CẨM NANG CHO MÙA THI
TUYỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
NGUYỄN HỮU BIỂN
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bài 1: Giải bất phương trình
x 1 x2
2 3x 4x 2 .
Hướng dẫn
x 0
0 x 1
3 41
- Điều kiện: 1 x 2 0
3 41
.
3 41 0 x
8
x
2
8
8
2 3x 4x 0
- Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 x2 2 x(1 x2 ) 2 3x 4x 2 3(x2 x) (1 x) 2 (x x2 )(1 x) 0
3
x x
x x
2
1 0
1 x
1 x
2
2
5 34
x
x x 1
9
9x 2 10x 1 0
1 x
3
5 34
.
x
9
2
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34 x 3
9
41
8
.
Bài 2: Giải bất phương trình x 1 2 3x 2 9x 2 24x 2 10x 1 0,(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 1 2 3x 2 4 9x 2 24x2 10x 4 0
( x 1 1) 2( 3x 2 2)(x 2)(9x2 6x 2) 0
x2
2(3x 6)
(x 2) (3x 1)2 3 0
x 1 1
3x 2 2
1
6
(x 2)
(3x 1)2 3 0(1)
3x 2 2
x 1 1
1
6
- Dễ thấy
3x 12 3 (3.11) 2 3 1 0,x 1
x 1 1
3x 2 2
- Hơn nữa (1) x 2 0 x 2. Kết hợp điều kiện thu được x 2.
Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 log2 x log2 x 2 log 2 6 x
Hướng dẫn: ĐK: 0 x 6 .
log2 2x 4x log2 6 x 2 2x 4x 6 x 2 x 16x 36 0
2
2
2
Vậy: x 18 hay 2 x
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 x 6 .
3
2
19x x 1 7
Bài 4: Giải bất phương trình 9x 22x
1,(x R)
3
2
x 2x 2x 4
x 1
Hướng dẫn: Điều kiện
3
2
x 2x 2x 4 0
- Nhận xét x3 2x 2 2x 4 1 2 2 4 1 0,x 1 .
- Bất phương trình đã cho tương đương với
9x 3 22x2 19x x 1 7 x3 2x 2 2x 4
x 1 1 8x3 24x2 17x 2 0
Trang 1
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
2
(x 2)(8x 2 8x 1) 0 (x 2)
2(2x 1)2 1 0(1)
x 1
1 1
x 1 1
1
- Rõ ràng
2(2x 1)2 1 2(2 1)2 1 1 0,x 1 nên (1) x 2 0 x 2
x 1 1
Bài 5: Giải bất phương trình: log 4x 1 log 7 2x 1 log 3x 2
5
5
1
5
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 x 7
4
2
log5 4x 1 log5 3x 2 1 log5 7 2x
log5 4x 13x 2 log5 5 7 2x
4x 13x 2 57 2x
12x2 21x 33 0
33
x 1
12
Giao với điều kiện, ta được: 1 x 1. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 x 1
4
4
Bài 6: Giải bất phương trình (x 1) x2 2x 5 4x x2 1 2x 2(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x R. Khi đó :
(x 1)(2 x 2 2x 5) 2x(2 x2 1 x 2 2x 5) 0
(x 1)(2 x 2 2x 5)
2x(4x 2 4 x 2 2x 5)
0
2 x 2 1 x 2 2x 5
2x(x 1)(3x 1)
0
(x 1)(2 x 2 2x 5)
2
2
2 x 1 x 2x 5
2x(3x 1)
(x 1)(2 x 2 2x 5
) 0
2
2
2 x 1 x 2x 5
4 x 2 1 2 x 2 2x 5 2 (x 2 1)(x 2 2x 5) 7x 2 4x 5
0
(x 1)
2
2
2 x 1 x 2x 5
2
2
2
- Do 7x 4x 5 (x 2) 6x 1 0 nên (2) x 1 0 x 1 x (;1)
Bài 7: Giải bất phương trình : x 1 x 2 5 x x 2 1
Hướng dẫn:
x 1 : loại
x 2 x 1
1
1
x2 5 x
x 2 5 x
x 1: x 5
x 1
x 1
x 1
5
1
5x 1 x 2 5 x 4x 5 x 2 5
2
x 5 x x 1
2
x 5
x 2
4
15x 2 40x 20 0
Trang 2
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bài 8: Giải bất phương trình: x2 5x 4 1
2 4) (*)
Hướng dẫn: x 2 5x 4 1 x(x 2 x(x
2x
2x 4) (x R).
