A-
§Æt vÊn ®Ò:
I.Lý do chän ®Ò tµi:
Trong nhµ trêng nãi chung, trêng THCS nãi riªng, viÖc d¹y ®óng chuÈn
kiÕn thøc kü n¨ng cña ch¬ng tr×nh lµ mét nhiÖm vô quan träng cña mçi ngêi
gi¸o viªn ®øng líp. MÆt kh¸c, viÖc båi dìng cho häc sinh kh¸, giái còng lµ
mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt vµ ph¶i ®îc tiÕn hµnh thêng xuyªn. ViÖc båi dìng
kh«ng chØ gióp cho häc sinh n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc, kü n¨ng c¬ b¶n mµ
cßn cã thãi quen suy nghÜ, t×m hiÓu kü vÊn ®Ò ®Ó råi suy luËn mét c¸ch hîp
l«gÝc t×m ra ®îc c¸ch gi¶i nh÷ng bµi tËp khã, gióp c¸c em rÌn trÝ th«ng minh
s¸ng t¹o, cã høng thó trong khi häc tËp.
Th«ng qua c¸c ho¹t ®éng gi¸o dôc kh«ng nh÷ng trang bÞ cho c¸c em
nh÷ng tri thøc khoa häc mµ ®iÒu quan träng ngêi GV cßn truyÒn cho c¸c em
sù say mª, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu khoa häc nh»m ®µo t¹o ®îc nh÷ng thÕ hÖ
häc sinh phï hîp víi yªu cÇu cña x· héi, cña thêi ®¹i.
Víi mçi bµi to¸n, viÖc t×m ra lêi gi¶i nhiÒu khi kh«ng ph¶i lµ khã nhng
thùc ra sau mçi bµi to¸n cã biÕt bao ®iÒu lÝ thó. NÕu ngêi thÇy kh«ng biÕt kh¬i
dËy ë häc sinh ãc tß mß, sù t×m tßi kh¸m ph¸ nh÷ng bÝ Èn sau mçi bµi to¸n mµ
chØ gi¶i xong bµi to¸n lµ kÕt thóc th× viÖc d¹y häc trë nªn nh¹t nhÏo vµ ®iÒu
quan träng h¬n lµ nÕu sau mçi bµi to¸n ta t×m ®îc mét chuçi bµi to¸n liªn quan
tõ dÔ ®Õn khã th× cã thÓ rÌn luyÖn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh, ®ång
thêi kiÕn thøc sÏ ®îc më réng h¬n, hÖ thèng h¬n.
Lµ mét gi¸o viªn d¹y to¸n ®· nhiÒu n¨m t«i lu«n tr¨n trë vÒ ®iÒu ®ã.
Lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh cã thÓ tiÕp thu ®îc bµi, vËn dông tèt trong viÖc lµm
bµi tËp ®ång thêi kh¬i dËy ®îc tÝ tß mß cña c¸c em, gióp c¸c em cã ph¬ng
ph¸p t×m tßi, t duy to¸n häc ®Æc biÖt ®èi víi m«n H×nh häc, mét m«n mµ c¸c
em lu«n “ ng¹i” trong khi thêi gian trªn líp kh«ng nhiÒu.
Víi sù t×m tßi cña b¶n th©n vµ qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, t«i xin tr×nh bµy
gi¶i ph¸p:
“Khai th¸c, ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n vÒ gãc”
RÊt mong ®îc c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o vµ gãp ý.
II. ph¹m vi, §èi tîng nghiªn cøu vµ ¸p dông
2
1. Ph¹m vi nghiªn cøu:
- C¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n ë trêng THCS.
- Néi dung s¸ch gi¸o khoa H×nh häc 8, H×nh häc 9, c¸c tµi liÖu tham kh¶o vµ
c¸c chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n.
- Ph¬ng ph¸p t×m tßi lêi gi¶i mét bµi to¸n cña P«lya.
- Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vµ qua häc hái ®ång nghiÖp.
2. §èi tîng ¸p dông:
- §Ò tµi ®îc ¸p dông víi ®èi tîng lµ häc sinh cña líp n©ng cao khèi 9 trêng
THCS n¬i t«i c«ng t¸c.
- Thêi gian: N¨m häc 2012 – 2013 vµ 2013 – 2014
B- Néi dung :
I/ Gi¶i ph¸p chung:
* GV nghiªn cøu gi¶ thiÕt su tËp c¸c d¹ng c©u hái khai th¸c.
* Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n nghiªn cøu, khai th¸c theo c¸c híng t duy sau:
+ §Æt c©u hái víi c¸c møc ®é ®ßi hái HS t duy cao h¬n.
+ Thay ®æi gi¶ thiÕt t¹o c¸c t×nh huèng ®ßi hái sù s¸ng t¹o, t duy cao h¬n
cña HS.
