1
a1
2
Bµi 5
60
3
20
1
§iÒu kiÖn 2x - 1 0 x
§iÒu kiÖn x - 3 0 x 3
5
=
2
b) 2 x 1 7
Híng dÈn häc sinh
b) 2 x 1 7
3
2
2
= 1 a .1 a = 1 a = 1 - a
VËy B = 1 - a
( §Ò thi vµo THPT n¨m häc 2006 - 2007)
Cho biÓu thøc: P a 3
a 2
a1 4 a 4
4 a
a 2
( víi a > 0; a 4)
a, Rót gän biÓu thøc P
b, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P khi a = 9
Híng dÈn häc sinh
P
a, Ta cã:
a 3
a 2
a1 4 a 4
4 a
a 2
a 3 .
a 2
a1 .
a 2 .
a 2 4 a 4
a 2
a 3 a 2 a 6 a 2 a a 2 4 a 4
a 2 .
4
4 a 8
a 2 .
VËy P =
a 2
a 2
a 2
a 2 .
a 2
4
a 2
4
a 2
b, Thay a = 9 vµo biÓu thøc P ta ®îc:
P=
4
4
4
9 2 3 2
VËy khi a = 9 th× P = 4.
Bµi tËp vÒ nhµ:
1 Rót gän biÓu thøc:
a, 9 x 25 x 16 x (víi x 0 )
c,
2 3
2
-
25
+
3
3
b,
d,
2 5
45
500
1
1
2 2 3 2 2 3
2 Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
A=
x
2x + 2
- 2
2
xy - 2y
x + x - 2xy - 2y
Víi x 1, y 0 vµ y = 4 + 2 3
1
a - a2
1+ a
1- 2a
víi a =
+ 2
2
2
1- a
a + 2a + 1 1- a
1
2
+ 1 víi x > 0; x 0
C=
x +2
x- 2
B=
Buæi 6:
TiÕt 11-12
Ngµy d¹y: 1/12/............
LuyÖn tËp mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc
trong tam gi¸c vu«ng
I Môc tiªu
- Cñng cè c¸c hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng.
- BiÕt vËn dông c¸c hÖ thøc trªn ®Ó lµm c¸c bµi tËp, øng dông c¸c hÖ thøc trªn vµo
thùc tÕ ®Ó tÝnh to¸n.
- RÌn cho häc sinh cã kü n¨ng tÝnh to¸n chÝnh x¸c.
II Néi dung
A
A.Lý thuyÕt :C¸c hÖ thøc
+ b2 = ab’
c2 = ac’,
+ h2 = b’c’
b
c
+ a.h = b.c
h
1
1 1
+ 2 2 2
b'
c'
h
a
b
B.Bµi tËp
b
h
c
a
Bµi 1 Tìm x, y vaø z trong moãi hình sau (laáy 3 chöõ soá thaäp phaân)
x
Bµi 2 Cho tam giaùc DEF coù EF = 7 cm, D̂ = 400, F̂ = 580.
Keû ñöôøng cao EI cuûa tam giaùc ñoù. Haõy tính (laáy 3 chöõ soá thaäp phaân) :
a/ Ñöôøng cao EI
b/ Caïnh EF
Baøi3
K
Gt
Hv ABCD, I AB
DI caét CB taïi K
B
C
A
D
I
L
DL DI ( L BC)
Kl
a) DIL caân
1
1
1
1
b) DI 2 + DK 2 khoâng ñoåi
Giaûi
a) Xeùt hai tam giaùc vuoâng DAI vaø DLC coù
A = C = 900
DA = DC (caïnh hình vuoâng )
ADI = LDC ( Cuøng phuï vôùi IDC )
DAI = DLC ( g.c.g )
DI = DL Neân DIL caân taïi D
1
1
b) Ta coù DI 2 + DK 2 = DL2 + DK 2 (1)
DKL vuoâng taïi D coù DC laø ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh huyeàn KL neân
1
DL2
1
1
+ DK 2 = DC 2 (2)
Maët khaùc DC khoâng ñoåi ( DC laø caïnh hình vuoâng ) DC2 khoâng ñoåi .Neân töø (1) vaø (2)
1
DL2
1
DI 2
1
1
1
1
+ DK 2 = DC 2 khoâng ñoåi
+ DK 2 = DC 2 khoâng ñoåi khi I thay ñoåi treân caïnh AB
Bµi 4.
