Tài liệu Tích phân và ứng dụng

www.MATHVN.com Nguyễn Hồng Điệp Tích phân và ứng dụng 𝑢 𝑣 𝑎 16 tháng 01, 2014 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com 2nd −LATEX−201401 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp Copyright ○ www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Lời nói đầu Đôi khi người ta tung đồng xu không phải để xem mặt sấp hay ngửa, cái quan trọng là biết ta đang đợi mặt nào. Các em học sinh cuối cấp đang đứng trước bước ngoặt cuộc đời. Chúc các em có kết quả thi tốt nhất và chọn đúng ngành mình yêu thích. Những năm gần đây 1, 0 điểm phần Tích phân trong đề thi tuyển sinh không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này có thể có ích cho một ai đó. Tài liệu này cũng không có gì quá đặc biệt, chỉ là tổng hợp lại các kiến thức từ nhiều nguồn khác nhau. Tất cả các hình vẽ đều thực hiện bằng LATEX để được mịn màng trong từng đường nét. Đây là sản phẩm mang tính cá nhân nên bất kì sự sai sót nào đều là do người soạn. Bản thân người soạn cũng cảm thấy đôi chổ chưa hoàn chỉnh nhưng do kinh nghiệm chưa nhiều nên mong sự đóng góp của mọi người qua địa chỉ [email protected]. Thị trấn Vĩnh Bình, Lễ hội Kỳ Yên năm Quý Tỵ — Nguyễn Hồng Điệp. www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Mục lục 1 Tích phân 1.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . 1.1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . 1.2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . 1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . 1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . 1.4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau 1.4.3 Dạng phân thức 1 . . . . . . . . . . . 1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . 1.4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . 1.5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . 1.5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . 1.6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . 1.6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . 1.7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . 1.7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . 1.7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . www.DeThiThuDaiHoc.com 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 12 16 17 20 21 23 24 26 26 29 32 35 36 37 37 37 40 43 43 45 47 Mục lục 1.8 1.9 1.10 1.11 Mục lục www.MATHVN.com 1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 58 1.7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . 67 1.8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . 79 1.9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . 88 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . 