§ 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Để tính thể tích của một khối đa diện (lăng trụ và hình chóp) ta thường thực hiện theo các cách sau
Cách 1: Tính trực tiếp
Sử dụng dụng các công thức:
1
Thể tích khối chóp: V h.Sd , trong đó h là chiều cao, Sd là diện tích đáy.
3
Đặc biệt: Nếu hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc thì:
1
VS.ABC SA.SB.SC .
6
Thể tích khối lăng trụ: V h.Sd , trong đó h là chiều cao của lăng trụ, Sd là diện tích đáy.
Đặc biệt:
+) Hình hộp chữ nhật ba cạnh a, b,c : V abc
+) Hình hộp lập phương cạnh a : V a 3
Cách 2. Tính gián tiếp.
Nếu hình H được tách thành hai hình rời nhau H1 , H2 thì VH VH VH
1
2
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm A', B',C' . Ta có:
SA'.SB'.SC'
.
VS.A' B' C'
V
SA.SB.SC S.ABC
Chú ý: Khi xét tỉ số thể tích của hai khối chóp thì ta thường tìm cách chuyển về hai khối chóp có
chung mặt phẳng đáy.
1. Phân loại các dạng hình chóp.
Loại 1: Hình chóp đ ều S.A1 A 2 ...A n , đường cao SH.
* H là tâm của đáy
* SA
H là góc giữa cạnh bên SA i và mặt phẳng A1 A 2 ...A n .
i
là góc giữa hai mặt phẳng (SA A ) và
* Gọi M là trung điểm cạnh A1 A 2 , khi đó SMH
1 2
A1 A 2 ...A n .
Ví dụ 2.6.1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Tính thể tích khối chóp biết
1) Cạnh bên bằng a 5 và mặt bên tạo với đáy một góc 600
2) Đường cao của hình chóp tạo với đáy một góc 450 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng 2a .
Lời giải.
1
Gọi O là tâm của đáy, ta có SO (ABCD) suy ra : VS.ABCD SO.S ABCD .
3
1) Gọi M là trung điểm CD , ta có: CD (SMO)
là góc giữa mặt bên với mặt đáy, nên SMO
600
Do đó góc SMO
Đặt AB 2x MO x,OC x 2
Trong các tam giác vuông SOC,SOM ta có:
SO 2 SC 2 OC 2 5a 2 2x 2 ; SO OM.tan 60 0 x 3
Nên ta có phương trình : 5a 2 2x 2 3x 2 x a
Vậy VS.ABCD
1
4 3 3 4 3 3
x 3.(2x)2
x
a .
3
3
3
GV: Nguyễn Tất Thu
là góc giữa đường cao SO với mặt
2) Gọi K là hình chiếu của O lên AM, ta có OK (SCD) nên OSK
450 . Gọi N là trung điểm AB.
bên nên OSK
Do AB / /(SCD) d(AB,SC) d(AB,(SCD)) d(N,(SCD)) NH 2a
1
NH a
2
Các tam giác SKO,SOM là các tam giác vuông cân nên ta có
Trong đó HN / /OK OK
SO OK 2 a 2 , OM SO a 2
1
Vậy VS.ABCD a 2 2a 2
3
2
8a 3 2
.
3
S
H
K
A
N
D
M
O
B
C
Ví dụ 2.6.2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng
(ABC). Tính thể tích của khối chóp biết
1. Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là .
.
3. Chiều cao bằng h và ASB
4. Trung đoạn bằng d, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là .
Lời giải.
S
C
A
N
H
M
B
GV: Nguyễn Tất Thu
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,BA. H AM CN.
1
a2 3
a.a.sin 600
.
2
4
2
a 3
Vì H cũng là tr ọng tâm của tam giác ABC nên HA AM
.
3
3
a2
1
h
3b2 a 2 .
Do đó SH2 SA 2 AH2 b2
3
3
a) Diện tích đáy của khối chóp S.ABC là S ABC
Thể tích của khối chóp là V
1
a2 3b2 a2
SH.SABC
.
3
12
a2 3
.
4
Vì SH BC, AM BC nên BC (SAM), do đó góc giữa mặt
(SBC) và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng MA, MS.
900 nên (MA,
Do SHM
MS) SMA.
b) Diện tích đáy S ABC
1
a 3
AM
,
3
6
a 3
nên SH HM. tan
tan .
