()
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ
ÔN THI VÀO LỚP 10
N¨m häc: 2022 – 2023
1
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
MỤC LỤC.
STT
CHUYÊN ĐỀ
Trang
1
BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
2
2
TOÁN THỰC TẾ DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT, CÔNG VIỆC
41
3
TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN THÊM,BỚT PHẦN
TỬ.
79
4
TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN KINH DOANH
83
5
6
7
8
TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ HÓA HỌC
TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ VẬT LÝ
TOÁN THỰC TẾ DẠNG TỔNG HỢP
114
199
207
225
9
BÀI TOÁN THỰC TẾ
ỨNG DỤNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
262
10
BÀI TOÁN THỰC TẾ
ỨNG DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT
274
12
BÀI TOÁN THỰC TẾ
ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI TOÁN THỰC TẾ
ỨNG DỤNG LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
13
BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG
TIỀN ĐIỆN, TIỀN NƯỚC, GIÁ CƯỚC TAXI
11
1/322
TOÁN THỰC TẾ DẠNG HÌNH HỌC ( KỲ I + KỲ 2 – TOÁN 9)
LƯU HÀNH NỘI BỘ
288
310
316
2
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN ĐỀ 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ
DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
A. Kiến thức cần nhớ.
Toán chuyển động có ba đại lượng:
S = v.t Quãng đường = Vận tốc × Thời gian
S : quãng đường
S
Vận tốc = Quãng đường : Thời gian
v=
t
v: vận tôc
S
Thời gian = Quãng đường : Vận tốc.
t=
v
t : thời gian
Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng ki-lômét, vận
tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ.
Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu: Thò̀ i gian hai xe đi
được là nhu nhau, Tồng quãng đưòng hai xe đã đi đúng bằng khoảng cách ban đâu giũa hai xe.
Nếu hai phurong tiện chuyển động cùng chiều tù hai địa điểm khác nhau là A và B , xe tù̀
A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng
đuờng đi được của xe tù A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đưòng AB
Phương pháp giải: Chú ý dựa vào công thức S = vt , trong đó S là quãng đường, v là vận tốc và
là thời gian. Ngoài ra, theo nguyên lí cộng vận tốc trong bài toán chuyển động tàu, thuyền trên
mặt nước, ta có:
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực − vận tốc dòng nước.
Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước.
B. Bài tập.
Bài 1.
Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10 km, Ca nô đi từ A đến B mất 2 h20' ,ô tô
đi hết 2 h . Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km / h .
Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
Phân tích bài toán : Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn
học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có
thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(x > 0) . Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường
theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở
mối quan hệ quãng đường.
t (h)
Ca nô
2/322
3 h20' =
10
h
3
LƯU HÀNH NỘI BỘ
v ( km / h )
S ( km )
x
10 x
3
3
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Ō tô
x + 17
2
2 ( x + 17 )
Công thức lập phương trình: Sôto − Scanó = 10
Lời giải
Gọi vận tốc của ca nô là x km / h(x > 0) .
Vận tốc của ô tô là: x + 17 ( km / h ) .
10
x ( km ) .
3
Quãng đường ô tô đi là: 2 ( x + 17 )( km ) .
Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10 km nên ta có phương trình:
Quãng đường ca nô đi là:
2 ( x + 17 ) −
10
x = 10
3
Giải phương trình ta được x = 18 .(thỏa mãn đk).
Vậy vận tốc ca nô là 18 km / h .
Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 ( km / h ) .
Bài 2.
Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi lẫn về mất 8 h20' .
Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km / h .
S ( km )
v ( km / h )
t (h)
Tàu: x
Xuôi
80
x+4
Ngược
80
x−4
80
x+4
80
x−4
Phân tích bài toán:
Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây
gọi vận tốc thực của tàu là x km / h(x > 4)
25
Công thức lập phương trình: t xuôi +t ngược +8 h20' =
h
3
Lời giải
Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km / h(x > 0)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km / h
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x − 4 km / h
3/322
4
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
80
h
x+4
80
h
Thời gian tàu đi ngược dòng là:
x−4
25
h nên ta có phương trình:
Vì thời gian cả đi lẫn về là 8 h20' =
3
Thời gian tàu đi xuôi dòng là:
80
80
25
+
=
x+4 x−4 3
Giải phương trình ta được: x1 =
−4
(loại) x2 = 20 (tmđk) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên
5
lặng là 20 km / h
Bài 3.
