Tài liệu tóm tắt công thức đại số ôn thi quốc gia

↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Contents Các hằng đẳng thứ c ........................................................................................................................................... 3 I. 1. 7 hằng đẳng thứ c đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết …. :3 ) ................................................................... 3 2. Mộ t số công thứ c khác................................................................................................................................... 3 3. Khai triển theo công thứ c pascal. .................................................................................................................. 3 II. Lũ y thừ a . Mũ số nguyên. Căn bậc n. ................................................................................................................. 4 III. Phân thứ c , biểu thứ c liên hợ p. ..................................................................................................................... 4 IV. Bât́ đẳng thứ c. ................................................................................................................................................ 5 1. Bât́ đẳng thứ c đơn giản. ................................................................................................................................ 5 2. ̉ g thứ c hay gặp. ............................................................................................................................... 5 3 bât́ đăn 3. LƯU Ý: ............................................................................................................................................................ 6 ́ số cộ ng câp ́ số nhân. ................................................................................................................................... 6 Câp V. 1. ́ số cộ ng. ................................................................................................................................................... 6 Câp 2. ́ số nhân. ................................................................................................................................................... 7 Câp VI. Dãy số, tổng hữ u hạn của dãy số. .................................................................................................................. 7 1. Tổng của mộ t dãy số dãy số có quy luật ........................................................................................................ 7 2. LƯU Ý: ............................................................................................................................................................ 8 VII. Số phứ c. Công thứ c Euler............................................................................................................................... 9 1. Đinh ̣ nghiã và tin ́ h chấ t. ................................................................................................................................. 