BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Câu 1:
[2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số
1
f 1 0
và
f x
có đạo hàm trên đoạn
1
2
e2 1
x
f
x
d
x
x
1
e
f
x
d
x
.
4
0
0
A. I 2 e.
1
Tính tích phân
e
I .
2
C.
B. I e 2.
0;1
I f x dx.
0
D.
I
e 1
.
2
Lời giải
Chọn B.
1
x
Xét tích phân
x 1 e f x dx
0
u f x
x
d
v
x
1
e
d
x
Đặt
du f x dx
x
v xe
1
x
Nên
x 1 e f x dx f x .xe
0
1
Do đó
ex 1
4
x
xe . f x dx
0
x 1
0
1
1
x
xe . f x dx xe x . f x dx
0
0
. Lại có (theo BĐT tích phân)
2
2
1
1
1 x
2
e2 1
2
x 2
x.e f x dx x e dx. f x dx
4
0
0
0
1
1 e2
x
xe
f
x
d
x
.
4
0
f x k .xe x
Dấu " " xảy ra khi
.
1
1 e2
2
x 2
kx
e
d
x
4 k 1 f x xe x
Suy ra 0
x
Do đó
f x dx xe dx 1 x e
1
Vậy
x
C f 1 C 0
1
I f x dx 1 x e xdx e 2
0
0
.
.
Trang 1
.
thỏa mãn
Câu 2:Cho hàm số
2
f x
dx
x
1
2
.
3
A. 2 .
y f x
B.
1
1
f x 2 f 3 x
x ; 2
x
2 . Tính
liên tục và thoả mãn
với
3
2.
9
C. 2 .
D.
9
2.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
f x
I
dx
x
1
2
1
f
f x
1
1
x
x ; 2 f x 2 f 3x
2 3
2 ,
x
x
x
Với
.
1
2
2 f
2
f x
x
dx 2
dx 3dx (1)
x
x
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
t dt 2 dx dt dx
x
x
t
x .
Đặt
1
2 f
2
f t
x
2 dx 2
dt 2 I
x
t
1
1
2
2
.
2
3
1 3I 3dx I .
2
1
2
1
Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho
ò f ( x) dx = 2018
0
. Tính tích phân
p
4
ò f ( sin 2x) cos 2 xdx
0
A. 2018 .
B. - 1009 .
C. - 2018 .
Lời giải
Chọn D
Đặt t = sin 2 x Þ dt = 2 cos 2 xdx
Đổi cận:
x = 0 Þ t = 0; x =
p
Þ t =1
4
Trang 2
D. 1009 .
p
4
ò f ( sin 2x) cos 2xdx =
0
Câu 4:
1
1
1
f ( t ) dt = .2018 = 1009
ò
2 0
2
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
a, b, c ) là một nguyên hàm của hàm số
Tính T a b c.
A. T 11 .
f x
B. T 10 .
F x ax 2 bx c 2 x 3
20 x 2 30 x 11
3
; .
2x 3
trên khoảng 2
C. T 9 .
D. T 8 .
Lời giải
Chọn A.
f x
20 x 2 30 x 11
2x 3
. Đặt
t2
20
2
I f x dx
t2 3
x
2 x 3 t 2 x 3 t 2
2
dx tdt
2
3
2
15 t 3 11
t .dt
t
5t 4 15t 2 11dt t t 4 5t 2 11 C 2 x 3 4 x 2 2 x 5 C
a 4; b 2; c 5 a b c 11
6
Câu 5:
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
( a, b, c ). Tính T a b c.
A. T 3.
B. T 5.
2 x 4 dx
5
4
a b ln c ln
3
3
2x 4 8
2 x 5
0
C. T 4.
D. T 7.
Lời giải
Chọn A.
6
6
2x 4
2x 4
dx
d
2
x
5
2
x
4
8
2
x
4
5
2
x
4
4
0
0
4
4
t2
2 x 4 2
dt
t
5
t
4
2
với t 2 x 4 .
4
4
4
5t 4
1 1
16 1
1 5 16 4
1
dt
dt 2 ln
ln
dt 1dt
3 2 t 1
3 2 t 4
3 3 3 3
t 1 t 4
2
2
.
1
16
a 2, b , c
a b c 3
3
3
Suy ra
.