Ta gäi bé ba sè nguyªn d¬ngt¬ng øng víi ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸cvu«ng lµ bé sè
Pytago. T×m bé sè Pytago trong c¸c sè díi ®©y.
a, ( 3; 4; 5 )
b, ( 9; 12; 15 )
c, ( 3n, 4n, 5n ) ( n nguyªn d¬ng )
d, C¶ ba bé trªn.
Bµi 5 Tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng lµ 5cm vµ 7 cm. NghÞch ®¶o ®é dµi ®êng cao øng víi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ :
74
74
a, 74
b,
c,
d, 74
1225
35
35
35
Bµi 6.
Cho tam gi¸c ABC cã H lµ ch©n ®êng cao kÎ tõ A, M lµ trung ®iÓm cña AC. T×m kÕt luËn
sai trong c¸c kÕt luËn sau.
a, AB2 + AC2 = BC2 suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B.
b, AB2 = BC.BH suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A.
c, AC2 = BC.CH suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A.
AC
d, BM =
suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B.
2
Bµi 7. H·y khoanh trßn ch÷ c¸i ®øng tríc kÕt qu¶ ®óng.
A
9
4
a, B
A. 6,5 ;
C §é dµi ®êng cao AH b»ng :
H
B.6
;
C. 5
b, §é dµi c¹nh AC b»ng
A. 13;
B. 13 ;
C 3 13
C Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 1: Cho h×nh vÏ: TÝnh kho¶ng c¸ch AB
Hd Híng dÈn häc sinh
+) XÐt BHC vu«ng c©n t¹i H
HB =HC ( t/c tam gi¸c c©n) mµ HC = 20 m
Suy ra HB = 20 m
+) XÐt AHC vu«ng t¹i H cã HC = 20m; CAH = 300
Suy ra AH =HC. CotgCAH= 20.cotg 300 =20. 3
VËy AB = AH - HB =20. 3 - 20 =20. 3 1 14,641 (m)
Bµi 2 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH. BiÕt AB = 20; AC = 15 .
a) TÝnh c¹nh huyÒn BC
b) TÝnh BH, HC, AH
*Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 7:
TiÕt 13-14
Ngµy d¹y: 08/12/...........
LuyÖn tËp vÒ rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
I Môc tiªu
- LuyÖn tËp cho häc sinh c¸c phÐp tÝnh, c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ c¨n bËc hai.
- Thµnh th¹o biÕn ®æi rót gän biÓu thøc chøc c¨n thøc bËc hai tr×nh bµy bµi khoa häc.
- VËn dông c¸c phÐp biÕn ®æi CBH vµo thùc hiÖn rót gän biÓu thøc
II Néi dung
Bµi 1:
Rót gän biÓu thøc: Q x 1
x1
2 x 2
2 x 2
2
( víi x > 0; x 1)
x1
Híng dÈn häc sinh
Ta cã: Q x 1
2 x 2
2
x 1
x1
2
2.
x
1
2.
x
1
x1
x1
2 x 2
x 1
2. x 1 .
x 1
2
x 1
2.
x1 .
x 1
VËy biÓu thøc Q
x 2
2.
2 x 2
x 1
x 1 x 2 x 1 2 x 2
2.
2( x 1)
2.
x1 .
2
x1
x 1
x1 .
x 1
1
x 1
1
x 1
Bµi 2
1
Rót gän biÓu thøc: A
x 3
1
1
.1
( víi x > 0; x 9)
x 3
x
Híng dÈn häc sinh
1
1
3
. 1
x 3
x
Ta cã: A
x 3
1.
x 3 .
x 3 . x 3
x 3 1.
Bµi 3
M (
x 3 .
x 3 .