9 2. Da ̣ng lươ ̣ng giác của số phức : ..................................................................................................................... 11 3. Công thức Moa-vrơ . .................................................................................................................................... 11 VIII. Công thức lươ ̣ng giác. .................................................................................................................................. 11 1. Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t. .......................................................................................................................... 11 2. Công thức lươ ̣ng giác cơ bản. ...................................................................................................................... 12 3. Công thức lươ ̣ng giác ................................................................................................................................... 12 4. Bảng lươ ̣ng giác của 1 số góc đă ̣c biê ̣t. ........................................................................................................ 14 IX. Logarit. ......................................................................................................................................................... 14 Đa ̣o hàm các hàm số . ....................................................................................................................................... 15 X. 1. Quy tắ c đa ̣o hàm cơ bản ............................................................................................................................... 15 2. Đa ̣o hàm hàm số sơ cấ p. .............................................................................................................................. 15 4. Đa ̣o hàm của mô ̣t số hàm số : ....................................................................................................................... 16 XI. Nguyên hàm tić h phân. ................................................................................................................................ 16 1. Tiń h chấ t của nguyên hàm. .......................................................................................................................... 16 2. Các nguyên hàm cơ bản. .............................................................................................................................. 17 1 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 3. Nguyên hàm phức ta ̣p .................................................................................................................................. 17 4. Mô ̣t số loa ̣i nguyên hàm khó và ít gă ̣p ......................................................................................................... 19 XII. Giới ha ̣n........................................................................................................................................................ 20 1. Giới ha ̣n đă ̣c biê ̣t .......................................................................................................................................... 