6
a3 tan
Thể tích khối chóp là V
.
8
Ta có HM
c) Đặt AB x. Xét tam giác vuông SAN ta có SN AN.cot
x
.cot .
2 2
2
Trong tam giác vuông SHN : SN 2 SH2 HN 2 , nên
2
x 3
x2
2 3.h
.cot2 h2
.
x
4
2
2
6
3 cot
1
2
x2 3
3 3.h2
.
Diện tích đáy SABC
4
2
3 cot
1
2
1
3.h3
.
Thể tích khối chóp là V SH.SABC
3
2
3 cot
1
2
Trung
d) Vì hình chiếu của S lên mặt đáy là H nên góc giữa cạnh bên và mặt đáy là SAH.
đoạn của hình chóp là SM d. Đặt SH h.
1
1
Ta có AH SH.cot h.cot HM AH h.cot .
2
2
2
2
Tam giác SHM vuông tại H nên SM SH HM2 , hay
1
2d
h2 h2 cot2 d2 h
.
4
4 cot2
GV: Nguyễn Tất Thu
2d cot
Suy ra AH
SABC
2
4 cot
AB 3
4d cot
AB
, nên diện tích đáy của khối chóp
2
3(4 cot2 )
AB2 3 4 3d2 cot2
.
4
3(4 cot2 )
Thể tích của khối chóp là V
1
16d3 cot3
h.S ABC
.
3
9 (4 cot2 )3
Ví dụ 2.6.3. Cho hình chóp đều S.ABCD có M, N,E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC .
Tính tỷ số thể tích hai phần của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng MNE .
Lời giải.
S
E
P
C
L
Q
D
N
O
B
H
A
K
Đường thẳng MN cắt BC và CD tại K và L; EL cắt SD tại P; EK cắt SB tại Q. Mặt phẳng (MNE) cắt
hình chóp theo mặt cắt là ngũ giác NMPEQ.
a
Đặt AB a,SO h . Ta có KB DL .
2
h
Hạ EH / /SO EH là đường trung bình của SOC nên EH .
2
1
1 3a 3a 9a 2
1
1 h 9a 2 3a 2 h
; VECKL EH.S CKL . .
CK.CL
2
2 2 2
8
3
3 2 8
16
Ta có Q là trung điểm của EK nên
S CKL
VKBQM
VKCEL
KB.KQ.KM 1 1 1 1
1
a2 h
. .
VKBQM VKCEL
KC.KE.KL 3 2 3 18
18
96
Tương tự VLNDP
a2 h
96
Suy ra V1 VBCDNMQEP VECKL [VKBMQ VLDNP ]
Gọi V2 là phần thể tích SEQMANP ta có:
GV: Nguyễn Tất Thu
3a 2 h a 2 h a 2 h
16
48
6
Suy ra V2 VSABCD V1
V
a2 h a2 h a2 h
. Vậy 1 1 .\
V2
3
6
6
Bài tập
Bài 1.6.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB BC a, đường cao
SA a. Gọi B là trung điểm của SB,C là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Chứng minh
SC (ABC) và tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn giải.
+) Ta có BA BC nên tam giác ABC vuông cân tại B.
Vì BC BA, BC AS
S
nên BC (SAB) BC AB,
mà AB SB AB (SBC),
C'
do đó AB SC.
Mặt khác ta có BC SC nên SC (ABC).
+) Thể tích khối chóp S.ABC là
1
1
V SC.S ABC SC.AB.BC.
3
6
Ta có:
B'
B
SC SA 2 AC 2 SA 2 BC 2 BA 2 a 3.
Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AC nên SC
Tam giác SAB vuông cân tại A nên AB SB
Suy ra BC2 SB2 SC2
C
A
SA 2
a
.
SC
3
1
a 2
SB
.
2
2
a2
a 6
BC
.
6
6
1
1 a 3 a 2 a 6 a3
Vậy thể tích cần tìm là V SC.AB.BC .
.
.
.
6
6 3
2
6
36
đều
Bài 1.6.2. Cho hình chóp tam giác
S.ABC với SA 2a, AB a . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên cạnh SC . Chứng minh SC vuông góc với mp ABH . Tính thể tích khối chóp S.ABH .
Hướng dẫn giải .