Trang 3
(
Câu 6:
f x f x 2 2 cos 2 x
[2D3-3] Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên thỏa mãn
. Tính
3
2
I
tích phân
A. I 3 .
f x dx
3
2
.
C. I 6 .
B. I 4 .
D. I 8 .
Lời giải
Chọn C.
3
2
I
Ta có
3
2
0
f x dx f x dx f x dx
3
2
3
2
0
.
0
Xét
f x dx
3
2
Đặt t x dt dx ; Đổi cận:
0
Suy ra
3
2
0
x
3
3
t
2
2 ; x 0 t 0 .
3
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
3
2
3
2
0
0
.
3
2
f x f x 2 2 cos 2 x
Theo giả thiết ta có:
3
2
3
2
3
2
f x f x dx
0
2 2 cos xdx
0
3
2
f x dx f x dx 2 sin x dx
0
0
3
2
0
0
3
2
f x dx f x dx 2sin x dx 2 sin x dx
0
3
2
0
0
3
2
f x dx 6
3
2
.
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số
2017
f (2018 x ) f ( x) x [1; 2018] ,
A. I 10100.
B. I 20170.
Trang 4
1;2018
liên tục trên
2017
f ( x)dx 10
1
f x
I
. Tính
x. f ( x)dx
1
C. I 20180.
.
D. I 10090.
và :
Lời giải
Chọn.D.
Đặt t 2018 x dt dx .
x 1 t 2017, x 2017 t 1
1
2017
(2018 t )f (2018 t )dt
I
(2018 t )f (t )dt
2017
2018
2017
2017
1
1
1
f (x )dx xf (x )dx
I 2018.10 I I 10090.
Câu 8:[2D3-3] Hàm số
f x
0;
liên tục trên
và :
f ( x) f ( x ) x [0; ] , f ( x)dx
0
2
. Tính
I x. f ( x)dx
.
0
2
I .
2
B.
I .
2
A.
2
I .
4
D.
I .
4
C.
Lời giải
Chọn.D.
Đặt t x dt dx .
x 0 t , x t 0
0
I ( t )f ( t )dt
( t )f (t )dt
0
0
0
f (x )dx xf (x )dx
2
I . I I .
2
4
b
Câu 9:[2D3-3] Hàm số
f x
a; b
liên tục trên
và : f ( a b x ) f ( x ) x [a; b] ;
f ( x)dx a b
a
b
Tính
A.
I x. f ( x)dx
a
a b .
I
2
.
B.
a b
I
4
2
.
Trang 5
C.
a b .
I
4
D.
a b
I
2
2
.
Lời giải
Chọn.D.
Đặt t a b x dt dx .
x a t b , x b t a.
a
I (a b t )f (a b t )dt
b
b
(a b t )f (t )dt
a
b
b
a
a
(a b )f (x )dx xf (x )dx
I (a b ).(a b ) I I
a b
2
2
.
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số
thỏa mãn
f 1 4
và
A. 5 .
f x x . f x 2 x 3 3x 2
B. 20 .
y f x
. Tính giá trị
có đạo hàm liên tục trên
f 2
1; 2
.
C. 10 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: +
x 1; 2
f x x . f x 2 x 3 3x 2
:
f x f x
2x 3
x2
x
.
1
f x f x
f
x
.
2 x 3
2 x 3
x
x
x2
.
Vậy
+ Vì
Cách
1
f x
f
x
.
x 2 3 x C
dx 2 x 3 dx
x
x
.
f 1 4 C 0
2:
. Do đó
Từ
giả
f x x3 3 x 2 f 2 20
thiết
.
f x xf x 2 x3 3x 2
xf x f x
2 x 3
x2
f x
2
x 3x
x
.
2
f x
2
f 2 f 1
dx x 3x dx
x 2 3x
x
1
2
1
1
2
Trang 6
2
1
f 2 20 .
Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,
tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:
1) Cho trước các hàm
f x
hàm
g x ,u x , v x
có
đạo
hàm
liên
f x g x f x g x u x v x u x v x
a; b , g x 0, x a; b
có đạo hàm liên tục trên
f b f a
f x g x u x v x
tục
a; b
trên
thỏa
và
mãn:
. Khi đó,
u b v b u a v a
g b
g a
.
a; b , g x 0, x a; b
có đạo hàm liên tục trên
và hàm
2
f x
a; b
f x g x f x g x u x g x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn:
.