20 2. Đinh ̣ lý về giới ha ̣n hữu ha ̣n. ........................................................................................................................ 20 3. Quy tắ c về giới ha ̣n vô cực .......................................................................................................................... 21 Giớ i hạn của 1 số hà m số đặc biệt ............................................................................................................... 22 4. 2 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ I. Các hằng đẳng thứ c . 1. 7 hằng đẳng thứ c đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết …. :3 ) 2. Mộ t số công thứ c khác (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc. (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 6abc + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c +bc2). (a1 + a2 +…..+ an )2 = a12 + a22 +…+ an2 + 2(a1a2 + a1a3 + ….+ an-1an). a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = (a2 - √2ab + b2 )( a2 + √2ab + b2). a4 - b4 = (a2 - b2) (a2 + b2) = (a – b)(a + b)( a2 + b2). a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4). a5 - b5 = (a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4). 3. Khai triển theo công thứ c pascal. Công thứ c Newton : (a+b)n = các hệ số trong khai triển nhi ̣ thứ c đượ c ti ́nh theo tam giác pascal. Hệ số C bằng số cù ng cộ t hà ng trên và số liền trướ c . 3 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Vi ́ dụ : vớ i n = 9 thì ta có khai triển : (a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 84 a6b3 + 126 a5b4 + 126 a4b5 + 84 a3b6 + 36 a2b7 + 9 ab8 + b9. Chú ý: (a – b)n = [a +(-b)]n . II. Lũ y thừ a . Mũ số nguyên. Căn bậc n. am = a.a….a (m số a) 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = am-n (ab)m = ambm √𝑎 = a1/n 𝑎 𝑎𝑚 𝑏 𝑏𝑚 ( )m = ; 𝑛 quy ướ c: a0 = 1 (b#0) (𝑎𝑚 )𝑛 = amn ; 𝑛 ; 𝑛 𝑛 √𝑎𝑏 = √𝑎 √𝑏 ; am an = am+n ; a-m = 𝑛 1 ; 𝑎𝑚 𝑛 √𝑎𝑚 = ( √𝑎)𝑚 ; ́ : 𝑎 = 𝑐 thì: 𝑎√𝑥 𝑏 = 𝑐√𝑥 𝑑 . Nêu 𝑏 III. 𝑑 Phân thứ c , biểu thứ c liên hợ p. 𝑏 𝑎𝑐+𝑏 Hỗn số: a = . 𝑐 𝑐 𝑎 Phân số bằng nhau: 𝑥 = 𝑏 = 𝑦 𝑐 = 𝑧 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥+𝑦+𝑧 . ̉ cò n a,b,c,d,… là tham số). Ki ̃ thuật nhân liên hợ p: (giả sử vớ i x là ân 𝑛 𝑥 𝑥 √𝑎𝑛−1 √ 𝑎 = 𝑛 𝑎 𝑎 √𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 = ; 𝑥 √𝑎 ± √𝑏 = 𝑥(√𝑎 ∓ √𝑏) 𝑎2 − 𝑏 2 ; 𝑎 (√𝑏𝑥 + 𝑐 ∓ 𝑑) 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑 2 3 3 𝑎(√(𝑏𝑥 + 𝑐)2 ∓ 𝑑 √𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑 2 ) = 3 𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 3 √𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 𝑒 𝑒 = 3 6 6 √𝑎𝑥 + 𝑏 + √𝑐𝑥 + 𝑑 √(𝑎𝑥 + 𝑏)2 + √(𝑐𝑥 + 𝑑)3 𝑎 4 ; ; ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ IV. Bât́ đẳng thứ c. 1. Bât́ đẳng thứ c đơn giản. ➢ a≥b ⟹ -a ≤ -b ➢ a ≥ b ⟹ a±c ≥ b±c ➢ a ≥ b ; c ≥ 0 ⟹ ac ≥ bc ; ➢ 0a≥b ⟹ 1 𝑎 ≤ 1 𝑏 1 𝑏 𝑎 𝑐 ≥ 𝑏 𝑐 >0 <0 ➢ a ≤ b ; n > 0 ⟹ an ≤ bn ; a-n ≤ b-n ; ln a ≤ ln b. ➢ ex ≥ 1 + x (*) ➢ aa + bb ≥ ab + ba > 1 , vớ i a,b > 0. ➢ (1 + 𝑎)𝑟 ≥ 1 + 𝑟𝑎 vớ i r≥ 0 , a > -1. 2. 