Gọi O là tâm tam giác đều , D là trung điểm AB ta có SO ABC , CD AB SC AB mà
SC AH nên SC ABH
Trong tam giác cân SAC có cos S
Trong tam giác vuông SAH có
SH SA cos S 2a
SA 2 SC 2 AC 2 4a 2 4a 2 a 2 7
2SA.SC
2.2a.2a
8
7 7a
a 15
và AH SA 2 SH 2
8 4
4
Trong tam giác vuông ADH có DH AH 2 AD2
GV: Nguyễn Tất Thu
15a 2 a 2 a 11
16
4
4
1
11
7 11 3
Vậy thể tích khối chóp VS.ABH S ABH .SH
AB.DH.SH
a .
3
32
96
S
H
C
A
O
D
B
Bài 2.6.3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết:
1) Cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 600
2) Cạnh bên bằng 2a và SA BM , với M là trung điểm SC .
Hướng dẫn giải.
Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm BC
(SBC),(ABC) 60 0 ,
1) Ta có BC (SIO) SIO
IO
1
a 3
a
a2 3
AI
SO IO tan 60 0 , S ABC
3
6
2
4
1
1 a a2 3 a3 3
Vậy VSABC SO.S ABC . .
.
3
3 2 4
24
2) Gọi E,F,P lần lượt là trung điểm của AB, BS, SM , ta có:
SA, BM
EF,PF EF FP . Đặt AB x
2(BS 2 BC 2 ) SC 2 x 2 2a 2
BM
,FP
4
2
2
2
3x
2
SA 2 AE 2 SC 2
4
2(EC2 ES 2 ) SC 2
4a 2 x 2
EM 2
4
4
4
Ta có: EF a, BM 2
EP 2
2(SE 2 EM 2 ) SM 2 9a 2
4
16
Tam giác EFP vuông tại F nên EP 2 EF2 FP 2 x 2 8a 2 x 2a 2
AO
2
x 3
8a 2 2a 3
AI
SO SA 2 AO 2 4a 2
3
3
3
3
1
2a 3 x 2 3 4a 3
Vậy VSABC SO.S ABC
.
3
9
4
3
GV: Nguyễn Tất Thu
S
P
M
F
C
A
O
E
I
B
Bài 2.6.4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC .
Hướng dẫn giải.
S
E
P
M
A
D
N
B
C
Gọi P là trung điểm của SA . Ta có MP là đường trung bình của tam giác
1
EAD MP / /AD MP / /NC và MN AD NC .
2
Suy ra MNCP là hình bình hành MN / /CP MN / /(SAC) .
Ta dễ chứng minh được BD (SAC) BD MN
1
1
2a
Vì MN / /(SAC) nên: d(MN, AC) d(N,(SAC)) d(B,(SAC)) BD
.
2
4
4
2a
.
4
Bài 2.6.5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , đường cao
SH h . Cho mặt phẳng (P) qua BD và vuông góc với mặt phẳng (SCD) . Tính tỉ lệ thể tích hai
Vậy d(MN, AC)
khối đa diện của hình chóp được chia bởi mặt phẳng (P) theo a và h .
Hướng dẫn giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
SN CD
a
((SBC),(ABCD))
cos HN
SNM
Suy ra
2
MN
CD
SN
4h a 2
GV: Nguyễn Tất Thu
Dựng DE SC.Ta có:
BD SH
BD (SHC) BD SC (BDE) SC
HC BD
(BDE) (SCD)
( hay (BDE) (P))
Gọi V VS.ABCD , V1 VC.EBD , V2 là phần còn lại.
V
V1
1 CE
Ta có : 1
.
V 2.VABCD 2 SC
Mà:
SC SN 2 NC 2 NH 2 .
(BDE) SC BE SC ,
1
2
cos SNM
NC 2
1
2
a
1
a
1
cos 2 1
2 cos 2
2.cos
1
2
SABC BE.SC SN.BC BE.SC SN.BC
a 1
a
SN.BC
a
2 cos
BE
SC
a
1
1 cos 2
1
2
2 cos
CE BC 2 BE 2 a 2
a2
1 cos 2
a.cos
1 cos 2
Suy ra:
a.cos
V1 1
V 2
1 cos 2
a
1 cos 2
2.cos
cos 2
V
V1
a2
.
1
cos 2
V2 V V1
1 cos 2
4h 2 a 2
S
E
D
C
M
N
H
A
GV: Nguyễn Tất Thu
B
Loại 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Xét hình chóp S.A1 A 2 ...A n có cạnh bên SA1 vuông góc với mặt phẳng A1 A 2 ...A n .