+ Ph¸t hiÖn bµi to¸n kh¸i qu¸t h¬n.
II/ VÝ dô cô thÓ:
1)Bµi to¸n 1.(bµi to¸n gèc).
Cho gãc xOy vµ mét ®iÓm I cè ®Þnh trªn tia ph©n
gi¸c Ot. §êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua ®iÓm I,
c¾t c¸c tia Ox, Oy lÇn lît t¹i M, N.
d
y
N
Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
E
1
1
lµ h»ng sè.
OM ON
t
I
O
D
Híng dÉn:
x
M
Dùng h×nh thoi ODIE víi D thuéc Ox, E thuéc Oy. Lóc ®ã c¸c ®iÓm D, E cè
®Þnh ®Æt OD = a (kh«ng ®æi).
3
a
a
IE
ID
IN
IM
+
= 1.
OM
ON OM ON MN MN
1
1
1
lµ h»ng sè.
OM ON a
Ta cã:
Bµi to¸n trªn kh¸ quen thuéc vµ kh«ng qu¸ khã víi ®èi tîng HS kh¸ giái nhng
nÕu biÕt khai th¸c ph¸t triÓn ta sÏ cã nh÷ng kÕt qu¶ rÊt lý thó vµ bæ Ých
2) Tæ chøc khai th¸c:
§Æt c©u hái víi c¸c møc ®é ®ßi hái HS t duy cao h¬n
- Khi ®iÓm I kh«ng thuéc tia ph©n gi¸c nhng vÉn n»m trong gãc xOy th× sao?
Ta cã thÓ kh¸i qu¸t hãa bµi to¸n khi xÐt ®iÓm I n»m trong gãc xOy nh sau:
Bµi to¸n 2:
Cho gãc xOy vµ mét ®iÓm I cè ®Þnh n»m trong gãc ®ã. §êng th¼ng d thay ®æi
lu«n ®i qua ®iÓm I, c¾t c¸c tia Ox, Oy lÇn lît t¹i M vµ N. Trªn c¸c tia Ox, Oy
lÇn lît lÊy ®iÓm D vµ E sao cho ID//Oy vµ IE//Ox. §Æt OD = a, OE = b
Chøng minh r»ng:
a
b
=1
OM ON
y
N
E
I
O
M
D
x
Híng dÉn:
d
Chó ý r»ng D, E cè ®Þnh nªn a,b kh«ng ®æi. Chøng minh t¬ng tù bµi to¸n 1.
TiÕp tôc cho ®iÓm I chuyÓn tõ miÒn trong gãc xOy ra miÒn ngoµi gãc ®ã ta cã
bµi to¸n sau.
Bµi to¸n 3:
Cho hai ®êng th¼ng xx’ vµ yy’ c¾t nhau t¹i ®iÓm O. Mét ®iÓm I cè ®Þnh n»m
ngoµi c¸c gãc xOy, x’Oy’. §êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua ®iÓm I, c¾t c¸c
tia Ox, Oy lÇn lît t¹i M vµ N. LÊy c¸c ®iÓm D, E trªn c¸c ®êng th¼ng x’x, y’y
sao cho ID // y’y vµ IE // x’x. §Æt OD = a, OE = b.
d
a
b
Chøng minh r»ng
lu«n lµ h»ngxsè.
'
OM ON
I
y
D
E
N
Híng dÉn:
O
M
4
y'
x
Chøng minh t¬ng tù c¸c
bµi to¸n trªn, chó ý r»ng
nÕu ®iÓm I n»m trong gãc x’Oy
th×
a
b
= -1, cßn nÕu
OM ON
®iÓm I n»m trong gãc y’Ox th×
a
b
= 1.
OM ON
Mét c¸ch biÕn ®æi bµi to¸n lµ xÐt mÖnh ®Ò ®¶o cña c¸c bµi to¸n 2 vµ 3. §Ó lµm
gi¶m møc ®é phøc t¹p cña gi¶ thiÕt cã thÓ chuyÓn viÖc xÐt biÓu thøc chøa hai
tham sè a, b vÒ biÓu thøc chøa mét tham sè k
a
nh sau.
b
Bµi to¸n 4:
Cho hai ®êng th¼ng xx’ vµ yy’ c¾t nhau t¹i ®iÓm O. §êng th¼ng d thay ®æi
c¾t c¸c tia Ox, Oy lÇn lît t¹i M vµ N. NÕu tån t¹i sè k sao cho
1
k
OM ON
lu«n b»ng mét h»ng sè kh¸c 0 th× ®êng th¼ng d lu«n ®i qua mét ®iÓm cè
®Þnh.
Híng dÉn:
d
y
N
1
k
1
Gi¶ sö
OM ON a
E
O
x'
I
D
M
y'
a) XÐt trêng hîp k > 0, lóc ®ã a > 0.