3 bât́ đẳng thứ c hay gặp. ➢ Bất đẳng thứ c Cô-si (Cauchy): 𝑣ớ 𝑖 𝑛 𝑠ố nguyên dương thì ta có : 𝑛 𝑎1 + a2 + ……+ an ≥ 𝑛 √𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ́ bằng xảy ra khi : 𝑎 1 = a2 = ……= an Dâu Bât́ đẳng thứ c thông dụ ng vớ i n=2. tứ c là : a + b ≥ 2 √𝑎𝑏 ➢ Bât́ đẳng thứ c Bu-nhi-a-cop-ski. 5 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Vớ i n cặp số nguyên dương ta có: (𝑎12 + 𝑎22 + ……+ 𝑎𝑛2 )( 𝑏12 + 𝑏22 + ……+ 𝑏𝑛2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + …. + anbn)2 ́ bằng xảy ra khi: 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 Dâu 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 Bât́ đẳng thứ c thông dụ ng vớ i n = 2. Tứ c là : (𝑎12 + 𝑎22 )( 𝑏12 + 𝑏22 ) ≥ (a1b1 + a2b2)2 . ➢ Bât́ đẳng thứ c Svac-xơ. 2 𝑎12 𝑎22 𝑎𝑛2 (𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) + +. . . + ≥ 1 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 ́ bằng xảy ra khi: Dâu 𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 =⋯= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 3. LƯU Ý: ➢ Từ bât́ đẳng thứ c (*) trở đi chủ yếu chứ ng minh bằng phương pháp quy nạp toán họ c. ➢ Đối vớ i 3 bât́ đẳng thứ c cuối cù ng k cần thiết phải biết cách chứ ng minh tổng quát, vì các bà i toán k áp dụ ng vớ i nhiều số (cặp số ) mà chi ̉ thườ ng chi ̉ là 2 hoặc 3 số (cặp số). V. ́ số cộ ng câp ́ số nhân. Câp ́ số cộ ng. 1. Câp Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,…. Vớ i công sai là d thì: a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; … ; an = a1 +(n-1)d. Ti ́nh chât́ : an+1 – an =an+2 – an+1 an+1 = 𝑎𝑛 +𝑎𝑛+2 2 số hạng tổng quát: an = a1 + (n-1)d 6 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Tổng n số hạng đầu: (𝑎1 +𝑎𝑛 )𝑛 Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = 2 = 2𝑎1 +(𝑛−1)𝑑 2 ́ số nhân. 2. Câp Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,…. Vớ i công bộ i là q thì: a2 = a1.q , a3 = a1.q2 , … , an = a1.qn-1 Ti ́nh chât́ : 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+2 ; 𝑎𝑛+1 an+1 = √𝑎𝑛 𝑎𝑛+2 , an > 0. Số hạng tổng quát: an = a1.qn-1 Tổng của n số hạng đầu: Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = a1 + a1.q + a1.q2 + … + an-1.qn-2 + an.qn-1 = a1.(1 + q + q2 + … + qn-2 + qn-1 ) = a1 VI. 1−qn 1−q Dãy số, tổng hữ u hạn của dãy số. 1. Tổng của mộ t dãy số dãy số có quy luật 1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n = p + (p+1) + … + (q - 1) + q = 𝑛(𝑛−1) 2 (𝑞+𝑝)(𝑞−𝑝+1) 2 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = n2 2 + 4 + 6 + … + (2n – 2) + 2n = n(n+1) 12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 + n2 = 13 + 23 + 33 + … + (n-1)3 + n3 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 𝑛2 (𝑛+1)2 4 7 (q # 1). n ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 12 + 32 + … + (2n-3)2 + (2n-1)2 = 𝑛 (4𝑛−1) 3 13 + 33 + … + (2n-3)3 + (2n-1)3 = n2(2n2 - 1) 4 4 4 4 4 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n = 15 + 25 + 35 + … + (n-1)5 + n5 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3𝑛2 +3𝑛−1) 30 1 12 n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n + 1) 1 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = n(n+1)(n+2) 3 (*) 1 1∙2∙3 + 2∙3∙4 + 3∙4∙5 + … + n(n+1)∙(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) 4 1∙2 + 2∙5 + 3∙8 + … + n(3n – 1) = n2(n+1) 1 1 1 1 𝑛 + + +⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) 𝑛+1 1 1 1 1 + + +⋯+ 1∙2∙3 2∙3∙4 3∙4∙5 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) = 𝑛(𝑛 + 3) 4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 3 5 2𝑛 + 1 𝑛(𝑛 + 2) + + ⋯+ = 2 2 2 (1 ∙ 2) (2 ∙ 3) [𝑛(𝑛 + 1)] (𝑛 + 1)2 2. LƯU Ý: 1. Các công thứ c trên ĐA SỐ có thể chứ ng minh theo cách quy nạp. 2. Tuy nhiên từ băt́ đầu ở tổng (*) ta có thể chứ ng minh theo cách khác là phân ti ́ch số hạng tổng quát rồi đưa các phần tử của dãy theo như đã phân ti ́ch rồi khử nhữ ng phần giống nhau ta đượ c tổng cần ti ́nh 3 . Vi ́ dụ : ở tổng (*) có số hạng tổng quát là n(n+1) 1 Ta có: n(n+1) = [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)] 3 8 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 1 Suy ra: 1∙2 = [1∙2∙3 - 1∙ 2 ∙ 0] 3 1 2∙ 3 = [2∙ 3 ∙ 4 - 2∙ 3 ∙ 1] 3 …………………………………………… 1 n(n+1) = [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)] 3 thay và o ta đượ c : S = 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) 1 = [(1∙2∙3 - 1∙ 2 ∙ 0) +(2∙ 3 ∙ 4 - 2∙ 3 ∙ 1) +…+ n(n+1)(n+2) – 3 n(n+1)(n-1)] 1 = n(n+1)(n+2) 3 (đượ c CM). 4. Ngoài 2 cách chứ ng minh như đã nêu ở trên thì các tổng cò n đượ c chứ ng minh bằng nhiều cách khác nhau. VII. Số phứ c. Công thứ c Euler. 1. Đinh ̣ nghiã và tin ́ h chấ t. ➢ Số i : số i là số thỏa mañ t/m 𝑖 2 = −1 (i go ̣i là đơn vi ̣ảo). ➢ Da ̣ng a + bi . Kí hiê ̣u số phức z là z= a + bi với a là phầ n thực, b là phầ n ảo. ❖ Chú ý : + số z =a là số thực. + số z = bi là số ảo. + số z = 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 9 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ ➢ Hai số phức bằ ng nhau : hai số z = a + bi, và z’ = a’ + b’i go ̣i là bằ ng nhau nế u a = a’, b = b’ thì z= z’ ➢ Tổ ng( hiêu) ̣ của hai số phức: tổ ng của hai số z = a ±bi và z’ = a’ ± b’i là z ± z’ = (a ± a’) + ( b ± b’)i. ➢ Tích hai số phức: z = a + bi và z’ = a’ + b’i là số phức zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i. ➢ Số phức liên hơ ̣p: của số phức z = a + bi là a – bi kí hiêụ là 𝑧̅. ➢ Môđun của số phức z = a + bi là mô ̣t số thực không âm √𝑎2 + 𝑏 2 và đươ ̣c kí hiêụ là |𝑧|. ➢ Phép chia cho số phức khác 0: 1 Số nghich ̣ đảo của số phức z khác 0 là số 𝑧 −1 = 2 𝑧̅. |𝑧| Thương của 𝑧′ 𝑧 𝑧 ′ 𝑧̅ = |𝑧|2 (với z ≠ 0 ). Tức là nhân cả tử và mẫu với 𝑧̅ . ➢ Căn bâ ̣c hai của số phức: w = a + bi có căn bâ ̣c hai là z = x + yi khi và chỉ khi 𝑧 2 = w tức là : (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = a + bi. ➢ Nhân chia số phức dưới da ̣ng lươ ̣ng giác: Nế u z = r(cos 𝜑 + i sin 𝜑). z’ = r’(cos 𝜑′ + i sin 𝜑′). Thì zz’ = rr’[cos(𝜑 + 𝜑′) + i sin(𝜑 + 𝜑′)], 10 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 𝑧′ 𝑟′ = [cos(𝜑′ − 𝜑) + i sin(𝜑′ − 𝜑)] 𝑧 𝑟 2. Da ̣ng lươ ̣ng giác của số phức : Số phức z = a + bi ≠ 0 r = |𝑧| 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑 là acgumen của z tức { 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Vâ ̣y z sẽ đươ ̣c viế t dưới da ̣ng z = r(cos𝜑 + i sin𝜑 ) 3. Công thức Moa-vrơ . [𝑟(cos𝜑 + i sin𝜑)]𝑛 = 𝑟 𝑛 (cosn𝜑 + i sinn𝜑) Khi r = 1 thì (cos𝜑 + i sin𝜑)𝑛 = cosn𝜑 + i sinn𝜑. VIII. Công thức lươ ̣ng giác. 1. Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t. Đố i nhau : sin(-𝛼) = -sin(𝛼) ; cos(-𝛼) = cos(𝛼) tan(-𝛼) = -tan(𝛼) ; cot(-𝛼) = -cot(𝛼) Bù nhau: sin(𝜋-𝛼) = sin(𝛼) cos(𝜋-𝛼) = -cos(𝛼) ; tan(𝜋-𝛼) = -tan(𝛼) ; Hơn kém ∏ : sin(𝜋+𝛼) = -sin(𝛼) cot(𝜋-𝛼) = -cot(𝛼) ; 11 cos(𝜋+𝛼) = -cos(𝛼) ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ tan(𝜋+𝛼) = tan(𝛼) Phu ̣ nhau: sin( 𝜋 2 - 𝛼) = cos(𝛼) 𝜋 2 ; 2 𝜋 𝜋 cos( - 𝛼) = sin(𝛼) ; tan( - 𝛼) = cot(𝛼) Hơn kém cot(𝜋+𝛼) = cot(𝛼) ; cot( 𝜋 : sin( 2 + 𝛼) = cos(𝛼) 2 𝜋 2 - 𝛼) = tan(𝛼) 𝜋 cos( + 𝛼) = -sin(𝛼) ; 𝜋 tan( + 𝛼) = -cot(𝛼) ; 2 2 cot( 𝜋 2 + 𝛼) = -tan(𝛼) 2. Công thức lươ ̣ng giác cơ bản. sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 1 + cot 2 𝛼 = 1 sin2 𝛼 ; 1 + tan2 𝛼 = 1 𝜋 (𝛼 ≠ 2 + k𝜋, k ∈ ℤ ) cos2 𝛼 (𝛼 ≠ k𝜋, k ∈ ℤ ); tan𝛼 cot𝛼 = 1 (𝛼 ≠ k sin3 𝛼 + cos 3 𝛼 = (sin𝛼 + cos𝛼 )(1 – sin𝛼 cos𝛼 ) sin3 𝛼 − cos 3 𝛼 = (sin𝛼 – cos𝛼 )(1 + sin𝛼 cos𝛼 ) sin4 𝛼 + cos 4 𝛼 = 1 - 2sin2 𝛼 cos 2 𝛼 sin4 𝛼 − cos 4 𝛼 = sin2 𝛼 − cos 2 𝛼 = -cos(2𝛼) sin6 𝛼 + cos 6 𝛼 = 1 - 3sin2 𝛼 cos 2 𝛼 sin6 𝛼 − cos 6 𝛼 = -cos(2𝛼)( 1 - sin2 𝛼 cos 2 𝛼) 3. Công thức lươ ̣ng giác Công thức cô ̣ng. Sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa 12 𝜋 2 , k ∈ ℤ). ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Sin(a −b) = sina cosb − sinb cosa Cos(a + b) = cosa cosb − sinb sina Cos(a − b) = cosa cosb + sinb sina tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏 1 + tan 𝑎 tan 𝑏 ; tan(𝑎 + 𝑏) = tan 𝑎 + tan 𝑏 1 − tan 𝑎 tan 𝑏 Công thức nhân đôi, nhân ba. Sin(2𝛼) = 2sin𝛼 cos𝛼 ; Cos(2𝛼) = cos 2 𝛼 - sin2 𝛼 = 2cos 2 𝛼 -1 = 1 - 2sin2 𝛼 tan(2𝛼) = 2tan 𝛼 1− tan2 𝛼 ; tan(3𝛼) = sin(3𝛼) = 3sin𝛼 - 4sin3 𝛼 ; 3 tan 𝛼 − tan3 𝛼 ; 1−3 tan2 𝛼 cos(3𝛼) = 4cos 3 𝛼 – 3cos𝛼 Công thức ha ̣ bâ ̣c sin2 𝛼 = sin3 𝛼 = 1− cos 2𝛼 2 3 sin 𝛼− sin 3𝛼 4 ; cos 2 𝛼 = ; cos 3 𝛼 = 1+ cos 2𝛼 2 3 c𝑜𝑠 𝛼+ cos 3𝛼 4 Công thức biế n tích thành tổ ng. 1 cos𝛼 cos𝛽 = [cos(𝛼 - 𝛽) – cos(𝛼 + 𝛽)] 2 1 sin𝛼 sin𝛽 = [cos(𝛼 - 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)] 2 1 sin𝛼 cos𝛽 = [sin(𝛼 - 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)] 2 Công thức biế n tổ ng thành tích. 13 1− cos 2𝛼 ; tan2 𝛼 = 1+ cos 2𝛼 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 𝛼+𝛽 cos𝛼 + cos𝛽 = 2[cos( 2 )cos( 𝛼+𝛽 cos𝛼 – cos𝛽 = -2[sin( 2 𝛼+𝛽 sin𝛼 + sin𝛽 = 2[sin( 2 𝛼+𝛽 sin𝛼 - sin𝛽 = 2[cos( 2 𝛼−𝛽 2 𝛼−𝛽 )sin( 2 𝛼−𝛽 )cos( 2 𝛼−𝛽 )sin( 2 )] )] )] )] 4. Bảng lươ ̣ng giác của 1 số góc đă ̣c biêt.