Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung
HÖ ph−¬ng tr×nh
I. HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh.
" Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 )
(
(
(
)
)
)
⎧ x 3 + 3 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = y
⎪
⎪
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y − 3 + ln y 2 − y + 1 = z
⎪ 3
2
⎪⎩ z + 3z − 3 + ln z − z + 1 = x
Gi¶i :
(
XÐt hµm sè : f ( t ) = t 3 + 3t − 3 + ln t 2 − t + 1
)
2t 2 − 1
> 0, ∀x ∈ R
t2 − t + 1
®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh nh− sau :
Ta cã : f' ( t ) = 3t 2 + 1 +
VËy hµm sè f ( t )
⎧ f (x) = y
⎪
⎨ f (y) = z
⎪ f ( z) = x
⎩
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã :
x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x . Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z
(
)
Víi : x = y = z , xÐt ph−¬ng tr×nh : x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = 0
(
)
Do hµm sè : ϕ ( x ) = x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : x = 1 .
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1 .
" Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng :
⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )
⎪
⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )
⎪
⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
n −1
n
⎪
⎪⎩ f ( x n ) = g ( x1 )
NÕu hai hµm sè f vµ g cïng t¨ng trªn tËp A vµ
( x1 , x2 ..., xn )
lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } .
Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 .
VËy : x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ x1
Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn .
1
" Bµi 2.
⎧⎛ 1 ⎞2 x + x
⎪⎜ ⎟
=y
⎪⎝ 4 ⎠
⎪
2 y3 + y 2
⎪⎛ 1 ⎞
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎜ ⎟
=z
⎪⎝ 4 ⎠
2 z3 + z 2
⎪
1
⎛
⎞
⎪
=x
⎪ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎩
3
Gi¶i:
2
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d−¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : x, y, z > 0 .
2 t3 +t2
⎛1⎞
XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟
, ta cã : f' ( t ) = − ( 2 ln 4 ) 3t 2 + t
4
⎝ ⎠
VËy hµm sè f ( t ) nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 0; + ∞ ) .
(
)
⎛1⎞
.⎜ ⎟
⎝4⎠
2 t3 +t2
< 0, ∀t > 0 .
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã :
x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x ) = f (z) ⇒ y = x .
1
.
2
" Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ):
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z =
⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )
⎪
⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )
⎪
⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
n −1
n
⎪
⎪⎩ f ( x n ) = g ( x1 )
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn víi n lÎ .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } .
Lóc ®ã ta cã :
x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 .
⇒ x1 = x2
Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn .
" Bµi 3.
⎧( x − 1)2 = 2 y
⎪
2
⎪⎪ ( y − 1) = 2 z
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
2
⎪ ( z − 1) = 2 t
⎪
2
⎪⎩ ( t − 1) = 2 x
2
Gi¶i :
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph−¬ng chØ cã nghiÖm : x, y, z, t ≥ 0 .
XÐt hµm sè :
f ( s ) = ( s − 1) , ta cã : f' ( s ) = 2 ( s − 1) . Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng (1; + ∞ ) vµ gi¶m
2
trªn [ 0; 1] ( Do f(s) liªn tôc trªn R ).
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z, t} .
+ NÕu x ∈ (1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ (1; + ∞ ) , do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm
duy nhÊt : x = y = z = t = 2 + 3 .
+ NÕu x ∈ [ 0; 1] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 y ≤ 1 , hay y ∈ [ 0;1] , t−¬ng tù ⇒ z, t ∈ [ 0; 1] .
VËy x, y, z, t ∈ [ 0; 1] . Do ®ã ta cã :
x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z .
Víi x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ y = t .
⎧( x − 1)2 = 2 y
⎧⎪( x − 1)2 = 2 y
⎪
⇔ x = y = 2− 3
Lóc ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh trë thµnh : ⎨
⇔ ⎨ ⎡x = y
2
⎪⎩( y − 1) = 2 x
⎪⎢
⎩ ⎣ x = −y
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x = y = z = t = 2 + 3 vµ x = y = 2 − 3 .
" Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ):
⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )
⎪
⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )
⎪
⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
n −1
n
⎪
⎪⎩ f ( xn ) = g ( x1 )
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
⎡ x = x3 = ... = x n −1
víi n ch½n .
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× ⎢ 1
⎣ x2 = x 4 = ... = x n
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., xn } .
Lóc ®ã ta cã :.
x1 ≤ x3 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x3 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x 4 )
⇒ x2 ≥ x 4
⇒ f ( x 2 ) ≤ f ( x 4 ) ⇒ g ( x3 ) ≤ g ( x5 )
⇒ x3 ≤ x5 .........
⇒ f ( xn −2 ) ≤ f ( x n ) ⇒ g ( x n −1 ) ≤ g ( x1 )
⇒ x n −1 ≤ x1 .........
⇒ f ( xn −1 ) ≥ f ( x1 ) ⇒ g ( x n ) ≥ g ( x2 ) ⇒ x n ≥ x2
VËy : x1 ≤ x3 ≤ .... ≤ xn −1 ≤ x1 ⇒ x1 = x3 = ... = xn −1 ; x2 ≥ x4 ≥ .... ≥ xn ≥ x2 ⇒ x2 = x4 = ... = xn
3
PhÇn bμi tËp øng dông ph−¬ng ph¸p
) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 2 = y
⎪ 3
2
⎨ 2 y − 7y + 8y − 2 = z
⎪ 2 z3 − 7 z 2 + 8z − 2 = x
⎩
) 2. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 2 = y3 + y + a
⎪ 2
3
⎨y = z +z+a
⎪ z2 = x 3 + x + a
⎩
) 3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh :
cã mét nghiÖm duy nhÊt .