1 5 x 0
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0
x 1 5
- (*) 4 x(x2 2x 4) x2 5x 4 4 x(x 2 2x 4) (x 2 2x 4) 3x (**)
x2 2x 4 x2 2x 4
TH 1: x 1 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) 4
3
x
x
x2 2x 4
Đặt t
, t 0 , ta có bpt: t 2 4t 3 0 1 t 3
x
x2 7x 4 0
x2 2x 4
1 17
7 65
1
3
x
x
2
2
x2 x 4 0
TH 2: 1 5 x 0 , x2 5x 4 0 , (**) luôn thỏa mãn
1 17 7 65
Vậy tập nghiệm BPT (*) là S 1 5;0
;
2
2
Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2x 5 3x 2 4x 1 5x 6
Hướng dẫn:
BPT 2x 5 4x 1 3x 2 5x 6 0
1
1
(2x 4)[
] 0
2x 5 4x 1
3x 2 5x 6
x2
Bài 10: Giải bất phương trình (x +2)(x −2 2x +5)−9 ≤(x +2)(3 x2 +5 −x2 −12)+3 5x2 +7
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x 5 . Khi đó ta có
2
(1) x 3 3x 2 14x 15 2(x 2) 2x 5 3(x 2) x2 5 3 5x 2 7 0
x 3 3x2 x 18 2(x 2)( 2x 5 3) 3(x 2)( x2 5 3) 3 3 5x2 7 0
(x 2)(x 2 5x 9)
2(x 2)(2x 4) 3(x 2)(x2 4)
5(4 x2)
2x 5 3
x2 5 3
9 33 5x2 7 3 5x2 7
2
0
2
4(x 2)
3(x 2)
5(x 2)
(x 2) x2 5x 9
0(*)
2
2x 5 3
x2 5 3 9 33 5x2 7 3 5x2 7
Trang 3
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
4(x 2)
4
3(x 2) 2
3
(x
2);
(x 2)2
x2 53 5
2x 5 3 3
5
- Ta có với x
5(x 2)
5(x 2)
2
2
9
9 3 3 5x 2 7 3 5x 2 7
4(x 2)
3(x 2)2
5(x 2)
x 2 5x 9
2x 5 3
x 2 5 3 9 3 3 5x 2 7 3 5x 2 7
2
18x 2 57x 127
5
0, x
45
2
- Do đó (*) x 2 0 x 2 , kết hợp với điều kiện x 5 ta suy ra bất phương
2
trình đã cho có nghiệm là 5 x 2
2
Bài 11: Giải bất phương trình 2(x 2) 2(x 1)2
2x 5 1
x 6 7(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x 5
2
Bất phương trình đã cho tương đương với
2x 5 1 2x 2 4x 2 x 6 7 2x 5 x 6 2(x 2 2x 3) 0
x 1
1
2(x 1)(x 3) 0 (x 1)
2(x 3) 0(1)
2x 5 x 6
2x 5 x 6
1
5
Chú ý rằng
2(x 3) 0,x nên (1) x 1 0 x 1
2
2x 5 x 5
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x 1
Bài 12: Giải bất phương trình
2 1−
2
8
+ 2x − ≥x
x
x
x 2
2
1
0
x 0
x
2 x 0
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
x 2
x 2
2x 8 0
2 x 0
x
- Với 2 x 0 bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với x 2 bất phương trình đã cho 2 x 2 2(x 2)(x 2) x x
4(x 2) 2(x2 4) 4 (x 2)2 (x 2) x3
x3 2x 2 4x 16 4 2(x3 2x 2 4x 8) 0
2(x3 2x 2 4x 8) 8 2(x3 2x 2 4x 8) 16 0
Trang 4
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2(x 2x 4x 8) 4 0
2
3
2
2(x3 2x2 4x 8) 4
x 0
x 3 2x 2 4x 0 x 1 5 x 1 5 (do x 2 )
x 1 5
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 2; 0 1 5
Bài 13: Giải bất phương trình sau : log2 (x 2 1) log (x 1).
