WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu
uuu
r(gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
r r r u
r
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,...
B
a
A
b
uuu
r uuu
r
(Chú ý: AB �BA )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
r
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
uuuur uuu
r
Ví dụ: MM , AA ,....
uuu
r r
uuu
r
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ
uuu
r
không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
r
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí
uuu
r
r
hiệu là | a |,
| AB | AB BA
Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
r
r
r r
Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
uuu
r uuu
r r r
AA BB = 0 , | 0 |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD.
Tìm
r
A
B
a) Tất các vectơ khác 0 ;
o
b) Các vectơ cùng phương;
D
c) Các vectơ bằng nhau.
C
Các kí hiệu thường gặp
uuur
uuur
uuur uuur
kí hiệu: AB // CD
AB cùng phươnguuCD
ur
uuur
uuur
uuur
kí hiệu: AB CD
AB cùng hướng CD
uuur
uuur
uuur
uuur
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD
-1-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
r uuu
r
r uuu
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau
{A,B},
{A,C},
{A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
r
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
r
r
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
r
uuuu
r
AM cùng phương a
Giải
m
r
r
Gọi là giá của a
r
uuuu
r
a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
r
uuuu
r
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
r r
� r r
| a || b |
r
+ Sử dụng định nghĩa: r uu
�� a b
a, b cuøng höôùng �
+ Sử dụng
chất
bình hành thì
uuu
rtínhuuu
r ucủa
uur các
uuurhình . Nếu ABCD là hình
A
B
AB DC , BC AD ,…
o
r(hoặc
r rviếtr ngược
r lại)
r
D
+ Nếu a b, b c � a c
C
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC
uuurcó D,
uuurE, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
E
F
uuur uuur
1
EF= BC=CD EF=CD EF CD (1)
2
uuur
uuur
CD (2)
EF cùng hướng
uuur uuur
C
B
D
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
uuur uuur
1
EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
2
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, Kuulà
điểm
DM
M
D
uu
rgiao
uuu
r uuurcủauu
r và CN.
C
Chứng minh: AM NC , DK NI
Giải
I
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
K
uuuu
r uuur
AM NC
Tương tự MCDN
hình
bình hành nên K là trung điểm
B
N
uuur ulà
uuu
r
A
của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
uur uuuur uuur uur
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
-2-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giải
uuu
r uuur
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùngr nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
uuuu
r r
a) AM = a ;
r
r
uuuu
r
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
r
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
r
AM1=AM2=| a |
d
Khiuuđó
ta
có:
r
uur r
a
a) AM1 = a
A
uuuur uuuuu
r
r
b) AM1 = AM 2 cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có
trực
uuuH
r làuu
uur tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: AH B ' C .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
uuur
uuur
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
uuurP,uQ,
uur Ruulần
u
r
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
-3-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi
uuurM, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
uuur
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
uuur
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
uuuu
r
uuur
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF
có tâm O uuu
r
r
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
uuur
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
uuur
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD
r có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
uuu
r uuu
a) bằng vectơ AB ; OB
uuu
r
b) Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
uuu
r uuur
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
uuu
r uuur
uuur uuur
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Bài 12 : Xác địnhuvị
phân
uurtrí tương đối củauu3u
uuu
r biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
uuu
r
rđiểm
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
uuur
uuu
r
b) AB và AC ngược hướng;
uuur
uuu
r
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
uuur r
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
P
B
R
Q
C
Bài 6:
A
B
M
N
O
D
-4-
WWW.ToanCapBa.Net
C
WWW.ToanCapBa.Net
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF
uuur uuur uuur
b) OC , ED, FO
c)+
u
uur Trên
uuu
rtia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' AB
uuur
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy
uuuC’
u
r sao
uuu
rcho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+uu
tương
u
r uutự
ur uuu
r uuur
Bài 8: a) AB DC , OB DO
uuu
r
uuur
uuur
uuur
b) | OB || BO || DO || OD |
A
B
O
D
C
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
AB // CD
AB CD
AB // CD
AB DC
*
AB CD
Chứng minh chiều :
* AB = DC AB , DC cùng hướng và AB DC
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
CD
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
* AB u
uu
r uuur
uuur uuur
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
AC
2
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác địnhuvị
phân
uurtrí tương đối củauu3u
uuu
r biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
uuu
r
rđiểm
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
uuur
uuu
r
b) AB và AC ngược hướng;
uuur
uuu
r
c) AB và AC cùng phương;
uuur
uuu
r
uuu
r uuur
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
uuur
uuu
r
b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng
uuu
r uuurhay ngược hướng uuu
r uuur
+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
-5-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
uuur r
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r
HD: Ta có AM BA; NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP
uuurcũngr là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
-6-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : MQ = NP
1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN
b/ Xác định các vectơ bằng NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI = CB
b/ AI = IB = DC
4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN
a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0
-7-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB
= a , BC
=b.