* Góc SA
A là góc giữa đường thẳng SA i và mặt phẳng A1 A 2 ...A n
i 1
là góc giữa hai mặt phẳng SA A và
* Gọi K là hình chiếu của A1 lên A i A j , khi đó SKA
1
i j
A1 A 2 ...A n .
Ví dụ 2.6.4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 ,
SA (ABC) . Tính thể tích của khối chóp S.ABC trong các trường hợp sau
1) Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600
2) A cách mặt phẳng (SBC) một khoảng bằng
Lời giải.
a
.
4
S
H
C
A
K
B
1
a2 3
1
a2 3
và VS.ABC SA.S ABC
AB.AC
SA
2
2
3
6
1) Gọi K là hình chiếu của A lên BC, ta có BC (SAK) . Suy ra SKA
(SBC),(ABC) 600 .
Ta có BC 2a, S ABC
Ta có: AK
2S ABC
BC
a
a 3
nên SA AK.tan 600 .
2
6
a3 6
.
12
2) Gọi H là hình chiếu của A lên SK, ta có AH (SBC)
Vậy VS.ABC
Trong tam giác SAK, ta có:
Vậy VS.ABC
a
3
1
AH
2
1
SA
2
1
AK
2
1
SA
2
1
AH
2
1
AK
2
4
a
2
SA
a
2
6
.
12
Ví dụ 2.6.5. Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB=BC=2a, (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua MS song song với BC cắt AC tại N.
GV: Nguyễn Tất Thu
Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN.
Lời giải.
S
H
E
N
A
C
P
M
B
Do hai mặt phẳng SAB và SAC cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với ABC nên
SA ABC , hay SA là đường cao của khối chóp S.BCNM .
1
1
3a 2
Ta có : S BCNM S ABC S AMN 2a 2 MA.MN 2a 2 a 2
2
2
2
BC AB
SAB BC .
Do
BC SA
chính là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , thế thì theo giả thiết ta có SBA
600 .
Nên SBA
Trong tam giác vuông SAB ta có SA AB tan 600 2a 3 .
1
1
3a 2
Vậy VS.BCNM SA.S BCNM .2a 3.
3a 3 dvtt
3
3
2
Gọi P là trung điểm của BC thì AB / /NP, AB SPN nên AB / / SPN do đó
d AB,SN d AB; SPN d A; SPN
PN AE
PN SAE ;hạ AH SE thì
Từ A hạ AE NP,E PN thì
PN SA
AH SPN d A; SPN AH .
Ta có AE NP a; SA 2a 3
Vậy d A; SPN a
GV: Nguyễn Tất Thu
12
.
13
1
AH
2
1
AS
2
1
AE
2
13
12a
2
AH a
12
13
Ví dụ 2.6.6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD a 2 ,CD 2a , cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi K là trung điểm cạnh CD, góc giữa hai mặt phắng (SBK) và
(ABCD) bằng 600. Chứng minh BK vuông góc với mặt phẳng (SAC).Tính thể tích khối chóp S. BCK
theo a.
Lời giải.
S
A
D
I
K
D
A
K
I
B
B
C
C
1
Ta có BK BC CK AB AD, AC AB AD
2
1
1
Suy ra BK.AC AB AD AB AD AB2 AD2 0 BK AC .
2
2
Mặt khác BK SA nên BK (SAC) .
Ta có BK
BC2 CK 2 a 3 CI
CK.BC a 6
BK
3
2a 6
.
3
Vì BK (SAI) nên SIA
(SBK), (ABCD) 600 .
Mà AC 2a 2 4a 2 a 6 nên AI
Suy ra SA AI. tan 600 2a 2 . Lại có SBCK
Vậy VS.BCK
1
a2 2
.
BC.BK
2
2
1
1
a 2 2 2a 3
.
SA.SBCK 2a 2.
3
3
2
3
Ví dụ 2.6.7. Cho hình chóp S.ABCD có SC (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và
1200 . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 450 . Tính theo a thể tích khối
ABC
chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD .
Lời giải.
450 .
Kẻ SK AB , suy ra hình chiếu CK AB . Do đó (SAB), (ABCD) SKC
1200 CBK
600 CK CB. sin 600 3a
Ta có ABC
2
GV: Nguyễn Tất Thu
Suy ra SC CK. tan 450
3a
.