1
2
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT
log (x 2 1) log (x 1) log (x2 1) log (x 1) 0
2
1
2
2
2
(x 2 1)(x 1) 1
x3 x2 x 1 1 x(x2 x 1) 0
1 5
x
(do x >1).
2
1 5
Vậy tập nghiệm của BPT là S=
; .
2
Bài 14: Giải bất phương trình 2log3 (x 1) log 3 (2x 1) 2
Hướng dẫn: ĐK: x 1. BPT 2log3 (x 1) log 1 (2x 1) 2
32
log3 (x 1) log3 (2x 1) 1 log3 (x 1)(2x 1) 1
(x 1)(2x 1) 3 2x 2 3x 2 0
1
x 2 . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là S 1; 2
2
Bài 15: Giải bất phương trình (x 3)( 2x 1 x)2 (x 1)2 ,(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1
2
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó
- Bất phương trình đã cho tương đương với
x 3
(x 1)2
( 2x 1 x )
2
2x 1 x
x 3 ( 2x 1 x )2 x 3 3x 1 2 2x 2 x
2x 2 x x 1 2x 2 x x 2 2x 1 x 2 3x 1 0 x
3 13
,x
3 13
2
2
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm x 13 3
2
Bài 16: Giải bất phương trình 4x (4x 2 12x 5) x2 2x 12x 2 9x 2
3
x 2
x 0
Hướng dẫn: +) Điều kiện: x2 2x 0
Trang 5
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
4x 3 12x 2 9x 2 (4x 2 12x 5) x 2 2x 0
(2x 1)(2x3 5x 2) (2x 1)(2x 5) x 2 2x 0
(2x 1) 2 x 2 5x 2 (2x 5) x 2 2x 0 (2x 1) f (x) 0(1)
+) Với f (x) 2x 2 5x 2 (2x 5) x2 2x .Đặt t x2 2x;(t 0) t 2 x2 2x
- Khi đó 2x 2 5x 2 (2x 5) x2 2x 2(x2 2x) (2x 5)t x 2 2t 2 (2x 5)t x 2
- Ta có (2x 5)2 8(2 x) 4x 2 20x 25 8x 16 4x 2 12x 9 (2x 3)2
t x 2
Do vậy phương trình f (x) 0
t 1
2
Do vậy ta có phân tích
f (x) 2x 2 5x 2 (2x 5) x 2 2x ( x 2 2x x 2)(2 x 2 2x 1
Khi đó (1) (2x 1)( x 2 2x x 2)(2 x 2 2x 1) 0
(2x 1)( x 2 2x x 2) 0,(2)
(Do 2 x2 2x 1 0 với mọi x thuộc miền xác định)
Ta xét một số trường hợp sau:
+) TH1: 2x 1 0 x 1 (không thỏa mãn)
2
x 2
x 2 2x x 2 2
x 2 (thỏa mãn)
2
x
2x
x
4x
4
x 2
2x 1 0
+) TH3
Hệ phương trình vô nghiệm
2
2
x 2 2x x 2
x 2x x 4x 4
2x 1 0
1
+) TH4
x
2
x 2 2x x 2
+) TH2)
Kết hợp với đk ta được x 0
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0
Bài 17: Giải bất phương trình: log 5 4x 1 log 5 7 2x 1 log 1 3x 2
5
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 x 7
4
2
+ BPT log5 4x 1 log5 3x 2 1 log5 7 2x
log5 4x 13x 2 log5 5 7 2x
4x 13x 2 57 2x
12x2 21x 33 0
33
x 1
12
Trang 6
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Giao với điều kiện, ta được: 1 x 1. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 x 1
4
4
Bài 18: Giải bất phương trình: (4x x 7) x 2 10 4x 8x
2
2
Hướng dẫn: ĐK: x -2
(4x2 x 7) x 2 10 4x 8x2 (4x2 x 7) x 2 2(4x2 x 7) 2[(x 2) 4]
(4x2 x 7)( x 2 2) 2( x 2 2)( x 2 2)
4x2 x 7 2 x 2 4 4x2 x 2 2 x 2 1
(2x)2 ( x 2 1)2 0 (2x x 2 1)(2x x 2 1) 0
x 2 2x 1
x 2 2x 1
hoặc
x 2 2x 1
x 2 2x 1
5 41
;
8
Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = 2; 1
Bài 19: Giải bất phương trình 8x3 2x (4 x 1)(x 14 8 x 1) .