2) Cho trước các hàm
g x , u x
f x
u x
g
x
f b f a u b g b u a g a .
Khi đó,
a; b
f x
có đạo hàm liên tục trên
và hàm có đạo
a; b
u x f x f u x v x g x g v x
hàm liên tục trên
thỏa mãn:
. Khi đó,
3) Cho trước các hàm
g x ,u x , v x
f u x g v x f u b f u a g v b g v a .
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
5 s
v1 t 7t m/s
. Đi được
, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
a 70 m/s 2
S m
đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A.
S 87,50 m
.
B.
S 94, 00 m
.
C.
S 95, 70 m
.
D.
S 96, 25 m
.
Lời giải
Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là:
v1 5 35 m / s
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là:
v2 t 70t 35
.
v2 t 70t C
.
Khi xe dừng hẳn tức là
1
v2 t 0 70t 35 0 t 2
Trang 7
.
. Do
v2 0 35 C 35
Quãng đường
S m
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
1
2
5
S m 7t . dt 70t 35 dt
0
0
96, 25 m
.
2
Câu 12:
2 x 1 ln xdx a ln 2 b a; b
[2D3-2] Giả sử
,
. Tính a b .
1
5
A. 2 .
B. 2 .
3
D. 2 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn D
Đặt
1
du
dx
u ln x
x
v x 2 x
dv 2 x 1 dx
2
2
x2
x
x
2
dx 2 ln 2 x 2 ln 2 1
2 x 1 ln xdx x x ln x 1
x
2
1
2 nên a 2 ,
1
1
2
2
1
2.
b
Vậy a b
Câu 13:
2
3
2.
[2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]
1
Biết
x3 3 x
dx a b ln 2 c ln 3
x 2 3x 2
0
A. S 515 .
2
2
với a, b, c là các số hữu tỉ , tính S 2a b c .
B. S 164 .
C. S 436 .
D. S 9 .
Lời giải
Chọn A.
1
Xét :
1
1
x3 3x
10 x 6
4
14
I 2
dx x 3
dx
dx x 3
x 3x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
0
0
0
1
1
1
x2
1
1
I
3x 0 4 ln x 1 0 14 ln x 2 0 3 4 ln 2 14 ln 3 14 ln 2
2 0
2
Trang 8
5
a 2
5
I 18ln 2 14 ln 3 b 18 S 2a b 2 c 2 515
2
c 14
.
Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số
2
16
2
cot x. f sin x dx
mãn
f
x dx 1
1
4
A. I 3.
liên tục trên và thỏa
1
f 4x
I
dx.
x
1
x
. Tính tích phân
3
I .
2
B.
f x
8
5
I .
2
D.
C. I 2 .
Lời giải
Chọn D.
Đặt
t sin 2 x dt 2sin x cos xdx
2
dt
cot xdx
2t
1
1 cot x. f sin 2 x dx f t
1
2
4
1
dt 1 f x
dx
2t 2 1 x
2
1
f x
dx 2
x
1
2
2tdt dx
t x
2
x t
Đặt
16
1
1
f
x dx
x
4
4
f t
f x
2td
t
2
dx
2
t
x
1
1
4
f x
1
dx
x
2
1
Đặt t 4 x dt 4dx
1
4
1
4
f 4x
f t dt 4 f x
f x
f x
5
I
dx
dx
dx
dx
t 4 1 x
x
x
x
2
1
1
1
1
8
2
2
2
4
Phân tích:
f x
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm
nào đó không biết, nhưng sẽ cho thêm
điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích phân đã
biết về giống dạng chưa biết.
