BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC
VẬN DỤNG CAO
( C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z=x−1+ yi , ( x, y )
Câu 1. Gọi
|z|=1
thỏa mãn
N
và
z 0 =1−i . Tìm điểm M
là điểm biểu diễn số phức
thuộc
( C ) sao cho MN có độ dài lớn nhất.
A.
M 1;1
1 3
M ;
2 2
B.
.
.
D. M ( 0;0 ) .
M (1;0) .
C
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
M x; y
C : x 1
nằm trên đường tròn
N 1; 1 C
Do
nên MN
2
y 2 1
. Tâm
MN
có độ dài lớn nhất khi
I 1; 0
là đường kính, hay
I ( 1;0 ) là
trung điểm của MN . Vậy M ( 1;1 )
Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp 10 , khi cho một đường tròn ( C )
Tìm điểm M
Câu 2. Gọi
trên
và một điểm
N .
( C ) sao cho MN đạt min, max.
( C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z x 1 yi , x, y thỏa
mãn
|z|=1
và
N
(C ) sao cho MN
z 0 =5+3 i .
là điểm biểu diễn số phức
có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài MN
A. 6 .
B.
√ 34
.
C
3 √5
M
là một điểm thuộc
lớn nhất bằng
D. 5 .
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
M x; y
nằm trên đường tròn
Do N (5;3 ) nằm ngoài
Câu 3. Gọi
C : x 1
2
y 2 1
. Tâm I ( 1;0 )
( C ) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN =NI + R=5+ 1=6 .
( C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z=x−1+ yi , x, y
thỏa mãn
|z|=1
và
N
là điểm biểu diễn số phức
z 0 =5+3 i . M là một điểm thuộc
( C ) sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng
A. 6 .
√ 34
B.
.
C
3 √5
D. 4 .
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
M x; y
( C ) : ( x−1 )2 + y 2 =1 . Tâm I 1; 0
nằm trên đường tròn
Do N (5;3 ) nằm ngoài
( C ) nên MN có độ dài bé nhất khi MN =NI−R=5−1=4 .
z 5 5; z 2 1 3i z 2 3 6i
Câu 4. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z1 z2
.
5
A. 2
121
B. 6
25
C. 6
49
D. 6
Lời giải
Chọn A
Gọi z1 a1 b1i, z2 a2 b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ) .
2
Khi đó
z1 5 5 a1 5 b12 25
.
I 5;0 ; R 5
Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn tâm
Cũng theo giả thiết, ta có:
2
2
2
z2 1 3i z2 3 6i a2 1 b2 3 a2 3 b2 6
2
8a2 6b2 35 0.
Tập hợp điểm biểu diễn z2 là đường thẳng : 8 x 6 y 35 0
d ( I , )
5.8 35
2
8 6
2
15
d I , R
2
min z1 z2 d I , R
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
M.n
bằng
5
2.
z 1 z 1 4
. Gọi
m min z
và
M max z
khi đó
2 3
C. 3 .
B. 2 3 .
A. 2 .
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn
giá trị của biểu thức
M
A. 28
2
n2
z1
. Gọi
M max z 1 i
C. 26
m min z 1 i
. Tính
D. 20
2
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4 z 16 z 17 0 . Trên mặt phẳng
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
A.
,
B. 24
Câu 7. Kí hiệu
z 2 3i 1
3.
D.
M 2;1
.
B.
M 3; 2
.
C.
w 1 2i z1
M 3; 2
3
i
2 ?
.
D.
M 2;1
.
z 1 i 2
Câu 8. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức
z1 z2
?
A. m 2 1.
B. m 2 2.
D. m 2 2 2.
C. m 2.
Lời giải
Chọn D.
Do
z1 1 i 2
nên điểm biểu diễn M 1 của z1 thuộc đường tròn tâm I 1;1 bán kính R 2 .