VËy A
x 3
6
. x 3
x. x 3
x
x 3
6
x 3
x
x 3 x 3
.
x
x 3
6
x.
x 3
Cho biÓu thøc:
3 a
3a
a ab b a a b b
1
a
b
):
(a 1)( a b )
2a 2 ab 2b
a, Rót gän
b, T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña a ®Ó M nguyªn
Gi¶i
2
a, Rót gän :
M=
a 1
b, §Ó M nguyªn th× a-1 ph¶i lµ íc cña 2
a - 1 = 1 => a = 2
a - 1 = -1 => a = 0 ( lo¹i )
a - 1 = 2 => a = 3
a - 1 = -2 => a = -1 ( lo¹i )
VËy M nguyªn khi a = 2 hoÆc a = 3
1
1
1
a 1
Bµi 4
Cho biÓu thøc: A
a1
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn
Gi¶i
A
a 1 ( a 1)
a 1 a 1
2
1
1
1
a1
a1
a1
§Ó A nguyªn th× a - 1 lµ íc cña 2
Tæng qu¸t : §Ó gi¶i to¸n t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc nguyªn ta lµm theo c¸c bíc sau:
Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn
Bíc 2: Rót gän vÒ d¹ng
f (x)
a
hay
a
f (x)
NÕu f ( x ) th× f(x) lµ béi cña a
a
NÕu
a
f (x )
th× f(x) lµ íc cña a
Bíc 3: C¨n cø vµo ®iÒu kiÖn lo¹i nh÷ng gi¸ trÞ ngo¹i lai
D¹ng: To¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa c¨n nhiÒu tÇng.
VÝ dô : TÝnh A 6 2 2 12 18 128
Ta cã : 18 128 4 8 2 2 (4 2 ) 4 2 4 2
2
2 12 4
2
2
12 4 3 2 3 1 ( 3 1) 2 3 1
A 6 2( 3 1) 6 2 3 2 4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1) 2 3 1
*Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 8:
TiÕt 15-16
Ngµy d¹y: 15/12/...........
§êng kÝnh vµ d©y cña ®êng trßn
I Môc tiªu
- Còng cè kiÕn thøc vÒ ®êng trßn, ®êng kÝnh vµ mèi liªn hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cña ®êng trßn
- RÌn kû n¨ng vËn dông vµ lËp lu©n trong gi¶i bµi to¸n h×nh häc
II Néi dung
1. §Þnh nghÜa ®êng trßn:
Ñöôøng troøn taâm O baùn kính R (R > 0).
Kí hieäu (O,R) laø hình goàm caùc ñieåm caùch ñieåm O moät khoaûng baèng R .
2. C¸c c¸ch x¸c ®Þnh 1 ®êng trßn:
Cã 3 c¸ch x¸c ®Þnh 1 ®êng trßn lµ:
+) C¸ch 1: BiÕt t©m O vµ b¸n kÝnh R th× x¸c ®Þnh (O; R)
AB
+) C¸ch 2: Mét ®o¹n th¼ng AB th× x¸c ®Þnh O; víi O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
2
AB
+) C¸ch 3: Qua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng th× x¸c ®Þnh 1 vµ chØ 1 ®êng trßn (O;R)
Bµi 1 Chøng minh r»ng: Trong tam gi¸c vu«ng ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn b»ng
nöa ®é dµi c¹nh huyÒn.
GT: Cho ABC (A=900) MB = MC =
KL: AM =
1
BC
2
1
BC
2
Híng dÈn häc sinh
+) KÎ MK AB MK // AC
+) XÐt ABC cã MB = MC =
1
BC (gt)
2
AK = KB
MK // AC
(gt)
+) XÐt ABM cã MK AB; AK = KB ABM c©n t¹i M
1
1
1
AM = MB = BC mµ MB = MC = BC AM = MB = MC = BC
2
2
2
Bµi 2
Tø gi¸c ABCD cã B=D=90 .
a) Chøng minh r»ng 4 ®iÓm A, B, C, D cïng n»m trªn 1 ®êng trßn.
b) So s¸nh ®é dµi AC vµ BD. NÕu AC = BD th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh g× ?