Trang 9
e2
f x
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số
2
3
f cos x tan xdx 2
0
liên tục trên
và thỏa mãn
f ln x
x ln x
e
dx 1
và
f x
dx.
x
. Tính
1
2
5
B. 2 .
A. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
Đặt
t ln x dt
dx
x
e2
1
e
2
2
f ln x
f t
f x
dx
dt
dx
x ln x
t
x
1
1
Đặt t cos x dt sin xdx
1
2
3
2 f cos x
0
1
f t
f x
sin x
dx
dt
dx
cos x
t
x
1
1
2
Do đó
2
1
2
f x
f x
f x
d
x
d
x
dx 3
x
x
x
1
1
1
2
2
/4
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân
ta được kết quả là
trị
I
A. 9.
0
a
ln 2 c
b
với với a, b, c , b 0, ( a, b) 1 . Khi đó P abc nhận giá
B. 8.
C. 1.
Lời giải
Chọn D
Đặt
I ln(tan x 1)dx
x t
4
, ta có
Trang 10
D. 0.
4
0
1 tan t
I ln tan( t ) 1 dt ln
1dt
4
1 tan t
0
4
4
4
4
2
ln
dt ln 2dt ln tan t 1 dt
1 tan t
0
0
0
ln 2 I
4
I ln 2 a 1, b 8, c 0 P 0
8
Câu 17:Cho hàm số
0;
f 0 0
có đạo hàm liên tục trên 2 và
,
y f x
2
sin x. f x dx
4
0
2
f x
2
0
2
. Tính
A. 0 .
I f x dx
0
?
B. 1 .
D. 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn B.
2
Ta có
f x
2
0
2
2
dx f x d f x
4
0
.
2
sin x. f x dx f x d cos x cos x. f x
0
0
2
Mặt khác ta tính được:
4
Vậy
f '( x)
0
2
2
0
2
f x cos x dx
4
0
2
1 cos 2 x
1
sin 2 x 2
cos2 xdx
dx x
2
2
2
0 4
0
0
2
2
2
0
0
0
2
dx 2 cos x. f ( x)dx cos 2 xdx f '( x) cos x dx 0
f x cos x f x sin x C
Suy ra
.
f 0 0 C 0
Do
.
2
Vậy
2
I f x dx sin xdx cos x 02 1
0
0
.
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]
ln 2
2e
1
x
1
dx= ln a 2 b ln 3 ln 5c
Biết rằng 0
S a b c bằng bao nhiêu.
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó
Trang 11
dx
4
,
A. S 4 .
B. S 3 .
C. S 5 .
D. S 2 .
Lời giải
Chọn B
ln 2
ln 2
ex
dx=
dx
x
x
2e x 1
0
0 e 2e 1
Ta có
1
x
x
Đặt e t dt=e dx
Đổi cận: khi x 0 thì t 1 , khi x ln 2 thì t 2 .
ln 2
2
ex
1
dx
dt=
x
x
t
2
t
1
e
2
e
1
0
1
Vậy
2
2t 1 2t
dt=
t 2t 1
1
2
1
t
1
2
dt
2t 1
2
ln t ln 2t 1 ln 2 ln 5 ln1 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5 1
1
Vậy S 3 .
Hướng 2. Phân tích
2e 1 2e
2e 1 dx 2e 1
ln 2
ln 2
1
x
x
x
0
0
ln 2
Câu 19: Biết rằng
0
x
ln 2
ln 2
2e x
dx 1 x dx x ln 2e x 1
0
2e 1
0
1
1
1
dx= ln 2a ln 2
2
b
2e 1
2x
3
. Trong đó a , b là các số nguyên.
Khi đó S a 2b bằng bao nhiêu.
A. S 2 .
B. S 3 .
C. S 1 .
Lời giải
Chọn B
ln 2
Ta có
Đặt
0
1
2e2 x 1
ln 2
2e2 x
dx=
dx
2x
2e 2 x 1
0 2e
2x
2
2e 2 x 1 t 2e 2 x t 2 1 d 2e =d t 1 4e2 x dx=2tdt
Đổi cận: khi x 0 thì t 3 , khi x ln 2 thì t 3 .
ln 2
Vậy
2e
0
2e 2 x
2x
3
t
dx 2
dt
2e 2 x 1
3 t t 1
Trang 12
D. S 0 .
3
1 1
1
dt 1 ln t 1 ln t 1
2 3 t 1 t 1
2
1
1
ln 2 ln 4 ln
2
2
3 1 ln
x
2
3
3
1
1
3 1 ln 2 1 ln 2
2
2
3
Vậy S 3 .