Ts Bắc Kạn ( 2021-2022)
Một người đi xe máy từ huyên Ngân Sơn đến huyện Chợ Mới cách nhau 100 km. Khi về người
đó tăng vận tốc thêm 10 km / h so với lúc đi, do dó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút.
Tính vận tốc đi của xe máy.
Lời giải
Gọi vận tốc lúc đi của xe máy là x ( km / h ) (ĐK: x > 0 )
Lúc đi, xe máy đi hết
100
(giờ)
x
Vận tốc lúc về của xe máy là x + 10( km / h)
Lúc về, xe máy đi hết
100
(giờ)
x + 10
Do lúc về xe máy tăng tốc nên thời gian về ít hơn so với thời gian đi là 30 phút =
phương trình
100 100
1
−
=
x
x + 10 2
⇔ 200( x + 10) − 200 x = x ( x + 10)
⇔ 200 x + 2000 − 200 x = x 2 + 10 x
⇔ x 2 + 10 x − 2000 = 0
Ta có ∆ ′ = 52 + 2000 = 2025 = 452 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
−5 + 45
= 40(tm)
x =
1
.
x = −5 − 45 = −50( ktm)
1
Vậy vận tốc lúc đi của xe máy là 40 km / h .
4/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
1
h nên ta có
2
5
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Bài 4.
TS Cà Mau ( 2021-2022)
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất
tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người
phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong
2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như
vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi
mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục
tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi).
Lời giải
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là x (bước) ( x ∈N*).
Gọi số bước chị Hà đi bộ trong 1 phút là y (bước) ( y ∈N*, y < x).
2 phút anh Sơn đi được 2x (bước)
2 phút chị Hà đi được 2y (bước)
Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình: 2x –
2y = 20 (1)
3 phút anh Sơn đi được 3x (bước)
5 phút chị Hà đi được 5y (bước)
Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương
trình: 5y – 3x = 160 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2 x − 2 y = 20
x − y = 10
x = 10 + y
x = 10 + y
x = 10 + y
x = 105
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
5 y − 3 x = 160
5 y − 3 x = 160
5 y − 3(10 + y ) = 160
2 y = 190
y = 95
y = 95
Đối chiếu với điều kiện suy ra x = 105, y = 95
Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là 105.60 = 6300 (bước)
Mỗi ngày chị Hà đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là 95.60 = 5700 (bước)
Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra còn chị Hà thì không đạt được mục tiêu đề ra là 6000
bước mỗi ngày.
Bài 5.
TS Bình Định ( 2021-2022)
Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km , sau đó 1 giờ, một
ô tô đi từ B đến A . Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km . Biết vận tốc của ô tô lớn
hơn vận tốc của xe máy 20 km /giê . Tính vận tốc của mỗi xe.
Lời giải
Gọi
x ( km /h ) là vận tốc của xe máy. Điều kiện: x > 0
Quãng đường xe máy đi đến lúc gặp nhau là:
5/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
88 ( km )
6
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Thời gian xe máy đi đến lúc gặp nhau là:
Vận tốc của ô tô đi là:
88
(h )
x
x + 20 ( km /h )
Quãng đường ô tô đi đến lúc gặp nhau là:
Thời gian ô tô đi đến lúc gặp nhau là:
Theo đề ta có phương trình:
72 ( km )
72
(h )
x + 20
88
72
−
=1
x x + 20
⇒ 88 x + 1760 − 72 x = x 2 + 20 x
⇔x 2 + 4 x − 1 7 6 0 = 0
Giải phương trình ta được:
Vậy, vận tốc xe máy là
Bài 6.
x1 = 40 (nhận), x2 = −44 (loại)
40 km /h , vận tốc xe ô tô là 60 km /h
TS Bình Phước ( 2021-2022)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tể đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận
tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 10 km / h nên ô tô thú hai đến B trước ô tô
thứ nhất 24 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là
x( km/ h) (ĐK: x > 0 ).