Híng dÈn häc sinh
0
1
a) Gäi O lµ trung ®iÓm cña AC OA = OC = AC (1)
2
+) XÐt ABC vu«ng t¹i B cã OA = OC
OB lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn AC
1
(2)
AC
2
+) XÐt ADC vu«ng t¹i D cã OA = OC
OD lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn AC
1
OD = AC
(3)
2
1
Tõ (1) (2), vµ (3) OA = OB = OC = OD = AC
2
AC
VËy 4 ®iÓm A, B, C, D cïng thuéc 1 ®êng trßn O;
2
OB =
AC
b) NÕu AC = BD AC, BD lµ c¸c ®êng kÝnh cña ®êng trßn O;
ABC=BCD=CDA=DAB=90
Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt.
2
0
Bµi 3 Cho ABC cã 3 gãc nhän. C¸c ®êng cao AD; BE; CK c¾t nhau t¹i H
CMR:
a) 4 ®iÓm B; C; E; K cïng n»m trªn 1 ®êng trßn. H·y x¸c ®Þnh t©m vµ
b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã.
b) 4 ®iÓm A; B; E; D cïng n»m trªn 1 ®êng trßn.
Híng dÈn häc sinh
BC
a) Gäi O1 lµ trung ®iÓm cña BC BO1 = CO1=
2
+) XÐt BEC vu«ng t¹i E (AC BE)
EO1 lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn BC
BC
(1)
2
+) XÐt BKC vu«ng t¹i K (AB CK)
KO1 lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn BC
BC
KO1 = BO1 = CO1=
(2)
2
BC
Tõ (1); (2) KO1 = EO1 = BO1 = CO1=
2
EO1 = BO1 = CO1=
VËy 4 ®iÓm 4 ®iÓm B; C; E; K cïng n»m trªn 1 ®êng trßn t©m O1 vµ b¸n kÝnh
BC
.
2
b) Gäi O2 lµ trung ®iÓm cña AB ta còng chøng minh t¬ng tù 4 ®iÓm A; B; E; D cïng
n»m trªn 1 ®êng trßn t©m O2 vµ b¸n kÝnh
AB
.
2
*Rót kinh nghiÖm :
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Buæi 9
Ngµy d¹y: 23/12/2010
TiÕt 17-18
Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
Bµi tËp cã liªn quan
I Môc tiªu
- LuyÖn tËp cho häc sinh c¸c phÐp tÝnh, c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ c¨n bËc hai.
- Thµnh th¹o biÕn ®æi rót gän biÓu thøc chøc c¨n thøc bËc hai tr×nh bµy bµi khoa häc.
- VËn dông c¸c phÐp biÕn ®æi CBH vµo thùc hiÖn rót gän biÓu thøc
- RÌn kü n¨ng gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc
bËc hai.
II Néi dung
Bµi 1
Cho biÓu thøc:
1 1
1
1
1
A
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
a. Rót gän A.
b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhá nhÊt.
Híng dÈn häc sinh
a.
Rót gän ®îc:
1
x 1
x
b. A nhá nhÊt nÕu mÉu x 1 x lµ lín nhÊt
2
x K ta cã K(1- K) = -K + K
-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)2 - 1/4]
MÉu nµy lín nhÊt khi: -[(K-1/4)2- 1/4] lµ nhá nhÊt
Vµ nã nhá nhÊt khi: K= 1/4
Hay x 1 / 4 x 1 / 2
=>A nhá nhÊt =4
Bµi 2
Cho biÓu thøc:
Gäi
M
15 x 11
x2 x 3
3 x 2
2 x 3
1
x
x 3
a, Rót gän
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x
Bµi 3
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
x2
M 4
x x2 1
Híng dÈn häc sinh
Ta nhËn thÊy x = 0 => M = 0. VËy M lín nhÊt x≠ 0.
Chia c¶ tö vµ mÉu cho x2
1
VËy M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt
1
x2 2 1
x
MÉu nhá nhÊt khi x 2 12 nhá nhÊt
x
1
1
2
2
x 2 0 VËy x 2 nhá nhÊt x =1
x
x
M
VËy
Bµi 4
M
1
1
2 1 3
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
Y x2 x 1
x 2 x1
Híng dÈn häc sinh
Y x 1 2 x 1 1
x 1 1 1
x 1 1
2
x 1 2 x 1 1
( x 1 1) 2 ( x 1 1) 2
x 1
BiÕt r»ng |A| + |B| ≥|A + B|
(1
x 1) 2
- Xem thêm -
.DOC 
141 
61 
132 