95 1.10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . 103 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2 Ứng dụng của Tích phân 2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . 2.1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . 2.2.2 Hình phẳng quay quanh Oy - Nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 111 111 112 116 116 118 3 Bài tập tổng hợp 121 3.1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2013 . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ www.MATHVN.com Chương 1 Tích phân 1.1 1.1.1 ∫︀ Các công thức Bảng các nguyên hàm thông dụng 0𝑑𝑥 =𝐶 𝑥𝛼+1 𝛼+1 ∫︀ 𝑑𝑥 =𝑥+𝐶 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝛼 𝑑𝑥 = 1 𝑥𝛼+1 +𝐶 𝑎 𝛼+1 1 ln |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 𝑎 1 𝑎𝑥+𝑏 𝑒 +𝐶 𝑎 𝑢 𝑎 +𝑐 𝑙𝑛𝑎 1 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 − 𝑎1 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶) ∫︀ 𝑥𝛼 𝑑𝑥 = +𝐶 ∫︀ ∫︀ 1 𝑑𝑥 𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶 ∫︀ 1 𝑑𝑥 𝑎𝑥+𝑏 = = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫︀ 𝑒𝑎𝑥+𝑏 𝑑𝑥 = ∫︀ 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑑𝑥 = = sin 𝑥 + 𝐶 ∫︀ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫︀ sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = = tan 𝑥 + 𝐶 ∫︀ = tan(𝑎𝑥) + 𝐶 = − cot 𝑥 + 𝐶 ∫︀ 1 𝑑𝑥 cos2 𝑎𝑥 1 𝑑𝑥 sin2 𝑎𝑥 ∫︀ ∫︀ ∫︀ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 ∫︀ sin 𝑥𝑑𝑥 ∫︀ 1 𝑑𝑥 cos2 𝑥 1 𝑑𝑥 sin2 𝑥 ∫︀ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 +𝐶 = − cot(𝑎𝑥) + 𝐶 www.DeThiThuDaiHoc.com 7 1.1. Các công thức Chương 1. Tích phân www.MATHVN.com 1.1.2 Tích phân xác định 1.2.1 Định nghĩa Cho 𝑦 = 𝑓 (𝑥) là một hàm số liên tục trên [𝑎, 𝑏] và 𝑦 = 𝐹 (𝑥) là một nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ 𝑎 đến 𝑏 được định nghĩa và kí hiệu như sau: ∫︁𝑏 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) 𝑎 1.2.2 Tính chất ∫︁0 ∙ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 0 0 ∫︁𝑏 ∙ ∫︁𝑏 𝑘𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 ∫︁𝑏 ∫︁𝑎 ∙ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 ∫︁𝑏 ∫︁𝑏 [𝑓 (𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∙ 𝑎 ∫︁𝑐 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑎 ∫︁𝑏 ∙ ∫︁𝑏 𝑎 ∫︁𝑏 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑐 ∫︁𝑏 ∙ Nếu 𝑓 (𝑥) ≥ 0 trên [𝑎; 𝑏] thì 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 𝑎 8 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân www.MATHVN.com ∫︁𝑏 ∫︁𝑏 ∙ Nếu 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) trên [𝑎; 𝑏] thì 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 1.2 𝑎 Phương pháp phân tích Ví dụ 1.2.1. Tính các tích phân sau: ∫︁2 (a) 𝐼1 = ∫︁3 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥3 (b) 𝐼2 = 1 ∫︁1 (c) 𝐼3 = 1 𝑥 𝑒 +1 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 (d) 𝐼4 = 0 ∫︁2 (e) 𝐼5 = (𝑥2 − 1)2 𝑑𝑥 𝑥 ∫︁1 (︁ √ )︁2 𝑒𝑥 − 1 𝑑𝑥 0 6𝑥 − 3 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑥 + 5 0 Giải ∫︁2 (︂ (a) Ta có: 𝐼1 = 1 2 − 2 𝑥 𝑥 )︂ (︂ 𝑑𝑥 = 1 )︂⃒2 2 ⃒⃒ ln |𝑥| + = ln 2 − 1. 