Mô tả:
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
Chủ đề 2
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. Tóm tắt lí thuyết
Nội dung 1: Nguyên hàm
1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Bảng 1
Hàm số f(x)
a ( hằng số)
x 1
1
x
ax
Họ nguyên hàm F(x)+C
ax + C
x 1
C
1
ln x C
Bảng 2
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
(ax b)
1 (ax b) 1
C
a
1
1
ln ax b C
a
1 A ax b
.
C
A ln a
1 ax b
e
C
a
1
cos(ax b ) C
a
1
sin(ax b) C
a
1
tan(ax b) C
a
1
cot(ax b) C
a
1
xa
ln
C
2a x a
1
ax b
A ax b
ex
ax
C
ln a
ex C
sinx
-cosx + C
sin(ax+b)
cosx
sinx + C
cos(ax+b)
1
cos2 x
1
sin2 x
tanx + C
1
cos (ax b)
1
2
sin (ax b )
1
2
x a2
e ax b
2
-cotx + C
u' ( x )
u( x )
tanx
ln cos x C
cotx
ln sin x C
ln u( x ) C
2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản
Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng
nguyên hàm cơ bản.
Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Nếu f u du F u C và u u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f u x u ' x dx F u x C
47
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Cách thực hiện: Tính
HĐBM - TỔ TOÁN
f u(x) u '(x)dx bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt u u(x) du u '(x)dx (tính vi phân của u)
Bước 2: Tính
f u(x) u '(x)dx f(u)du F(u) C F u(x) C
Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí cơ bản:
Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì
u xv ' x dx u xv x u ' x v x dx
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
u u ( x)
du u ' ( x)dx
dv v' ( x)dx
v v( x)
Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần :
Bước 3: Tính
udv u.v vdu
vdu
B. Bài tập
Bài 1: Tính
1) I
x2
dx
x2
2 x3 3 x
dx
x2
2) I
3 x 1
dx
x 1
3) I
2) I
1
dx
x x 1
3) I
2) I
ln x
dx
x
3) I x3 ln xdx
Bài 2: Tính
1)
3x 2 x 2
3 x dx
x
dx
x 3x 2
2
Bài 3: Tính
1) I x ln xdx
Bài 4: Tính
1) I ln x 2 x dx
2) I x 2 e 2 x dx
3) I x sin2xdx
Bài 5: Tính
1) I
x sin x
dx
cos 2 x
2) I
ex
dx
1 2e x
3) I cos5 xdx
48
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
Nội dung 2: Tính tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K thì :
b
b
f ( x )dx F( x)a F(b) F(a)
( Công thức NewTon - Leipniz)
a
b. Các tính chất của tích phân
b
a
f ( x )dx f ( x )dx
Tính chất 1:
Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a; b thì
a
b
b
b
b
f ( x ) g( x ) dx f ( x)dx g( x )dx
a
a
a
Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; b và k là một hằng số thì
b
b
k. f ( x)dx k. f ( x )dx
a
a
Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; b và c là một hằng số thì
b
c
b
f ( x )dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
c
Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
b
b
b
f ( x )dx f (t)dt f (u)du ...
nghĩa là :
a
a
a
2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b
a) DẠNG 1: Tính I =
'
f[u(x)].u (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
a
Công thức đổi biến số dạng 1:
b
u(b)
a
u (a)
f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt
Cách thực hiện:
t u ( x) dt u ' ( x)dx
xb
t u (b)
Bước 2: Đổi cận :
xa
t u (a)
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt
b
u (b )
a
u (a)
I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
49
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
b
b) DẠNG 2: Tính I =
f(x)dx bằng cách đặt x = (t)
a
b
a
I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt
Công thức đổi biến số dạng 2
Cách thực hiện
x (t ) dx ' (t )dt
xb
t
Bước 2: Đổi cận :
xa
t
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt
b
a
I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới)
3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần
b
b
u ( x).v' ( x) dx u ( x).v( x) a v( x).u ' ( x)dx
b
a
a
b
b
udv u.v vdu
hay:
b
a
a
a
Cách thực hiện
Bước 1: Đặt
u u ( x)
du u ' ( x)dx
dv v' ( x)dx
v v( x)
b
b
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv u.va vdu
a
Bước 3: Tính u.v
b
a
b
a
b
và vdu
a
50
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
II. CÁC VÍ DỤ
2
Ví dụ 1: Tính tích phân I
1
x 2 3x 1
dx .