Do z2 iz1 nên điểm M 2 (điểm biểu diễn của z2 ) là ảnh của M 1 qua phép quay tâm O , góc
0
quay 90 . Suy ra z1 z2 M 1 M 2 2OM 1 ngắn nhất khi OM 1 ngắn nhất.
Ta có: min OM 1 R OI 2 2 .
Vậy:
m 2 2
2 2 2 2
.
Đề xuất
Do
z1 1 i 2
nên điểm biểu diễn M 1 của z1 thuộc đường tròn tâm I 1;1 bán kính R 2 .
z1 z2 z1 iz1 1 i z1 2 z1 2OM 2 R OI 2 2
(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)
2 2 2 2
.
Câu 9. Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3 z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i
A.
z =4
.
B.
z = 2020
.
Lời giải
C.
z = 2017
.
D.
z =2
Chọn A.
- Đặt z = a + bi (a, b Î ¡ ) Þ z = a - bi .
- Ta có: 3 z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i
Û 3(a 2 + b2 ) + 4034b.i = 48 - 2016i Þ a 2 + b 2 = 16
- Vậy
z = a 2 +b2 = 4
. Chọn A.
Câu 11: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
3
3
z=
z=
2.
2.
A.
B.
z + 2 z.z - 3 = 0.
z =1
z =3
C.
.
D.
.
1
1
2
z + ( z - z) =1 + ( z + z) i
2
2
Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức:
là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
z 1 2
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
T z i z 2 i
A. max T 8 2 .
B. max T 8 .
C. max T 4 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
z = x + yi ( x , y Î ¡
) , ta có:
z - 1 = 2 Û x - 1 + yi = 2
Û ( x - 1) + y 2 = 2 Û x 2 + y 2 = 2 x + 1( * )
2
Lại có:
T z i z 2 i x y 1 i x 2 y 1 i
= x2 +( y + 1) +
2
( x - 2)
2
+( y - 1)
2
= x2 + y 2 + 2 y +1 + x2 + y 2 - 4x - 2 y + 5
D. max T 4 .
Kết hợp với
( * ) , ta được:
T = 2x + 2 y + 2 + 6 - 2x - 2 y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được
2
2
2 é
ê
1
+
1
2
x
+
2
y
+
2
+
(
)ê
ë
(
T£
) (
2ù
6 - 2 x - 2 y ú= 4
ú
û
)
Vậy max T 4 .
z 2
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt
phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
bán kính bằng
A.
34.
B. 26.
w
4 iz
1 z là một đường tròn có
C. 34.
D.
26.
Lời giải
Chọn A
Ta có
Đặt
w
4 iz
w(1 z ) 4 iz z w i 4 w
1 z
2 w i 4 w
w x yi x, y
2
Ta có
2. x 2 y 1
x 4
2
y 2 2 x 2 y 2 2 y 1 x 2 8 x 16 y 2
2
2
x 2 y 2 8 x 4 y 14 0 x 4 y 2 34
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng
Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P
34
z i
z với z là số phức
z 2
khác 0 và thỏa mãn
. Tính 2M m.
3
2M m .
2
A.
5
2M m .
2
B.
Lời giải
Chọn B.
C. 2M m 10.
D. 2 M m 6.
P 1
Ta có
i
1 3
i
1 1
1
.
1 1
.
z
| z | 2 Mặt khác:
z
| z| 2
1
3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 2 , xảy ra khi z 2i ; giá trị lớn nhất của P bằng 2 xảy ra
5
2M m .
2
khi z 2i.
z 1.
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P z 1 z2 z 1 .
Tính giá trị của M.m .
39
.
4
B.
13 3
.
A. 4
13
.
4
D.
C. 3 3.
z 3 z 3 8
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z.
A.
Khi đó M m bằng
4
7.
B. 4 7.
D. 4 5.
C. 7.
w2 4 2 w
P 8 x 2 y 2 12
Câu 18: Cho số phức w x yi ( x, y R ) thoả điều kiện
. Đặt
.
