Tài liệu Trắc nghiệm nâng cao hàm số – đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hàm Số Nâng Cao Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG Cho hàm số y  f  x, m  , m là tham số, có taaph xác định D. Hàm số f đồng biến trên D  f   0, x  D . Hàm số f nghịch biến trên D  f   0, x  D . Từ đó suy ra điều kiện của m. 1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu. Lí thuyết nhắc lại: Cho bất phương trình: f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m  xD Cho bất phương trình: f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m  xD Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của hàm số y  f ( x, m) , ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số. - Bước 2: Tính y . Để hàm số đồng biến y   0, x  D , (để hàm số nghịch biến y   0, x  D ) thì ta sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên. - Bước 3: Kết luận giá trị của tham số. Chú ý: + Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành f  x  và g  m  riêng biệt. + Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2. 2. Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số: Lý thuyết nhắc lại: 1) y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:  a  b  0  c  0  y   0, x      a  0     0 a  b  0  c  0  y   0, x     a  0      0 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g  x   ax 2  bx  c Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a. Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a , trừ x   b 2a Nếu   0 thì g  x  có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g  x  khác dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g  x  cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g  x   ax 2  bx  c với số 0. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   0   x1  x2  0   P  0 S  0    0   0  x1  x2   P  0 S  0  Hàm Số Nâng Cao  x1  0  x2  P  0 5) Để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  x1; x2  bằng d thì ta thực hiện các bước sau: Tính y . a  0 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và ngịch biến:    0 2 Biến đổi x1  x2  d thành  x1  x2   4 x1 x2  d 2 1  2 Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m. Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y  từng khoảng xác định của nó. A. m  1 hoặc m  1 . C. m  2 hoặc m  1 . mx  1 luôn đồng biến trên xm B. m  1 hoặc m  1 . D. m  2 hoặc m  1 . Hướng dẫn giải: TXĐ: D   \ m . Ta có: y   m2  1  x  m 2 .  m  1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y '  0, x   m  m 2  1  0   m  1 Chọn B. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến trên . A.  2  m  2. Hướng dẫn giải: Chọn D. B. m   2. C.  2  m  2. D. m  2. Ta có: y  sin x  cos x  mx y '  cos x  sin x  m Hàm số đồng biến trên   y   0, x  .  m  sin x  cos x, x  .  m  max   x  , với   x   sin x  cos x.    Ta có:   x   sin x  cos x  2 sin  x    2. 4  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Do đó: max   x   2. Từ đó suy ra m  2.  Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  (m  3) x  (2m  1) cos x luôn nghịch biến trên  ? A. 4  m  2 . 3 B. m  2 . m  3 C.  . m  1  D. m  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D   . Ta có: y '  m  3  (2m  1) sin x Hàm số nghịch biến trên   y '  0, x    (2m  1) sin x  3  m, x   Trường hợp 1: m   1 7 ta có 0  , x   . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên  . 2 2 Trường hợp 2: m   1 3m 3 m ta có sin x  , x     1 2 2m  1 2m  1  3  m  2m  1  m  4 Trường hợp 3: m   sin x  Câu 4: 1 ta có: 2 3 m 3 m 2 2  , x     1  3  m  2m  1  m  . Vậy m   4;  2m  1 2m  1 3 3  Cho hàm số y  x  sin 2 x, x  0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2  7   11  A.  0; ;  .  và   12   12   7 11  B.  ; .  12 12   7 C.  0;  12  7 11 D.  ;  12 12   7 11  ;  và  .   12 12    11   và  12 ;   .    