1
x ex
x e x
dx=a.e+bln e c
Câu 20:Biết rằng
S a 2b c bằng bao nhiêu.
0
A. S 1 .
B. S 2 .
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó
C. S 1 .
D. S 0 .
Lời giải.
Chọn B
x x e dx= xe x 1 e
xe
xe 1
2
1
Ta có
x
1
x
x
x
0
x
dx
0
x
dt= x 1 e x dx
Đặt xe 1 t
Đổi cận: khi x 0 thì t 1 , khi x 1 thì t e 1 .
x x e dx= t 1 dt t ln t
xe
t
1
Vậy
2
x
e 1
x
0
1
e 1
1
e ln e 1
Vậy S 2 .
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số
trên
1;
thỏa mãn
lớn nhất sao cho
A. m 15 .
f 1 1
2
và
y f x
f x 3 x 2 x 5 x 1;
có đạo hàm liên tục
. Tìm số nguyên dương m
min f x m
x 3;10
y f x
với mọi hàm số
thỏa đề bài.
B. m 20 .
C. m 25 .
D. m 30 .
Lời giải
Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến
được một bất đẳng thức liên quan đến
y f x
Trang 13
.
y f ' x
nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để
Ta có
t
t
1
1
f ( x)dx (3x
2
2 x 5)dx f t f 1 t 3 t 2 5t 3 t 1
.
Suy ra
f x x3 x 2 5 x 4 min f x min x 3 x 2 5 x 4 25
x 3;10
x 3;10
.
Vậy m 25 .
Câu
22:Cho
các
hàm
y f x
số
3 f x xf x x 2018 x 0; 1
có
đạo
hàm
liên
tục
thỏa
mãn
1
f x dx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
0
1
A. 2019.2020 .
1
B. 2019.2021 .
1
C. 2020.2021 .
1
D. 2018.2020 .
y f x
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số
3 f x .e
0; 1
trên
f 3 x x2 1
2x
0
2
f x
thỏa mãn
7
và
f 0 1
15
B. 4 .
2 7
A. 3 .
có đạo hàm trên
x. f x dx
. Tích phân
0
45
C. 8 .
bằng
5 7
D. 4
Lời giải
Chọn C.
e
3. f x . f
Phân tích: Nhận thấy
f 3 x
2
x
nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân
2 vế
3 f x .e
f 3 x x2 1
Ta có:
2
2x
f3 x
0 3. f 2 x . f x .e 2 x.e x 1
f x
2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
ef
3
x
ex
Mặt khác:
7
Tính:
2
1
3
x
2
f 0 1 C 0
nên
f 3 x x 2 1 f x 3 x 2 1
7
0
3
x 2 1.dx
45
8
.
Trang 14
2
dx 2 x.e x 1dx e x 1d x 2 1
C 0
x. f x dx x.
0
f
2
3. f x . f x .e
1
f x
Câu 24: Cho hàm số
1
4
x f x dx
0
A.
1
55
1
7.
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
2
1
f 1 0, f x dx
11
0
và
1
. Tích phân
1
B. 7 .
f x dx
0
bằng
C.
Lời giải
1
D. 11
1
55 .
Chọn A.
1
1
x5
x f x dx
f x
5
0
Ta có 0
4
1
mà
5 2
x
0
1
dx
11
1
nên
f x
0
2
1
x5
f x dx
5
0
1
1
x f x dx 11
5
0
1
1
dx 2x f x dx x
5
0
1
5 2
dx 0 f x x
0
5
2
dx 0
0
.
1 6
f
x
x C
f x x
6
Suy ra
.
5
1
C
f 1 0
6 . Vậy
Vì
nên
1
1
x6 1
1
f
x
d
x
dx
6
7
0
0
.
1
f x
Câu 25: Cho hàm số
1
và
f x
x 1
2
có đạo hàm liên tục trên
dx 2 ln 2
0
1 2ln 2
2
A.
.
3
2
0;1
thỏa mãn
2
3
f 1 0, f x dx 2 ln 2
2
0
1
. Tích phân
f x dx
0
3 2ln 2
2
B.
.
bằng
3 4ln 2
2
C.
.
1 ln 2
2
D.
Lời giải
Chọn A.