Suy ra vận tốc của ô tô thứ hai là
x + 10( km / h)
Thởi gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường
AB là:
AB là
120
(h)
x + 10
Vì ô tô thứ hai đến B trước ô tô thứ nhất 24 phút =
120
120
2
−
=
x
x + 10 5
⇔ 600( x + 10) − 600 x = 2 x( x + 10)
⇔ 600 x + 6000 − 600 x = 2 x 2 + 20 x
⇔ 2 x 2 + 20 x − 6000 = 0
⇔ x 2 + 10 x − 3000 = 0
6/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
120
(h)
x
2
giờ nên ta có phương trình:
5
7
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Ta có: ∆′ = (−5) + 3000 = 3025 = 55 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2
2
x1 = −5 + 55 = 50 (tm)
x2 = −5 − 55 = −60( ktm)
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 km / h và vận tốc của ô tô thứ hai là 60 km / h .
Bài 7.
TS Đồng Nai 2021-2022
Hằng ngày bạn Mai đi học bằng xe đạp, quãng đường từ nhà đến trường dài 3km. Hôm nay, xe
đạp hư nên Mai nhờ mẹ chở đi đến trường bằng xe máy với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi xe
đạp là 24 km/h, cùng thời điểm khởi hành như mọi ngày nhưng Mai đã đến trường sớm hơn
10 phút.tính vận tốc của bạn Mai khi đi học bằng xe đạp.
Lời giải
Gọi vận tốc của bạn Mai khi đi xe đạp từ nhà tới trường là x (km/h) ( x > 0 ) .
3
(h).
x
Vận tốc xe máy mẹ Mai chở Mai từ nhà đến trường là x + 24 (km/h)
Thời gian Mai đi xe đạp từ nhà đến trường là
Thời gian mẹ chở mai đi học bằng xe máy từ nhà đến trường là
Vì hôm nay mai đến sớm hơn 10 phút hay
3
(h)
x + 24
1
(h) so với mọi ngày, ta có phương trình
6
3
3
1
−
=
x x + 24 6
⇒ 18 ( x + 24 ) − 18 x = x ( x + 24 )
⇒ 18 x + 432 − 18 x = x 2 + 24 x ⇔ x 2 + 24 x − 432 = 0
Có ∆ ' = 122 − 1. ( −432 ) = 576 ⇒ ∆ ' = 576 = 24
−12 + 24
−12 − 24
= 12 (nhận); x1 =
= −36 (loại).
1
1
Vậy vận tốc của bạn Mai khi đi xe đạp từ nhà đến trường là 12 km/h
TS Hòa Bình 2021-2022
Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200 km , đi ngược
chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô
tăng thêm 10 km/h và vận tốc của xe máy giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận
tốc của xe máy.
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là x, y ( km/h ) (ĐK: x, y > 0 )
⇒ x1 =
Bài 8.
Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là: 2 x ( km )
Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là: 2 y ( km )
7/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
8
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200 km , đi ngược chiều và
gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình:
2 x + 2 y = 200 ⇔ x + y = 100 (1)
Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km /h thì vận tốc mới của ô tô là: x + 10 ( km /h )
Nếu vận tốc của xe máy giảm đi 5 km /h thì vận tốc mới của xe máy là:
y − 5 ( km /h )
Vì vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km /h và vận tốc của xe máy giảm đi 5 km /h thì
vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình:
x + 10 = 2 ( y − 5 ) ⇔ x − 2 y = −20
( 2)
x + y = 100
Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:
x − 2 y = −20
3 y = 120
y = 40
⇔
⇔
( t /m )
x − 2 y = −20
x = 60
Vậy vận tốc của ô tô là 60 km /h và vận tốc của xe máy là 40 km /h
Bài 9.