x2 x
(Phân tích & dùng định nghĩa)
Bài giải
♥ Biến đổi hàm số thành dạng
2
Khi đó: I
1
x 2 3x 1
2 x 1
1 2
2
x x
x x
2
2
x 2 3x 1
2 x 1
dx dx 2
dx
2
x x
x x
1
1
2
dx x
2
1
1
1
2
1
2
2 x 1
2
dx
ln
x
x
ln 3
1
x2 x
♥ Vậy I 1 ln 3 .
1
Ví dụ 2: Tính tích phân I
0
x 1
2
dx .
x2 1
(Phân tích & dùng định nghĩa)
Bài giải
x 1
2
♥ Biến đổi hàm số thành dạng
1
Khi đó: I
0
x 1
2
x 1
2
x 2 1
1
1
dx dx
0
0
x 2 2 x 1
2x
1 2
2
x 1
x 1
2x
dx
x 1
2
1
dx x
1
0
1
0
1
0
1
2x
2
dx
ln
x
1
ln 2
0
x 2 1
♥ Vậy I 1 ln 2 .
ln 2
Ví dụ 3: Tính tích phân I e x 1 e x dx .
2
(Đổi biến số dạng 1)
0
Bài giải
♥ Đặt t e x 1 dt e x dx
51
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
x ln 2 t 1
Đổi cận:
x 0
t 0
1
Suy ra: I
0
1
t3
1
t dt
30 3
2
1
♥ Vậy I .
3
1
Ví dụ 4: Tính tích phân I x 2 x 2 dx .
(Đổi biến số dạng 1)
0
Bài giải
♥ Đặt t 2 x 2 t 2 2 x 2 2tdt 2 xdx tdt xdx
x 1 t 1
Đổi cận:
x 0 t 2
2
Suy ra: I
1
♥ Vậy I
2
t3
2 2 1
t dt
31
3
2
2 2 1
.
3
e
4 5ln x
dx .
x
Ví dụ 5: Tính tích phân I
1
(Đổi biến số dạng 1)
Bài giải
♥ Đặt t 4 5ln x t 2 4 5ln x 2tdt
5
dx
x
x e t 3
Đổi cận:
x 1 t 2
3
3
2
2
2
38
Suy ra: I t 2 dt t 3 33 23
5 2
15 2 15
15
♥ Vậy I
38
.
15
4
Ví dụ 6: Tính tích phân I x 1 sin 2 xdx .
(Tích phân từng phần)
0
52
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
Bài giải
du dx
u x 1
♥ Đặt
dv sin 2 xdx v 1 cos 2 x
2
4
4
1
1
Suy ra: I x 1 cos 2 x sin 2 x
2
4
0
0
4
4
1
1
3
x 1 cos 2 x sin 2 x
2
4
4
0
0
3
♥ Vậy I .
4
4
Ví dụ 7: Tính tích phân I x 1 sin 2 x dx .
(Tích phân từng phần)
0
4
4
0
0
♥ Ta có: I xdx x sin 2 xdx
2 4
x
2
4
x sin 2 xdx
0
0
4
x sin 2 xdx
32 0
2
du dx
u x
Đặt
dv sin 2 xdx v 1 cos 2 x
2
4
Suy ra:
0
♥ Vậy I
4
4
4
4
1
1
1
1
1
x sin 2 xdx x cos 2 x cos 2 xdx cos 2 xdx sin 2 x
2
2 0
2 0
4
4
0
0
2 1
.
