Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Toán học
Phân loại và phương pháp giải Toán Giải tích 12...
Tài liệu Phân loại và phương pháp giải Toán Giải tích 12
.PDF
82
2140
135
dangvantuan
Báo vi phạm
Tải xuống
135
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
Phân lo i và ph Chương ng pháp gi i toán 12 2 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC 1. Kiến thức cơ bản Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý x a ax = x b b a n = a .a.a.....a n số a a x .a y = a x +y ax 1 x −y −n a a = ⇒ = ay an (a ) (a.b ) x y x ( ) = ay x = a x .y = a x .b x x y y a = ax 0 u (x ) = 1 ⇒ x 0 = 1 , ∀u (x ) x ≠ 0 n ( a) a .n b = n ab m n = n am 2. Lưu ý Nếu a < 0 thì a x chỉ xác định khi ∀x ∈ ℤ . Nếu a > 1 thì a α > a β ⇔ α > β . Nếu 0 < a < 1 thì a α > a β ⇔ α < β . n 1 e = lim 1 + ≃ 2, 718281828459045... x →∞ n s1 Để so sánh a và s2 (n ∈ ℕ ) . b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai n s1 n s2 số so sánh mới lần lượt là A và B . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của a và b . Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) ( là: C = A 1 + r N ) . 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Với a, b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau: 9 2 6 4 1/ A = 8 7 : 8 7 − 3 5.3 5 2/ B = − Ch 1 3 −2 0 ) : 10−2 − (0, 25) − 4/ D = 81−0,75 2 2 2 ( ) − (−2) .64 3 − 8 3 + 90 ng II. Hàm s m (10 −3 −4 3 −2 3/ C = 5 5 + (0,2)4 5/ E = 0, 001 23.2−1 + 5−3.54 Hàm s l y th a 2−3 5 6/ F = 2 Hàm s Logarit 1 + 125 .8 1 3 − 1 − 32 3 5 5 www.mathvn.com - 1 - Ths. Lê Văn Đoàn 2 3 3. 3 : 7/ G = ( 9/ I = 0, 04 Phân lo i và ph www.MATHVN.com −1,5 ) 4 3 − − (0,125) 102+ 8/ H = ng pháp gi i toán 12 7 22+ 7.51+ 7 5 1 −0,75 − + (0, 25) 2 10/ J = 16 2 3 −4 2 1 −0,75 1 3 −1,5 − + . (0,04) −(0,125) 3 9 1 3 16 1 8 1 1 2 a 4 −a 4 b−2 −b2 b b − 1 11/ K = 12/ L = 1 − 2 + : a 2 −b2 . 1 5 1 −5 −4 − a a 6 4 5 9 2 3 4 a −a 4 b2 −b 2 87 : 87 − 35.35 . 5−2 + 0,24 4 1 1 1 1 63+ 5 1+ 2 2 2 −1−2 2 3 6 3 3 3 2 3 13/ M = a : a : a . a + a a . a . a : a 6 14/ N =43+ 2.21− 2.2−4−2 2 + : 25 −5 .5 2+ 5 1+ 5 2 .3 2 3 2 3 2 −1 3 a b − ab a +b 6 4 6 3. 3 : 3 16/ P = − a − b +6a 15/ O = 3 2 3 2 3 2 3 a − 3 b2 a −2 ab + b ( ) ( ) Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau: − 3 − 2 1/ 4 và 4 1 1,4 5/ và 2 9/ 4 1 2 3 5 và 2/ 2 2 3 và 21,7 1 3,14 9 1 π 6/ và 9 7 17 và 10/ 2 ( − 2 ) 13/ 0, 01 ( −3 ) 15/ 0, 001 và 3 3 16/ 4 100 2 11/ và 50 4 5 13 và −1 (0, 013) và 1 3 8/ 3 10 và 5 5 20 7 23 12/ 4 và 4 −3 2 14/ 5300 và 8300 6 ( −2 3 15/ 5 − 2 ) và 0,125 10 3 π 2 π 20/ và 2 2 11 19/ 0, 02 2 28 5 −10 4/ 1 1 7/ và 3 3 π π 14/ và 4 4 − 2 ( ) và 10 3/ 2−2 và 1 và 5 −3 17/ −5 ( 2) và − 2 3 21/ 5 ( 2) −4 5 4 5 18/ và 5 4 − 2 2 và 2 22/ ( 1 4 ) ( 3 − 1 và ) 3 −1 2 2 Bài 3. So sánh hai số m, n nếu: 1/ 3, 2m < 3,2n 5/ ( 2/ m ) ( 5 −1 < ) n n ( 2) > ( ) n 5 −1 m 1 1 2 3/ và 9 9 m 6/ ( m ) ( 2 −1 < m n 3 3 4/ > 2 2 n ) 2 −1 Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu: 1/ − (a − 1) 2 3 − < (a − 1) - 2 - www.mathvn.com 1 3 −0,2 2/ −3 (2a + 1) Ch −1 > (2a + 1) ng II. Hàm s m 1 3/ a < a2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 4/ − (1 − a ) 3 1 3 − > (1 − a ) 1 2 5/ 7 7/ a < a Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau: 3 7 1/ A = (−1) . − 8 3 (2 − a ) 8/ a − 1 17 3 4 > (2 − a )