Dùng ®iÓm D trªn tia Ox sao cho OD = a th× OD < OM.
KÎ DI // Oy vµ c¾t ®o¹n th¼ng MN t¹i I.
LÊy ®iÓm E trªn tia Oy sao cho OE = ID
th× ODIE lµ h×nh b×nh hµnh. Chøng minh t¬ng tù c¸c bµi to¸n 1, 2 ta cã
OD OE
1
OE
1
. Tõ ®ã vµ gi¶ thiÕt suy ra
1 =>
OM ON
OM OD.ON OD
OE
k OE k.OD k.a 0 .
OD
VËy D, E ®Òu lµ ®iÓm cè ®Þnh nªn I lµ ®iÓm cè ®Þnh n»m trong gãc xOy.
5
x
b) Víi trêng hîp k < 0. CÇn xÐt a > 0 hoÆc a < 0
c) Víi k = 0 th× M lµ ®iÓm cè ®Þnh cÇn t×m.
Chó ý r»ng khi
1
k
ON
0 th×
k nªn c¸c ®êng th¼ng d song song víi
OM ON
OM
nhau.
Ta l¹i thay ®æi gi¶ thiÕt b»ng c¸ch xÐt mét ®iÓm cè ®Þnh n»m trong ba gãc trong
cña mét tam gi¸c ta cã bµi to¸n 5.
Bµi to¸n 5 :
Cho tam gi¸c ABC víi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp. §êng th¼ng d thay ®æi lu«n
®i qua ®iÓm I, c¾t c¸c c¹nh AB, AC vµ tia CB lÇn lît t¹i M, N vµ P. Chøng minh
r»ng gi¸ trÞ biÓu thøc sau lµ kh«ng ®æi.
AB
AC
BC
AM.BM AN.CN BP.CP
Híng dÉn: Dùng c¸c h×nh thoi AGIK, BEIF, CRIS.
� FMI
� MBI
� IBE
� BIF
� FIM
� BPM
�
Do BMP
A
ð BP > BM.
§Æt AG = m, BE = p, CR = n.
Theo bµi to¸n 2, 3 ta cã
1
1
1 1
1
1
;
;
AM AN m CN CP n
1
1
1
.
BM BP p
K
G
N
I
F
M
P
B
E
R
S
C
Céng c¸c hÖ thøc nµy theo tõng vÕ råi biÕn ®æi ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
3) Bµi tËp:
Sau khi häc sinh nghiªn cøu xong bµi to¸n gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh vËn
dông lµm c¸c bµi tËp sau:
§Æc biÖt hãa bµi to¸n 5 ta sÏ cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 6 :
Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh b»ng a, I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp. §êng th¼ng d
thay ®æi lu«n ®i qua ®iÓm I, c¾t c¸c c¹nh AB, AC vµ tia CB lÇn lît t¹i M, N vµ P.
Chøng minh r»ng
a.
1
1
1
9
2
AM.BM AN.CN BP.CP a
6
b.
1
1
1
18
2 2 2
2
IM
IN
IP
a
TiÕp tôc ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn (më réng) ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 7:
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. §êng th¼ng d thay ®æi c¾t c¸c ®o¹n th¼ng AB, AD,
AC lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N, P.
Chøng minh r»ng:
AB AD AC
.
AM AN AP
Nh vËy tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n nÕu gi¸o viªn nghiªn cøu kü kÕt qu¶, khai
th¸c hîp lý sÏ ph¸t hiÖn ®îc c¸c kiÕn thøc míi lµm giµu tri thøc to¸n häc cho
b¶n th©n vµ h×nh thµnh ph¬ng ph¸p nghiªn cøu khoa häc, s¸ng t¹o tõ ®ã truyÒn
t¶i ®Õn häc sinh nh÷ng kiÕn thøc bæ Ých, lý thó vµ cã hÖ thèng nhÊt ®ång thêi
h×nh thµnh cho c¸c em c¸ch t duy s¸ng t¹o ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc chñ ®éng
trong qu¸ tr×nh häc vµ tù häc cho c¸c em.
Trªn ®©y míi chØ lµ mét vÝ dô vÒ híng gîi më t¹o t×nh huèng cho HS, tõ
bµi to¸n 1 víi c¸ch lµm trªn mçi GV d¹y to¸n cã thÓ tæ chøc, t¹o t×nh huèng
cho HS khai th¸c t×m hiÓu vµ vËn dông theo c¸c híng kh¸c nhau ®Ó thu c¸c kÕt
qu¶ quan träng vµ hÊp dÉn kh¸c.
C - KÕt luËn:
I/ KÕt qu¶ ®¹t ®îc.
