GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
Chủ đề
2
1
HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n
thừa số a.
① a n a
.
a.
.a với a : cơ số; n : số mũ
n thöøa soá
Quy ước: Với a 0 thì: ② a 0 1; ③ a n
1
. Chú ý: 00 và 0n không có nghĩa.
an
2. Căn bậc n
a. Khái niệm:
Cho số thực b và số nguyên dương n 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
an b
Với n lẻ, b thì phương trình có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu:
Với n chẵn:
b 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
b 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
b 0 : Có hai căn trái dấu là
b. Tính chất của căn bậc n:
④ n a . n b n ab
⑤
n
a
m
n
b và –
n
n
b.
b.
n
n am
a khi n leû
⑧ n an
a khi n chaün
⑥
n m
⑨
n
a m. n a
a p . n a q n a p q
⑦
⑩
a na
n
b
b
n
ap
n
q
a
n a p q
3. Lũy thừa với số hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r
m
trong đó m , n * .
n
r
r
m
n
Lũy thừa của a với số mũ r là a xác định bởi: a a n a m ⑪
4. Lũy thừa với số vô tỉ
Cho a là một số dương, là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ rn
có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy
có gới hạn là và dãy số tương ứng rn
số rn .
Ta gọi giới hạn của dãy số rn là lũy thừa của a với số mũ . Kí hiệu là a .
a lim a rn với lim rn
x
x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
2
5. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
⑫ a .a a ⑬
a b
a
b a
b
a
a ⑭ (a ) a . ⑮ (a.b) a .b
a
⑯
⑰ Nếu a 1 thì a a
⑱ Nếu 0 a 1 thì a a
6. Công thức lãi kép
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A 1 r
n
n
n
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A 1 r A A 1 r 1
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức lũy thừa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức,
chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số, …
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A 43 2 .21 2 .24
1
c) C
16
e) E 3 6
3
b) B
0,75
0, 25
5
2
0, 04
1,5
0,125
847 3
847
6
27
27
4
1
g) D 0,5 6250,25 2
4
1
1
2
2
3
23.21 53.54
103 :102 0, 25
d) G
f) F
5
5
3. 3 3
5
912
3
5
1 2 3
.161
4
3
0
3
e0 . 3
3
7
912
3
1
2 : 4 3 .
9
h) H
2
0 1
3
2
5 .25 0, 7 .
2
2
19. 3
0
2 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau:
a) A
1
3
7
3
1
3
4
3
a a
a a
a
1
3
a
2
3
a a
5
3
b) B
1
3
a
1
f) F ( x y )2 4 . x. y
a
h) H
a
2 5
3
5
b
5
3
a b
7
3
7
b
2 7
3
1
4
a
a
3
4
1
3
a
a
2
3
1
4
c) C
a
1
3
b b
6
1
3
a
6
a b
5 2
a b
a 4 ab
d) D 4
a4b 4a4b
a
4
3
a 5
a 2 5
e) E
1
b
b 5 2
9
1
3
14
14
4
2
2
a
a
b
b
3 a .6 b
g) I 1
:
5
1
1
4
a2
a 4 a 4 b 2 b 2 b
a
i) G
2 3
1 a 2 3 a 3 a3
a
4 3
a
3
3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
5
Dạng 2. So sánh các lũy thừa hay căn số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số a ta áp dụng kết quả sau:
Với a 1 thì a x1 a x2 x1 x2
Với 0 a 1 thì a x1 a x2 x1 x2
So sánh hai lũy thừa có cùng só mũ x, ta áp dụng kết quả sau:
x 0 b x a x
Với a, b 1 và 0 b a
x
x
x 0 b a
x
x
Với hai biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3: So sánh các số sau (không dùng máy tính bỏ túi):
a) a 3600 và b 5400
b) x 3 7 15 và y 10 3 28
1
4
c) p 3 1 và q 3 1
e) m
2
2
và n
5
3
2
2
3
d) u
5
3
f) h
5
2
2
2
và v
2
2
2
và k
2
5
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
6
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
ⓐ y
2
sin 2 x
ⓑ y 2 x 1 23 x
2
ⓒ y 3sin x 3co s
2
x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 3. Bài toán lãi kép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A 1 r
n
n
n
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A 1 r A A 1 r 1
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 5: Bà Mai gửi 50 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi
thu được sau 15 năm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
7
Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.
Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào
gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn
lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7: Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu
đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2,1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn
một tháng với lãi suất 0, 73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ
sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng
kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của
bác An.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1
2
3
4
2
2
3
Cho:
Bài 2.
Đơn giản các biểu thức sau:
4
ⓑB
2
3
2
2
3
2
3
x x y y y x a . Chứng minh x y a .
Bài 1.
ⓐ A
4
ab 2 . a 1b 2 . ab 1
2
3
a 2b. a 2b 1 .a 1b
1
a2
ⓒC
3
4
2 3
2
2a 2 b 2
2
3
3
b
a
a 6 3a 4b 2 3a 2b 4 b 6 3
2
2 3
2
2
a b 3 a 3 2b
a 3b 2
8
a18b12
a11
a
11
16
(a 0 )
ⓓ D
Đáp số:
3
a2
3
a
3
b2
b
5
5
a
4 5
1
5 2
a
52
b
5
A a 8b 5 ; B 1 ; C a 3 a 9 ; D a 3b 2 1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
Bài 3.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ A 64
1
4
2
1
1
255
81
3. 3 3
ⓒC
9
5
12
ⓔ E 256
0,75
0,75
1
9
2
0
ⓑ B (0, 25)
3
16
3 0
4
e .
5
2
1
2 (5)3
9
ⓕ F 3 7 5 2 3 7 5 2
3
ⓑ B
81
9
1
42
3
3 3
3
27
2 3 2
9 .3
5
Đơn giản các biểu thức sau:
x 1 ( y z ) 1 z 2 y 2 x 2
2
1
(x y z)
1
1
x ( y z)
2 yz
Bài 6.
Chứng minh nếu 1 x 2 thì
Bài 7.
So sánh các số sau:
7
ⓐ a
9
7
3
4
và b 2
13
3
ⓑ B
a 2 a 2 .6 1 a 2 a2
3
1 a2
x 2 x 1 x 2 x 1 2 .
0
ⓑ x 3 126 26 và y 170 3 82
So sánh các số sau:
ⓐ a 5
5
6
3
ⓒ p
2
1
và b 51 4
5
5
3
và q
6
1
3
5
2
ⓑ x và y
3
3
1
3
1
ⓔ m 5 2 4 và n 5 2
2
3
ⓓ u và v
3
3
2
10
3
3
2
ⓕ h 6 65 37 và k 97 3 10
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1 cos2 x
ⓐ y 5 x
Bài 10.
1
1
5
Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ A
Bài 9.
1
32
1
ⓐ A 7 5 2 7 5 2
Bài 8.
1
2
3 5
7
1 1 1 2
ⓓ D 3 2 .5 3 : 2 4 :16 : 5 3.2 4.3 2
7
12
5
1 3
0 5
(9 )
125
3
Bài 5.
1
13 0
4
Bài 4.
8
2
x 1
e
ⓑ y
5
ⓒ y
3
cos6 x sin 6 x
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý
theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
9
Vấn đề 2. LÔGARIT
1. Định nghĩa
Cho hai số dương a , b với a 1 . Số thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là lôgarit cơ số
a của b và kí hiệu là loga b .
① log a b a b (với a , b 0 ; a 1 )
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0 .
Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1 .
Cho hai số dương a 1 và b , ta có các tính chất sau:
② log a 1 0 ③ log a a 1 ④ a log a b b; eln b b;10lg b b
⑤ log a a
2. Tính chất
a. So sánh hai lôgarit có cùng cơ số: Cho các số dương b và c :
Khi a 1 thì log a b log a c b c
Với 0 a 1 và các số b , c dương:
Khi 0 a 1 thì log a b log a c b c
Khi a 1 thì log a b 0 b 1
Khi 0 a 1 thì log a b 0 b 1
log a b log a c b c
b. Các quy tắc tính lôgarit: Cho ba số dương a 1 , b , c :
b
⑥ log a (b.c) log a b log a c
⑦ log a log a b log a c
⑧ log a b log a b
c
Các hệ quả:
⑨ log a (b1b2 bn ) log a b1 log a b2 log a bn ( 0 a 1 , b1 , b2 , …, bn 0 , n )
1
1
⑩ log a log a b , 0 a 1 , b 0 ⑪ log a n b log a b , 0 a 1 , b 0 , n .
b
n
Chú ý: Nếu 0 a 1 , bc 0 thì:
b
⑫ log a (b.c) log a b log a c
⑬ log a log a b log a c
c
2k
⑭ log a b 2k log a b , b 0 , k .