a a 2 2/ 6 (−3) .(−15) .8 B= 9 .(−5) . (−6) 6 2 1 2 3 4 4 2 3 2 3/ C = 4 + 8 3 − 5 4/ D = 32 2 2 3 7 5/ 3 3 (−18) .2 .(−50) E= (−25) .(−4) 4 4 6/ F = 5 2 25 . (−5) 4 3 −2 23.2−1 + 5−3.54 − (0, 01) 7/ G = 3 1256.(−16) .(−2) 1 1 1 1 1 3 3 3 3 8/ H = 4 − 10 + 25 2 + 5 3 −3 0 10−3 : 10−2 − (0,25) + 10−2. (0, 01) 4 5 9/ I = 3 4. 4 64. 2 3 5 10/ J = 32 81. 5 3. 5 9. 12 2 3 3 . 18. 5 27. 6 Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1/ A = 4 4/ D = 3 Bài 7. x 2 . 3 x , (x ≥ 0) 2 33 2 . . 3 2 3 5 5/ E = 4 3 a 8 3/ C = 5 2. 2 2 5 b2 b 6/ F = 3 3 b b Đơn giản các biểu thức sau: a 1,5 + b 1,5 − a 0,5 .b 0,5 0,5 0,5 2.b 0,5 a + b 1/ A = + 0,5 a −b a + b 0,5 Ch b 3a . , (a, b ≠ 0) a b 2/ B = a 0,5 + 2 a 0,5 − 2 a 0,5 + 1 . 2/ B = − a + 2a 0,5 + 1 a − 1 a 0,5 1 1 1 1 1 1 x 2 + 3y 2 x 2 − 3y 2 x 2 − y 2 + . 3/ C = 2 1 x − y 2 1 x 2 − y 2 1 1 1 3 1 1 x 2 − y 2 2 2 x 2y 2 x + y 2y . + 1 − 4/ D = 1 1 1 2 x + y x − y xy + x 2y xy 2 − x 2y 2 2 1 2 4 1 3 3 3 3 3 3 5/ E = a − b . a + a a + b 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 6/ F = a − b . a + b . a + b 2 ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 3 - Ths. Lê Văn Đoàn 1 1 1 a 2 + 2 a 2 − 2 a 2 + 1 . − 7/ G = 1 1 a − 1 a + 2a 2 a 2 9/ I = 3 a − 3b 6 a − 6b Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 −1 8/ H = a−1 + (b + c) b2 + c2 − a2 −2 1 + (a + b + c) . −1 2bc a−1 − (b + c) ab 4 ab − b : 10/ J = ab − a −b a + ab a 2 4 x + x a − a 2 + x + 2a x 11/ K = a 4 x + ax x x x − 13/ M = 4 3 4 3 x − 1 − x x + 1 − x 4 4 x + 1 x − 1 5 3 3 2 2 + 27.y 5 15/ O = + 3.10 32y 5 − 2 .3−2 2 + 3 y 3 a +x 4 3 12/ L = 3 a2 − x 2 + 3 ax 2 − a 2x 3 3 a 2 − 2 3 ax + x 2 − 6 x 6 a−6x 3 3 3 3 2 3 a a − 2a 3 b + a 2b 2 a b − ab 2 3 14/ N = + : a 3 3 2 a − 3 b a − 3 ab 1 1 1 1 3 3 3 8b − a a b a − 2b 3 16/ P = + 1 1 2 1 1 2 − − − − 6 −3 2a − b 3 4a 3 + 2a 3b 3 + b 3 1 3 1 a 3 b 2 a 2 1 + : a 4 + b 4 17/ Q = a 8 b 3 b 3 a ( 18/ R = 2 a + b −1 ) 1 (ab )2 2 2 1 a b 1 + − 4 b a Bài 8. Giải các phương trình sau: x +1 5 x 1/ 4 = 1024 2x 4/ (3 3 ) 2/ x −2 1 = 9 5 2 . 2 5 x 2 5/ 9 = −x 8 . 27 0, 25 −x 1 2x −8 .32 = 7/ 8 0,125 8/ 0, 2 = 10/ 5x.2x = 0, 001 11/ 8 125 27 = 64 1 32 3/ 81−3x = x 2 −5 x +6 3 6/ 2 =1 3 x −7 x 9 9/ 49 0, 008 x x ( 12 ) ( 3 ) = 1 6 7 x −3 7 = 3 12/ 71−x.41−x = 1 28 Bài 9. Giải các bất phương trình sau: x x 1/ 0,1 > 100 1 2/ > 3 0, 04 5 x +2 4/ 7 1 5/ 3 x +2 . 49 x 7/ 3. ( 3) 1 > 27 - 4 - www.mathvn.com x 1 <9 27 1−x 8/ 27 .3 6/ 3x < 100 9 1 9 3 x 1 < 3 Ch 3/ 0, 3x > 9/ ng II. Hàm s m 3 1 2 > 1 64 Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài 10. Giải các phương trình sau: Ch 1/ 2x + 2x +2 = 20 2/ 3x + 3x +1 = 12 3/ 5x + 5x −1 = 30 4/ 4x −1 + 4x + 4x +1 = 84 5/ 42x − 24.4x + 128 = 0 6/ 4x +1 + 22x +1 = 48 7/ 3.9x − 2.9−x + 5 = 0 8/ 3 ng II. Hàm s m x 2 −5x +6 Hàm s l y th a =1 Hàm s Logarit 9/ 4x + 2x +1 − 24 = 0 www.mathvn.com - 5 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 2: LOGARIT 1. Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa a > 0, a ≠ 1 log b Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a = b . Chú ý: có nghĩa khi a b > 0 α Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b b/ Tính chất Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Khi đó: Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c loga 1 = 0 Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c loga a b = b loga a = 1 a loga b =b c/ Các qui tắc tính logarit Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Ta có: loga b.c = loga b + loga c b loga = loga b − loga c loga b β = β. loga b loga b 2 = 2 loga b ( ) c d/ Các công thức đổi cơ số Cho a, b, c > 0 và a, b ≠ 1 . Ta có: logb c = loga c loga b ⇒ loga b. logb c = loga c loga b = log 1 b = − loga b 1 . loga b , (β ≠ 0) β loga β b = a 1 logab c = ln b 1 , loga b = logb a ln a 1 1 + loga c logb c a log c log a b =c b 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 2/ B = log5 1/ A = log2 4. log 1 2 4 4/ D = 4 7/ G = log2 3 +9 log 3 2 loga 3 a . loga 4 a log 1 a 7 5/ E = log 1 . log27 9 25 2 2 3/ C = loga 6/ F = 27 8 3 log9 2 a +4 log8 27 1 3 8/ H = log 3 6. log 8 9. log6 2 9/ I = 9 2 log3 2 + 4 log81 5 a - 6 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph log3 5 10/ J = 81 13/ M = 9 ng pháp gi i toán 12 + 27 1 log6 3 log9 36 4 log9 7 www.MATHVN.com log5 6 +3 11/ K = 25 1 log8 4 +4 15/ P = lg (tan10 ) + lg (tan20 ) + ... + lg(tan890 ) 17/ R = 3 5 log3 2 + log 3 (log 28) + 49 Ths. Lê Văn Đoàn log7 8 12/ L = 5 1+log9 4 14/ N = 3 2−log 3 log 3−2 log5 4 27 + 4 2 + 5 125 16/ Q = log 8 log 4 (log2 16) . log2 log 3 (log4 64) 1 3 18/ S = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 45 2 3 3 3 Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán. 1/ Cho log12 27 = a . Tính log6 16 theo a . 2/ Cho log2 14 = a . Tính log 49 7 32 và log49 32 theo a . 3/ Cho log2 5 = a; log2 3 = b . Tính log3 135 theo a, b . 4/ Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a . 3 5/ Cho loga b = 3 . Tính log b a b a ( ) 6/ Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000; lg 0, 000027 ; 7/ Cho loga b = 5 . Tính log 1 log 81 100 . b ab a 8/ Cho log 7 2 = a . Tính log 1 28 theo a . 2 9/ Cho loga b = 13 . Tính log b 3 ab 2 . a 49 theo a, b . 8 11/ Cho lg 3 = a; lg 2 = b . Tính log125 30 theo a, b . 10/ Cho log25 7 = a; log2 5 = b . Tính log 3 5 12/ Cho log30 3 = a; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b . 13/ Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b . 14/ Cho log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c . 15/ Cho loga b = 7 . Tính loga a b b3 16/ Cho log27 5 = a; log 8 7 = b; log2 3 = c . Tính log6 35 theo a, b, c . 121 theo a, b . 8 Bài 3. Cho a > 0, a ≠ 1 . Chứng minh rằng: loga (a + 1) > log a +1 (a + 2) ( ) 17/ Cho log 49 11 = a; log2 7 = b . Tính log 3 HD: Xét A = log(a +1) (a + 2) loga (a + 1) 7 = log(a +1) (a + 2) . log(a +1) a ≤ (∗) log(a +1) (a + 2) + log(a +1) a 2 2 log(a +1) a (a + 2) log(a +1) (a + 1) < = = 1 ⇒ (Đpcm). 2 2 Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 4. So sánh các cặp số sau: 1 3 2/ log 0,1 2 và log 0,2 0, 34 1 1 và log 1 80 2 2 15 + 5/ log13 150 và log17 290 6/ 2 8/ log2 3 và log3 4 9/ log9 10 và log10 11 1/ log3 4 và log4 4/ log 1 3 3 3/ log 3 4 7/ log7 10 và log11 13 log6 3 2 3 và log 5 5 4 2 và 3 log6 1 2 1 1 < 4 < log 1 80 2 3 2 15 + 5/ CM: log13 150 < 2 < log17 290 HD: 4/ CM: log 1 7/ Xét A = log7 10 − log11 13 = = log7 10. log7 11 − log7 13 log7 11 1 10.11.7 10 11 + log7 . log7 > 0 log7 log 7 11 7.7.13 7 7 8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức (∗) bài tập 3. Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa) 1/ b loga c =c loga b ( ) 2/ logax bx = loga b + loga x 1 + loga x 3/ loga c + logb c = 4/ loga c logab c loga c. logb c logab c = 1 + loga b a +b 1 = (logc a + logc b ), với a 2 + b 2 = 7ab 3 2 1 6/ loga (x + 2y ) − 2 loga 2 = (loga x + loga y ), với x 2 + 4y 2 = 12xy 2 3a + b 1 = (lg a + lg b ) , với 9a 2 + b 2 = 10ab 7/ lg 4 2 8/ log b +c a + log c −b a = 2 log c +b a. log c −b a với a 2 + b 2 = c 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 5/ logc 9/ k (k + 1) 1 1 1 1 1 + + + + ... + = loga x loga 2 x loga 3 x loga 4 x loga k x 2 loga x 10/ loga N . logb N + logb N . logc N + logc N . loga N = 11/ x = 10 12/ 1 1−lg z với y = 10 1 1−lg x và z = 10 loga N . logb N . logC N logabc N 1 1−lg y 1 1 1 1 + + ... + = log2 N log 3 N log2009 N log2009 ! N - 8 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph 13/ Ch ng pháp gi i toán 12 loga N − logb N logb N − logc N ng II. Hàm s m = loga N logc N