32 4
2
Ví dụ 8: Tính tích phân I
1
x 2 2 ln x
dx .
x
(Phân tích + đổi biến số dạng 1)
Bài giải
2
2
♥ Ta có: I xdx 2
1
2
0
2
♥ Tính
1
1
ln x
dx
x
2
x2
3
xdx
2 1 2
ln x
dx
x
53
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Đặt t ln x dt
HĐBM - TỔ TOÁN
1
dx
x
x 2 t ln 2
Đổi cận:
x 1 t 0
2
ln 2
ln x
t2
dx tdt
x
2
0
Suy ra:
1
ln 2
0
ln 2 2
2
3
♥ Vậy I ln 2 2 .
2
2
x 2 1
ln xdx .
x2
Ví dụ 9: Tính tích phân I
1
(Tích phân từng phần)
1
du dx
u ln x
x
2
♥ Đặt
dv x 1 dx
1
v x
x2
x
2
1
1 1
Suy ra: I x ln x x dx
x
x x
1
1
2
2
2
1
1
x ln x x
x
x 1
1
5
3
ln 2
2
2
5
3
♥ Vậy I ln 2 .
2
2
Ví dụ 10: Tính tích phân I =
1
0 (2e
x2
ex ) xdx .
(Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân từng phần)
Bài giải
♥ Ta có: I =
1
0 2xe
x2
1
0
x2
I1 =
0 2xe
I2 =
0 xe dx
1
1
dx xex dx .
1
1
2
2
dx ex d (x 2 ) = e x = e – 1.
0
0
x
Đặt u = x
du = exdx
x
dv = e dx v = ex.
1
1
1
Suy ra: I2 = xex ex dx = e ex = 1.
0
0
0
♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e.
54
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
B. Bài tập
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
1) I
0
2
x
x
2
4
2
dx
2) I
0
sin x
1 cos x
2
dx
Bài 2: Tính các tích phân sau
e3
e
ln x 1
1) I
dx
x
1
2) I
ln 3 x 2
1 x dx
Bài 3: Tính các tích phân sau
2
1) I sin 3 x cos xdx
2) I sin 2x(1 sin 2 x)3dx
0
0
Bài 4: Tính các tích phân sau
2
2
1) I x x 2 3dx
x2
2) I
x3 1
0
1
dx
Bài 5: Tính các tích phân sau
1
2
1) I x x e x dx
0
e
ln 3 x
2) I x 1 2 dx
x
1
Bài 6: Tính các tích phân sau
e
1 3ln x ln x
dx
x
1) I
1
ln 3
2) I
0
ex
e
x
1
3
dx
Bài 7: Tính các tích phân sau
2
6
1) I
2) I
s in2x cos x
dx
1 cos x
0
0
tan 4 x
dx
cos 2 x
Bài 8: Tính các tích phân sau
2
s in2x sin x
1) I
dx
1 3cos x
0
2
2) I
0
sin 2x
cos2 x 4 sin 2 x
dx
Bài 9: Tính các tích phân sau
2
1) I cos3 x 1 cos 2 xdx
0
2
s in2x
dx
3 4sin x cos 2 x
0
2) I
Bài 10: Tính các tích phân sau
55
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
4
dx
1) I
4
0 cos x 3 tan x 1
2
2) I
4
cot x 1
dx
sin 4 x
Bài 11: Tính các tích phân sau
e
1) I
x
1
2
dx
2) I
2
1 ln x
6
cot x
dx
sin 2 x 1
Bài 12: Tính các tích phân sau
3
1) I
4
tan x
cos x 1 cos 2 x
ln5
dx
2) I
ln 2
e2x
ex 1
dx
Bài 13: Tính các tích phân sau
2
2
1) I 6 1 cos3 x sin x cos5 xdx
0
2) I sin 2x(1 sin 2 x)3dx
0
Bài 14: Tính các tích phân sau
ln5
1
1) I x
3
2
x 3dx
2) I
ln 2
0
e
x
1 ex
ex 1
dx
Bài 15: Tính các tích phân sau
1) I x cos xdx
0
2) I ecos x x sin xdx
0
Bài 16: Tính các tích phân sau
2
ln x
dx
x2
1
1) I
3
2) I x ln 3 x 2 dx
0
Bài 17: Tính các tích phân sau
e
5
1) I 1 x 2 ln xdx
1
2) I x 2 ln x 1 dx
2
Bài 18: Tính các tích phân sau
e
1) I
1
x2 1
ln xdx
x
e
2) I x3 ln 2 xdx
1
Bài 19: Tính các tích phân sau
1
1) I x 2 e 2 x dx
0
3
2) I ln x 2 x dx
2
Bài 20: Tính các tích phân sau
56
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
2
HĐBM - TỔ TOÁN