⎧x2 = y + a
⎪ 2
⎨y = z + a
⎪ 2
⎩z = x + a
T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm víi d¹ng x = y = z .
) 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 31 − 3 x1 + 2 = 2 x2
⎪ 3
⎪⎪ x 2 − 3 x2 + 2 = 2 x3
⎨ .........
⎪ x 3 − 3x + 2 = 2 x
99
100
⎪ 99
3
⎪⎩ x 100 − 3 x100 + 2 = 2 x1
) 5. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1. T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2
⎪ 2
3
⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3
⎪
cã mét nghiÖm duy nhÊt .
⎨ .........
⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax
n
n
n
⎪ n −1
2
3
⎪⎩ x n = x 1 − 4 x1 + ax1
) 6. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a ≠ 0 . Chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2
⎪ 2
3
⎪⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3
cã nghiÖm duy nhÊt .
⎨ .........
⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax
n
n
n
⎪ n −1
2
3
⎪⎩ x n = x 1 − 4 x1 + ax1
) 7. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 2 = y3 + y2 + y + a
⎪ 2
3
2
⎨ y = z + z + z + a cã mét nghiÖm duy nhÊt .
⎪ z2 = x 3 + x 2 + x + a
⎩
4
Ii. HÖ ph−¬ng tr×nh gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸.
⎧⎪ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1
" 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨
⎪⎩(1 − x )(1 + y ) = 2
⎧1 − x 2 ≥ 0
⎪⎧ x ≤ 1
⇔
Gi¶i.
§K : ⎨
⎨
2
⎩1 − y ≥ 0
⎩⎪ y ≤ 1
(1)
(2)
§Æt x = cosα ; y=cosβ víi α ,β ∈ [ 0; π ] , khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh :
π
⎧
⎧cosα .sinβ + cosβ .sinα =1 ⎪ α + β =
⇔⎨
⇔⎨
2
⎩ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = 2
⎪⎩sinα − cosα − sinα .cosα − 1 = 0
1 − t2
§Æt t = sinα − cosα , t ≤ 2 ⇒ sinα .cosα =
2
2
1− t
− 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 ⇒ t = 1
Khi ®ã ta cã : t −
2
⎧x = 0
π⎞
π
⎛
Víi t = 1 , ta cã : 2sin ⎜ α − ⎟ = 1 ⇒ α = ⇒ β = 0 ⇒ ⎨
4⎠
2
⎝
⎩y = 1
NÕu : x ≤ a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = acosα , víi α ∈ [ 0; π ]
⎧⎪ 2 ( x − y )(1 + 4 xy ) = 3
2
2
⎪⎩ x + y = 1
( 1)
(2)
" 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
Gi¶i .
Do x 2 + y 2 = 1 ⇒ x, y ∈ [ −1; 1] . §Æt x = sinα , y = cosα víi α ∈ [ 0; 2π ] .
Khi ®ã (1) ⇔ 2 ( sinα − cosα )(1 + 2sin2α ) = 3
π⎞ ⎛
1⎞
π ⎞⎛
π⎞
⎛
⎛
⇔ 2. 2sin ⎜ α − ⎟ .2. ⎜ sin2α + ⎟ = 3 ⇔ 4sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + sin ⎟ = 3
4⎠ ⎝
2⎠
4 ⎠⎝
6⎠
⎝
⎝
π⎞ ⎛
π ⎞ ⎛
π ⎞
π ⎞⎡ π
π ⎞⎤
⎛
⎛
⎛
⇔ 8sin ⎜ α − ⎟ sin ⎜ α − ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = 3 ⇔ 4cos ⎜ α + ⎟ ⎢ cos − cos ⎜ 2α − ⎟ ⎥ = 3
12 ⎠ ⎣
3
6 ⎠⎦
4⎠ ⎝
12 ⎠
12 ⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
π ⎞
π ⎞ ⎛
π⎞
⎛
⎛
⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 4cos ⎜ α − ⎟ cos ⎜ 2α − ⎟ = 3
12 ⎠
12 ⎠
6⎠
⎝
⎝
⎝
π⎞
π ⎞ ⎡ ⎛
π⎞
π ⎞⎤
⎛
⎛
⎛
⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 2 ⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ + cos ⎜ α − ⎟ ⎥ = 3 ⇔ −2cos ⎜ 3α − ⎟ = 3
12 ⎠
4⎠
12 ⎠ ⎦
4⎠
⎝
⎝
⎝
⎣ ⎝
0
0
⎡α = −35 + k120
π⎞
3
⎛
⇔⎢
cos ⎜ 3α − ⎟ = −
(k ∈ R)
0
0
4⎠
2
⎝
⎣ α = 65 + k120
Tõ ®ã suy ra hÖ cã 6 nghiÖm
( x, y ) = {( sin650 , cos650 ) , ( −sin350 , cos350 ) , ( sin850 , cos850 ) ,
( −sin5 , − cos5 ) , ( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) }
0
0
0
5
0
0
0
NÕu : x 2 + y 2 = a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = asinα , y = acosα , víi α ∈ [ 0; 2π ]
⎧2 x + x 2 y = y
⎪
2
" 3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨2 y + y z = z
2
⎪
⎩2 z + z x = x
Gi¶i : Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ , suy ra : x, y, z ≠ ±1 . Do ®ã ta cã :
⎧
2x
⎪ y = 1 − x 2 (1)
⎪
2y
⎪
(2)
⎨z =
1 − y2
⎪
⎪
2z
(3)
⎪x =
1 − z2
⎩
⎛ π π⎞
§Æt §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg2α , tg4α ≠ ±1 (5).