𝑥 ⃒1 ∫︁3 )︂ ∫︁3 (︂ 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 1 3 (b) Ta có: 𝐼2 = 𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 )︂⃒13 (︂ ⃒ 1 4 𝑥 + 𝑥2 + ln |𝑥| ⃒⃒ = 28 + ln 3. = 4 1 ∫︁1 (︂ (c) Ta có: 𝐼3 = 1 1 + 2𝑥 𝑥 𝑒 𝑒 ∫︁1 )︂ 𝑑𝑥 = (︀ −𝑥 )︀ 𝑒 + 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 0 (︂ )︂⃒1 0 ⃒ 1 3 1 1 = −𝑒−𝑥 − 𝑒−2𝑥 ⃒⃒ = − − 2 . 2 2 𝑒 2𝑒 0 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 9 1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân www.MATHVN.com 1 ∫︁ (︁ ∫︁1 )︁ √ (︀ 𝑥 )︀ 𝑥 𝑒𝑥 − 2 𝑒𝑥 + 1 𝑑𝑥 = (d) Ta có: 𝐼4 = 𝑒 − 2𝑒 2 + 1 𝑑𝑥 0 0 )︀⃒1 √ ⃒ = 𝑒 − 4𝑒 + 𝑥 0 = 𝑒 − 4 𝑒 + 4. (︀ 𝑥 2 𝑥 ∫︁2 (︀ )︀⃒2 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 3 ln |𝑥2 − 𝑥 + 5| ⃒0 (dạng 2 𝑥 −𝑥+5 (e) Ta có: 𝐼5 = 3 ∫︁ 𝑢′ 𝑑𝑥) 𝑢 0 = 3 ln 7 5 Ví dụ 1.2.2. Tính các tích phân sau: ∫︁1 𝑥(1 − 𝑥) (a) 𝐼1 = 2004 ∫︁1 𝑑𝑥 (b)𝐼2 = 0 1 √ √ 𝑑𝑥 𝑥−2− 𝑥−3 0 Giải ∫︁1 (a) Ta có: 𝐼1 = [(𝑥 − 1) + 1](𝑥 − 1)2004 𝑑𝑥 0 ∫︁1 = [(𝑥 − 1)2005 + (𝑥 − 1)2004 ] 𝑑𝑥 0 ∫︁1 = 0 [︂ = (𝑥 − 1)2005 𝑑𝑥 + ∫︁1 (𝑥 − 1)2004 𝑑𝑥 0 2006 (𝑥 − 1) 2006 ]︂⃒1 (𝑥 − 1)2005 ⃒⃒ 1 − =− . ⃒ 2005 4022030 0 (b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được 𝑥 ở mẫu. ∫︁1 ]︁⃒ (︀√ √ )︀ 3 3 ⃒4 2 [︁ Ta có: 𝐼2 = 𝑥 − 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1) 2 − 𝑥 2 ⃒ 3 3 0 4 √ = ( 2 − 1) 3 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp 10 ○ 1.2. Phương pháp phân tích www.MATHVN.com  Chương 1. Tích phân Bài toán tương tự ∫︁4 1. 1 √ √ 𝑑𝑥. 𝑥+2− 𝑥−3 Đáp số: 2 (6 15 √ √ 6 − 5 5 + 1). 3 𝜋 ∫︁2 sin 7𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥. 2. Đáp số: 4 . 45 − 𝜋2 𝜋 ∫︁2 3. 1 + sin 2𝑥 + cos 2𝑥 𝑑𝑥. sin 𝑥 + cos 𝑥 Đáp số: 1. 𝜋 6 𝜋 ∫︁4 2 sin 4. (︁ 𝜋 4 )︁ − 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 𝜋−2 . 8 0 𝜋 ∫︁2 5. sin4 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: tan2 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 1 − 𝜋4 . 3𝜋 16 0 𝜋 ∫︁4 6. 0 𝜋 ∫︁2 7. tan3 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 3 2 − ln 2. 0 ∫︁16 8. 1 √ √ 𝑑𝑥. 𝑥+9− 𝑥 Đáp số: 12. 0 ∫︁5 9. 2 1 √ √ 𝑑𝑥. 𝑥+2+ 𝑥−2 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ Đáp số: 11 1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max www.MATHVN.com 1 )︂ ∫︁ (︂ 3 2𝑥 𝑑𝑥. 10. 𝑒 + 𝑥+1 Chương 1. Tích phân Đáp số: 𝑒2 2 + 3 ln 2 − 1 2 0 ∫︁1 11. 