4
1) I ecos x cos3 x sin xdx
1
dx
sin 2 x.(2 cot 2 x)
2) I
2
8
0
Bài 21: Tính các tích phân sau
4
3
2x 1
dx
2x 1
0 1
1) I
2) I
dx
x (x
2
1
2
1)
Bài 22: Tính các tích phân sau
2
1) I
0
2
cos 2 x
sin x cos x 3
3
dx
x3 2 x 2 4 x 9
dx
x2 4
2) I
0
Bài 23: Tính các tích phân sau
6
1) I x sin 2 3 xdx
2
2)
cot x
dx
4
1 sin x
I
0
4
Bài 24: Tính các tích phân sau
6
1
1) I
dx
2 2 x 1 4x 1
2
2) I
0
sin x cos x
dx
3 sin 2 x
Bài 25: Tính các tích phân sau
2
1
1) I
2) I
sin 2 x
dx
3 4sin x cos 2 x
0
0
x2
dx
( x 1) x 1
57
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân.
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÔNG THỨC
1. Công thức tính diện tích hình phẳng
y
y
x b
(C1 ) : y f ( x)
xa
(C1 ) : y f ( x )
(C ) : y g ( x )
2
(H ) :
1 : x a
2 : x b
(H )
(C 2 ) : x g ( y)
yb
b
(C2 ) : y g ( x)
(H )
a
O
ya
x
x
a
b
(C1 ) : x f ( y )
(C ) : x g ( y )
2
(H ) :
1 : y a
2 : y b
O
(C1 ) : x f ( y)
b
b
S f ( x) g ( x) dx
S f ( y) g ( y) dy
a
a
2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
y
xa
O
a
xb
(C ) : y f ( x)
y0
b
2
V f ( x) dx
a
b
x
y
b
x0
y b
(C ) : x f ( y )
ya
a
x
O
b
2
V f ( y ) dy
a
58
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x 2 x 3 và đường thẳng y 2 x 1 .
Bài giải
♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường
x 1
x 2 x 3 2 x 1 x 2 3x 2 0
x 2
♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là
2
S x 2 3 x 2 dx
1
2
x 3 3x 2
1
x 3 x 2
2 x .
3
2
1 6
1
2
2
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
y
, y 0, x 0 và x 1 xung quanh trục hoành.
1 4 3x
Bài giải
1
♥ Thể tích khối tròn xoay là V
0
dx
1
4 3x
2
.
♥ Đặt t 4 3x , ta có khi x 0 thì t 2, khi x 1 thì t 1 và x
1
2
4 t2
2t
nên dx dt .
3
3
2
1
2t
2
t
2 1
1
.
dt
dt
dt
2
2
(1 t ) 3
3 1 (t 1)
3 1 t 1 (t 1)2
2
Khi đó ta có V
2
3
1 2 2 3 1
3
ln
|
t
1
|
ln 6 ln 1 .
t 1 1
3 2 6 9
2
59
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM - TỔ TOÁN
B. Bài tập
y x2 4x 3
y 0
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H):
x 0
x 2
y x 2
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H):
2
y 2 x
3x 1
y x 1
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H): y 0
x 0
2
y x
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H):
2
x y
2
y x 2x
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H) :
2
y x 4x
(C ) : y x
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y 2 x
(Ox)
(C ) : y e x
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y 2
() : x 1
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường 4 y x 2 và y x . Tính thể tích
vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi các đường : y x; y 2 x; y 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x 2 ; y x 2 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
--------------------------Hết---------------------------60
- Xem thêm -
.PDF 
14 
294 
83 