Hướng dẫn giải: Chọn A.   x    k  1 1 12 TXĐ: D   . y '   sin 2 x . Giải y '  0  sin 2 x     ,k  7  2 2 x   k  12 7 11 Vì x   0;   nên có 2 giá trị x  và x  thỏa mãn điều kiện. 12 12 Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A || 0  7 Hàm số đồng biến  0;  12 Câu 5: Hàm Số Nâng Cao 0 ||   11  ;   và    12  Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  ln 16 x 2  1   m  1 x  m  2 nghịch biến trên khoảng  ;   . A. m   ; 3 . B. m   3;   . C. m   ; 3 . D. m   3;3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y  ln 16 x 2  1   m  1 x  m  2 y  32 x   m  1 16 x 2  1 Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi y   0, x    Cách 1: 32 x   m  1  0, x   16 x 2  1 32 x   m  1  0, x    32 x   m  1 16 x 2  1  0, x   16 x 2  1  16  m  1 x 2  32 x   m  1  0, x    m  1 m  1 16  m  1  0      m  5  m  3. 2 2 2   16  16  m  1  0 16m  32m  240  0  m  3  Cách 2:  32 x   m  1  0 16 x 2  1 x   32 x 32 x  m  1, x    m  1  max g ( x), với g ( x)  2  16 x  1 16 x 2  1 Ta có: g ( x )  512 x 2  32 16 x 2  1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A g ( x )  0  x   Hàm Số Nâng Cao 1 4 1  1 lim g ( x )  0; g    4; g     4 x  4  4 Bảng biến thiên: x   g x   1 4 0 1 4  0   4 g  x 0 0 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max g ( x)  4  Do đó: m  1  4  m  3. Câu 6: x2  4x đồng biến trên 1;  thì giá trị của m là: xm 1  1   A. m    ; 2  \ 1 . B. m   1;2 \ 1 . C. m   1;  . 2  2   Hàm số y  1  D. m   1;  . 2  Hướng dẫn giải: Chọn D. y x2  4x x 2  2mx  4m . có tập xác định là D   \ m và y '  2 xm  x  m  m  1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1;     2  x  2mx  4m  0, x  1;   x 2  2mx  4m  0, x  1;    2m  x  2    x 2 , x  1;   (1) Do x  2 thỏa bất phương trình 2m  x  2    x 2 với mọi m nên ta chỉ cần xét x  2 .  2m  Khi đó 1    2m   Xét hàm số f  x   x2 , x  1; 2  x2 (2) x2 , x   2;   x2  x2 x2  4x trên 1;   \ 2 có f   x   2 x 2  x  2 x  0 f  x  0   x  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Bảng biến thiên m  1 1  YCBT  2m  1  1  m  . 2 2m  8  Cách khác x2  4x x 2  2mx  4m có tập xác định là D   \ m và y '  y . 2 xm  x  m  m  1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1;     2  x  2mx  4m  0, x  1;    4  m  0  2  m  0  m  4m  0   0    m  4  2  2 x  2mx  4m  0, x  1;       0   m  4m  0    m  1   x1  x2  1   m  m 2  4m  1    1  m  2   1 Kết hợp với đk m  1 ta được 1  m  . 2 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: 1 1 y  mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  đồng biến trên  2;   3 3 2 A. m  B. m  1 C. m  1 3 Giải: Ta có: y   mx 2  2  m  1 x  3  m  2  D. m  1 Hàm số đồng biến trên  2;   thì y '  0  mx 2  2  m  1 x  3  m  2   0,    2;    m  x 2  2 x  3  2 x  6  0  m  Đặt f  x   6  2x ,   2;   x  2x  3 2 6  2x , x   2;   ta tìm GTLN của hàm: f  x  , x   2;   x  2x  3 2 Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f ' x  2 x 2  12 x  6 x 2  2 x  3 f ' x  0  2 , x   2;   2 x 2  12 x  6 x 2 Hàm Số Nâng Cao  2 x  3 2 x  3 6 0  x  3  6  loai  2 2 6 2 Ta có: f  2   , f 3  6  , lim f  x   m   m. x  3 2 3 Chọn A.  Câu 8:  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y   x3  3 x 2  3mx  1 nghịch biến trên khoảng  0;  ? A. m  1 B. m  1 C. m  1 D. m  0 Hướng dẫn giải: Ta có: y   3 x 2  6 x  3m . Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;  thì: y '  0  3x 2  6 x  3m  0, x   0;    x 2  2 x  m, x   0;   Đặt f  x   x 2  2 x, x   0;   Ta đi tìm GTNN của hàm f  x  , x   0;   Ta có: f ' x  2x  2 f '  x   0  2 x  2  0  x  1. Ta có: f  0   0; f 1  1, lim f ( x)   x  Vậy để hàm số nghịch biến trong khoảng  0;  thì: min f  x   m  m  1 .  0;  Chọn B. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng  0;  ? A. m  0 . B. m  12 . C. m  0 . D. m  12 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D   . Ta có y   3 x 2  12 x  m Trường hợp 1: 3  0 (hn) Hàm số đồng biến trên   y   0, x      m  12 36  3m  0 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên  0;   y  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  0 (*) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Trường hợp 2.1: y  0 có nghiệm x  0 suy ra m  0 . Nghiệm còn lại của y  0 là x  4 (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa  36  3m  0    0   x1  x2  0  S  0  4  0(vl )  không có m .Vậy m  12 P  0 m   0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến trên  0;   m  12 x  3x 2  g ( x), x  (0; ) . Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên  0;  . x 0 +∞ 2 + g 0 – 12 g 0 –∞ Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m  2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m   5; 2  . B. m   ; 2 . C. m   2,   . D. m   ; 5  . Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định D   . Ta có y '  4 x3  4(m  1) x . Hàm số đồng biến trên (1;3)  y '  0, x  (1;3)  g ( x )  x 2  1  m, x  (1;3) . Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên (1;3) . x 1 g g + 3 0 10 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m  min g ( x)  m  2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 11: Tìm tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2  3  m  1 x  2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 . A. m  1  21 2 B. m  C. m  1  21 2 D. 1  21 1  21 hoặc m  2 2 1  21 1  21 m 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có D  , y   3x 2  6mx  3  m  1  3  x 2  2mx  m  1 y   0  x 2  2mx  m  1  0 1 . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4  y  0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4  1 có hai nghiệm x1; x2  x1  x2  thoả mãn x1  x2  4    0   0      4  m 2  m  1  4  x1  x2  4  2   4  m2  m  5  0  m  1  21 1  21 m . 2 2 Vậy hàm số 1 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 m 1  21 1  21 m 2 2 Chọn B. 1 1 Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  mx 2  2mx  3m  4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m  1; m  9 . B. m  1 . C. m  9 . D. m  1; m  9 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D   . Ta có y   x 2  mx  2m Ta không xét trường hợp y   0, x   vì a  1  0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3  y  0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 2  m  8 hay m  0  m  1   0  m  8m  0 x1  x2  3      m  9 2 2 2  m  8m  9  x1  x2   9  S  4 P  9 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 mx  7mx 2  14 x  m  2 giảm trên nửa khoảng [1;  ) ? 3 14  14  14     A.  ;   . B.  ;   . C.  2;   . 15  15  15     y  f ( x)   14  D.   ;   .  15  Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định D   , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình mx 2  14mx  14  0, x  1 , tương đương với g ( x )  14  m (1) x  14 x 2 Dễ dàng có được g ( x ) là hàm tăng x  1;   , suy ra min g ( x )  g (1)   x 1 Kết luận: (1)  min g ( x )  m   x 1 14 15 14 m 15 Câu 14: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2 x 2  (1  m) x  1  m đồng biến trên khoảng (1;  ) ? xm A. 3. B. 1. C. 2. y D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D. Tập xác định D   \ m . Ta có y   2 x 2  4mx  m 2  2m  1 g ( x)  2 ( x  m) ( x  m) 2 Hàm số đồng biến trên (1;  ) khi và chỉ khi g ( x )  0, x  1 và m  1 (1) Vì  g  2(m  1)2  0, m nên (1)  g ( x)  0 có hai nghiệm thỏa x1  x2  1 2 g (1)  2(m 2  6m  1)  0  Điều kiện tương đương là  S  m  3  2 2  0, 2 .   m 1 2 Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y   x 4  (2m  3) x 2  m nghịch biến  p p trên khoảng 1; 2  là  ;  , trong đó phân số tối giản và q  0 . Hỏi tổng p  q là? q q   A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. Tập xác định D   . Ta có y   4 x 3  2(2m  3) x . Hàm số nghịch biến trên (1; 2)  y  0, x  (1; 2)  m  x 2  3  g ( x ), x  (1; 2) . 2 Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên (1; 2) . g ( x )  2 x  0  x  0 Bảng biến thiên x 1 g g 2 0 + 11 2 5 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m  min g ( x)  m  Câu 16: 5 . Vậy p  q  5  2  7 . 2 Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  2 x 3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  2017 nghịch biến trên khoảng  a; b  sao cho b  a  3 là A. m  6 . B. m  9 . C. m  0 . m  0 D.  . m  6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có y   6 x 2  6  m  1 x  6  m  2  Hàm số nghịch biến trên  a; b   x 2   m  1 x   m  2   0 x   a; b    m 2  6m  9 TH1:   0  x 2   m  1 x   m  2   0 x    Vô lí TH2:   0  m  3  y có hai nghiệm x1 , x2  x2  x1   Hàm số luôn nghịch biến trên  x1; x2  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Yêu cầu đề bài: 2  x2  x1  3   x2  x1   9  S 2  4 P  9 m  6 2   m  1  4  m  2   9  m 2  6m  0   m  0 Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  m cos x  4 nghịch biến trên cos x  m    khoảng  ;  3 2  2  m  0 B.  1 .  