Khẳng định nào sau đây đúng
A.
2
P w 2
2
B.
2
P w 2
2
. C.
Lời giải
P w 4
2
.
D.
2
P w 4
2
.
Chọn B.
Ta có:
2
w2 4 2 w x 2 y 2 4 2 xyi 2 x yi x 2 y 2 4 4 x 2 y 2 4 x 2 y 2
x 4 y 4 16 2 x 2 y 2 4 x 2 12 y 2 0 x 4 y 4 2 x 2 y 2 4 x 2 4 y 2 4 8 x 2 y 2 12 0
2
2
2
8 x 2 y 2 12 x 4 y 4 2 x 2 y 2 4 x 2 4 y 2 4 P x 2 y 2 2 w 2 .
Hay phương án chọn là B.
2
P w 2
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
2
.
w w .
w 2 4 2 w
Câu 19: Cho số phức w x yi ( x, y R ) thoả điều kiện
. Đặt
2
2
P 8( x 2 y 2 ) 12 . Khẳng định nào sau đây đúng P 8 x y 12
2
A.
P ( w 2)2
2
B.
P ( w 2)2
2
.
C.
P ( w 4) 2
D.
2
P w 4
2
.
Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.
0
Câu 20: Cho w sin i cos với
Giá trị của
2018
A. P 23
.
2
P 26 w 3
2018
B. P 23
.
2
2 thỏa mãn w 1 2 w .
2018
là
2018
C. P 23
i.
D. P 29
2018
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
Ta có:
w 2 1 sin i cos 1 1 cos 2 i sin 2 w 2 1 2 2 cos 2 .
2 w sin 2 cos 2 2
.
0
w 2 1 2 w cos 2 0 4
2.
Từ giả thiết:
vì
w
2
2
2
2
2
i
w
i
w 1
2
2
2
2
.
2018
Vậy P 23 .
2 z i 2 iz
z z 1
là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết 1 2
Tính giá trị
P z1 z 2
của biểu thức:
.
3
2
P
P
2 .
2 .
A.
B. P 2 .
C.
D. P 3 .
Câu 21: Cho
z1 , z2
Lời giải
Chọn D.
2
HD: Cách 1. Ta có:
2
2 z i 2 iz 2 z i 2 iz (2 z i )(2 z i ) (2 iz )(2 i z )
4 z.z 2iz 2iz i 2 4 2iz 2iz i 2 z.z 3z.z 3
2
z.z 1 z 1 z 1 z1 1
và
y
z2 1
2
Chú ý:
a.a a 2 2 z i (2 z i )(2 z i ) (2 z i )(2 z i )
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O
O
bán kính R 1 .
x
Gọi M 1 ( z1 ), M 2 ( z2 ) OM 1 OM 2 1
Ta có:
Mà
z1 z2 OM 1 OM 2 M 2 M 1 1 OM 1M 2
z1 z 2 OM 1 OM 2 OM OM
đều
với M là điểm thỏa
mãn OM 1MM 2 là hình thoi cạnh 1 OM 3 P 3 .
Cách 2. Đặt
z x yi,
x, y , ta có
2 z i 2 x (2 y 1)i và 2 iz 2 y xi .
Khi
đó:
2 z i 2 iz
z1 1
4 x 2 (2 y 1) 2 ( y 2) 2 x 2 x 2 y 2 1 z 1
z2 1
2
Sử dụng công thức
D.
2
2
z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2
2
z1 z2 3 z1 z2 3
. Chọn
iz 3 2 z 2 1 i z i 0
Câu 22: Gọi z1 ; z2 ; z3 là các nghiệm của phương trình
. Biết z1 là số thuần ảo.
P z2 z3
Đặt
, hãy chọn khẳng định đúng?
A. 4 P 5 .
B. 2 P 3 .
C. 3 P 4 .
D. 1 P 2 .
Lời giải
Chọn
B.
z i
2
iz 2 z 1 i z i 0 i z iz z 1 0 iz z 10 (*)
Biến đổi phương trình
.