TS Hải Phòng 2021-2022
Lúc 9 giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường
là 55 km / h. Sau khi xe ô tô này đi dược 20 phút thì cũng trên quãng đương đó, một xe ô tô
khác bắt đầu đi từ B về A với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 45 km / h. Hỏi hai
xe ô tô gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường AB dài 135 km
Lời giải
Đổi 20 phút =
1
( h) .
3
Quãng đường ô tô đi từ A đến B trong 20 phút là: 55 ⋅
1 55
= ( km) .
3 3
Gọi thời gian ô tô đi từ B đến A đi đến khi gặp ô tô đi từ A đến B là x( h),( x > 0) .
1
⇒ Thời gian ô tô đi từ A đến B đi đến khi gặp ô tô đi từ B đến A là: x + ( h) .
3
⇒ Quãng đường ô tô đi từ A đến B đi được đến khi 2 xe gặp nhau là:
1
55
55 x + = 55 x + ( km) .
3
3
Quãng đường ô tô đi từ B đến A đi được đến khi 2 xe gặp nhau là: 45 x( km) .
Quãng đường AB dài 135 km
Quãng đường ô tô đi từ A đi trước ô tô đi từ B là:
8/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
9
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
55 ⋅
1 55
= ( km)
3 3
Đến lúc 9 h 20 phút hai xe còn cách nhau là:
135 −
55 350
=
( km)
3
3
Thời gian hai xe gặp nhau là:
350
7
: (55 + 45) = ( h)
3
6
Đổi
7
giờ = 1 giờ 10 phút
6
Thời điểm hai xe gặp nhau là:
9 giờ 20 phút +1 giờ 10 phút = 10 giờ 30 phút
Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút.
Bài 10.
TS Phú Yên 2021-2022
Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 5km và một đoạn xuống dốc dài 10km . Một
người đi xe đạp từ A đến B hết 1 giờ 10 phút và đi từ B về A hết 1 giờ 20 phút (vận tốc
lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc của người
đi xe đạp.
Lời giải
Đổi 1 giờ 10 phút =
7
4
( h ) , 1 giờ 20 phút = ( h ) .
6
3
Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc của người đó lần lượt là x ( km/h ) và y ( km/h ) với
y>x>0
Lúc đi: Thời gian lên dốc là
5
( h) , xuống dốc là 10 ( h )
x
y
Tổng thời gian đi hết 1 giờ 10 phút nên ta có phương trình:
Lúc về: Thời gian lên dốc là
10
( h ) , xuống dốc là 5 ( h)
x
y
Tổng thời gian đi hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình:
9/322
5 10 7
+ = (1)
x y 6
LƯU HÀNH NỘI BỘ
10 5 4
+ = (2)
x y 3
10
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
5 10 7
x + y = 6
Từ (1) và (2), ta lập hệ phương trình:
10 + 5 = 4
x y 3
Đặt a =
1
1
và b = với a > 0 , b > 0 , ta được:
x
y
7
7
1 4
1
4
5
10
10
20
10
5.
a
+
b
=
a
+
b
=
a
+
=
a
=
10a + 5b =
10
6
3
15 3
⇔
⇔
⇔
3⇔
10a + 5b = 4
10a + 5b = 4
15b = 1
b = 1
b = 1
3
3
15
15
(Nhận)
Từ đây ta suy ra
1 1
=
x = 10
x 10
(Nhận)
1 1 ⇒
y
=
15
=
y 15
Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10 ( km/h ) và vận tốc xuống dốc là 15 ( km/h ) .
Bài 11.
TS Tiền Giang 2021-2022
Quãng đường AB dài 150 km. Một xe tải khởi hành đi từ A đến B , cùng lúc đó một ô tô
cũng đi trên quãng đường đó từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải 5 km/h, nên ô tô
đến B sớm hơn xe tải 20 phút. Tính vận tốc xe tải.
Lời giải
Gọi
x (km/h) là vận tốc của xe tải đi từ A
đến B ( x > 0) .
Vận tốc của ô tô đi từ A đến B là x + 5 (km/h).