3. Đổi cơ số của logarit
a. Cho ba số dương a , b , c 1 , ta có:
log a c
log b
⑮ log b c
⑰ a c blogc a
⑯ log a b.log b c log a c
log a b
b. Hệ quả: cho ( 0 a.b 1 , b 0 , , m , n 0 )
1
1
m
⑱ log a b
log a b.log b a 1 ⑲ log a b log a b
⑳ log a n b m log a b
n
log b a
4. Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên
a. Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số 10 : log10 b thường được viết là log b hay lg b .
b. Lôgarit tự nhiên:
n
Người ta chứng minh được dãy số un
1
gọi giới hạn đó là e : e lim 1
n
n
1
với un 1 có giới hạn là một số vô tỉ và
n
n
Một giá trị gần đúng của e là: e 2, 718281828459045
Lôgarit tự nhiên: là lôgarit cơ số e : log e b hay ln b .
lg b ln b
c. Chú ý công thức đổi cơ số: log a b
( 0 a 1, b 0 )
lg a ln a
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
10
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức có chứa lôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng định nghĩa, các tính chất và các công thức đổi cơ số để rút gọn, tính toán các biểu
thức lôgarit…
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
ⓐ A log 7 36 log 7 14 3log 7 3 21
2
ⓒ C 36log6 5 101 lg 2 e ln 27
ⓔ E 3lg
2 1 lg 5 2 7
ⓑ B
log5 36 log 5 12
log 5 9
ⓓ D 81log3 5 27log9 36 42log2 3
ⓖ G log 2 2sin log 2 cos
8
8
ⓕ F ln
3 2
2017
ln 2 3
2017
ⓗ H log 4 3 5 3 3 log 4 3 25 3 15 3 9
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9: Tìm log a x biết log a b 5 , log a c 4 và ⓐ x a5b5 3 c ⓑ x
a 5 4 b3
c6
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
11
Dạng 2. So sánh hai lôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để so sánh hai lôgarit ta áp dụng các kết quả sau:
1) Nếu a 1 thì log a M log a N M N 0
2) Nếu 0 a 1 thì log a M log a N 0 M N
3) Nếu 0 a b 1 hay 1 a b thì:
log a x log b x x 1
log a x logb x 0 x 1
4) log a b 0 a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 10: So sánh hai số sau:
3
ⓐ m log 3 và n log
5
3
7
9
ⓑ m log 1 8 và n log115 2
3
ⓒ m log 3 4 và n log 2 3
ⓓ m l o g 2 log 3 và n log 5
ⓔ m log 7 29 và n log 3 5
ⓕ m log 0,3 0,8 và n log 0,2 0, 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
12
Dạng 3. Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit khác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để biểu diễn loga b theo logc d ta đưa loga b về lôgarit theo cơ số c sau đó viết a và b
thành tích hay thương của dãy các lũy thừa theo cơ số c và d .
Áp dụng tính chất lôgarit của tích và của thương ta suy ra kết quả.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 11: ⓐ Cho log 2 3 và log 2 5 . Tính log 225 2700 theo và
1 1 1 1
ⓑ Cho a ln 2 . Tính ln16 ; ln 0,125 ; ln ln theo a
8 4 4 8
ⓒ Cho a log3 15 và b log 3 10 . Tính log 3 50 theo a và b .
ⓓ Cho a log 3 và b log 5 . Tính log15 30 theo a và b .
ⓔ Cho a log 2 3 , b log 3 5 và c log 7 2 . Tính log140 63 theo a , b và c
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
13
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia
hoặc hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba, …
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12: ⓐ Cho a , b , c là ba số dương và c 1 . Chứng minh: a logc b b logc a
log a c
ⓑ Cho a , b , c là ba số dương khác 1 . Chứng minh:
1 log a b
log ab c
ⓒ Cho 0 a , b 1 . Chứng minh:
n n 1
1
1
1
1
...
log a b log a 2 b log a3 b
log a n b 2 log a b
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh rằng:
a b 1
ⓐ Nếu a 2 b 2 7 ab thì log 7
log 7 a log 7 b
3
2
2
2
2
ⓑ Nếu a c b thì log b c a log b c a 2logb c a.log b c a
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
14
Dạng 5. Bài toán lãi kép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A 1 r
n
n
n
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A 1 r A A 1 r 1
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 14: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận
được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi
lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 15: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền
ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm
thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm
trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho
nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
15
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2
Bài 11.