Sau qu¸ tr×nh ¸p dông gi¶i ph¸p trªn ®Æc biÖt víi ®èi tîng HS giái t«i nhËn
thÊy:
1/ KiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n cña häc sinh ®îc cñng cè vµ kh¾c s©u.
2/ RÌn ph¬ng ph¸p häc tËp cho häc sinh: cã ý thøc nghiªn cøu kü kÕt qu¶
c¸c bµi to¸n dï lµ ®¬n gi¶n ®Ó t×m hiÓu b¶n chÊt ®ång thêi ph¸t hiÖn, khai th¸c
®îc c¸c kÕt qu¶ lý thó kh¸c.
3/ RÌn cho HS kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc linh ho¹t vµ s¸ng t¹o.
4/ Häc sinh cã ý thøc x©y dùng bµi to¸n kh¸i qu¸t h¬n tõ nh÷ng bµi to¸n
c¬ b¶n.
Tríc ®©y khi cha ¸p dông c¸c biÖn ph¸p trªn, kÕt qu¶ c¸c bµi kiÓm tra kh¶o
s¸t häc sinh giái vÒ phÇn h×nh häc rÊt thÊp, häc sinh rÊt lóng tóng kh«ng biÕt
7
c¸ch ph©n tÝch t×m lêi gi¶i, tr×nh bµy lêi gi¶i nhÊt lµ c¸c bµi to¸n khã, cã lêi gi¶i
phøc t¹p. Khi ¸p dông theo c¸c biÖn ph¸p trªn t«i thÊy chÊt lîng häc sinh ®îc
n©ng cao râ rÖt ë líp n©ng cao còng nh ë ®éi tuyÓn HSG cña trêng, phÇn lín
c¸c em chñ ®éng, h¨ng h¸i häc tËp h¬n.
II/Bµi häc kinh nghiÖm
D¹y to¸n lµ d¹y ph¬ng ph¸p lµm to¸n. V× vËy ngoµi viÖc cung cÊp kiÕn
thøc c¬ b¶n cho häc sinh mét c¸ch chÝnh x¸c, khoa häc ngêi thÇy cßn cÇn cã sù
khÐo lÐo, linh ho¹t kh¬i dËy ë c¸c em lßng say mª kh¸m ph¸, ãc t×m tßi s¸ng
t¹o.
Víi mçi n¨m häc, ®èi tîng häc sinh l¹i kh¸c, nÕu ngêi thÇy n¨ng gãp nhÆt
t liÖu tæng hîp hµnh mét khèi thèng nhÊt, rót ra ph¬ng ph¸p gi¶i th× trß rÊt dÔ
tiÕp thu, lÜnh héi, ®ång thêi ph¸t triÓn ®îc t duy s¸ng t¹o cña c¸c em. NÕu chØ
dõng l¹i nh÷ng bµi tËp ®¬n thuÇn trong s¸ch gi¸o khoa th× cha khuyÕn khÝch hÕt
t duy s¸ng t¹o cña häc sinh v× vËy gi¸o viªn cÇn më réng kiÕn thøc ®Ó c¸c em
cã thÓ vËn dông linh ho¹t vµo c¸c d¹ng bµi ¸p dông.
D¹y häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n cã ý nghÜa rÊt quan träng
®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª t×m tßi, häc hái, nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p
vµ c¸ch vËn dông ®Ó d¹y cho häc sinh cña m×nh.
Tuy nhiªn kh«ng ph¶i ®èi víi tÊt c¶ c¸c ®èi tîng häc sinh chóng ta ®Òu
ph¶i truyÒn t¶i c¸c néi dung trªn. Mµ cÇn x¸c ®Þnh ®óng ®èi tîng ®Ó cung cÊp
nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n phï hîp víi tr×nh ®é vµ quü thêi gian cña giê häc.
Cung cÊp cho häc sinh hÖ thèng kiÕn thøc tõ c¬ b¶n ®Õn phøc t¹p ®Ó t¹o tiÒn ®Ò
cho häc sinh cã t duy s¸ng t¹o trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao.
Víi kh¶ n¨ng cã h¹n mét vµi ý kiÕn nhá cña t«i ch¾c ch¾n cha hoµn thiÖn
®¸p øng ®îc yªu cÇu ®Æt ra rÊt mong c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o, gãp ý
kiÕn, mong ®îc Ban gi¸m kh¶o quan t©m t¹o ®iÒu kiÖn ®éng viªn gióp t«i cè
g¾ng phÊn ®Êu h¬n n÷a trong c«ng viÖc d¹y häc cña m×nh.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
8
Quúnh phô, ngµy 06 th¸ng 4 n¨m 2014
Ngêi viÕt
NhËn xÐt ®¸nh gi¸
cña héi ®ång khoa häc ngµnh GD- §T huyÖn
9
10
- Xem thêm -