B
Khi đó a + b = AC
b
a
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ
uuu
r uuur . uuAur
c
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
C
uuu
r uuur uuur
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B
C
2. Vectơ đối
A
D
+ Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ
r
a +(- a )= 0
a , kí hiệu là - a
uuu
r
uuu
r
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là
uuu
r
uuu
r
= - BA
AB
r
r
+ vectơ đối của 0 là 0 .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
�
�
Định nghĩa: a - b = a +(- b )
Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
(hoặc OA OB BA )hay AB OB OA
OB
OA
AB
r r r
4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có:
r r r r
+ Giao hoán : a b = b a
r
r
r
r
r
r
( a b ) + c = a (b + c )
r r r r r
+ a +0=0+a =a
r
r
r r r
+ a +( a )= a + a = 0
A
r r
r r
r r
+ | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng.
r r
r
r r r r
r
+ a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a |
r r
r r r r
+ a =b a + c =b + c
G
r r r
r r r r r r
+ a +c =b a =b c , c =b a
r r r r r r r r r r r r
+ a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c
I
B
Ghi chú:
uu
r uur r
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0
uuu
r uuu
r uuur r
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
+ Kết hợp
C
D
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình
hành
ABCD.
điểm
M
uuu
r uu
uu
r uuuu
rHaiuu
ur uuu
r vàuuN
ur lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng NC MC ; AM CD; AD NC
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
b) Chứng minh : AM AN AB AD
-8-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giải: uuuu
r uuur
a) + Vì MC AN nên ta có
uuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuur uuur
NC MC = NC AN = AN NC = AC
uuur uuu
r
+Vì CD BA nên ta có
uuuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r uuuu
r
AM CD = AM BA = BA AM = BM
uuur uuuu
r
+Vì NC AM nên ta có
uuur uuur
uuur uuuu
r uuur
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
uuuu
r uuur uuur
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC
uuu
r uuur uuur
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
uuuu
r uuur uuur uuur
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều
uuu
rABCDEF
uuu
r uutâm
ur O.
uuur uuur uuur r
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì
lục
uuu
rO làuutâm
ur của
r uu
u
r giác
uuurđềur nên:
uuur uuur r
OA OD 0; OB OE 0; OC OF 0
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur
a) Chứng minh rằng vectơ OA OB; OC OE đều cùng phương OD
uuu
r
uuur
b) Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của
uuu
r uuu
r uuuu
r
ngũ giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh
uuur uuur uuur
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuur
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC
uuu
r uuur
AB // EC
Bài 4: Cho tamugiác
lần
trung
uuu
r ABC.
uuur Các
uuuu
r điểm
uuurM,uuN,
uu
r Pu
uur lượt
uuu
r là u
uu
r điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP .
uuuu
r uuur
uuuu
r
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải uuuu
r uuur uuuur
a) AM AN = NM
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuur
MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP )
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur
MN PN = MN NP = MP
uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur
BP CP = BP PC = BC
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
b) AM NP MP MN
� =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC |
Giải
� =600 nên AC= a 3
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD
và
uuu
rBD=a.
uuur Khiuuđó
ur ta cóuu:u
r uuur
AB AD AC | AB AD | AC a 3
B
A
C
-9-
WWW.ToanCapBa.Net
D
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur WWW.ToanCapBa.Net
BA BC CA �| AB AD | CA a 3
uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
a 3
OB DC DO DC CO �| OB DC | CO
2
Bài 6: Cho hình
uuu
rvuông
uuu
r ABCD
uuu
r cạnh
uuur a cóuuO
ur là ugiao
uur điểm của hai đường chéo.
Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
uuu
r uuu
r
a 2
| OA CB | BO
2uuur
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r
uuur
| AB DC || AB | | DC | 2a (vì AB ��DC )
uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2
Do đó
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng: AB CD AD CB
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: u
(sử
uu
r dụng
uuurhiệu)
uuu
r uuur
uuur uuur
AB AD CB CD � DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C,
D,
uuu
r E,uuF.
u
r uuur uuur uuur uuur
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
= AE BF CD ED DF FE
uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r r
= AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, u
C,
E.uur uuur uuu
uurD, u
r uuu
r uuu
r
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
uuur uuur uuu
r uuur
Ta có DC CD; CE EC nên
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r
= AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm Ouubất
u
r kìuuta
u
r có:uuur uuuu
r uuur uuu
r
OA OB OC OM ON OP
Giải uuu
r uuu
r uuur
VT = OA OB OC
uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
= OM MA ON NB OP PC
uuuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur
= OM ON OP MA NB PC
-10-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
uuur uuuur uuur
Mà NB NM NP
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuu
r uuur r
MA NB PC = MA NM NP PC NA NC 0
uuuu
r uuur uuu
r
VT= OM ON OP =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : AB + CD + EA = CB + ED
6. Cho 6 điểm
B,
uuur A,uu
ur C,uD,
uurE, F.
uuur
uuur uuu
r
CMR : AE BF CD AF BD CE
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ DO + AO = AB
c/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ OD + OC = BC
d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD + OC = AD + BC
10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'
CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .
11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính u
13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB AC .
b/ Tính v .
uuu
r uuur uuur uuur
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng
uuu
r uuu
r uuur uuur
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ CD + FA BA ED + BC FE = 0
b/ AD FC EB = CD EA FB
c/ AB DC FE = CF DA + EB
16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA MB + MC = 0
b/ MB MC + BC = 0
c/ MB MC + MA = 0
d/ MA MB MC = 0
e/ MC + MA MB + BC = 0
-11-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính AD AB
b/ Dựng u = CA AB . Tính u
18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính AB AC
b/ Tính BA BI
19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB AC
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
�
uu
r uuur uuur uuu
r
a) v u
b) m AB CD BC DA
AB DC BD CA
ur uuu
r uuur uuur uuur
c) n BC CD AB DB .
d) p AB BC CD DE
uuur r uuur r
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
r
r
uuur uuur uuur uuur
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
uuur uuur
uuur uuur
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình
nhật ABCD
uuur chữ
uuuu
r có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
uuur
a) AO - AD = MO
uuur uuur
uuur
b) AC - AD = NB
Bài 5: Cho 7 điểm Au;uu
B
; D ; Euu;u
. Chứng minh rằng :
r ; Cuu
rF ; G
uuur
ur
uuur
a) AB + CD + EA = CB + ED
r uuur uuu
uuur uuu
r uuu
r uuur
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
uuu
r uuur
uuu
r
uuur uuur
uur uuur
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
uuur uuu
r
r
uuur uuu
r
uur uuur
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA OB OM , OA OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OA OB OC OD OE O
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là
điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
OA OB OC OA' OB' OC '
Bài 9: Chouu
lụ
ur giác
uuurđềuuuABCDEF
ur uuur ucó
uur tâm
uuu
rlà Or . CMR :
uuur uuur uuur r
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
uuur uuur uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuur
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
uuur uuur uuur
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
uuur uuur uuur uuuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
uuur uuu
r
uuur uuu
r
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB
-12-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
VỚI MỘT SỐ
r r PHÉP NHÂN rVECTƠ
r
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k � ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
r
r
+ c cùng phương a
r
r
+ c cùng hướng a khi k>0
r
r
+ c ngược hướng a khi k<0
r
r
r
+ | c |=| k a |=|k|.| a |
r r r r
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
r r
2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h �, khi đó
r r
r r
+ k( a + b )= k a +k b
r
r r
+ (k+h) a = k a +h b
r
r
+ k(h a )= (kh) a
r r
r r
+ 1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm:
Irlà trung
uuurNếu
uuu
uuu
r điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
MA MB 2MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
r r
r r
r r r
a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k � : a =k b
r r r
r r
r
r
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k � : b =k a )
4) Điều kiện để ba điểmuu
A,
ur B, C thẳng hàng
uuu
r
uuur
uuu
r
AB cùng phương AC 0≠k � : AB k AC
5) Phân tích (biểu
diễn) một
r vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
r
r r
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
r
r
r
n sao cho: x = m a +n b .