2
3a 2 3
1
3 3a 3
nên VS.ABCD SC.SABCD
.
2
3
4
Gọi O AC BD . Vì BD AC, BD SC BD (SAC) .Kẻ OI SA IO là đường vuông góc
chung của BD là SA.
Mà SABCD AB.BC. sin 1200
Từ hai tam giác đồng dạng AOI và ASC ta suy ra OI
3a 5
.
10
3a 5
.
10
Ví dụ 2.6.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy.
Vậy d SA, BD
Mặt phẳng (SBD) tạo với đáy một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Mặt
phẳng (AMN) cắt SC tại P. Tính thể tích khối chóp S.AMPN .
Lời giải.
S
P
N
M
A
D
O
B
C
là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt
Gọi O là tâm của đáy, ta có BD (SOA) suy ra góc SOA
600 .
đáy nên SOA
Trong tam vuông SAO ta có: SA AO.tan 600
a 2
a 6
.
. 3
2
2
BC AB
BC (SAB) BC AM AM (SBC) AM SC
Ta có:
BC SA
Tương tự: AN (SCD) AN SC , từ đó suy ra: SC (AMN)
Nên AP là đường cao của hình chóp S.AMPN
1
Suy ra: VS.AMPN AP.S AMPN
3
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC ta có:
SP SP.SC
SA 2
3
3
3a 14
SP SC
2
2
2
SC
7
7
14
SC
SA AC
Trong tam giác vuông SAB ta có: AM
GV: Nguyễn Tất Thu
SA.AB a 15
SB
5
Do SBC SPM
MP SP
SP.BC 3a 35
MP
BC SB
SB
35
Suy ra: S AMPN 2S AMP AM.MP
a 2 21
.
35
1 3a 14 a 2 21 3a 3 6
Vậy VS.AMPN .
.
.
3 14
35
70
Ví dụ 2.6.9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy,
G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa
diện MNABCD, biết SA=AB= a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300 .
Lời giải.
Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
SG 2
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên có
, suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
SO 3
Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD.
S
N
M
G
D
A
O
B
C
là góc hợp bởi giữa đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD)
Ta có: SA (ABCD) nên NAD
300 . Hơn nữa N là trung điểm của SD nên AND cân tại N
Suy ra NAD
300 AD SA a 3
Do đó NDA
tan 300
1
1
a3 3
Suy ra VS.ABCD .SA.S ABCD a.a.a 3
3
3
3
1
a3 3
.
VS.ABCD
2
6
Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
Do đó: VS.ABC VS.ADC
VS.ABM
VS.ABC
SM 1
1
a3 3
VS.ABM VS.ABC
SC 2
2
12
GV: Nguyễn Tất Thu
VS.AMN
VS.ACD
SM SN 1
1
a3 3
.
VS.AMN VS.ACD
SC SD 4
4
24
Suy ra VS.ABMN VS.ABM VS.AMN
a3 3
.
8
5a 3 3
.
24
Ví dụ 2.6.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với
Vậy thể tích khối đa diện MNABCD là: V VS.ABCD VS.ABMN
ABCD , AB a,SA a 2 . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
minh: SC AHK và tính thể tích của khối chóp OHAK theo a .
Lời giải. Ta có : BC SAB BC AH mà AH SB
AH SBC AH SC . Tương tự AK SC SC AHK .
Do
trên SB,SD . Chứng
SH SH.SB SA 2 2a 2 2 SK SK.SD SA 2 2a 2 2
,
SB
SB2
SB2 3a 2 3 SD
SD2
SD 2 3a 2 3
SH SK
2
2
2 2a
.
HK / /BD và HK BD a 2
SB SD
3
3
3
Gọi G là giao điểm của SO và KH thì G là trung điểm của KH , mà AH AK
Dễ thấy G là trọng tâm của SAC , nên AG
Vậy S AHK
2
2 1
2a
( M là trung điểm của SC).
AM . SC
3
3 2
3
1
1 2a 2 2a 2 2a 2
.
AG.HK . .
2
2 3
3
9
Gọi I là trung điểm của AM , ta có OI / /CM OI AHK và OI
CM SC a
2
4
2
1
1 a 2 2a 2
2a 3
Suy ra VO.AHK OI.S AHK . .
.
3
3 2
9
27
S
K
M
G
H
I
D
A
O
B
GV: Nguyễn Tất Thu
2
a AG HK .