0 1.3 𝑥 √ 𝑑𝑥. 𝑥 + 𝑥2 + 1 Đáp số: − 32 + 2 3 √ 2 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max ∫︁𝑏 |𝑓 (𝑥)| 𝑑𝑥 ta xét dấu 𝑓 (𝑥) trên [𝑎, 𝑏] để khử dấu giá 1. Tính 𝐼 = 𝑎 trị tuyệt đối. ∫︁𝑏 2. Tính 𝐼 = ∫︁𝑏 max[𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥, 𝐼 = 𝑎 min[𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 ta xét 𝑎 dấu hàm ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] để tìm min[𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)], max[𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)]. ∫︁2 Ví dụ 1.3.1. Tính 𝐼 = |𝑥2 − 𝑥| 𝑑𝑥 0 Giải Cho 𝑥2 − 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 Bảng xét dấu ∨ 𝑥=1 𝑥 0 0 2 𝑥 +𝑥 ∫︁1 Khi đó: 𝐼 = 0 12 (−𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫︁2 1 − 1 0 2 + (𝑥2 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max www.MATHVN.com ∫︁2𝜋 √ Ví dụ 1.3.2. Tính 𝐼 = 1 + sin 𝑥 𝑑𝑥 Chương 1. Tích phân 0 Giải ∫︁2𝜋 √︂(︁ ∫︁2𝜋 √ 𝑥 )︁2 𝑥 𝑑𝑥 1 + sin 𝑥 𝑑𝑥 = sin + cos Ta có: 𝐼 = 2 2 0 0 ∫︁2𝜋 ⃒ 𝑥 ⃒⃒ ⃒ 𝑥 = ⃒sin + cos ⃒ 𝑑𝑥 2 2 0 𝑥 𝑥 𝑥 𝜋 Cho sin + cos = 0 ⇔ tan = −1 ⇔ 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 2 2 2 2 3𝜋 Do 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ta có 𝑥 = 2 Bảng xét dấu 𝑥 𝑥 sin 2 +cos 𝑥2 0 0 3𝜋 Khi đó: 𝐼 = ∫︁2 (︁ 𝑥 𝑥 )︁ sin + cos 𝑑𝑥 + 2 2 0 3𝜋 2 + ∫︁2𝜋 0 2𝜋 − 𝑥 𝑥 )︁ − sin + cos 𝑑𝑥 2 2 (︁ 3𝜋 2 (︁ 𝑥 𝑥 )︁⃒⃒ 3𝜋2 𝑥 𝑥 )︁⃒⃒2𝜋 = 2 − cos + sin + 2 cos − sin ⃒ ⃒ = 4 ln 2. 2 2 0 2 2 3𝜋2 (︁ ∫︁2 (|𝑥| − |𝑥 − 1|) 𝑑𝑥 Ví dụ 1.3.3. Tính 𝐼 = −1 Giải Bảng xét dấu chung 𝑥 −1 0 1 𝑥 − 0 + + − − 0 + 𝑥−1 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 2 13 1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân www.MATHVN.com 0 ∫︁ ∫︁1 ∫︁2 Khi đó: 𝐼 = (−𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+ (𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+ (𝑥 − 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 −1 0 ∫︁0 =− ∫︁1 (2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + −1 1 ∫︁2 0 𝑑𝑥 = 0. 1 ∫︁2 Ví dụ 1.3.4. Tính 𝐼 = max{𝑥2 , 3𝑥 + 2} 𝑑𝑥 0 Giải Xét hàm số ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 trên [0, 2] Bảng xét dấu 𝑥 ℎ(𝑥) 0 0 + 1 0 2 − Do đó: ∙ Với 𝑥 ∈ [0, 1] thì max[𝑥2 , 3𝑥 + 2] = 𝑥2 . ∙ Với 𝑥 ∈ [1, 2] thì max[𝑥2 , 3𝑥 + 2] = 3𝑥 − 2. ∫︁1 Khi đó: 𝐼 = 𝑥2 𝑑𝑥 + 0 ∫︁2 (3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = 17 . 6 1  Bài toán tương tự ∫︁2 1. |𝑥2 − 1| 𝑑𝑥. Đáp số: 4 −2 ∫︁2 2. −3 14 |𝑥2 − 3𝑥 + 2| 𝑑𝑥. www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ Đáp số: 59 2 1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max www.MATHVN.com Chương 1. Tích phân 𝜋 ∫︁2 3. √ 5 − 4 cos𝑥 −4 sin 𝑥 𝑑𝑥. √ Đáp số: 2 3 − 2 − 𝜋 6 0 ∫︁5 4. (|𝑥 + 2| − |𝑥 − 2|) 𝑑𝑥. Đáp số: 8 (|2𝑥 − 1| − |𝑥|) 𝑑𝑥. Đáp số: −5 ∫︁1 5. 