www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn với a, b, c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 9 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Kiến thức cơ bản 1.1/ Khái niệm a/ Hàm số lũy thừa y = x α ( α là hằng số) Hàm số y = x α Tập xác định D α = n ( n nguyên dương) y = xn D=ℝ α = n ( n nguyên dương âm hoặc n = 0 ) y = xn D = ℝ \ {0} α là số thực không nguyên y = xα D = (0, +∞) Số mũ α 1 Lưu ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = ( n x , (n ∈ ℕ *) ) b/ Hàm số mũ y = a x , a > 0, a ≠ 1 Tập xác định: D = ℝ Tập giá trị: T = 0, +∞ ( ) ○ Khi a > 1 hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến. Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. Dạng đồ thị: y y = ax y = ax y 0
1 1 1 x O ( x O ) c/ Hàm số logarit y = loga x , a > 0, a ≠ 1 ( Tập xác định: D = 0, +∞ ) Tập giá trị: T = ℝ ○ Khi a > 1 hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến. Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Dạng đồ thị: y y 0
1 y = loga x O 1 1 x x O y = loga x - 10 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1.2/ Giới hạn đặc biệt ( lim 1 + x x →0 ln (1 + x ) x 1 = lim 1 + = e x →±∞ x 1 x ) lim x x →0 ex − 1 lim =1 x →0 x =1 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp ' Đạo hàm hàm số hợp ' (x ) = α.x , (x > 0) (a ) = a . ln a (e ) = e α ' x x ( ) ⇒ (a ) = a . ln u.u ' ⇒ (e ) = e .u ' α −1 ⇒ u α = α.u α−1.u ' x ' u x (log x ) = x ln1 a (ln x ) = x , (x > 0) u ' n ' x = ' u ( 1 ( ) L u ý: u ⇒ loga u a ' ' ) = u uln' a ' ' ⇒ (ln u ) = 1 Với x > 0 nếu n chẳn. Với x < 0 nếu n lẻ. n n. x n −1 ⇒ u' u ' ( ) n u = u' n n. u n −1 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Tính các giới hạn sau: x x 1/ lim x →+∞ 1 + x 3x − 4 4/ lim x →+∞ 3x + 2 1 2/ lim 1 + x →+∞ x x +1 3 x x 2x + 1 6/ lim x →+∞ x − 1 e 2x − 1 x →0 3x ex − e x →1 x − 1 1 12/ lim x e x − 1 x →+∞ 8/ lim e x − e −x x →0 sin x 11/ lim x →e 2x −1 x + 1 3/ lim x →+∞ x − 2 x + 1 5/ lim x →+∞ 2x − 1 ln x − 1 x −e 7/ lim x +1 x 9/ e sin 2x − e sin x x →0 x 10/ lim lim Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4x 2 − 3x − 1 1/ y = 3 4/ y = x + x + x Ch 7/ y = 3 10/ y = 3 2 ( 2/ y = x 2 + x − 4 5/ y = 1 1 + + x x 8/ y = sin (2x + 1) 11/ y = cot 3 1 + x 2 ng II. Hàm s m Hàm s l y th a ( ) 3/ y = x 2 − 3x + 2 1 3 x +1 x −1 x +x +1 4 ) 1 4 Hàm s Logarit 6/ y = (m +n ) m 3 n (1 − x ) .(1 + x ) x 9/ y = 12/ y = 5 x2 + x − 2 x2 + 1 1 − 3 2x 1 + 3 2x www.mathvn.com - 11 - Ths. Lê Văn Đoàn 13/ y = x +3 4 sin 3 Phân lo i và ph www.MATHVN.com 14/ y = 11 5 9+6 x 9 ng pháp gi i toán 12 15/ y = 4 x2 + x + 1 x2 − x + 1 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) ( 4/ y = e 2x +x ) 3/ y = e −2x sin x 2/ y = x 2 + 2x e −x 1/ y = x 2 − 2x + 2 e x 2 5/ y = xe 7/ y = 2x e cos x 8/ y = 1 x− x 3 6/ y = 3x x2 − x + 1 e 2x + e x e 2x − e x 9/ y = cos x .e cot x Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) ( 1/ y = ln 2x 2 + x + 3 2/ y = log2 cos x ) ( ( 4/ y = 2x − 1 ln 3x 2 + x ) ) ( ( ) (cos x ) 3/ y = e x . ln cos x 5/ y = log 1 x 3 − cos x ) 6/ y = log3 2 7/ y = ln (2x + 1) 8/ y = 2x + 1 ln (2x + 1) ( 9/ y = ln x + 1 + x 2 x +1 ) Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1/ y = x .e − x2 2 ( ) ( ; xy ' = 1 − x 2 y ) 2/ y = x + 1 e x ; y '− y = e x 3/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''+ 2y '− 12y = 0 4/ y = a.e −x + b.e −2x ; y ''+ 3y '+ 2y = 0 5/ y = e −x sin x ; y ''+ 2y '+ 2y = 0 6/ y = e −x cos x ; y 7/ y = e 9/ y = sin x ; y ' cos x − y sin x − y '' = 0 8/ y = e 1 2 x x e ; y ''− 2y '+ y = e x 2 2x (4) + 4y = 0 sin 5x ; y ''− 4y + 29y = 0 10/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''− 