Thời gian xe tải đi từ A đến B là 150 (giờ)
x
Thời gian ô tô đi từ A đến B là 150 (giờ)
x+5
Vì ô tô đến B sớm hơn xe tải 20 phút nên ta có phương trình:
x = 45 ( nh )
150 150 20 1
−
=
= ⇔ x2 + 5 x − 2250 = 0 ⇔
x x + 5 60 3
x = −50 ( l )
Vậy vận tốc của xe tải đi từ A đến B là 45 km/h.
Bài 12.
TS Bắc Kạn 2018-2019
Quāng sông từ A đến B dài 60 km . Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngược từ B trở về
A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 4 km / h .
10/322
1
11
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Lời giải
Gọi vận tốc thực của ca nô là x km / h (điều kiện x > 4 ).
Vì vận tốc dòng nước là 4 km / h nên
vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 4 km / h ⇒ thời gian ca nô đi xuôi dòng là 60
giờ. vận
x+4
60
tốc ca nô khi ngược dòng là x + 4 km / h ⇒ thời gian ca nô đi ngược dòng là
giờ.
x−4
Do đó ta có phương trình
60
60
+
=8
x+4 x−4
⇔
60 ( x − 4 ) + 60 ( x + 4 )
( x + 4 )( x − 4 )
=8
(
⇔ 120 x = 8 x 2 − 16
x = 16
⇔ x 2 − 15 x − 16 = 0 ⇔
x = −1
)
(thoûa maõn)
(loaïi).
Vậy vận tốc thực của ca nô là 16 km / h .
Bài 13.
TS Điện Biên 2018-2019
Một chiếc bè trôi từ bến sông A đến bến B với vận tốc dòng nước là 4 km / h , cùng lúc đó
một chiếc thuyền chạy từ bến A đến B rồi quay lại ngay thì gặp chiếc bè tại vị trí C cách bến
A là 8 km . Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách giữa hai bến A và B là 24 km .
Lời giải
Gọi vận tốc thực của thuyền là x km / h , vận tốc xuôi dòng của thuyền là ( x + 4 ) km / h , vận
tốc ngược dòng của thuyền là ( x − 4 ) km / h .
Điều kiện của x là x > 4 .
Vì thuyền chạy tù̀ A đến B rồi quay lại ngay thì gặp chiếc bè tại vị trí C cách bến A là
8 km tức là thuyền đi xuôi dòng được 24 km và ngược dòng được 24 − 8 = 16 km , nên ta có
thời gian của thuyền đi đến khi gặp chiếc bè là
24
16
giờ.
+
x+4 x−2
Thời gian của chiếc bè trôi đến khi gặp thuyền là 8: 4 = 2 giờ.
Khi đó ta có phương trình
=2
⇔
24 ( x − 4) + 16 ( x + 4)
=
2 ( x 2 −16)
x 2 −16
x 2 −16
⇔ 24 x − 96 + 16 x + 64 = 2 x 2 − 32 (vì x > 4)
11/322
⇔
2 x 2 − 40 x = 0
⇔
x = 0 ( loaïi)
x = 20 ( nhaän).
12
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Vậy vận tốc thực của thuyền là 20 km / h .
Bài 14.
TS Quảng Ninh 2018-2019
Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cū dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ
B về A , xe đi đường cao tốc mới nên quāng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc
tăng so với lúc đi là 32 km / h . Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B , biết thời gian đi nhiều
hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.
Lời giải
Đổi: 1 giờ 45 phút = 7 giờ.
4
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là x km / h ( x > 0) .
Thời gian ô tô đi từ A đến B là 156 giờ.
x
Quāng đường lúc về là 120 km và vận tốc của ô tô lúc về là x + 32 km / h nên thời gian
120
ô tô đi từ B về A là
x + 32
giờ.
Theo bài ra ta có phương trình
156 120
7
36 x + 4992 7
−
= ⇔
=
x x + 32 4
x ( x + 32) 4
⇔ 4 ( 36x + 4992) = 7x ( x + 32)
⇔ 7 x 2 + 80 x − 19968 = 0
(thoa mān)
x = 48
⇔
x = − 416 (loai).
7
Vậy vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 48 km / h .
Bài 15.