3
C
Cách 2: Gọi E là hình chiếu của A trên SO thì AE OHK nên AE là đường cao của hình chóp
A.OHK
Ta có:
1
AE
2
1
AS
2
Đặt SSBD x , ta có
S BOH
S SBD
1
2
AO
S SHK
S SBD
1
2
2
2
5
2
AE a
2a
a
2a
SH.SK 4
4
S SHK x
SB.SD 9
9
2
5
BH.BO 1 BH.BS 1 BA 2 1
1
.
S BOH x ,
2
2
BS.BD 2 BS
2 BS
6
6
Tương tự S DOK
1
2
x SOHK S SBD S SHK S BOH S DOK x
6
9
1
1
1
a2
a2 5
a2 5
SO.BD
AS 2 AO 2 .BD
2a 2 a 2
.
S OHK
2
2
2
2
2
9
Mà SSBD
Vậy VAOHK
1
1 2 a2 5 a3 2
AE.S OHK
a.
.
3
3 5
9
27
Bài tập
Bài 2.6.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và AB BD a,SA a 3 ,
2
SA (ABCD) . Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho BM SB , giả sử N là điểm di động trên cạnh
3
AD. Tìm vị trí của điểm N để BN DM và khi đó tính thể tích của khối tứ diện BDMN.
Hướng dẫn giải.
S
M
D
A
I
A
N
E
B
N
E
D
C
I
O
C
B
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABD đều cạnh a. Đặt AN xAD
Vẽ MI / /SA MI (ABCD) MI BN . Do đó BN DM BN DI
1
Ta có: DI AD AI AB AD , BN AB xAD
3
1
1
1
1
1
5
1
Suy ra DI.BN AB2 xAD 2 (1 x)AB.AD a 2 xa 2 (1 x)a 2 a 2 x a 2
3
3
3
2
3
6
6
GV: Nguyễn Tất Thu
1
1
Do đó DI BN DI.BN 0 x AN a .
5
5
2
2a 3
4
a2 3
Ta có: MI SA
, S BND S ABD
.
3
3
5
5
1
1 2a 3 a 2 3 2a 3
Vậy VM.BDN MI.S BND .
.
.
3
3 3
5
15
Bài 2.6.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD 2a , cạnh SA
vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao
cho AM
a 3
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCMN .
3
Hướng dẫn giải.
Ta có: MN / /AD; BC SA và BC AB BC (SAB)
BC BM BCMN là hình thang vuông tại B và M .
2a
MN SM 2
4a
Ta có : SA AB tan 600 a 3 ,
, BM AB2 AM 2
MN
AD SA 3
3
3
BC MN
10a 2
BM
2
3 3
Hạ SH BM SH (BCMN) SH là đường cao của khối chóp S.BCMN .
Diện tích hình thang BCMN : S
Do MHS MAB nên suy ra: MH.MB MS.MA MH
MS.MA a 3
MB
3
BH BM MH a 3 SH SB 2 BH 2 4a 2 3a 2 a
1
1 10a 2
10 3a 3
.a
Vậy VS.BCMN S.SH .
.
3
3 3 3
27
S
H
N
M
D
A
B
C
300 , góc giữa hai mặt
Bài 2.6.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c ạnh a , ABC
phẳng (SBC) và (SAD) bằng 450 . Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh đỉnh A của tam giác ABC. Biết
hai mặt phẳng (SAH) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp
S.AHO theo a, trong đó O là giao điểm của AC và BD.
GV: Nguyễn Tất Thu
Hướng dẫn giải.
Vì hai mặt phẳng (SAD) và (SAH) cùng vuông góc với đáy nên SA (ABCD)
BAC
BAH
750 600 150
Ta có: HAC
AH AB.sin 300
sin150
a
, AC AB2 BC 2 2AB.BC.cos 30 0 1 3a .
2
1 cos 300 1
2 3 .
2
2
1
1 1 3 a. a . 1 2 3 5 3 3 a 2 .
AO.AH.sin HAC
2
2
2
2 2
16
Gọi là đường thẳng đi qua A vào song song với AD , suy ra (SAD) (SBC) .
là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Ta có: AB (SAH) (SAH) , do đó ASH
Suy ra S AHO
450 SA AH a .
Hay HSA
2
1
53 3 3
Vậy thể tích khối chóp SAHO là: V SA.S AHO
a .