3 2 −1 ∫︁1 6. 𝑥4 |𝑥| 𝑑𝑥. − 𝑥2 − 12 Đáp số: 2 7 ln 34 −1 7. ∫︁4 √ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑑𝑥. Đáp số: 5 2 1 ∫︁1 √︀ 8. 4 − |𝑥| 𝑑𝑥. Đáp số: 2 − (5 − √ 3) −1 ∫︁1 √︀ 9. |𝑥| − 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: √ 2 2 3 Đáp số: 4 + 1 . ln 2 −1 ∫︁3 10. |2𝑥 − 4| 𝑑𝑥. 0 11. ∫︁3 √ 0 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥. www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ Đáp số: √ 24+ 3+8 . 15 15 1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com Chương 1. Tích phân 𝜋 ∫︁2 | sin 𝑥| 𝑑𝑥. 12. Đáp số: 2. − 𝜋2 ∫︁𝜋 13. √ 2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 4. 0 ∫︁𝜋 14. √ 1 − sin 2𝑥 𝑑𝑥. √ Đáp số: 2 2. 1 + sin 𝑥 𝑑𝑥. √ Đáp số: 4 2. 0 ∫︁2𝜋 15. √ 0 ∫︁2 16. max(𝑥, 𝑥2 ) 𝑑𝑥. Đáp số: 55 . 6 0 ∫︁2 17. min(𝑥, 𝑥3 ) 𝑑𝑥. Đáp số: 43 . 0 𝜋 ∫︁2 min(sin 𝑥, cos 𝑥) 𝑑𝑥 18. 0 1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Thông thường khi gặp: ∙ Một căn thức ta đặt t là căn thức. ∙ Một phân thức ta đặt t là mẫu thức. ∙ Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa. 16 ∙ Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ. www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com 1.4.1 Chương 1. Tích phân Dạng căn thức Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức√︀dạng √︀ 𝑛 𝑓 (𝑥) nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 = 𝑛 𝑓 (𝑥) ∫︁1 √ Ví dụ 1.4.1. Tính 𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 0 Giải √ 2 Đặt 𝑡 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑡2 = 𝑥2 + √ 1 ⇒ 𝑥2 = 𝑡√ − 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡 Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 2 √ Khi đó: 𝐼 ∫︁ 2 ∫︁1 √ = 𝑥2 + 1.𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡.𝑡 𝑑𝑡 1 0√ ⃒√ ∫︁ 2 )︁ 3⃒ 2 1 (︁ √ 𝑡 = 𝑡2 𝑑𝑡 = ⃒⃒ = 2 2−1 3 0 3 1 Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo 𝑡. Phép đổi biến này xuất phát từ nhận xét đạo hàm trong căn (𝑥2 + 1)′ = 𝑥 nên ta triệt tiêu được 𝑥 ngoài dấu căn. Bài này ta còn có thể giải theo cách khác như ở Ví dụ 1.5.7 trang 33. √ ∫︁ 3 √ Ví dụ 1.4.2. Tính 𝐼 = 𝑥3 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 0 Giải √ 2 Đặt 𝑡 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑥2 = 1 − 𝑡√ ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = −𝑡𝑑𝑡 Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 3 ⇒ 𝑡 = 2 √ Khi đó: 𝐼 ∫︁ 3 √ ∫︁2 ∫︁2 2 = 𝑥 𝑥2 + 1.𝑥 𝑑𝑥 = (1 − 𝑡)𝑡(−𝑡) 𝑑𝑥 = (𝑡3 − 𝑡2 ) 𝑑𝑥 0 (︂ = 0 )︂⃒2 4 𝑡4 𝑡3 ⃒⃒ − = 4 3 ⃒0 3 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 0 17 1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com Chương 1. Tích phân Nhận xét: Trước khi đổi sang biến 𝑡 ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân 𝑥𝑑𝑥 là 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥2 .