1
f x
1
1
1
1
1
1
d
x
f
x
d
1
f x 1
1
2
f x dx
x
1
x
1
x
1
x
1
0 0
0
Ta có 0
1
Suy ra
1
0
1
3
f x dx 2 ln 2
x 1
2
.
1
2
1
1
1
1
1
3
1
d
x
1
2
2 ln 2
dx x 2 ln x 1
2
x 1
x 1 x 1
x 1 0 2
0
0
1
Mặt khác
Trang 15
.
1
1
2
1
2
1
1
f x dx 2 1
f x dx 1
dx 0
x
1
x
1
0
0
0
Do đó
2
3
1
f x
1 dx 0
x 1
0
.
1
x 1 f x x ln x 1 C , vì f 1 0 nên C ln 2 1 .
f x 1
1
Ta được
1
1
f x dx x ln x 1 ln 2 1 dx ln 2
2
0
0
Câu 26: Xét hàm số
f x
0;1
liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện
.
4 x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2
. Tích
1
phân
A.
I
I f x dx
0
20 .
I
16 .
B.
Chọn
Vì
bằng:
f x
I
C.
Lời giải:
6.
D.
I
4.
A.
liên tục trên
0;1
1
và
4 x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2
1
1
nên ta có
1
1
4 x. f x 2 3 f 1 x dx 1 x 2 dx 4 x. f x 2 dx 3 f 1 x dx 1 x 2 dx
1
0
0
0
0
0
1
1
Mà
0
0
1
và
1
2
t x
2
2
2
4 x. f x dx 2f x d x 2f t dt
0
1
2I
1
u 1 x
3 f 1 x dx 3f 1 x d 1 x 3f u du
0
0
0
1
Đồng thời
1
sin t
x 2 dx x
0
1
Do đó,
2 I 3I
2
1 sin
2
2
3I
0
t .cos tdt cos2 tdt
0
2
1
1 cos 2t dt
2
0
4.
I
4 hay
20 .
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f ( x) 0, x và
3 f '( x) 2 f 2 ( x) 0. Tính f (1) biết rằng f (0) 1.
Trang 16
.
1
.
A. 5
2
.
B. 5
3
.
C. 5
4
.
D. 5
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích
phân.
2
Phân tích: Từ giả thiết 3 f '( x) 2 f ( x) 0 và f ( x) 0, x suy ra:
1
1
f '( x)
2
1
1
2
3
dx dx
f (1)
2
f ( x)
3
f (1) f (0) 3
5
0
0
.
Câu 28: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục và có đạo hàm trên (0; ) thỏa mãn f ( x) xf '( x) 2 x và
f (1) 2 . Giá trị f (2) bằng:
5
.
A. 2
B. 2.
C. e.
e
.
D. 2
Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết
f ( x) xf '( x ) 2 x ( xf ( x)) ' 2 x ( xf ( x)) ' dx 2 xdx
2
Suy ra xf ( x) x C , thay x 1 vào hai vế ta được
1. f (1) 12 C 2 1 C C 1 .
x2 1
5
xf ( x) x 1 f ( x)
f (2) .
x . Vậy
2
Khi đó
2
x
Câu 29: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f ( x) f '( x) 2e và
f (0) 1 . Giá trị f (2) bằng:
A. e.
2
C. e .
B. ln 2 .
Lời giải
Chọn C.
x
x
x
2x
x
2x
Từ f ( x) f '( x ) 2e e f ( x) e f '( x) 2e (e f ( x)) ' 2e
Trang 17
D. 1.
(e
Suy ra
x
f ( x)) ' dx 2e2 x dx e x f ( x) e 2 x C
. Thay x 0 vào hai vế ta được
C 0.
x
2
Suy ra f ( x ) e . Vậy f (2) e .
f x
\ 0; 1
f 1 2 ln 2
Câu 30:Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
và
2
2
2
x x 1 f x f x x x
f 2 a b ln 3 a, b
. Giá trị
,
.Tính a b .
25
A. 4 .
9
B. 2 .
5
C. 2 .
Lời giải
13
D. 4 .
Chọn B.