3
96
S
A
D
O
B
H
A
D
O
C
B
300
H
C
Bài 2.6.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a , SA a và vuông góc
với mp(ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,SC , Gọi I là giao điểm của
BM, AC . Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SMB) . Tính thể tích của khối tứ diện ANIB .
Hướng dẫn giải.
GV: Nguyễn Tất Thu
S
N
M
A
I
D
H
B
C
AM BA
1
ABM ABM
AB BC
2
0
BCA
ABM
BAC
BCA
BAC=90
900 BM AC
ABM
AIB
SA (ABCD) SA BM (2)
Ta có:
(1)
Từ (1) và (2) suy ra: MB (SAC) (SMB) (SAC) .
Gọi H là trung điểm của AC NH / /SA NH (ABI) và NH
của ABM vuông tại A
1
AI 2
1
AB2
1
AM 2
3
a2
AI
1
a
SA . Ta có AI là đường cao
2
2
3a
6a
; BI AB2 AI 2
.
3
3
1
1
1 a 3a 6a
2a 3
.
NH. .IA.IB . .
.
3
2
6 2 3
3
36
Bài 2.6.10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc
với mp(ABC) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích của khối chóp
Thể tích tứ diện ANIB : VANIB
A.BCMN .
Hướng dẫn giải.
Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu của A lên SI . Ta có: BC AI, BC SA BC AH
AH BC, AH SI AH (SBC) .
Xét tam giác vuông SAI :
1
AH
2
1
AS
2
1
2
AI
AH
2 3a
19
SM SA 2 4
SB SB2
5
2
SN SA
4
Xét tam giác vuông SAC : SA 2 SN.SC
2
SC SC
5
Xét tam giác vuông SAB : SA 2 SM.SB
Suy ra:
SSMN
SSBC
16
9
9 19a 2
SBCNM
SSBC
25
25
100
Thể tích khối chóp A.BCNM : VA.BCNM
GV: Nguyễn Tất Thu
1
3 3a 3
.
AH.SBCNM
3
50
S
N
H
A
M
C
I
B
Bài 2.6.11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
600 , SA ABCD , SA a . Gọi C ' là trung điểm của SC . Mặt phẳng P đi qua AC '
BAD
song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B ', D ' . Tính thể tích khối chóp
S.AB ' C ' D ' .
Hướng dẫn giải
Gọi O AC BD, I B ' D ' AC '
SB ' SD ' SI
2
Ta có: B ' D '/ /BD và I là trọng tâm tam giác SAC suy ra:
.Theo giả thiết ta có
SB
SD
SO 3
ABD đều.
Diện tích tam giác ABC. SABC SABD
Thể tích khối chóp S.ABC : VS.ABC
Ta có :
VS.AB 'C '
VS.ABC
3a 2
4
1
3a 3
SA.SABC
3
12
SB '.SC ' 2 1 1
1
3a 3
.
. VS.AB 'C ' .VS.ABC
SB.SC
3 2 3
3
36
Vậy VS.AB 'C 'D ' 2.VS.AB 'C '
GV: Nguyễn Tất Thu
3a 3
.
18
S
D'
C'
I
B'
D
A
O
B
C
ABC
900
Bài 2.6.12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, ABC
BA BC a, AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi H là hình chiếu của
A lên SB .Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mp(SCD) .
Hướng dẫn giải.
AD
Gọi I là trung điểm của AD Ta có CI IA ID
suy ra ACD vuông tại C
2
CD AC (1)
Mặt khác: SA ABCD SA CD
(2) . Từ (1) và (2) suy ra CD SD SCD vuông .
Gọi d1 ; d 2 lần lượt là khoảng cách từ B, H đến mp(SCD)
Ta có:
SAB SHA
SA SB
SH SA 2 2
;
SH SA
SB SB2
3
Thể tích khối tứ diện SBCD : VSBCD
1
1
SA. AB.BC
3
2
Ta có: SC SA 2 AC2 2a, CD CI2 ID2
2a 3
1
6 a
Ta có: VSBCD d1 .SSCD d1
3
2
2a 2
a
Vậy khoảng cách từ H đến mp(SCD) là d1 .
3
3.
GV: Nguyễn Tất Thu
SH d 2 2
2
d 2 d1 .
SB d1 3
3
2a 3
.
6
2a SSCD
1
SC.CD
2
2a 2 .
- Xem thêm -