TS Tiền Giang 2018-2019
Hai bến sông A và B cách nhau 60 km . Một ca-nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng
từ B về A . Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Tính vận tốc
ngược dòng của ca-nô, biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca-nô là
6 km / h .
Lời giải
Gọi x km / h là vận tốc ngược dòng của ca-nô.
Suy ra vận tốc ca-nô khi xuôi dòng là ( x + 6) km/ h .
Thời gian ca-nô chạy xuôi dòng từ A đến B là 60 giờ.
x+6
Thời gian ca-nô chạy ngược dòng từ B về A là 6 0 giờ.
x
Do thời gian đi xuôi dòng ít hơn đi ngược dòng là 20 phút nên
12/322
1
13
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
x = 30 ( N)
60 60 1
−
= ⇔ x2 + 6x −1080 = 0 ⇔
x x+6 3
x = −36 ( L)
Vậy vận tốc ca-nô khi ngược dòng là 30 km / h .
Bài 16.
TS Phú Yên 2017.
Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 40 km , rồi ngược dòng khúc sông ấy hết 4 giờ 30
phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc của dòng nước là 2 km / giờ̀.
Lời giải
Gọi vận tốc thực của ca nô là x km / giờ ( x > 2) .
Thời gian ca nô đi ngược dòng là 40
(giờ).
x+2
40
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là
(giờ).
x−2
Đổi 4 giờ 30 phút = 4, 5 giờ.
Theo đề bài ta có phương trình
x = 18
40
40
2
2
+
= 4, 5 ⇔ 80 x = 4, 5 x − 18 ⇔ 4, 5 x − 80 x − 18 = 0 ⇔
x = − 2
x+2 x−2
9
So với yêu cầu bài toán thì ta có x = 18 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy vận tốc thực của ca nô là 18 km / giờ.
Bài 17.
TS Hà Nội 2017
Một ca nô chạy trên sông trong 8 h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác
cūng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4 h, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km.
Hāy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc
riêng của ca nô không đổi.
Lời giải
Gọi x km / h và y km / h lần lượt là vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô ( x > y > 0) .
Ta có hệ phương trình
81 105
1 1
x + y =8
x = 27
x = 27
⇔
1 1 ⇔
y = 21
54 + 42 = 4
=
21
y
x
y
(thỏa mān điều kiện).
Vậy vận tốc xuôi dòng là 27 km / h , vận tốc ngược dòng là 21 km / h .
Bài 18.
13/322
Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gian chạy ngược dòng
54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ. Tính vận tốc riêng
của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu không đổi).
LƯU HÀNH NỘI BỘ
1
14
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x ( km / h ) .
Gọi vận tốc của dòng nước là y ( km / h ) ( x > y > 0) .
Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là x + y ( km / h ) .
Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là x − y ( km / h ) .
Dẫn tới hệ phương trình :
54
66
x+ y = x− y
x = 30
(thóa mãn đîêu kiện).
⇔
22 + 9 = 1 y = 3.
Vậy vận tốc riêng của tàu
x +thủy
y là
x −30
y km / h .
Vận tốc của dòng nước là 3 km / h .
Bài 19.
Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30
phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1
giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi,
tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lân lượt là x, y ( km / h ; 0 < y < x
).
Vận tốc ca nô xuôi dòng là: x + y ( km / h ) .
Vận tốc ca nô ngược dòng là: x − y ( km / h ) .
5
4
giờ; 1 giờ 20 phút = giờ.
2
3
Vì ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30
12
12
5
phút nên ta có phương trình:
+
= (1).
x+ y x− y 2
Vì ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình:
4
8
4
+
= (2)
x+ y x− y 3
12
5
12
x+ y + x− y = 2
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
4 + 8 =4
x + y x − y 3
Đổi: 2 giờ 30 phút =
14/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
1
15
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
12
5
12
x+ y + x− y = 2
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phưong trình
4 + 8 =4
x + y x − y 3
5
1
12a + 12b =
a=
1
1
2
12
…⇔
Đặt a =
.