m2 2 A. 1  m  2 . C. m  2 . D. 2  m  0 . Hướng dẫn giải: m 2  4  0  2  m  0 m 2  4  sin x  m cos x  4       y .  y'  ; y '  0, x   ,     1   1 2 cos x  m m  0;  m  2 3 2  cos x  m     2  2  Chọn B. Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y    khoảng  0;   4 A. m  0 hoặc 1  m  2 . C. 1  m  2 . tan x  2 đồng biến trên tan x  m B. m  0 . D. m  2 . Hướng dẫn giải:   Đặt t  tan x, với x   0;   t   0;1  4 Hàm số đã cho trở thành tìm tham số m để hàm số y  Ta có: y   t   t2 đồng biến trên khoảng (0;1) tm m  2 t  m 2 Để hàm số đồng biến trong khoảng (0;1) thì:  y '  t   0  m  2  0 m  2 1  m  2     m  0 t  m m   0;1 m   0;1 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  Hàm Số Nâng Cao cot x  1 đồng biến trên khoảng m cot x  1     ; . 4 2 A. m   ;0   1;   . B. m   ;0  . C. m  1;   . D. m   ;1 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y    1  cot 2 x   m cot x  1  m 1  cot 2 x   cot x  1  m cot x  1 2 1  cot x  1  m  . 2   m cot x  1 2    Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  khi và chỉ khi: 4 2     m cot x  1  0, x   4 ; 2    m  0  m  1    m  0.  2 1  cot x 1  m   1  m  0         y   0, x   ;  2  4 2 m cot x  1    Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y  x 3  mx 2   2m 2  7 m  7  x  2  m  1 2m  3 đồng biến trên khoảng  2;   ? A. 1  m  5 2 B. 1  m  5 2 C. 1  m  5 2 1 5 D.   m  2 2 Hướng dẫn giải: Ta có: y   3 x 2  2mx   2m 2  7 m  7  Hàm số đồng biến trong khoảng  2;   thì ta xét 2 trường hợp sau: TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R:  '  0  m 2  3  2m 2  7 m  7   0  m 2  3m  3  0, VL  Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn đồng biến trên R, TH2: Hàm số đồng biến trong khoảng  2;    '  0  m 2  3m  3  0,  x    . Giả sử x1 , x2 ,  x1  x2  là hai nghiệm của phương trình y '  0 , để Hàm số đồng biến trong khoảng  2;   thì: S  2 x1  x2  2   2  x1  2  x2  2   0  x1 x2  2  x1  x2   4  0, (1)  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Theo định lí vi-et ta có: 2m   x1  x2  3 (2)  2  2 m  7 m  7 x x   1 2 3 Thay (2) vào (1) ta được: m  6   2 m 2  7 m  7  2m  2  2   4  0   2 m  3m  5  0  3 3    m  6 5   5  1  m  2 1  m  2 5 Vậy với 1  m  thì hàm số đồng biến trong khoảng  2;   . 2 Chọn A. Câu 21: Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị hàm số y  f '  x  là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 . B. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng 1; 2  . C. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  2;1 . D. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  . Hướng dẫn giải: Chọn D. • Từ đồ thị ta thấy: + Hàm số f  x  nghịch biến trên các khoảng  ; 2  và  0;2  . + Hàm số f  x  đồng biến trên các khoảng  2;0  và  2;   . Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  . Hỏi đồ thị hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây A.  2;   B. 1; 2  C.  0;1 D.  0;1 và  2;   Hướng dẫn giải: Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Dựa vào đồ thị f '  x  ta có f '  x   0 khi x   2;    hàm số f  x  đồng biến trên  2;   Câu 23: Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e  a  0  . Biết rằng hàm số f  x  có đạo hàm là f '  x  và hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. y 4 x -2 -1 O 1 Khi đó nhận xét nào sau đây sai? A. Trên  2;1 thì hàm số f  x  luôn tăng. B. Hàm f  x  giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 . C. Hàm f  x  đồng biến trên khoảng 1;  . D. Hàm f  x  nghịch biến trên khoảng  ; 2  Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f '  x  ta thấy:  1  x  1 ● f '  x   0 khi    f  x  đồng biến trên các khoảng  2;1 , 1;  . x 1 Suy ra A và C đều đúng. ● f '  x   0 khi x  2   f  x  nghịch biến trên khoảng  ; 2  . Suy ra D đúng, B sai. Chọn B.   Câu 24: Cho hàm số y  f  x  .Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f x2 đồng biến trên khoảng: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1;2  . C.  2; 1 . B.  2; . Hàm Số Nâng Cao D.  1;1 . Hướng dẫn giải: Chọn C.      x  . f   x   2 xf   x   Ta có:  f  x    0  2 xf   x   0 . Ta có: f x 2 2 2 2 2 2 x  0  x  0 TH1:    0  x  1 x  2 .  