⎝ 2 2⎠
kπ
2kπ
4kπ ⎞
⎛
, y = tg
, z = tg
, k = 0, ± 1,..., ±3
T−¬ng tù bµi 2. HÖ ph−¬ng tr×nh cã 7 nghiÖm ⎜ x = tg
7
7
7 ⎟⎠
⎝
⎛ π π⎞
Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ sao cho x = tgα
⎝ 2 2⎠
⎧ x − 3z 2 x − 3z + z 3 = 0
⎪
2
3
⎨ y − 3x y − 3x + x = 0
⎪ z − 3y 2 z − 3y + y 3 = 0
⎩
" 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng :
⎧ x 1 − 3z 2 = 3z − z 3
⎪
⎪
2
3
⎨ y 1 − 3x = 3x − x
⎪
2
3
⎪⎩ z 1 − 3 y = 3y − y
(
(
(
Tõ ®ã, dÔ thÊy nÕu
⎧
3z − z 3
x
=
⎪
1 − 3z 2
⎪
⎪
3x − x 3
(I) ⇔ ⎨ y =
1 − 3x 2
⎪
⎪
3y − y 3
z
=
⎪
1 − 3y 2
⎩
( x , y, z )
)
)
)
(I)
lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x, y, z ≠ ±
1
3
. Bëi thÕ :
(1)
(2)
(II)
(3)
1
⎛ π π⎞
(5).
§Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg3α , tg9α ≠ ±
3
⎝ 2 2⎠
Khi ®ã tõ (2), (3), (1) sÏ cã : y = tg3α , z = tg9α vµ x = tg27α
6
Tõ ®©y dÔ dµng suy ra ( x, y, z ) lµ nghiÖm cña (II) khi vµ chØ khi y = tg3α , z = tg9α , x = tgα , víi
α ®−îc x¸c ®Þnh bëi (4), (5) vµ tgα = tg27α (6).
L¹i cã : ( 6 ) ⇔ 26α = kπ ( k ∈ Z )
kπ
víi k nguyªn tho¶ m·n :
26
−12 ≤ k ≤ 12 . DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng, tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ α ®−îc x¸c ®Þnh nh− võa nªu ®Òu tho¶
m·n (5).
VËy tãm l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã tÊt c¶ 25 nghiÖm, ®ã lµ :
kπ
3kπ
9 kπ ⎞
⎛
⎜ x = tg 26 , y = tg 26 , z = tg 26 ⎟ , k = 0, ± 1,... ± 12
⎝
⎠
" 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ ⎛
⎛
1⎞
1⎞
⎛ 1⎞
⎪ 3⎜ x + ⎟ = 4 ⎜ y + ⎟ = 5⎜ z + ⎟
x⎠
y⎠
z⎠
⎝
⎨ ⎝
⎝
⎪ xy + yz + zx = 1
⎩
NhËn xÐt : xyz ≠ 0; x, y, z cïng dÊu . NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ th×
Gi¶i.
V× thÕ α tho¶ m·n ®ång thêi (4) vµ (6) khi vµ chØ khi α =
( − x, − y, − z ) còng lµ nghiÖm cña hÖ, nªn chóng ta sÏ t×m nghiÖm
(
x, y, z d−¬ng .
)
§Æt x = tgα ; y = tgβ ; z = tgγ 0 < α , β , λ < 90 0 .
⎧ ⎛
⎛
⎛
1 ⎞
1 ⎞
1 ⎞
⎪ 3 ⎜ tgα +
⎟ = 4 ⎜ tgβ +
⎟ = 5 ⎜ tgγ +
⎟ ( 1)
tgα ⎠
tgβ ⎠
tgγ ⎠
HÖ ⎨ ⎝
⎝
⎝
⎪tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα = 1
(2)
⎩
⎛ 1 + tg2α ⎞
⎛ 1 + tg2 β ⎞
⎛ 1 + tg2γ ⎞
3
4
5
=
=
(1) ⇔ 3 ⎜
=
=
4
5
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⇔
sin2α sin2β sin2γ
⎝ tgα ⎠
⎝ tgβ ⎠
⎝ tgγ ⎠
Tõ (2) suy ra : tgγ ( tgα + tgβ ) = 1 − tgβ tgα ⇒ cotgγ =
( tgα + tgβ ) = tg
1 − tgβ tgα
(α + β )
π
⎛π
⎞
⇒ tg ⎜ − γ ⎟ = tg (α + β ) ⇔ α + β + γ = .
2
⎝2
⎠
3
4
5
⎧
=
=
⎪⎪ sin2α sin2β sin2γ
Do ⎨
nªn 2α,2β,2γ lµ c¸c gãc cña mét tam gi¸c cã sè ®o 3 c¹nh 3,4,5.
⎪0 < α , β , γ < π ;α + β + γ = π
⎪⎩
2
2
Do tam gi¸c cã 3 c¹nh 3,4,5 lµ tam gi¸c vu«ng nªn 2γ = 900 ⇒ γ = 450 ⇒ z = tgγ = 1
2tgα
3
2x
3
1
= ⇔
= ⇒x=
2
2
1 − tg α 4
1− x
4
3
2tgβ
4
2y
4
1
= ⇔
= ⇒y=
tg2β =
2
2
1 − tg β 3
1− y
3
2
tg2α =
7
TuyÓn tËp c¸c bμi to¸n hay
II . HÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn.