;b =
( a > 0; b > 0) , ta có hệ
4
1
x+ y
x− y
4a + 8b =
b =
3
8
1
1
x + y = 12
x + y = 12
x = 10
(thỏa mãn điều kiện).
Suy ra
⇔
⇔
y = 2
x − y = 8
1 =1
x − y 8
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10 km / h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km / h
Bài 20.
Hai tỉnh A, B cách nhau 180 km , cùng một lúc một ô tô đi từ A đến B , một xe máy đi từ B
về A . Hai xe gặp nhau tại C . Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A đi xe máy đi
hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không
đổi.
Lời giải
a) Gọi x ( km / h ) là vận tốc của ôtô
y ( km / h ) là vận tốc của xe máy ( x > 0; y > 0)
Quãng đường từ A đến C dài 9 y ( km )
2
Quãng đường từ C dến B dài 2x ( km)
Thời gian ôtô đi từ A đến C là 9 y : x = 9 y (giờ)
2
2x
Thời gian xe máy đi từ B đến C là
2x
(giờ)
y
Theo bài ra ta có hệ phương trình
9 y 2x
2 x = y
⇔
2 x + 9 y = 180
2
9 y 2 = 4 x 2
9
2 x + y = 180
2
Vì x > 0; y > 0 nên ta có
15/322
1
16
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
2x − 3 y = 0
2 x − 3 y = 0
2 x − 3.24 = 0 x = 36
⇔ 15
⇔
⇔
(1) ⇔ 9
(thỏa mãn)
y = 24
y = 24
2x + 2 y = 180 2 y = 180
Vậy vận tốc của ô tô là 36 km / h . Vận tốc của xe máy là 24 km / h .
Bài 21.
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Đạp xe là một hình thức tập thể dục đơn giản, rất tốt cho sức khỏe và thân thiện với môi
trường. Sáng sớm, Mai dự định đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm rồi lại đạp xe về để tập thể dục. Khi
ra đến Hồ Gươm, bạn dừng lại nghỉ 3 phút. Do đó để về nhà đúng giờ, bạn phải tăng tốc thêm
2 km / h . Tính vận tốc dự định và thời gian đi xe đạp của bạn Mai. Biết quãng đường lúc đi và
lúc về đều là 3 km .
Lời giải
Gọi vận tốc dự định của bạn Mai là x ( km / h ) , điều kiện x > 0 .
Thời gian dự kiến bạn Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm và quay về nhà là 6 (giờ).
x
Thời gian Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm là 3 (giờ).
x
Vận tốc của bạn Mai khi đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là x + 2 ( km / h ) .
Thời gian Mai đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là
3
(giờ).
x+2
Đổi 3 phút = 1 giờ.
20
Vì bạn Mai về nhà đúng giờ nên ta có phương trình 3 +
x
⇔
⇔
3
1
6
+
=
x + 2 20 x
1 6 3
3
= − +
20 x x x + 2
⇔
1
3
3
= −
20 x x + 2
⇔
1
1
1
= −
60 x x + 2
1
x+2
x
=
−
60 x ( x + 2) x ( x + 2)
16/322
1
17
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
⇔
1 x+2− x
=
60 x ( x + 2)
⇔
1
2
=
60 x ( x + 2)
⇔ x ( x + 2) = 2.60
⇔ x 2 + 2 x − 120 = 0
⇔ x 2 − 10 x + 12 x − 120 = 0
⇔ x ( x −10) + 12 ( x −10) = 0
⇔ ( x + 12)( x − 10) = 0
x + 12 = 0
x = −12
.
⇔
⇔
x = 10
x − 10 = 0
So với điều kiện, x = 10 thỏa mãn. Thời gian đi xe đạp của bạn Mai là 3 +
10
3
11
(giờ)
=
10 + 2 20
= 33 (phút).
Vậy vận tốc dự định của Mai là 10 km / h và thời gian đi xe đạp của Mai là 33 phút.