Ta có
x x 1 f x f x x 2 x
x
1
x
f x
f x
2
x 1
x 1
x 1
x
x
f x
x 1 .
x 1
x
x
f
x
x 1
dx x 1 dx
1
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được 1
2
2
2
2
x
f x x ln x 1 2 f 2 1 f 1 2 ln 3 1 ln 2
1
x 1
1
3
2
2
3 3
3
3
f 2 ln 2 1 ln 3 ln 2 f 2 ln 3
a
b
3
2 2
2 và
2.
. Suy ra
2
2
9
3 3
a b
2.
2 2
Vậy
2
2
2
3
x
1
1
1
a
a
2 3 8 11 dx 3 c
2
x
x x
b
a
,
b
,
c
, với
nguyên dương, b tối giản và c a . Tính
Câu 31: Biết 1
S a b c .
A. S 51 .
B. S 67 .
C. S 39 .
Lời giải
Chọn B
2
2
1
1
1
I 3 x 2 2 3 8 11 dx 3 x 1 1 2 dx
x
x x
x2
x3 .
1
1
Ta có
3
Đặt
t 3 x
7
4
2
1
I 3t 3dt 21 3 14
3t 2 dt 1 3 dx
2
x
x
0
32
nên
.
Trang 18
D. S 75 .
Suy ra S 67 .
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số
thời thỏa mãn điều kiện:
f x
liên tục và có đạo hàm tại mọi
x 0;
đồng
3
2
f x x sin x f x cos x
A.
6; 7 .
B.
f x sin xdx 4
và
2
. Khi đó,
5;6 .
f
12;13 .
C.
Lời giải
nằm trong khoảng nào?
D.
11;12 .
Chọn B
Từ giả thiết:
f x x sin x f x cos x f x x s inx x f x cos x
f x .x x. f x x sin x cos x f x .x x. f x ( cos x ) x xcos x
(*).
f x .x x. f x ( cos x) x xcos x
2
x 0;
x2
x2
Vì
, ta chia 2 vế của (*) cho x ta được
f x cos x
f x cos x
c f x cos x cx
x x
x
x
.
3
2
f x sin xdx 4
Mặt khác lại có
3
2
Xét
2
.
3
2
3
2
f x sin xdx cos x sin x c x sin x dx
2
2
3
2
cos x d cos x c x sin x dx
2
2
3
3
cos 2 x 2
2
c
x
cos
x
sin
x
2
2
2
2c .
3
2
f x sin xdx 4
Mà
2
2c 4 c 2 f x cos x 2 x .
f 1 2 5, 28
Ta có:
.
Tổng quát:
a x . f x b x . f x g x 1
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng
1 về dạng u x . f x u x . f x h x 2
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa
u x
u ( x) a x
u ( x) b x
b x
Với
, kết hợp với giả thiết ta tìm được u ( x) suy ra biểu thức nhân thêm là .
Trang 19
2
f x
ta sẽ tìm được
.
y f x
Câu 33: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn
Khi có
f x 2 xf x 2 x.e x
2
f 0 1
f 1
và
. Tính
.
1
2
B. e .
C. e .
A. e .
Câu 34: Cho hàm số
f 0
A.
f 2
A.
1
x 2 f x x 1 f x e x và
có đạo hàm trên thỏa mãn
1
2 . Tính f 2 .
2
Câu 35:Biết
f x
2
D. e .
e
3.
B.
x3
x2 1 1
P
f 2
dx a 5 b 2 c,
5
2
B.
P
e
6.
f 2
C.
e2
3 .
D.
f 2
e2
6 .
với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P a b c.
7
2
P
C.
Lời giải
5
2
D. P 2
Chọn C.
2
Ta có
1
2
x3
2
x 1 1
dx x
1
1
x 1 1 dx
3
2
x 1 12 x2
2
3
2
1
5
2
3
5
2 .
3
3
2
5
2
3
5
a , b ; c P .
3
3
2
2
Vậy
3
Câu 36: Cho tích phân
S a b c.
ln sin x
3
3
I
dx a 3 ln
ln 2 a, b, c .
2
2
b
c
cos x
6
A. 3
B. 2
C. 1
Lời giải
Chọn B.
u ln sin x dx
1
v
cos 2 x
Đặt
cos x
dx
du
sin x
v tan x
Trang 20
Tính giá trị của biểu thức
D. 1
- Xem thêm -
.DOCX 
131 
1 
133 