A
Nếu G là trọng tâm
AG=
AG=2GI
G
B
2
1
AI; GI= AI
3
3
C
I
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
r
1. Xác định vectơ k a
r
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
r uuu
r
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
uuuu
r
r uuur
r
OM 3a; ON 4a
r
Giải
a
N
O
M
r
r
r
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
-13-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
r uuuu
r
r
uuuu
r
r
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a .
r uuur
r
uuur
r
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a
1
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các
5
đẳng thức
sau:
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuu
r
a ) AM k AB;
b) MA k MB;
c) MA k AB
Giải
A
M
B
uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
| AM | AM 1
1
r
, vì AM ��AB k=
a) AM k AB �| k | uuu
AB 5
5
| AB |
1
1
b) k=
c) k=
4
5
r
r
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
r r r
r
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b
Giải r
r
r
r
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
r
uuur r
uuur
uur uuur uuur uuur
I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE ; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo
r r
hai vectơ u, v .
A
uur
1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r
AD ( AE AF ) u v )
2
2
2
2
uuur 2 uuur 2 r 2 r
AG AD u v
3uu
3ur 3r
uuur u
r
uu
r
DE FA AF 0.u (1)v
uuur uuu
r uuur uuur r r
DC FE AE AF u v
Giải Ta có AI
C
uuuu
r
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
r uuur r uuur
vectơ u AB, v AC .
Giải
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 2 uuur
BC
3
uuur uuur uuu
r
mà BC AC AB
uuuu
r uuu
r 2 uuur uuu
r 1r 2r
AM AB ( AC AB ) u v
3
3
3
Ta có AM AB BM AB
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
+ A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k � : AB k AC
uuu
r
uuur
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
-14-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
1
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
uur uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur
2 BI BA BM BA BC
2
Ta có
uur
uuu
r uuur
4 BI 2 BA BC (1)
Ta có
uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuur
BK BA AK BA AC
3
uuu
r 1 uuur uuu
r 2 uuu
r 1 uuur
BA ( BC BA) BA BC
3
3
3
uuur
uuu
r uuur
3BK 2 BA BC
(2)
uuur
uur uuur 4 uur
Từ (1)&(2) 3BK 4 BI � BK BI B, I, K thẳng hàng.
3
2) Cho tam giác ABC. u
Hai
xác
uur điểm
uuur M,r Nuđược
uu
r uu
u
r định
uuurbởir hệ thức:
BC MA 0 , AB NA 3 AC 0 . Chứng minh MN//AC
Giải
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur r
BC MA AB NA 3 AC 0
uuur uuuu
r uuur r
uuuu
r
uuur
hay AC MN 3 AC 0 � MN 2 AC
uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
MN / / AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M không thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N u
lần
uuu
rlượtuulà
ur trung
uuur điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD
M
Giải uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuur
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuur
2MN AM BM ND NC
uuuu
r
2MN
A
C
N
B
D
uuu
r uuur uuur
uuur
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3 AC .
Giải
uuu
r uuur uuur
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
uuur uuur
uuur uur
VT= AC 2 AC 3 AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng
lần
uuuurnếuuuuG
r và
uuurG’ uu
uu
r lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG ' AA ' BB ' CC ' .