𝑥𝑑𝑥 và ta thấy cần chuyển 𝑥2 theo biến 𝑡 thì phép đổi biến mới thành công. Bài toán tương tự 𝑥−1 √ 𝑑𝑥. 2 3𝑥 − 6𝑥 + 7 7 1. 0 𝑒2𝑥 √ 𝑑𝑥. 1 + 𝑒𝑥 √ 2. Đáp số : 2 3 2 ∫︁ln 𝑥 0 3. √ 𝑥 2𝑥 − 1 𝑑𝑥. Đáp số : 144 5 ∫︁5 √ ∫︁1 Đáp số : 2−3  1 2 ∫︁6 4. 1 √ 𝑑𝑥. 2𝑥 + 1 + 4𝑥 + 1 Đáp số: ln 32 − 2 𝜋 ∫︁2 5. √ 1 + 4 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥. 0 √ ∫︁ 3 Ví dụ 1.4.3. Tính 3 − 2 ln 𝑥 √ 𝑑𝑥 𝑥 1 + 2 ln 𝑥 1 Giải √ 1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 𝑡2 = 1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 2 ln 𝑥 = 𝑡2 − 1 1 ⇒ 𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑥√ √ Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 2 ⇒ 𝑡 = 2 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp 18 ○ Đặt 𝑡 = 1 6 1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com √ ∫︁ 3 Khi đó: 𝐼 = Chương 1. Tích phân √ 3 − 2 ln 𝑥 1 √ · 𝑑𝑥 = 1 + 2 ln 𝑥 𝑥 1 √ ∫︁ 2 (3 − 𝑡2 + 1) · 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 1 √ ∫︁ 2 10 2 11 2 − = (4 − 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 3 3 1  Bài toán tương tự √ ∫︁ 𝑒3 1. 3 − 2 ln 𝑥 √ 𝑑𝑥. 𝑥 1 + 2 ln 𝑥 Đáp số: 5 3 1 ∫︁𝑒 √ 1 + 3 ln 𝑥 · ln 𝑥 2. 𝑑𝑥 (B-2004). 𝑥 Đáp số: 116 135 1 √ ∫︁𝑒 3. 7 ln 𝑥 √︀ 3 1 + ln2 𝑥 𝑑𝑥. 𝑥 Đáp số: ln 32 − 1 3 1 √ ∫︁2 Ví dụ 1.4.4. Tính 𝐼 = √ 3 1 𝑑𝑥 (A-2003) 𝑥 4 + 𝑥2 √ 5 Giải √ Đặt 𝑡 = 4 +√𝑥2 ⇒ 𝑥2 = 𝑡2 − 4 ⇒ √𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡 Đổi cận: 𝑥 = 5 ⇒ 𝑡 = 3 ; 𝑥 = 2 3 ⇒ 𝑡 = 4 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ 19 1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com √ ∫︁2 Khi đó: 𝐼 = √ 5 ∫︁4 = √ 3 1 √ 𝑑𝑥 𝑥 4 + 𝑥2 1 · 𝑡 𝑑𝑡 2 (𝑡 − 4)𝑡 = 3 = √ 𝑥2 √ 1 · 𝑥 𝑑𝑥 4 + 𝑥2 5 ∫︁4 = 1 · 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑡 −4 3 3 ∫︁4 ∫︁2 Chương 1. Tích phân 1 1 𝑑𝑡 = (𝑡 − 2)(𝑡 + 2) 4 3 ∫︁4 𝑡2 1 𝑑𝑡 −4 3 ∫︁4 1 1 − 𝑑𝑡 𝑡−2 𝑡+2 3 1 5 1 = (ln |𝑡 − 2| − ln |𝑡 + 2|)|43 = · ln 4 4 3 Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân 𝑥𝑑𝑥 ta thấy hàm ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho 𝑥. Sau đó ta cần chuyển 𝑥2 theo biến 𝑡 thì phép đổi biến mới thành công.  Bài toán tương tự ∫︁ln 8 1. √ 1 𝑑𝑥. 1 + 𝑒𝑥 Đáp số: ln 32 ln 3 2. ∫︁ln 2 √ 𝑒𝑥 − 1 𝑑𝑥 0 1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng (︂ )︂ 𝑚𝑛 (︂ )︂ 𝑟𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑥 + 𝑏) ,..., ta đặt = 𝑡𝑘 với 𝑘 là 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑚 𝑟 mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ , . . . , . 𝑛 𝑠 ∫︁63 1 √ 𝑑𝑥 𝑥+1+ 𝑥+1 0 www.DeThiThuDaiHoc.com c Nguyễn Hồng Điệp ○ Ví dụ 1.4.5. Tính 𝐼 = 20 √ 3