13y − 12y = 0 Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1 y 1 + x ; xy '+ 1 = e 1/ y = ln ( ) ( 2/ y = ) 3/ y = sin ln x + cos ln x ; y + xy '+ x 2y '' = 0 5/ y = 4/ y = x2 1 + x x2 +1 + ln x + x2 +1 ; 2y = xy '+ lny ' 2 2 1 ; xy ' = y (y ln x − 1) 1 + x + ln x 1 + ln x x (1 − ln x ) ( )( ; 2x 2y ' = x 2y 2 + 1 ) 6/ y = x2 +1 ex +2010 ; y ' = 2xy +ex x2 +1 2 x +1 ( ) Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra: ( ) 1/ f '(x ) = 2 f (x ) ; f (x ) = e x x 2 + 3x + 1 ( ) 1 f (x ) = 0 ; f (x ) = x 3 ln x x 4/ f '(x ) = 0 ; f (x ) = e2x −1 + 2e1−2x + 7x − 5 2/ f '(x ) + ( ) 3/ f '(x) > g '(x) ; f (x) = x + ln x − 5 ; g(x) = ln x −1 1 2 5/ f '(x ) < g '(x ) ; f (x ) = .52x +1 ; g(x ) = 5x + 4x ln 5 Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1/ y = x −4 - 12 - www.mathvn.com 2/ y = x 1 4 3/ y = x Ch − 1 2 ng II. Hàm s m 4/ y = x Hàm s l y th a 5 Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x ( 2) 8/ y = 1 5/ y = x −5 6/ y = 2x 7/ y = 4−x 9/ y = log2 x 10/ y = log 1 x 11/ y = ln x + 1 ( ) ( 12/ y = ln 1 − 3x ) 2 Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Cơ sở lý thuyết 1.1/ Phương trình mũ cơ bản b > 0 x = loga b Với a > 0, a ≠ 1 thì a x = b ⇔ 1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a f (x ) = a g (x ) Với a > 0, a ≠ 1 thì a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: a = 1 a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0 ⇔ M = N ( ) Logarit hóa: a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = loga b .g(x ) Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) x 1/ (0, 04) = 625. 3 5 2 1−x ( ) 2 3/ 28−x .58−x = 0, 001. 105 5/ 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x 8 32 (1) 2/ 0,125.161−x = ( 3) (5) 4/ 32x −1.153x .5−3x = 3 (2) 9 6/ 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (4 ) (6) Bài giải tham khảo x (0, 04) 1/ Giải phương trình: x (1) ⇔ (5 ) −2 1 3 4 3 = 625. 5 −2 x = 5 .5 ⇔ 5 =5 2/ Giải phương trình: 0,125.161−x = 13 3 8 32 (1) ⇔ −2x = 13 13 ⇔ x =− 3 6 (2) 3 1−x (2) ⇔ 2 .(2 ) −3 4 1 − 22 1 9 = 5 ⇔ 24−4 x = 2 2 ⇔ 4 − 4x = − ⇔ x = 2 8 2 2 2 8−x 2 (3) ⇔ (2.5) Ch 1−x ( ) 3/ Giải phương trình: 28−x .58−x = 0, 001. 105 ( 3) 2 = 10−3.105−5x ⇔ 108−x = 102−5x ⇔ 8 − x 2 = 2 − 5x ⇔ x = −1; x = 6 ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 13 - Ths. Lê Văn Đoàn 3 4/ Giải phương trình: 32x −1.153x .5−3x = (4 ) ⇔ 3 2 x −1 3x Phân lo i và ph www.MATHVN.com ( 3x −3 x .3 . 5 .5 )= 3 2 3 ⇔3 (4 ) 9 5x −1 2 3 = 3 ⇔ 5x − 1 = 2 1 ⇔ x= 3 3 (5) 5/ Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x −2 x 3 3 (5) ⇔ 3 (5 + 4) = 2 (7 − 3) ⇔ 3 .9 = 2 .4 ⇔ 2 = 2 x x x x 6/ Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 x −2 (6) ⇔ 5 (5 x −2 2 ) x −2 + 5+1 = 3 ( ng pháp gi i toán 12 (6) 0 5 3 + 3 + 1 ⇔ 3 5 = 1 = ⇔ x = 2 3 ) 3 ⇔ x = −2 Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) x x (1) 1/ 35 = 53 ( 3/ x + 2 ) x −1 x −3 = (x + 2) (2) 2/ 3x = 25−2x ( ( 3) ) 4/ x 2 + 3 2 x −5 x +4 ( x +4 ) = x2 + 3 (4 ) Bài giải tham khảo x x 1/ Giải phương trình: 35 = 53 (1) x (1) ⇔ log (3 ) = log (5 ) 5x 3 3x 3 ( x −3 ) 2/ Giải phương trình: x + 1 5 ⇔ 5 = 3 log3 5 ⇔ = log3 5 ⇔ x = log 5 (log3 5) 3 x x 3 = 1 (2) (2) ⇔ log (3 ) = log (2 ) ⇔ x = (5 − 2x ) log 5−2x x 3 3 ( 3/ Giải phương trình: x + 2 x −1 ) x −3 = (x + 2) 3 2 ⇔ x (1 + 2 log3 2) = 5 log3 2 ⇔ x = 5 log3 2 1 + 2 log3 2 ( 3) 0 < x + 2 ≠ 1 −2 < x ≠ −1 Điều kiện: ⇔ ⇔ x ≥1 x − 1 ≥ 0 (3) ⇔ (x + 2) − 1 . x ≥ 1 x − 1 − (x − 3) x = − 1 (L ) x + 2 = 1 = 0 ⇔ ⇔ x − 3 ≥ 0 x − 1 = x − 3 2 x − 1 = (x − 3) x ≥ 3 x ≥ 3 ⇔ 2 ⇔ x = 2 ⇒ x = 5 x − 7x + 10 = 0 x = 5 ( ) 4/ Giải phương