2 2 2 1  x  1  x  4  f  x  0  x  0 x  0 TH2:    2  x  1 .  2 2 2  x  1  1  x  4  f  x  0     Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  ( y  f '  x  liên tục trên R ). Xét hàm số g  x   f  x 2  2  . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g  x  nghich ̣ biến trên  ; 2  B. Hàm số g  x  đồng biến trên  2;   C. Hàm số g  x  nghịch biến trên  1;0  D. Hàm số g  x  nghịch biến trên  0; 2  Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét hàm số File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao g ( x )  f ( x 2  2) g '( x)  2 x. f '(x 2  2) x  0 x  0 x  0   2 2  g '( x)  0  2 x. f ( x  2)  0     x  2  1   x  1 2  f '( x  2)  0  x2  2  2  x  2  Ta lập bảng xét dấu => đáp án D Câu 26: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm y  f '  x  như hình vẽ. Xét hàm số g  x   f  2  x 2  . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f  x  đạt cực đại tại x  2 B. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  C. Hàm số g  x  đồng biến trên  2;   D. Hàm số g  x  đồng biến trên  1;0  Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Dễ thấy f '  x    x  1  x  2  Do f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x  2 nên f  x  đạt cực trị tại x  2 Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  do f '  x   0  x  2  Đặt t  2  x 2  g  x   f  t   g '  x   f '  t  .t '  x   f '  2  x 2   2 x  2 2   2  x 2  1  2  x 2  2   2 x    3  x 2  .3 x 2  g  x  đồng biến trên  0;  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D  D    và x0  D . 1) x0 là điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng  a; b   D và x0   a; b  sao cho  a; b   D và x0   a; b  sao cho f  x   f  x0  ,  a; b  \  x0  Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f. 2) x0 là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng f  x   f  x0  ,  a; b  \  x0  Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. 3) Nếu f  x0  được gọi là cực trị của f thì điểm  x0 ; f  x0   được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '  x0   0 . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Định lí 1: giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên  a; b  \  x0  1) Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 2) Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 . Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f '  x0   0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . 1) Nếu f ''  x0   0 thì f đạt cực đại tại x0 . 2) Nếu f ''  x0   0 thì f đạt cực tiểu tại x0 . 4. Kiến thức cần nhớ: 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B AB  2  xB  xA    yB  y A  2 2) Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng  : ax  by  c  0 : File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A d M ,  Hàm Số Nâng Cao ax0  by0  c a2  b2 3) Diện tích tam giác ABC:   2 1 1 AB. AC.sin A  AB 2 . AC 2  AB. AC 2 2    Tích vô hướng của hai vectơ a.b  a1b1  a2b2 với a   a1; a2  ; b   b1; b2  .  S     Chú ý: a.b  0  a  b . (1). Điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . II - HÀM BẬC BA A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Cực trị của hàm số Xét hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . b 2  3ac  0 hàm số không có điểm cực trị. b 2  3ac  0 hàm số có duy nhất một điểm cực trị.  a  0  b 2  3ac  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 là nghiệm của phương trình:  a  0 Với y '  0  3ax 2  2bx  c  0 , có x1  x2  c 2 b 2  3ac 2b , x1.x2   x1  x2  . 3a 3a 3 a2 Khi đó: 2 b2  bc . Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là d : y   c   x  d  3 3a  9a 2 b2  Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị là k   c   . 3 3a   2  2 b2  bc  b2  bc  Tọa độ 2 điểm cực trị là A  x1 ;  c   x1  d   , B  x2 ;  c   x2  d   . 3a  9a  3a  9a   3  3 2 4 b2  Độ dài đoạn thẳng AB là 1   c   x1  x2 . 9 3a  Diện tích tam giác OAB là S  1 2 bc    d    x1  x2  . 9a   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19