3
2
2
Như vậy: z2 ; z3 là các nghiệm của phương trình (*).
2
2
P 2 z2 z3 z2 z3
1
1
4. 17
2
z2 z3 4 z2 z3 i
i
2
.
4
Vậy P 17 .
z 1 z 3 2i z m i
Câu 23: Cho hai số phức z , thỏa mãn
;
với m là tham số. Giá
2 5
trị của m để ta luôn có
là:
m 7
A. m 3 .
m 7
B. m 3 .
C. 3 m 7 .
Lời giải
D. 3 m 7 .
Chọn B.
Đặt
z a ib, a , b
có biểu diễn hình học là điểm
z 1 z 3 2i x 1 iy x 3 y 2 i
M x; y
2
x 1
y2
x 3
2
y 2
2
2 x 1 6 x 9 4 y 4 2 x y 3 0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 x y 3 0 .
Ta có:
2 5 z m i 2 5 x m y 1 i 2 5
x m
Mà ta có
2
2
I m; 1
y 1 2 5 MI 2 5
với
.
MI d I ,
d I , 2 5
Nên MI 2 5
2m 4 10
2m 4 10
Câu 24:
2m 4
5
2 5
2m 4 10
m 3
m 7
.
Cho số phức z a bi
P a b .
A. 3 .
a ,b
B. 1 .
thỏa mãn
z 1 i z i 3i 9
C. 1 .
Lời giải
và
D. 2 .
z 2
. Tính
Chọn C.
z a bi z a bi
z 1 i z i 3i 9 a bi 1 i a bi i 3i 9
a 2 b 2 2b a 1 b 1 i 9 3i
a 2 b2 2b a 1 9
b 2
b 2
2
b 1 3
a a 0
a
0
Ta có:
z1 2i z1 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán.
z2 1 2i z2 2 2 12 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy P a b 1 .
b 2
a 1 .
z 3 4i 5
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
2
2
P z 2 z i
nhất của biểu thức
. Khi đó modun của số phức w M mi
A. 2 314 .
B. 1258 .
C. 3 137 .
D. 2 309 .
Lờigiải
Chọn B.
2
2
z x yi x, y R
z 3 4i 5 x 3 y 4 5
Giả sử
ta có
4 x 3 2 y 4 P 23
Ta có P 4 x 2 y 3
2
2
2
4 x 3 2 y 4 20 x 3 y 4 100
Ta có
Suy ra 10 P 23 10 13 P 33 suy ra M 33, m 13 do đó ta được w 33 13i
vậy
w 1258
.
x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z 4 3i và biểu
Câu 26: Biết số phức z x yi ,
P z 1 i z 2 3i
thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P x 2 y .
P
A.
Lời giải
61
10 .
B.
P
253
50 .
C.
P
41
5 .
Chọn A .
Theo giả thiết
x2 y2
z z 4 3i x yi x 4 y 3 i
x 4
2
y 3
2
x 2 y 2 x 2 8 x 16 y 2 6 y 9
8 x 6 y 25 0 .
D.
P
18
5 .
Ta có
P
Xét điểm
x 1
E 1;1
2
;
2
y 1
F 2; 3
và
x 2
2
y 3
M x; y
2
. Khi đó, P ME MF .
Bài toán trở thành tìm điểm M : 8 x 6 y 25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất.
8 xE 8 yE 25 . 8 xF 8 yF 25 0 nên hai điểm E , F nằm cùng phía đối với đường
Vì
thẳng .
Gọi E là điểm đối xứng với E qua
E 1; 1
nEE u 3; 4
EE
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTPT
nên có phương trình
3 x 1 4 y 1 0 3x 4 y 7 0
Gọi H là giao điểm của EE và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
71
x 25
3x 4 y 7
71 19
y 19
H
;
8
x
6
y
25
50 suy ra 25 50
117
xE 25
y 44
E
25 .