trình: x 2 + 3 x 2 −5 x +4 ( x +4 ) = x2 + 3 (4 ) x 2 + 2 = 0 (VN ) 2 2 (4) ⇔ x + 3 − 1 x − 5x + 4 − (x + 4) = 0 ⇔ x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0 ( ) - 14 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x ∈ (1; 4) x ∈ (1; 4) 2 −x + 5x − 4 − x − 4 = 0 VN ⇔ ⇔ ⇔ x = 0; x = 6 x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞) x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞) x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0 x = 0; x = 6 ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ( Dạng 1: P a f (x ) ) t = a f (x ), t > 0 =0⇔ P (t ) = 0 f (x ) ( ) Dạng 2: α.a 2 f (x ) + β. ab + λ.b 2 f (x ) = 0 f (x ) ⇒ Chia hai vế cho b 2 f (x ) a , rồi đặt ẩn phụ t = b > 0 (chia cơ số lớn nhất). Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m với a.b = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) = 1 . t Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn) 1/ 9x − 5.3x + 6 = 0 1 2/ 21+2x + 15.2x − 8 = 0 4/ 5 5/ 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 () ( 3) (5) 7/ 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 (7) 8/ (9) 10/ 41−2 sin 3/ 5x +1 − 52−x = 124 9/ 9sin 2 2 + 9cos x x =6 x − 51− x +4=0 6/ 5x + 251−x = 6 x x (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) 2 x + 9.4−2 cos 2 x =6 =5 (2) (4 ) (6) (8 ) (10) Bài giải tham khảo (1) 1/ Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0 x (1) ⇔ (3 ) 2 2 ( ) (1') t = 2 (N ) − 5t + 6 = 0 ⇔ t = 3 (N ) − 5.3x + 6 = 0 ⇔ 3x ( ) Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: 1' ⇔ t 2 − 5.3x + 6 = 0 Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = log 3 2 . Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = log 3 3 = 1 . 2/ Giải phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0 (2) ⇔ 2.2 2x 2 ( ) + 15.2x − 8 = 0 ⇔ 2. 2x (2) + 15.2x − 8 = 0 (2 ') t = 1 Đặt t = 2 > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 2t + 15t − 8 = 0 ⇔ 2 t = −8 x Ch ng II. Hàm s m 2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit (N ) (L) www.mathvn.com - 15 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 1 1 1 ⇒ 2x = ⇔ x = log2 ⇔ x = −1 2 2 2 Với t = 3/ Giải phương trình: 5x +1 − 52−x = 124 (3) ⇔ 5.5 x − 25 − 124 = 0 5x ( 3) (3 ' ) ( ) Đặt t = 5x > 0 . Khi đó: 3 ' ⇔ 5t − 25 − 124 = 0 ⇔ 5t 2 − 124t − 25 = 0 ⇔ t t = 25 (N ) t = −0, 2 L ( ) Với t = 25 ⇒ 5x = 25 ⇔ x = log5 25 = 2 4/ Giải phương trình: 5 x − 51− x +4=0 (4 ) Điều kiện: x ≥ 0 (4 ) ⇔ 5 x Đặt t = 5 − x 5 5 x (4 ' ) +4=0 > 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ t − Với t = 1 ⇒ 5 x =1⇔ 5 x 5 + 4 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (5) 5/ Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 (5) ⇔ 3 ( 2 1−x ) t = 1 (N ) t = −5 L ( ) 2 ( ) − 2.3.31−x − 27 = 0 ⇔ 31−x − 6.31−x − 27 = 0 t = −3 Đặt t = 31−x > 0 . Khi đó: 5 ' ⇔ t 2 − 6t − 27 = 0 ⇔ ( ) t =9 (5 ') (L) (N ) Với t = 9 ⇒ 31−x = 9 ⇔ 31−x = 32 ⇔ 1 − x = 2 ⇔ x = −1 6/ Giải phương trình: 5x + 251−x = 6 (6) ⇔ 5 x + (6) 25 25 25 − 6 = 0 ⇔ 5x + − 6 = 0 ⇔ 5x + −6 = 0 x x 2 25 52 5x ( ) ( ) (6 ') Đặt t = 5x > 0 . Khi đó: t = 5 25 3 2 t = 1 + 21 6 ' ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t − 6 t + 25 = 0 ⇔ t − 5 t − t − 5 = 0 ⇔ ( ) ( ) 2 2 t 1 − 21 t = 2 ( ) (N ) (N ) (L ) Với t = 5 ⇒ 5x = 1 ⇔ x = 0 . Với t = 1 + 21 1 + 21 1 + 21 . ⇒ 5x = ⇔ x = log5 2 2 2 7/ Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 - 16 - www.mathvn.com Ch (7) ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph (7) ⇔ 27.3 ng pháp gi i toán 12 3x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 27 81 x 3 33x + 1 + 81. 3x + 1 = 103 + + = ⇔ 81.3 10 27. 