698
⎧ 4
2
(1)
⎪ x +y =
" 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
81
⎨
⎪⎩ x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0
(2)
Gi¶i : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . Ta thÊy (2) t−¬ng ®−¬ng víi :
x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) = 0
§Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi x ta ph¶i cã :
7
2
2
Δ = ( y − 3) − 4 ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
(3)
3
MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh (2) còng t−¬ng ®−¬ng víi : y 2 + ( x − 4 ) y + x 2 − 3 x + 4 = 0
§Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi y ta ph¶i cã :
4
2
Δ = ( x − 4) − 4 x 2 − 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
(4)
3
256 49 697 698
Tõ (3) vµ (4) ta cã : x 4 + y 2 ≤
+
=
<
, kh«ng tho¶ m·n (1).
81
9
81
81
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .
2
(
)
) 2. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A )
⎧
⎛
1 ⎞
⎪ 3x ⎜1 +
⎟=2
x+y⎠
⎪
⎝
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨
⎪ 7y ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2
⎜
⎟
⎪
x+y⎠
⎝
⎩
" 3. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A )
H·y biÖn luËn sè nghiÖm thùc cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi Èn x, y :
⎧ x 3 y − y 4 = a2
⎨ 2
2
3
2
⎩ x y + 2 xy + y = b
Gi¶i . §iÒu kiÖn cã nghÜa cña hÖ : x, y ∈ R .
ViÕt l¹i hÖ d−íi d¹ng :
⎧ y x 3 − y 3 = a 2 ( 1)
⎪
⎨
2
⎪⎩ y ( x + y ) = b 2
(2)
XÐt c¸c tr−êng hîp sau :
Ì Tr−êng hîp 1 : b = 0 . Khi ®ã :
⎧⎪ y = 0
⎨
3
3
2
⎡ ⎪⎩ y x − y = a
⎧y = 0
vµ do vËy : HÖ ®· cho ⇔ ⎢
(2) ⇔ ⎨
⎣ ⎧⎪ y = − x
⎩y = −x
⎨
3
3
2
⎪⎩ y x − y = a
(
)
8
(
)
(I)
(
)
( II )
⎧ y = −x
Cã (II) ⇔ ⎨
4
2
⎩ −2 x = a
Tõ ®ã : + NÕu a ≠ 0 th× (I) vµ (II) cïng v« nghiÖm, dÉn ®Õn hÖ v« nghiÖm .
+ NÕu a = 0 th× (I) cã v« sè nghiÖm d¹ng ( x ∈ R, y = 0 ) , cßn (II) cã duy nhÊt nghiÖm
( x = 0, y = 0 ) . V×
thÕ hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm .
( x, y )
Ì Tr−êng hîp 2 : b ≠ 0 . Khi ®ã, tõ (1) vµ (2) dÔ thÊy , nÕu
ph¶i cã x, y >0 . V× thÕ
(2) ⇔ x =
b
y
−y
lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th×
( 3) .
3
⎡⎛ b
⎤
⎞
− y ⎟ − y 3 ⎥ = a2
ThÕ (3) vµo (1) ta ®−îc : y ⎢⎜
⎟
⎢⎜⎝ y
⎥
⎠
⎣
⎦
§Æt
y = t > 0 . Tõ (4) ta cã ph−¬ng tr×nh sau :
3
⎡⎛ b
⎤
⎞
2
6
⎢
t ⎜ − t ⎟ − t ⎥ = a2 ⇔ t 9 − b − t 3
⎢⎣⎝ t
⎥⎦
⎠
(
2
)
3
+ a2 t = 0 ( 5 )
XÐt hµm sè : f ( t ) = t 9 − ( b − t 3 ) + a 2 t x¸c ®Þnh trªn [ 0;+ ∞ ) cã :
3
(
f' ( t ) = 9t 8 + 9 b − t 3
)
2
t 2 + a 2 ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; + ∞ ) .
Suy ra hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn [ 0; + ∞ ) , vµ v× thÕ ph−¬ng tr×nh (5) cã tèi ®a 1 nghiÖm trong
[ 0; + ∞ ) . Mµ
f ( 0 ) = − b < 0 vµ f
3
( b )= b
3
3
+ b a 2 > 0 , nªn ph−¬ng tr×nh (5) cã duy nhÊt
⎛
⎞
b
nghiÖm, kÝ hiÖu lµ t0 trong ( 0; + ∞ ) . Suy ra hÖ cã duy nhÊt nghiÖm ⎜ x = − t0 2 , y = t0 2 ⎟ .
t0
⎝
⎠
VËy tãm l¹i : + NÕu a = b = 0 th× hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm .
`
+ NÕu a tuú ý , b ≠ 0 th× hÖ ®· cho cã duy nhÊt nghiÖm .
+ NÕu a ≠ 0, b = 0 th× hÖ ®· cho v« nghiÖm .
⎧2 x 2 + xy − y 2 = 1
" 4. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
2
2
⎩ x + xy + y = m
Gi¶i .
⎧2 x 2 = 1
1
+ Víi y = 0 hÖ trë thµnh ⎨ 2
. HÖ cã nghiÖm khi m =
2
⎩x = m
x
+ Víi y ≠ 0 , ®Æt
= t , hÖ trë thµnh
y
1
⎧ 2
1
⎧ 2
⎪2 t + t − 1 = y 2
⎪ 2t + t − 1 = y 2
⎪
(2)
⇔⎨
⎨
⎪t 2 + t + 1 = m 2 t 2 + t − 1
⎪ t2 + t + 1 = m
⎩
⎪⎩
y2
(
VËy hÖ PT (1) cã nghiÖm
( x, y )
)
khi vµ chØ khi hÖ PT (2) cã nghiÖm
9
( t, y ) .