E ¢đối xứng với E qua H nên
Ta có ME + MF = ME ¢+ MF ³ E ¢F .
F và đường thẳng
Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của E ¢
F
2;
3
n
31;167
Đường thẳng E F đi qua điểm
và có VTPT EE
có phương trình
31 x 2 167 y 3 0 31x + 167 y + 439 = 0
x
31x 167 y 439
y
8
x
6
y
25
M
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình
Vậy
P x 2 y
61
10 .
67
50
119
50
z 1 2i z 1 2i
z ,z
Câu 27: Gọi 1 2 là 2 nghiệm của phương trình
thỏa mãn
w 3 2i 2
z1 z2 2
. Biết rằng w là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức
P w z1 w z2
.
A. 1 3
B. 2 3
D. 6 .
C. 2
Lời giải.
Chọn D .
z x yi x, y R
z 1 2i z 1 2i x 0
Giả sử
ta có
suy ra tập hợp điểm biểu diễn
z1 , z2
là trục tung.
z z 2 AB 2
z ,z
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho 1 2 , ta có 1 2
.
Giả sử
w a bi a, b R
w 3 2i 2
và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có
( a 3)2 (b 2) 2 4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
I 3; 2
bán kính R 2 .
Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ
6
6
MA MB
MinP 2.
6
2 , vậy
2
nhất khi E là trung điểm AB suy ra
2
Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn z z 1 0 . Giá trị của biểu thức
2
3
1
1
1
P 2 z 2 2 3 z 3 3 4 z 4 4
z
z
z
A. 30 .
B. 14.
C. 8 .
4
D. 28 .
Lời giải:
Chọn A
2
Dễ thấy rằng z 0 không thoả mãn z z 1 0 , do đó ta có
2
z z 1 0
z
1
1
1 z 2 2 1
z
z
3
2
1
1
1
1
1 2 1
z 3 z 3z. z 2
z 4 4 z 2 2 1
z
z
z
z
z
z
Ta cũng có
và
3
2
Vậy
3
4
1
1
1
P 2 z 2 2 3 z 3 3 4 z 4 4 30
z
z
z
Câu 29: Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn có
2
2
z z 1
P z1 z2
phương trình x y 1 và 1 2
. Tính giá trị biểu thức
.
A.
3
2 .
P
B. P 2 .
C.
P
2
2 .
D. P 3 .
Lời giải
Chọn D.
2
2
z z 2 1
Cách 1: Do M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x y 1 nên 1
.
Lại có:
2
z1 z2 1 z1 z2 1 z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 z1 z2 1
2
2
z1.z1 z1.z2 z1 .z2 z2 .z2 1 z1 z2 z1.z2 z1 .z2 1 z .z z .z 1
1 2
1 2
.
2
2
2
P 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 3
.
Vậy P 3 .
T tâm O 0;0 , bán kính R 1 và
Cách 2: Do M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn
z1 z2 1
nên M 1M 2 1 . Suy ra OM 1M 2 là tam giác đều cạnh bằng 1 .
P z1 z2
3
3
OM 1 OM 2 2OH 2.OH 2.
2
=
( Trong đó H là trung điểm
M 1M 2 )
Câu 30:
z 1
1
z 3i
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho số phức z thỏa mãn
P z i 2 z 4 7i
A. 20 .
C. 12 5 .
B. 10 .
D. 4 5 .
Lời giải
Chọn A.
x, y .
Gọi z x yi ,
z 1
1
2
Ta có z 3i
2
2 z 1 z 3i
x 1
2
y 2 x 2 y 3
2
x 2 y 2 4 x 6 y 7 0 .
2
Lại có
P z i 2 z 4 7i x 2 y 1 2
4 x 8 y 8 2 4 x 8 y 72
Mặt khác
x 4
2
y 7
2
.