3 3x 3x 33x 3x + (7 ') 1 Côsi 1 ≥ 2 3x . x = 2 x 3 3 Đặt t = 3x + 3 1 1 1 1 1 ⇒ t = 3x + x = 33x + 3.32x . x + 3.3x . 2x + 3x ⇔ 33x + 3x = t 3 − 3t 3 3 3 3 3 3 ( ( ) ) Khi đó: 7 ' ⇔ 27 t 3 − 3t + 81t = 103 ⇔ t 3 = 10 1 10 ⇒ 3x + x = 3 3 3 Với t = 103 10 ⇔t = >2 27 3 (N ) (7 '') y = 3 (N ) 1 10 2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0 ⇔ Đặt y = 3 > 0 . Khi đó: (7 '') ⇔ y + = y = 1 (N ) y 3 3 x Với y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1 1 1 ⇒ 3x = ⇔ x = − 1 3 3 Với y = x ( 8/ Giải phương trình: 7 + 4 3 x x ) + (2 + 3 ) 2 (8) ⇔ 2 + 3 + 2 + 3 ( ) ( ) x Đặt t = 2 + 3 =6 (8 ) 2 x x −6 = 0 ⇔ 2+ 3 + 2+ 3 −6 = 0 t = 2 (N ) 2 > 0 . Khi đó: (8 ') ⇔ t + t − 6 = 0 ⇔ t = −3 (L ) ( x ) ( ) ( ) ( 8 ') x ( Với t = 2 ⇒ 2 + 3 9/ Giải phương trình: 9sin ) 2 = 2 ⇔ x = log (2+ 3 ) x 2 + 9cos x 2 (9) =6 Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn. 1−cos2 x (9) ⇔ 9 2 2 + 9cos ( x =6⇔ 9 9 2 cos2 x ) + 9cos x − 6 = 0 ( ) Đặt t = 9cos x , 1 ≤ t ≤ 9 . Khi đó: 9 ' ⇔ Với t = 3 ⇒ 9cos 2 x 2 = 3 ⇔ 32 cos x (9 ') 9 + t − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 9 = 0 ⇔ t = 3 t = 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình. u = 9sin2 x u + v = 6 Đặt . Khi đó: , (1 ≤ u, v ≤ 9) 2 2 2 2 2 v = 9cos x u.v = 9sin x .9cos x = 9sin x +cos x = 9 Theo định lí Viét, thì u, v chính là nghiệm của phương trình: X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − 6X + 9 = 0 ⇔ u = v = 3 Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 17 - Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 9sin 2 x = 9cos 2 Phân lo i và ph www.MATHVN.com x 2 = 3 ⇔ 9cos x =3⇔ x = ng pháp gi i toán 12 π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). 2 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 9sin 2 Dấu “=” xảy ra khi: 9sin - 18 - www.mathvn.com x 2 = 9cos x x 2 + 9cos Côsi x 2 ≥ 2 9sin x .9cos 2 x = 2. 9 = 6 ⇔ sin2 x = cos2 x ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = Ch ng II. Hàm s m π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 10/ Giải phương trình: 41−2 sin 2 x + 9.4−2 cos www.MATHVN.com 2 x (10) =5 2 (10) ⇔ 4 −1+2 cos2 x 2 Đặt t = 42 cos x ( ) 42 cos −5 = 0 ⇔ 4 x + 9 2 42 cos −5 = 0 x (10 ') , (ÐK : 1 ≤ t ≤ 16) . Khi đó: 10 ' ⇔ Với t = 2 ⇒ 4 + 9.4 −2 cos2 x Ths. Lê Văn Đoàn t = 18 t = 2 t 9 + − 5 = 0 ⇔ t 2 − 20t + 36 = 0 ⇔ 4 t 2 cos2 x 1 2 = 2 = 4 ⇔ 2 cos2 x = (L ) (N ) 1 1 π ⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + k π , (k ∈ ℤ) 2 2 3 Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất) 1/ 25x + 15x = 2.9x 1 2/ 9x +1 − 13.6x + 4x +1 = 0 2 () 3/ 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0 () 1 ( 3) 1 1 (4 ) 4/ 2.4 x + 6 x = 9 x Bài giải tham khảo (1) 1/ Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x 2 x x 3 15x 9x 3 (1) ⇔ 1 + 25x = 2. 25x ⇔ 2. 5 − 5 + 1 = 0 (1') t = 1 x 3 2 Đặt: t = > 0 . Khi đó: (1') ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇔ 5 t = − 1 2 x +1 x x +1 2/ Giải phương trình: 9 − 13.6 + 4 = 0 (2) (N ) 3 . Với t = 1 ⇒ 5 (L) x =1⇔ x = 0 2 x x x x 9 6 3 3 (2) ⇔ 9.9 − 13.6 + 4.4 = 0 ⇔ 9. 4 − 13. 4 + 4 = 0 ⇔ 9. 2 − 13. 2 + 4 = 0 x 3 t = 1 (N ) 2 Đặt: t = > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 9t − 13t + 4 = 0 ⇔ t = 4 (N ) 2 9 x x x (2 ') x 3 Với t = 1 ⇒ = 1 ⇔ x = 0 2 x 3 4 4 Với t = ⇒ = ⇔ x = −2 9 9 2 3/ Giải phương trình: 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0 ( 3) 2 x x x x 49 35 7 7 (3) ⇔ 49 − 2.35 − 35.25 = 0 ⇔ 25 − 2. 25 − 35 = 0 ⇔ 5 − 2. 