Giải
-15-
WWW.ToanCapBa.Net
uuur uuur uuuu
rWWW.ToanCapBa.Net
VP AA ' BB ' CC '
uuur uuuu
r uuuuu
r uuur uuuu
r uuuuu
r uuur uuuur uuuuu
r
AG GG ' G ' A ' BG GG ' G ' B ' CG GG ' G ' C '
uuuu
r uuur uuur uuur uuuuu
r uuuuu
r uuuuu
r
3GG ' AG BG CG G ' A ' G ' B ' G ' C '
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuuu
r uuuuu
r uuuuu
r
3GG ' (GA GB GC ) G ' A ' G ' B ' G ' C '
uuuu
r
3GG '
5. Xác định
uuu
rvị trí
r của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+ ۺAB 0
A rB
uuuu
r r
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a
uuu
r uuur
ۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺ+ AB AC
B
uuur
C ; AD
uuur
BD
A
B
uuur
uuur
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
Giải uuur
uuur
A
AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G
uu
r
uur
r
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2 IB 0 .
HD
I
B
I
A
C
D
B
uu
r uur r
uu
r
uur
uu
r
uur
IA 2 IB 0 IA 2 IB IA 2 IB
uu
r
uur
1
uuu
r uuu
r uuu3r uuur r
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
Giải
uuu
r uuu
r
uur
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
uuur uuur
uuur
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD
uuu
r uuu
r uuur uuur
uur uuur
GA GB GC GD 2GI 2GK
uur uuur r
hay GI GK 0
I
B
C
K
A
G là trung điểm IK
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM + BN + CP = 0
b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG
-16-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB
c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC
1
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = NC .
2
Gọi K là trung điểm của MN.
1
1
a/ CMR : AK = AB + AC
4
6
1
1
b/ CMR : KD = AB + AC
4
3
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1
a/ AM = AB + AC
3
8
1
3
b/ MI = AB + AC
6
8
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
u
uuu
uuu uuu
a) Phân tích AD theo AB và AF
b) Tinh
1 uuu 1 uuu
AB BC theo a
2
2
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
uuuu
uuu uuu
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
uuu
uuu uuu
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
uu uu
uuuuuu
a) Tính AI , AJ theo AB, AC
-17-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
uuur
uur
uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0
a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuuu
r ur
uuur uuur
C�
a/ MA MB .
b/ MA MB MC O
c/ | ��
uuuu
r uuur uuuu
r uuuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuuur
C�
�
�
d/ �
e/ | C�
�
�
-18-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
r
Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng
r
1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox
r
i
x
x 'r
O
I
O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
r
uuuu
r
r
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi . Số m gọi là
r
uuuu
r
tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ).
r
r
r
r
+ Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u xi . Số x gọi là tọa độ của
r
r
vectơ u đối với trục (O; i ).
Độ dài đại số của vectơ trên trục
r
r
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.
r
Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i
*Nhận xét:uuu
r
r
+ Nếu AB ��i thì AB = AB
uuu
r
r
+ Nếu AB ��i thì AB = AB
r
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = ba
Tính chất:
uuu
r uuur
uuu
r uuur
+ AB CD � AB CD
+ AB BC AC (hệ thức Salơ)
2. Hệ trục tọa độ
y
j
i
O
x
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oyr vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
r
r
r
i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
r r
r
r
r
r
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
r
r
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
r
r
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
r r
x x'
a =b � y y '
r
r
Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
r r
1) a b = (x x’; y y’)
-19-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
r
2) k a =(kx ; ky) với k �
r r
3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’)
r r r
r r
x
y
x kx '
� xy ' yx ' 0
4) a // b 0 có số k thỏa a =k b
y ky '
x' y'
Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
uuuu
r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
uuuu
r
y
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x;y)
M2
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm
tung độ điểm M
r M,ry gọiuulà
uuuu
r
uu
r
M1
O
x
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
x= OM1 ; y= OM 2
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
uuuu
r
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; yuu
M) và N(xN ; yN) ta có :
uu
r
MN = (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
xP =
xM x N
y yN
; yP = M
2
2
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo công thức:
xG =
x A xB xC
y yB yC
; yG = A
3
3
1) | u | = x 2 y 2 với u = (x;y)
2) | AB | = ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì
M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø:
x kx B
y ky B
xM A
yM A
;
(nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
1 k
1 k
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
xC x A yC y A
uuur uuu
r xC x A yC y A
�
AC / / AB
ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi
xB x A y B y A
x x
y y
B
-20-
WWW.ToanCapBa.Net
A
B
A
- Xem thêm -