4 x 8 y 8 2 4 x 8 y 72
2
5.80
4 x 8 y 8 2 4 x 8 y 72 20
Suy ra P 20 .
Câu 31: Cho số phức z a bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn
giá trị của P a.b là?
3
A. 4 .
B. 4 .
z z 3 4i
và có môđun nhỏ nhất.
D. 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
2
a bi a bi 3 4i a 2 b 2 a 3 b 4
2
6a 8b 25 0
Mô đun của số phức z là:
2
2
100 b 2 225 15
25 8b
b2
2
2
z a b
6
36
6
a
25 8b
6
3
z min b 2 a 2 P 3
Số phức
z 2 4i z 2i
Câu 32: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất.
A. z 1 i .
C. z 2 2i .
B. z 2 2i .
D. 3 2i .
Lời giải
Chọn C.
z 2 4i z 2i
Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn
a 2 b 4 i a b 2 i
2
2
a 2 b 4 a 2 b 2
2
a 2 4a 4 b 2 8b 16 a 2 b 2 4b 4
4a 4b 16
a b 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2
2
16 a b 12 12 a 2 b 2 z a 2 b2 8
z 2 2
a b
1 1 a b 2 z 2 2i
a b 4
Dấu xảy ra
z 2 4i z 2i
Câu 33: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất
bằng
A. 3 2
C. 2 2 .
B. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn C
Đặt
z x yi x, y
2
2
. Khi đó
z 2 4i z 2i x yi 2 4i x yi 2i
2
x 2 y 4 x 2 y 2 4 x 4 y 16 0 x y 4 0
.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng : x y 4 0 .
z min d O;
4
2
2 2
.
z z 5
z z 1
Câu 34: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn 1 2
và 1 2
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P z1 z2
là:
26
.
B. 2
A. 26.
C. 9.
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1; z2 .
5
z z 5 OM ON 5 OI 2
Từ giả thiết : 1 2
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .
z1 z2 1 OM ON 1 MN 1
.
MN 2
OM 2 ON 2 MN 2
2
2
2
OM
ON
2O
I
OI
2 13
2
4
Ta có
2
2
2
2
2
2
P z1 z2 OM ON P 1 1 OM ON 26
. Vậy Pmax 26.
Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác.
z z 5
z z 1
Câu 35: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn 1 2
và 1 2
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P z1 z2
. Khi đó mô đun của số phức
M m.i là :
A. 76 .
C. 2 10 .
B. 76 .
D. 2 11 .
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1; z2 .
Từ giả thiết :
.
z1 z2 6 OM ON 6 OI 3
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN
z1 z2 2 OM ON 2 MN 2
.
2
Ta có
OI 2
MN
OM 2 ON 2 MN 2
OM 2 ON 2 2OI 2
2 20.
2
4
2
2
2
2
2
P z1 z2 OM ON P 1 1 OM ON
40.
Vậy max P 2 10 M .
OM
ON
OM
ON
P z1 z2
6 .
Vậy min P 6 m .
Suy ra
M m.i 40 36 76.
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn
i.z 3
P 2z 1 4i z 1 5i
là:
5
2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 2 5 .
5
D. 2 .
C. 3 5 .
B. 3.
Lời giải
Chọn C.
Ta gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z .
i.z 3
5
5
5
2
M ( x; y ) C I (0;3); R
x 2 y 3
2
2
2 . Suy ra
Khi đó:
P 2z 1 4i z 1 5i
1
2 z 2i z 1 5i 2 MA MB
2
,
1
A ; 2 ; B 1;5
với 2
1
IA ; 1
2
; IB 1; 2 suy ra IB 2.IA .