5 − 35 = 0 x Ch x ng II. Hàm s m x Hàm s l y th a Hàm s Logarit ( 3 ') www.mathvn.com - 19 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com x 7 Đặt: t = > 0 . Khi đó: (3 ') ⇔ t 2 − 2t − 35 = 0 ⇔ 5 t = 7 t = −5 ng pháp gi i toán 12 (N ) (L) x 7 Với t = 7 ⇒ = 7 ⇔ x = log 7 7 5 5 1 1 1 (4 ) 4/ Giải phương trình: 2.4 x + 6 x = 9 x Điều kiện: x ≠ 0 1 x 4 (4) ⇔ 2. 9 x 2 Đặt: t = 3 2 1 x 2 x 6 2 + − 1 = 0 ⇔ 2. + − 1 = 0 (4 ') 3 9 3 t = −1 (L ) 2 > 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ 2t + t − 1 = 0 ⇔ t = 1 (N ) 2 1 x x 2 1 1 1 Với t = ⇒ = ⇔ x = log 2 2 2 2 3 3 Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3) x x x ( ) + (2 − 3 ) = 4 3/ (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2 1/ 2 + 3 x x x +3 x (1) 3 3 2/ 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10 ( 3) 4/ ( sin x 8+3 7 ) (2) sin x ( + 8−3 7 ) (4 ) = 16 Bài giải tham khảo x x ( ) + (2 − 3 ) = 4 (1) Nhận xét: (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 ⇔ (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 = 1 ⇔ (2 + 3 ) . (2 − 3 ) 1 1 1 Đặt: t = (2 + 3 ) > 0 ⇒ (2 − 3 ) = = >0⇒t = = (2 − 3 ) t (2 + 3 ) (2 − 3 ) 1/ Giải phương trình: 2 + 3 x x x x x =1 −x x x x 1 t = 2 + 3 > 0 (N ) 2 (1) ⇔ t + t = 4 ⇔ t − 4t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 3 > 0 (N ) x ( ) 3 ⇒ (2 − 3 ) Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 =2+ 3 ⇔ x =1 −x Với t = 2 − = 2 − 3 ⇔ x = −1 x x 3 3 2/ Giải phương trình: 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10 ( (2) ⇔ 5 + 2 6 ) x 3 ( + 5−2 6 - 20 - www.mathvn.com ) x 3 − 10 = 0 (2) (2 ') Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2...
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải ...
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs...
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet tr...
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi ...
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán...
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ...
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học...
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2...
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng...
76
58251
181
100 đề ôn thi tốt nghiệp thpt...
58
57709
153
Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán năm 2018 (rất...
352
57582
298
19 Vấn đề hình học giải tích trong không gian Oxyz...
55
56688
146
Www.mathvn.com - hdc toan thpt...
5
54249
135
Lý thuyết và phương pháp giải đại số - giải tích 12...
296
51590
166
KHO TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA FULL MÔN...
31
48693
1308
Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn toán hay...
62
46409
85
De tai khac phuc mot so sai lam cho hoc sinh lop 1...
14
43195
109
9pp-giai-pt-mu-logarit-ttanh-www.mathvn.com...
13
42186
118
Tailieutonghop.com---van de xap xi ngau nhien va ung...
8
41284
110
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Giáo trình điều khiển hệ đa tác tử
186
1
111
Giáo trình toán cao cấp
159
1
138
Giáo trình giải tích đa trị
224
1
143
Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán
240
1
77
Bài giảng tích phân bội và giải tích vectơ
171
1
63
Giáo trình giải tích (trường đh vinh)
285
1
129
Bài giảng tôpô
89
1
145
Bài giảng giải tích hàm
116
1
106
Bài giảng hình học vi phân của đường và mặt
61
1
81
Bài giảng đại số tuyến tính
102
1
97
Tài liệu xem nhiều nhất
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng oxy-p2
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet trong khu nhieu chuoi thoi gian
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi tri con lac nguoc
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ đạo học sinh yếu, kém về môn toán lớp 4
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng
76
58251
181