Bài 22.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình )
Trên quãng đường AB , hai ô tô chở các bác sĩ đi chống dịch COVID - 19 cùng khởi hành một
lúc từ hai bến A và B đi ngược chiều nhau. Hai xe gặp nhau tại khu cách ly trên quãng đường
AB sau 3 giờ. Nếu sau khi gặp nhau, mỗi xe tiếp tục đi hết quãng đường còn lại. Xe khởi hành
từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút. Hỏi mỗi xe đi quãng
đường AB hết bao nhiêu thời gian?
Lời giải
Gọi thời gian xe đi từ A đến B đi hết quãng đường AB là x ( x > 3)
Gọi thời gian xe đi từ B đến A đi hết quãng đường AB là y ( y > 3)
Trong một giờ xe đi từ A đến B đi được 1 (quãng đường AB )
x
Trong một giờ xe đi từ B đến A đi được
1
( quãng đường AB )
y
Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình :
17/322
1
18
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
1 1 1
+ = (1)
x y 3
Do xe khời hành từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút nên:
x − y = 2,5( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 1
+ =
x y 3
x − y = 2,5
Thế (2) vào (1) ta được phương trình :
1
1 1
+ = ⇒ 3y + 3( y + 2,5) = y ( y + 2,5)
y + 2,5 y 3
⇔3y +3y + 7,5 = 2,5y + y2
⇔ y2 −3,5y − 7,5 = 0 ⇔ ( y − 5)( y +1,5) = 0
y = 5
⇔
⇔
y = − 1, 5
Bài 23.
x = 7, 5
x = 1 (lo i)
Khoản 1 Điều 3 Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định tốc độ tối đa của xe đạp điện là
25 km / h . Hai bạn Tuấn và Minh cùng xuất phát một lúc để đến khu bảo tồn thiên nhiên trên
quãng đường dài 22 km bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ Tuấn đi nhanh hơn Minh 2 km
nên đến nơi sớm hơn 5 phút. Hỏi hai bạn đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không?
Lời giải
Đổi 5 phút = 1
12
( h)
Gọi vận tốc của bạn Minh là x ( km / h ) ( x > 0)
Khi đó vận tốc của Tuấn là x + 2 ( km / h )
Thời gian Minh đi hết quãng đường là 22 ( h )
x
Thời gian Tuấn đi hết quãng đường là 22
x+2
( h)
Vì Tuấn đến nơi trước Minh 5 phút nên ta có phương trình:
18/322
1
19
522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10
22
22
1
−
=
x
x + 2 12
⇒ 22.12. ( x + 2) − 22 ⋅12x = x ( x + 2)
⇔ x 2 + 2 x − 528 = 0
x1 = 22(TM )
⇔ ( x + 24)( x − 22) = 0 ⇔
x2 = −24 ( KTM) .
Với x = 22 thì x + 2 = 24 .
Vậy vận tốc của Minh là 22 km / h và vận tốc của Tuấn là 24 km / h
Do 22 < 25; 24 < 25 nên cả hai bạn đều đi đúng vận tốc quy định.
Bài 24.
(THCS CẦU GIẤY) Một người dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc thời
gian đã định. Nếu người đó đi từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định 5 km / h thì sẽ đến
B sớm hơn dự định 24 phút. Nếu người đó đi từ B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định
5 km / h thì sẽ đến B muộn hơn dự định 30 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Lời giải
24 phút = 2 h, 30 phút = 1 h
5
2
Gọi vận tốc dự định là x ( km / h ) và thời gian dự định là y ( h ) ( giờ ) x > 5, y >
2
5
Thì quãng đường AB là xy ( km)
Nếu đi với vận tốc lớn hơn 5 km / h thì vận tốc mới là x + 5 ( km / h ) và thời gian là
y−
2
( h)
5
2
5
2
5
Quãng đường AB là ( x + 5) y − ( km) ⇒ ( x + 5) y − = xy (1) Nếu đi với vận tốc nhỏ
hơn 5 km / h thì vận tốc mới là x − 5 ( km / h ) và thời gian là y + 1 ( h )
2
1
2
1
2
Quãng đường AB là ( x − 5) y + ( km ) ⇒ ( x − 5) y + = xy ( 2 )
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
19/322
LƯU HÀNH NỘI BỘ
1
- Xem thêm -