Ta có:
5MA2
Theo định lý Stewart ta có:
5
3 5 2
5
MB 2
. 5
MI
2
2
2
2MA2 MB 2 15
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
1
1
1
2
MA AB MA MB MA MA MB
3
3
3
3
MI MA AB
Suy ra:
4
1
4
4
1
4
MI 2 MA2 MB 2 MA.MB.cos MA, MB MA2 MB 2 MA.MB.cos AMB
9
9
9
9
9
9
MA2 MB 2 AB 2 2
4
1
4
1
2
MA2 MB 2 MA.MB
MA2 MB 2 AB 2
9
9
9
2.MA.MB
3
3
9
2
2MA MB
Vậy
2
3MI 2
P 2 MA MB
2
AB 2
15 )
3
2. 2.MA MB
2
2 12 2MA2 MB 2
45 3 5.
2 z i 2 iz
z z 1
Câu 37: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn
, biết 1 2
. Tính giá trị của biểu
thức
A.
P z1 z2
P
3
2 .
B. P 2 .
C.
Lời giải
P
2
2 .
D. P 3 .
Chọn D.
Cách 1.
2 z i 2 iz 2 x 2 y 1 i 2 y xi
+ Đặt z x yi , x, y , ta có
2
4 x 2 2 y 1
2 y
2
x 2 4 x 2 4 y 2 4 y 1 4 4 y y 2 x 2
x 2 y 2 1 z 1 z1 z2 1
2
2
2
z1 z 2 z1 z 2 2 z1 z2
+ Sử dụng công thức: z1 , z2 ta có
2
Suy ra P 3 .
Cách 2.
+ Biến đổi:
iz 2 i iz 2 z 2i
2
Ta có
2
2 z i z 2i 2 z i z 2i z 1 z1 z2 1
.
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun
2
mz1 nz2 m 2 z12 2mnz1 z2cos z1 , z2 n 2 z 2 2
z ,z
Trong đó 1 2 là góc MON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên
mặt phẳng phức
2
2
2
z1 z2 1 z1 z2 1 z1 z2 2 z1 . z2 .cos z1 , z2 1 cos z1 , z2
2
Vậy
2
1
2.
2
P 2 z1 z2 1 z1 z2 2 z1 . z2 .cos z1 , z2 3 P 3
.
z 2 i 2 z 1 i
Câu 38: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn
và z1 z2 1 i . Tính giá trị biểu thức
2
P z1 z2
A. P 2 .
2
.
B. P 1 .
C. P 4 .
Lời giải
D. P 9 .
ChọnC
Ta có
z1 2 i 2 z1 1 i
mà z1 z2 1 i
z1 2 i 2 z2
2
2
4 z2 z1 2 i z1 2 i z1 2 i z1 2 i z1 5.
2
Tương tự ta có
2
4 z1 z2 2 i z2 2 i z2 5.
(1)
2
Cộng (1) và (2) ta có
4 P P 2 i z1 z2 2 i z1 z2 10
P 2 i 1 i 2 i 1 i 10 P 12 P 4.
Câu 39: Cho hai số thực b; c (c 0) . Kí hiệu A; B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai
2
nghiệm của phương trình z 2bz c 0 , tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ).
A. c b.
2
B. c b .
2
C. c 2b .
2
D. b 2c.
Lời giải
Chọn C.
'
2
Ta có b c
'
2
Z b '
Nếu b c 0 phương trình có hai nghiệm 1,2
(Loại vì O, A, B thẳng
hàng)
'
2
Nếu b c 0 phương trình có nghiệm kép (Loại)
Z1,2 b i b 2 c b i (b 2 c)
'
2
b
c
0
Nếu
Phương trình có hai nghiệm
Vậy hai điểm biểu diễn là
A( b; b 2 c )
và
B( b;
b2 c )
b 2 b 2 c 0
Tam giác OAB cân tại O .Vậy để tam giác OAB vuông OA.OB 0
c 2b 2 .
z 2 z 7 3i z
z
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn
. Tính ?
13
25
A. 3.
B. 4 .
C. 4 .
D. 5 .
- Xem thêm -
.DOCX 
61 
1 
118 