Bài 12.
So sánh các số sau:
ⓐ a log 2 10 và b log 4 63
ⓑ x log 0,5 3 và y log 7 2
ⓒ m 3log 6 2 log 6 3 và n 2log 6 5
ⓓ u 5log6 1,05 và v 7 log6 0,995
ⓔ x log 7 36 và y log8 25
ⓕ u log 0,4 3 2 và v log 0,2 0,34
ⓐ Biết log a b 5 . Tìm log
5
a
b
a 3b 6
ĐS: 6 12 2 5 / 5
ⓑ Biết log a x m; log b x n; log c x p (abc 1) . Tìm log abc x
ⓒ Biết log 6 15 m; log12 18 n . Tìm log 25 24 .
Bài 13.
ⓓ E 25
1
27
5
9
3
5n
2m(n 1) 4n 2
1
log 6 5
49
1
ⓑ B 9 log6 3 4 log6 2
1
log8 7
ⓔD a
log a b
b
log b a
ⓒ C log 3 2.log 4 3.log5 4.log 2 5
ⓕ F log 6 35
4
log 6 35
4
Đơn giản các biểu thức sau:
lg e
ⓐ A ln a log a e ln a
lg a
2
2
2
ⓒ C 2lg a 3log a 10
Bài 15.
ĐS:
mnp
np pm mn
Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ A log 1
Bài 14.
ĐS:
3
2
lg a log a 10
ⓑ B log 5 tan 6 log 5 cot 6 .
1 log3a b
ⓓ D
log a b log b a 1 .log a
a
b
ⓐ Biết log 2 3 m; log 2 5 n. Tìm log 2 0,3; log 2 5 135
ⓑ Biết log 27 5 a; log8 7 b; log 2 3 c. Tìm log 6 35 .
ⓒ Biết log 7 12 a;log12 24 b. Tìm log 54 168.
ⓓ Biết log12 18 a; log 24 54 b. Chứng minh: ab 5 a – b 1 .
Bài 16.
Chứng minh các đẳng thức sau:
log a b log a x
ⓒ log ax bx
1 log a x
với 0 a, b, x, ax 1 .
ⓔ log a d .log b d log b d .log c d log a d .log c d
log a d .logb d .log c d
, với 0 a, b, c, d , abc 1
log abc d
Bài 17.
Cho x 2 9 y 2 10 xy ( x, y 0 ; 0 a 1 ). CM: log a x 3 y 2log a 2
Bài 18.
Cho y 101lg x ; z 101lg y ( x, y, z 0 ). Chứng minh: x 101 lg z .
Bài 19.
Chứng minh:
1
1
ⓐ log 1 5 log 5
3
1
1
2
3
ⓑ log 5 6561 log 9 5 4
1
log a x log a y
2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
Bài 20.
Tìm x biết:
1
ⓐ lg x lg 5a 4lg b 7 lg c .
3
ⓒ ln x 5 ln a 2 ln b 6 ln c .
16
7
25
ln 3 2 2 4ln 2 1 ln
16
8
1
1
ⓓ log 1 x log 3 125 log 3 4 log 3 2 .
3
2
3
ⓑ ln x
2 1 .
Bài 21.
Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân
hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết
rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
Bài 22.
Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi
ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền
lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn.
Bài 23.
[ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017] Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất
12% /năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi
lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi
suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.
Bài 24.
Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000000 đồng. Người đó dự định sau
đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo
cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết
lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Bài 25.
Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7% .
Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.e N .r (trong đó A : là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân
số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
Bài 26.
Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá
trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C thì tổng giá trị kinh tế
toàn cầu giảm 10% . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm f t % thì f t k .a t (trong đó a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm
bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ?
Bài 27.
Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng
một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm
như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
17
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa
① Hàm số mũ: Cho a là số thực dương, khác 1 .
Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a .
② Hàm số lôgarit: Cho a là số thực dương, khác 1 .