(1) cã nghiÖm .
⎡ t < −1
1
2
XÐt hÖ (2), tõ 2t + t − 1 = 2 suy ra 2t + t − 1 > 0 ⇔ ⎢
. Do ®ã hÖ (2) cã nghiÖm ( t, y )
⎢t > 1
y
⎢⎣
2
2
t + t +1
t2 + t + 1
⎛1
⎞
⇔m= 2
cã nghiÖm t ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ , + ∞ ⎟ . XÐt hµm sè f ( t ) = 2
trªn kho¶ng
2t + t − 1
2t + t − 1
⎝2
⎠
⎡ t = −3 − 7
1
t 2 + 6t + 2
,
f'
t
=
0
⇔
( −∞, −1) ∪ ⎛⎜ , + ∞ ⎞⎟ . Ta cã : f' ( t ) = − 2
(
)
⎢
2
⎝2
⎠
⎢⎣ t = −3 + 7
2t + t − 1
LËp b¶ng biÕn thiªn :
2
(
−∞
t
−3 − 7
-
f’(t)
)
0
−3 − 7
-1
+
1
2
+
0
−∞
1
2
+∞
+∞
f(t)
−∞
14 + 5 7
1
2
−∞
28 + 11 7
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ®Ó hÖ cã nghiÖm : m ≥
⎧⎪ x 3 ( 2 + 3 y ) = 1
" 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
3
⎪⎩ x y − 2 = 3
Gi¶i . Râ rµng nÕu y = 3 2 hÖ v« nghiÖm.
(
27 ( 2 + 3y )
(y
3
−2
)
3
= 1 (3) . XÐt hµm sè : f ( y ) =
Suy ra : f' ( y ) = 0 ⇔ y = −1
Ta cã b¶ng biÕn thiªn :
y
f’(y)
f (y)
−∞
+
−∞
-1
0
0
28 + 11 7
.
( 1)
(2)
)
Víi y ≠ 3 2 , tõ (2) suy ra x =
14 + 5 7
3
, thay vµo (1) ta cã :
y −2
3
27 ( 2 + 3y )
(y
3
−2
)
3
3
− 1 , ta cã : f' ( y ) = −
2
(
81 8y 3 + 6 y 2 + 2
(y
3
−2
+∞
-
+∞
−∞
10
−∞
)
3
)
(
)
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra pt(3) kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c kho¶ng ( −∞; −1) vµ −1; 3 2 .
Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm y = −1 vµ 1 nghiÖm trong kho¶ng
DÔ thÊy y = 2 lµ 1 nghiÖm thuéc kho¶ng
(
3
)
(
3
2, + ∞
)
2, + ∞ .
⎛1 ⎞
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : ( −1; −1) vµ ⎜ ; 2 ⎟ .
⎝2 ⎠
) 6. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng B )
⎧ x 3 + 3 xy 2 = −49
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ 2
2
⎩ x − 8 xy + y = 8 y − 17 x
" 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1998-1999 –B¶ng A )
⎧(1 + 4 2 x − y ) .51−2 x + y = 1 + 22 x − y +1
⎪
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ 3
2
⎪⎩ y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0
Gi¶i .
§K: y 2 + 2 x > 0
§Æt t = 2 x − y th× ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ trë thµnh :
1 + 4 t 1 + 2 t +1
=
(1)
5t
5
VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn trªn nªn t=1 lµ nghiÖm
duy nhÊt cña (1).
y +1
thÕ vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®−îc :
VËy 2 x − y = 1 ⇒ x =
2
y 3 + 2 y + 3 + ln y 2 + y + 1 = 0 ( 2 )
(1 + 4 ) .5
t
1− t
= 1 + 2 t +1 ⇔
(
)
VÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn do ®ã y =-1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (2).
§¸p sè : x = 0, y = −1 .
" 8. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2000-2001 –B¶ng B )
⎧⎪ 7 x + y + 2 x + y = 5
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨
⎪⎩ 2 x + y + x − y = 2
Gi¶i :
§K cã nghÜa cña hÖ ph−¬ng tr×nh : min {7 x, 2 x} ≥ − y
§Æt :
7x + y = a vµ
2x + y = b . Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã hÖ :
⎧⎪ a + b = 5
⎨
⎪⎩b + x − y = 2
(1 )
(2)
NhËn thÊy : a 2 − b2 = 5 x . KÕt hîp víi (1) suy ra : b =
5− x
+ x − y = 2 ⇔ x = 2y − 1
2
ThÕ (3) vµo (2) ta cã :
5y − 2 + y − 1 = 2 ⇒ y =
( 5 − x ) , thÕ vµo (2) ta ®−îc :
2
( 3)
11 − 77
2
ThÕ vµo (3) suy ra nghiÖm cña hÖ lµ: x = 10 − 77,
y=
11
11 − 77
.
2
) 9. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn x, y :
⎧ k x 2 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 = yx
⎪
⎨
⎪ k 3 x 8 + x 2 + 3 x 2 + 1 + ( k − 1) 3 x 4 = 2 y 3 x 4
⎩
1. X¸c ®Þnh k ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm .
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi k = 16.
(
(
)
)
" 10. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996 –B¶ng A )
⎧
⎛
1 ⎞
⎪ 3x . ⎜1 +
⎟=2
x+y⎠
⎪
⎝
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨
⎪ 7y . ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2
⎜
⎟
⎪
x+y⎠
⎝
⎩
Gi¶i . §K cã nghÜa cña hÖ : x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x 2 + y 2 ≠ 0 .
DÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x >0, y>0 . Do ®ã :
⎧ 1
⎧⎛
1
2 2
1 ⎞
2
=
−
( 1)
⎪
⎪⎜ 1 +
⎟=
x+y⎠
3x
7y
3x
⎪⎝
⎪x + y
HÖ ®· cho ⇔ ⎨
⇔⎨
⎪ ⎛1 − 1 ⎞ = 4 2
⎪1 = 1 + 2 2
(2)
⎟
⎪
⎪ ⎝⎜
x+y⎠
7y
3x
7y
⎩
⎩
Nh©n (1) víi (2) theo vÕ ta ®−îc :
1
1
8
=
−
⇔ 21xy = ( x + y )( 7 y − 3 x ) ⇔ ( y − 6 x )( 7 y + 4 x ) = 0 ⇔ y = 6 x ( v× x >0, y>0)
x + y 3x 7y
Thay vµo (2) vµ gi¶i ra ta ®−îc : x =
11 + 4 7
22 + 8 7
, y=
.Thö l¹i ta thÊy tho¶ m·n yªu cÇu bt.
21
7
Iii. HÖ ph−¬ng tr×nh 3 Èn.
) 1. ( §Ò thi HSG TØnh Qu¶ng Ng·i 1995-1996)
⎧ y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0
⎪ 3
2
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ z − 6 y + 12 y − 8 = 0
⎪ x 3 − 6 z 2 + 12 z − 8 = 0
⎩
) 4.
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧12 x 2 − 48 x + 64 = y 3
⎪
2
3
⎨12 y − 48y + 64 = z
⎪12 z 2 − 48z + 64 = x 3
⎩
⎧ x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
⎪ 19 5
2001
" 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ y + z = 1890 x + x
⎪ z19 + x 5 = 1890 y + y 2001
⎩
Gi¶i . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 0 .
12
Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh khi ®ã ( − x, − y, − z ) còng lµ mét nghiÖm cña
hÖ ph−¬ng tr×nh , nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt : cã Ýt nhÊt hai trong ba sè x, y, z
kh«ng ©m. VÝ dô x ≥ 0, y ≥ 0 . Tõ ph−¬ng tr×nh thø nhÊt ta suy ra z ≥ 0 .
MÆt kh¸c nÕu 0 < u ≤ 1 th× 1890 + u2000 > 2 ≥ u18 + u4
NÕu u > 1 th× 1890 + u2000 > 1 + u2000 > 2. u2000 = 2.u1000 > u18 + u4
Do ®ã 1890u + u2001 > u19 + u5 víi mäi u>0.
Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy ra x = y = z = 0 .®pcm
) 6. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt :
⎧ x 2 = ( 2 + m ) y 3 − 3y 2 + my
⎪ 2
3
⎨ y = ( 2 + m ) z − 3z + mz
⎪ z 2 = ( 2 + m ) x 3 − 3 x + mx
⎩
" 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng A )
⎧ x 3 + x ( y − z )2 = 2
⎪⎪
2
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ y 3 + y ( z − x ) = 30
⎪ 3
2
⎪⎩ z + z ( x − y ) = 16
⎧ x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x
⎪
⎪ 2
3
" 8. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ y ( y + 1) = 2 z − y
⎪ 2
3
⎪⎩ z ( z + 1) = 2 x − z
Gi¶i .
ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng :
⎧ x 3 + x 2 + 2 x = 2 y3 + 1
⎪ 3
2
3
hay
⎨ y + y + 2 y = 2z + 1
⎪ z3 + z 2 + 2 z = 2 x 3 + 1
⎩
(
(
(
) +1
) +1
) +1
⎧ f ( x) = g ( y)
⎪
⎨ f ( y ) = g ( z)
⎪ f ( z) = g ( x )
⎩
Trong ®ã f ( t ) = t 3 + t 2 + 2t vµ g ( t ) = 2t 3 + 1 . NhËn xÐt r»ng g(t), f(t) lµ hµm ®ång biÕn
trªn R v× : f' ( t ) = 3t 2 + 2t + 2 > 0, g ( t ) = 6t 2 ≥ 0, ∀t ∈ R.
⎧x = y = z
Suy ra hÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ : ⎨
( 4)
⎩h ( x ) = 0
Trong ®ã h ( t ) = t 3 − t 2 − 2t + 1 . NhËn xÐt r»ng h ( t ) liªn tôc trªn R vµ :
h ( −2 ) < 0, h ( 0 ) > 0,
h (1) < 0, h ( 2 ) > 0 nªn ph−¬ng tr×nh h ( t ) = 0 cã c¶ 3 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu n»m trong ( −2; 2 )
§Æt x = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) . Khi ®ã sinu ≠ 0 vµ (4) cã d¹ng :
⎧⎪ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
hay
⎨
⎨
3
2
3
2
⎩8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0
⎪⎩sinu 8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
Hay ⎨
(5).
⎩ sin4u = sin3u
(
13
)
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
⎪
⎧ π 3π 5π ⎫
;
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (5) ta thu ®−îc u ∈ ⎨ ;
⎬ vµ ⎨
⎧ π 3π 5π ⎫
⎩7 7 7 ⎭
⎪u∈⎨ 7 ; 7 ; 7 ⎬
⎩
⎭
⎩
" 9. T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè d−¬ng ( x, y, z ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧2 x 2004 = y 6 + z 6
⎪ 2004
= z6 + x 6
⎨2 y
⎪ 2004 = x 6 + y 6
⎩2 z
Gi¶i :
Gi¶ sö
( x, y, z ) lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n hÖ PT ®· cho . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ,
gi¶ sö 0 < x ≤ y ≤ z . Nh− vËy :
⎧ x 2004 ≥ x 6
⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ≥ x 6 + x 6
⎧x ≥ 1
⇒
⇒⎨
⇒ x = y = z =1
⎨ 2004
⎨ 2004
6
6
6
6
6
≤z
= x +y ≤z +z
⎩z ≤ 1
⎩z
⎩ 2z
§¶o l¹i, dÔ thÊy x = y = z = 1 lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n .