̣ IX. Logarit. log 𝑎 𝑏 = 𝛼 ⇔ 𝑎𝛼 = 𝑏 ; Quy ước: log 𝑎 1 = 0 ; log 𝑎 𝑎 = 1 ; log 𝑎 𝑎𝑏 = b ; 𝑎log𝑎 𝑏 = b (b > 0) So sánh 2 logarit cùng cơ số : + Nế u a > 1 thì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⇔ b > c +Nế u 0 < a < 1 thì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⇔ b < c Hê ̣ quả: + khi a > 1 thì log 𝑎 𝑏 > 0 ⇔ b > 1 14 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ + khi 0 < a < 1 thì log 𝑎 𝑏 > 0 ⇔ b < 1 + log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐 ⇔ b = c 𝑏 Quy tắ c tiń h: log 𝑎 (𝑏𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 ; log 𝑎 = log 𝑎 𝑏 - log 𝑎 𝑐 ; 𝑐 1 𝑛 log 𝑎 𝑏 𝛼 = 𝛼 log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 = - log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 √𝑏 = 𝑏 Đổ i cơ số : log 𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑐 log𝑎 𝑏 log 𝑎 𝑏 = X. 1 𝑛 log 𝑎 𝑏. hay log 𝑎 𝑏 . log 𝑏 𝑐 = log 𝑎 𝑐 . 1 1 ; log 𝑎𝛼 𝑐 = log 𝑎 𝑐 ( 𝑣ớ 𝑖 𝑎, 𝑏 ≠ 1) log 𝑏 𝑎 𝛼 Đa ̣o hàm các hàm số . 1. Quy tắ c đa ̣o hàm cơ bản Đa ̣o hàm hằ ng số = 0: (c)’ = 0 Đa ̣o hàm của tổ ng bằ ng tổ ng đa ̣o hàm : (x + y)’ = x’ + y’ Đa ̣o hàm của tić h: (xy)’ = x’y + xy’ 𝑥 𝑥’𝑦 – 𝑥𝑦’ 𝑦 𝑦2 Đa ̣o hàm của thương: ( ) ′ = 2. Đa ̣o hàm hàm số sơ cấ p. Với x, y là ẩ n còn a, b, c, n, m là tham số , u = f(x),v = f(y) là các hàm số (ax)’ = a (au)’ = a u’ (xn)’ = n xn-1 (un)’ = n un-1 u’ 1 𝑛 ( √𝑥)’ = 𝑢′ 𝑛 ( √𝑢)’ = 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 15 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ (ax)’ = ax lna ⟹ (ex)’ = ex (log 𝑎 𝑥)’ = 1 𝑥 𝑙𝑛 𝑎 ⟹ (ln 𝑥)’ = (au)’ = u’ au lna ⟹ (eu)’ = u’ ex 1 (log 𝑎 𝑢)’ = 𝑥 𝑢′ 𝑢 ln 𝑎 ⟹ (ln 𝑢)’ = (sin x)’ = cos x (sin u)’ = u’ cos u (cos x)’ = -sin x (cos u)’ = - u’ sin u (tan x)’ = 1+ tan2 𝑥 = 1 (tan u)’ = (1+ tan2 𝑥)𝑢′ = cos2 𝑥 −1 (cot x)’ = -(1 + cot 2 𝑥) = (cot u)’ = -(1 + cot 2 𝑥)𝑢′ = sin2 𝑥 3. Đa ̣o hàm của hàm lươ ̣ng giác ngươ ̣c. (arcsin 𝑥)′ = 1 √1 − 𝑥 2 (arctan 𝑥)′ = ; (arccos 𝑥 )′ = −1 √1 − 𝑥 2 1 𝑥2 + 1 4. Đa ̣o hàm của mô ̣t số hàm số : f(x)’ = (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b f(x)’ = ( f(x)’ = ( f(x)’ = ( XI. 𝑎𝑥+𝑏 ′ 𝑐𝑥+𝑑 ) 𝑎 𝑏 | 𝑐 𝑑 = (𝑐𝑥+𝑑)2 = (𝑐𝑥+𝑑)2 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑑𝑥+𝑒 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ′ ) = 𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥+𝑐1 𝑎2 𝑥 2 + 𝑏2 𝑥+𝑐2 | 𝑎𝑑𝑥 2 +2𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒−𝑐𝑑 ′ ) = (𝑑𝑥+𝑒)2 𝑎 | 1 𝑎2 Nguyên hàm tích phân. 1. Tính chấ t của nguyên hàm. 16 𝑏1 2 𝑎1 𝑐1 𝑏1 | 𝑥 + |𝑎 | 𝑥 +| 𝑏2 𝑏2 2 𝑐2 2 2 (𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑥+𝑐2 ) 𝑐1 | 𝑐2 𝑢′ 𝑢 𝑢′ cos2 𝑥 −(𝑢)′ sin2 𝑥 ↢↢↢↢Họ cườ i tôi vì tôi khác họ – tôi cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = k∫ 𝑓(𝑥) dx (∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)′ = f(x) ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) dx + ∫ 𝑔(𝑥) dx ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) dx − ∫ 𝑔(𝑥) dx ∫ 𝑢𝑑𝑣 = uv - ∫ 𝑣𝑑𝑢 2. Các nguyên hàm cơ bản. ∫ 0 dx = C ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 dx = - cosx + C ∫ k dx = kx + C ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 dx = sinx + C n ∫ x dx = ∫ ∫ 1 𝑥 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 ∫ cot 𝑥 dx = ln sinx + C dx = ln|𝑥| + C 1 𝑥 ∫ tan 𝑥 dx = -ln cosx + C + C ( n ≠ 1) 𝑛 dx = −1 (𝑛−1)𝑥 ∫ 𝑛−1 + C ∫ 𝑒 𝑥 dx = ex + C 𝑥 ∫ 𝑎 dx = 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑑𝑥 = − cot(𝑡𝑎𝑛𝑥) + 𝐶 sin2 𝑥 ∫ + C ( 0 - Xem thêm -