Hàm số y = loga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
③ Hàm số lũy thừa: Hàm số y = x với được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
① Hàm số mũ y = a x ( 0 a 1 ) có tập xác định D
② Hàm số lôgarit y log a x ( 0 a 1 ) có txđ D 0;
③ Hàm số lũy thừa y = x với có tập xác định tùy thuộc :
Với nguyên dương:
D
Với nguyên âm hoặc bằng 0 : D \ 0
Với không nguyên:
D 0;
3. Một số giới hạn có liên quan
x
x
① lim a a
1
③ lim 1 e
x
x
② lim log a x log a x0 ( x0 )
x0
x x0
x x0
ln 1 x
ex 1
1 ⑥ lim
1
x 0
x0
x
x
1
④ lim 1 x x e ⑤ lim
x0
⑧ Khi 0 : lim x 0,
lim x
x
x 0
⑦ lim x x0 ( 0 x0 , )
x x0
⑨ Khi 0 : lim x , lim x 0
x
x 0
4. Đạo hàm
Hàm hợp ( u u x )
Hàm sơ cấp
e e
x
e u.e
x
u
u
a a .ln a
a u.a .ln a
ln x 1x
ln u uu
x
log
x
a
1
x ln a
x x
1
x n
1
n
u
x
u
n
x
log
a
u
u
u ln a
u u
1
.u
u n uu
n
n 1
n
n 1
5. Sự biến thiên và đồ thị
a. Hàm số mũ y = a x :
a1
① Tập xác định: D
0 a 1
① Tập xác định: D
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – MŨ - LOGARIT
18
② Sự biến thiện: y a x .ln a 0
② Sự biến thiện: y a x .ln a 0
Giới hạn đặc biệt:
lim a x 0; lim a x
Giới hạn đặc biệt:
lim a x ; lim a x 0
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
x
x
x
③ Bảng biến thiên:
x
y
③ Bảng biến thiên:
1
0
0
x
x
y
④ Đồ thị:
1
1
a
a
1
0
0
④ Đồ thị:
y
y
y ax
( a 1)
y ax
(0 a 1)
1
a
a
1
x
O
b. Hàm số lôgarit y log a x .
a1
0 a 1
① Tập xác định: D 0;
② Sự biến thiện: y
x
O
① Tập xác định: D 0;
1
0
x.ln a
1
0
x.ln a
② Sự biến thiện: y
Giới hạn đặc biệt:
lim log a x ; lim log a x
Giới hạn đặc biệt:
lim log a x ; lim log a x
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
x
x 0
③ Bảng biến thiên:
x
0
x
x 0
③ Bảng biến thiên:
a
1
x
0
y
0
④ Đồ thị:
1
1
0
y
1
a
④ Đồ thị:
y
y
y log a x
( a 1)
1
O
y ax
(0 a 1)
1
1 a
c. Hàm số lũy thừa y = x .
1
x
1
x
O a
0
① Tập khảo sát: D 0;
① Tập khảo sát: D 0;
② Sự biến thiện: y x 1 0
② Sự biến thiện: y x 1 0
Giới hạn đặc biệt:
Giới hạn đặc biệt:
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập)
19
lim x 0; lim x
x 0
lim x ; lim x 0
x 0
x
Tiệm cận: Ox: TCN; Oy: TCĐ.
Tiệm cận: Không có.
③ Bảng biến thiên:
③ Bảng biến thiên:
x
x
0
y
x
y
0
0
0
④ Đồ thị:
y
1
1
0 1
1
0
1
O
0
x
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. y b ( b )(hàm hằng).
2. y P x ( P x đa thức)
3.
y A x
Hàm số xác định với mọi x .
Hàm số xác định với mọi x .
Hàm số xác định A x 0 .
Mở rộng: y 2k A x ( k * ) xác định A x 0 .
4.
y 3 A x
Hàm số xác định A x xác định.
Mở rộng y 2 k 1 A x ( k * ) xác định A x xác định.
5.
y
6.
y
7.
y
8.
y
A x
B x
Hàm số xác định B x 0 .
A x
B x
A x
B x
A x
B x
A x 0
Hàm số xác định
B x 0
Hàm số xác định B x 0 .
A x 0
Hàm số xác định
B x 0
A x 0
9. y
Hàm số xác định B x 0
A x B x
A x B x 0
10. y tan f x
Hàm số xác định f x k , k
2
11. y cot f x
Hàm số xác định f x k , k
k x
D
D
- Xem thêm -