) 10. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
⎧ x 2 + y 2 − z 2 + xy − yz − zx = 1
⎪ 2 2
⎨ y + z + yz = 2
⎪ x 2 + z 2 + xz = m
⎩
⎧x5 − x 4 + 2 x2 y = 2
⎪ 5
4
2
) 11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ y − y + 2y z = 2
⎪ z5 − z 4 + 2 z 2 x = 2
⎩
(
(
(
)
)
)
⎧ x 3 y 2 + 3y + 3 = 3y 2
⎪
⎪ 3 2
2
) 12. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎨ y z + 3z + 3 = 3z
⎪ 3 2
2
⎪⎩ z x + 3 x + 3 = 3 x
" 13. T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc x, y, z :
⎪⎧ x − 1 + y − 1 + z − 1 = a − 1
⎨
⎪⎩ x + 1 + y + 1 + z + 1 = a + 1
Gi¶i. §K: x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1
HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x − 1 + x + 1 + y − 1 + y + 1 + z − 1 + z + 1 = 2a
⎪
⎨
⎪ x +1 − x −1 + y +1 − y −1 + z +1 − z −1 = 2
⎩
§Æt u = x − 1 + x + 1 ; v = y − 1 + y + 1 ; s = z − 1 + z + 1
(
(
) (
) (
) (
) (
)
)
Do x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 nªn u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . Ng−îc l¹i nÕu u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 , ta cã :
1⎛
2⎞
1⎛
4⎞
2
2
x +1 − x −1 =
=
⇒ x + 1 = ⎜ u + ⎟ ⇒ x = ⎜ u2 + 2 ⎟ ≥ 1
2⎝
u⎠
4⎝
u ⎠
x +1 + x −1 u
T−¬ng tù ®èi víi y, z .
14
Do ®ã bµi to¸n cña ta ®−a vÒ bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng : T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ
ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 :
⎧u + v + s = 2 a
⎪
( 1)
⎨1 1 1
⎪⎩ u + v + s = 1
+ §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhia ta cã :
9
⎛ 1 1 1⎞
2a = ( u + v + s ) ⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⇒ a ≥
2
⎝u v s⎠
9
+ §iÒu kiÖn ®ñ : Gi¶ sö a ≥ . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
2
⎧ u + v = 2a − 3
⎪
LÊy s = 3 ( tho¶ m·n s ≥ 2 ) . Khi ®ã (1) t−¬ng ®−¬ng víi : ⎨
3 ( 2a − 3)
⎪u.v =
⎩
2
3 ( 2a − 3 )
⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña tam thøc bËc hai : t 2 − 2 ( 2 a − 3 ) t +
2
2a − 3 ± ( 2a − 3 )( 2a − 9 )
⇒ u, v =
2
(
Chó ý : §Æt h = 2a − 9 ≥ 0 ⇒ h + 6 − 2 2
( 2a − 3 ) − 2
2>
( 2a − 3)( 2a − 9 )
)
2
> ( h + 3 ) > h ( h + 6 ) . Tøc lµ :
2
⇒ u > 2, v > 2 .
Nh− vËy hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 .
9
Tãm l¹i c¸c sè thùc a cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè thùc a ≥ .
2
" 14. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ ⎛
⎛
1⎞
1⎞
⎛ 1⎞
⎪20 ⎜ x + ⎟ = 11 ⎜ y + ⎟ = 2007 ⎜ z + ⎟
x⎠
y⎠
z⎠
⎝
⎨ ⎝
⎝
⎪ xy + yz + zx = 1
⎩
" 15. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng A )
⎧ x 2 − 2 x + 6.log ( 6 − y ) = x
3
⎪
⎪ 2
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y − 2 y + 6.log3 ( 6 − z ) = y
⎪ 2
⎪⎩ z − 2 z + 6.log3 ( 6 − x ) = z
Gi¶i . §K x¸c ®Þnh x, y, z < 6 . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :
⎧
x
⎪ log3 ( 6 − y ) =
2
⎪
x − 2x + 6
⎪⎪
y
⎨ log3 ( 6 − z ) =
2
y − 2y + 6
⎪
⎪
z
⎪log3 ( 6 − x ) =
⎪⎩
z2 − 2 z + 6
15
(1 )
(2)
( 3)
NhËn thÊy f ( x ) =
x
lµ hµm t¨ng, cßn g ( x ) = log3 ( 6 − x ) lµ hµm gi¶m víi x<6.
x − 2x + 6
NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ta chøng minh x=y=z.Kh«ng mÊt tÝnh
2
tæng qu¸t gi¶ sö x = max { x, y, z} th× cã hai tr−êng hîp :
1) x ≥ y ≥ z . Do g ( x ) lµ hµm gi¶m, suy ra : log3 ( 6 − y ) ≥ log3 ( 6 − z ) ≥ log3 ( 6 − x )
⇒ x ≥ z ≥ y . Do y ≥ z nªn z = y . Tõ (1) vµ (2) suy ra : x=y=z.
2) x ≥ z ≥ y .
T−¬ng tù log3 ( 6 − y ) ≥ log3 ( 6 − x ) ≥ log3 ( 6 − z )
⇒ z ≥ x ≥ y . Do x ≥ z nªn z = x . Tõ (1) vµ (3) suy ra : x=y=z.
Ph−¬ng tr×nh f ( x ) = g ( x ) cã nghiÖm duy nhÊt x=3.
VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt : x=y=z=3.
" 16. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng B )
⎧ x 3 + 3x 2 + 2 x − 5 = y
⎪
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y 2 + 2 y − 5 = z
⎪ z 3 + 3z 2 + 2 z − 5 = x
⎩
Gi¶i . Gi¶ sö x = max { x, y, z} . XÐt hai tr−êng hîp :
1) x ≥ y ≥ z
⎧ x3 + 3x 2 + 2 x − 5 ≤ x
Tõ hÖ trªn ta cã : ⎨ 3
2
⎩ z + 3z + 2 z − 5 ≥ z
⎧( x − 1) ⎡( x + 2 )2 + 1⎤ ≤ 0
⎧x ≤ 1
⎪
⎣
⎦
⇒⎨
⇒⎨
2
⎩1 ≤ z
⎪ ( z − 1) ⎡( z + 2 ) + 1⎤ ≥ 0
⎣
⎦
⎩
2) x ≥ z ≥ y
⎧ x3 + 3x 2 + 2 x − 5 ≤ x
Tõ hÖ trªn ta cã : ⎨ 3
2
⎩ y + 3y + 2 y − 5 ≥ y
⎧( x − 1) ⎡( x + 2 )2 + 1⎤ ≤ 0
⎧x ≤ 1
⎪
⎣
⎦
⇒⎨
⇒⎨
2
⎪( y − 1) ⎡( y + 2 ) + 1⎤ ≥ 0 ⎩1 ≤ y
⎣
⎦
⎩
C¶ hai tr−êng hîp ®Òu cho x = z = y = 1 . Thö l¹i ta thÊy x = z = y = 1 lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh .
Tãm l¹i hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt : x = z = y = 1 .
) 17. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧
1
1
1
8
−
−
=
⎪ x+ y+ z−
x
y
z 3
⎪
⎪⎪
1 1 1 118
⎨ x+ y+z+ + + =
x y z
9
⎪
⎪
1
1
1
728
−
−
=
⎪x x + y y + z z −
27
x x y y z z
⎪⎩
16
" 18 . Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x2 + y2 = −y ( x + z)
⎪ 2
⎨ x + x + y = −2 yz
⎪3 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 8yz = 2 x + 4 z + 2
⎩
Gi¶i . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :
⎧ x ( x + y) + y ( y + z) = 0
⎪⎪
⎨ x ( x + 1) + y ( 2 z + 1) = 0
⎪
2
2
2
2
⎪⎩4 ( x + y ) + 4 ( y + z ) = ( x + 1) + ( 2 z + 1)
GG
GG
G 2 G2
G
G
G
XÐt : a = ( x; y ) , b = ( x + y; y + z ) , c = ( x + 1; 2 z + 1) ⇒ a.b = 0, a.c = 0, 4 b = c
G G
1
+ NÕu a = 0 th× x = y = 0, z = − .
2
G
G G
G
G
G
1
+ NÕu a ≠ 0 th× b vµ c céng tuyÕn nªn : c = ±2 b , tõ ®ã ta cã : x = 0, y = z = .
2
1⎞ ⎛ 1 1⎞
⎛
Tãm l¹i hÖ cã hai nghiÖm : ⎜ 0; 0; − ⎟ , ⎜ 0; ; ⎟ .
2⎠ ⎝ 2 2⎠
⎝
iV. HÖ ph−¬ng tr×nh
n Èn. ( n >3, n∈ N )
" 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x1 + x2 = x31996
⎪
1996
⎪ x 2 + x3 = x 4
⎪
⎨ .........
⎪ x + x = x 1996
1
⎪ 1995 1996
1996
⎪⎩ x1996 + x1 = x2
Gi¶i : Gäi X lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c nghiÖm xi , i = 1,...1996 vµ Y lµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña chóng.
ThÕ th× tõ ph−¬ng tr×nh ®Çu ta cã :
2X ≥ x1 + x2 = x31996
2X ≥ x k1996 , ∀k = 1, 2,....,1996
Tõ ®ã ®èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã :
Hay lµ ta cã : 2X ≥ X1996 suy ra : 2 ≥ X1995 ( v× X >0 )
LËp luËn mét c¸ch t−¬ng tù ta còng ®i ®Õn : 2 ≤ Y1995
Tõ (1) vµ (2) suy ra X1995 = Y1995 = 2
NghÜa lµ ta cã : x1 = x2 = .... = x1996 = 1995 2
x −a
⎧ x1 − a1 x2 − a2
=
= ... = n n
⎪
b2
bn
" 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ b1
⎪ x + x + .... + x = c
n
⎩ 1 2
víi b1 , b2 ,..., bn ≠ 0,
n
∑b
i =1
i
≠0
17
(1)
(2)
Gi¶i . §Æt :
x −a
x1 − a1 x2 − a2
=
= ... = n n = t
b1
b2
bn
n
n
n
i =1
i =1
i =1
Ta cã : xi = tbi + ai ⇒ ∑ xi = ∑ ai + t ∑ bi
n
⎛
⎞
−
c
⎜ ∑ ai ⎟
n
n
⇒ c = ∑ ai + t ∑ bi ⇒ t = ⎝ n i =1 ⎠
i =1
i =1
∑ bi
i =1
⎛
⎞
⎜ c − ∑ ai ⎟
⇒ xi = ai + bi ⎝ n i =1 ⎠
∑ bi
n
i =1
18
- Xem thêm -