Hướng dẫn: Điều kiện : x 1
(1) 8x3 2x (4 x 1)(x 1 8 x 1 16 1) 8x3 2x (4 x 1)3 (4 x 1) (2)
- Xét hàm số f (t) t3 t; f '(t) 3t2 1 0t 1 f(t) đồng biến trên [1;+ ) mà (2) có
f (2x) f (4 x 1) và 2x, 4 x 1 [1; ) nên (2) 2x 4 x1
2x 4 0
2x 4 x 1 (2x 4)2 x 1
x 1 0
x 2
x 2
17 17
2
17 17
17 17 x
8
; x
4 x 17 x17 0
x
8
8
(
)
Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x2 + 5x + 3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
2x + 3 = a
Đặt x + 1 = b
a,b ≥ 0
x+ 2 = a2 −b2
⇒ 2x 2 + 5x + 3 = ab .
1= a2 − 2b2
Bất phương trình trở thành:(a2 −b2 )(a − 2b) + ab ≥ a2 − 2b2
⇔ (a 2 −b2 )(a − 2b) +b(a +b) − (a2 −b2 ) ≥ 0
⇔ (a −b)(a − 2b)−(a − 2b) ≥ 0 (do a +b > 0)
⇔(a − 2b)(a −b −1) ≥ 0
Trang 7
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x≥ −1
x ≥ −1
TH1:
2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0
⇔x≥ −
2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0
⇔−
2
−1≤ x ≤ 3
1
≤ x≤3
2
x≥ −1
x ≥ −1
TH2: 2x + 3 − 2
1
x+1≥0
⇔x≤ −
2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0
1
2
x≤ −1; x ≥3
⇔x = −1
1
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
2
Bài 21: Giải bất phương trình 10x2 50x 3 2x 2 5x 2 3 x 5
10x 2 50x 3 0
25 745
Hướng dẫn: Điều kiện 2x 2 5x 2 0 x
10
x 5
- Nhận xét
2x 2 5x 2 3 x 5
2x 2 14x 47
2x 2 5x 2 3 x 5
0
- Bất phương trình đã cho tương đương với
10x 2 50x 3 2x 2 5x 2 9x 45 6 (2x 1)(x 2)(x 5)
4x 2 27x 20 3 (2x 1)(x 5). x 2 0
2(2x 2 11x 5) 5(x 2) 3 2x 2 11x 5. x 2 0
- Đặt
2x 2 11x 5 a; x 2 b,(a 0;b 0) ta thu được
2a2 5b2 3ab 0 (a b)(2a 5b) 0 a b
2x 2 11x 5
x 2 2x 2 12x 7 0 x
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S 3
Bài 22: Giải bất phương trình
6 22
2
;x
6 22
2
22
;
2
3x2 12x 5 x3 1 x2 2x
3x2 12x 5 0
Hướng dẫn: Điều kiện x 1 x 2
x(x 2) 0
Bất phương trình đã cho tương đương với
3x2 12x 5 x3 x 2 2x 1 2 (x 1)(x 2 x 1)x(x 1)
x3 2x 2 10x 6 2 (x 1)(x 2. (x 2 x 1)x 0
(x 3 x 2 x) 3(x2 3x 2) 2 x 2 3x 2. x3 x 2 x 0
Trang 8
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
1 3.
x 2 3x 2
x 2 3x 2
2
0(1)
x3 x2 x
x3 x 2 x
x 3x 2
t(t 0) thì (1)
x3 x 2 x
1
1 3t 2 2t 0 t 1 x2 3x 2 x3 x 2 x x3 4x 2 0(2)
3
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x 2 . Kết luận nghiệm S 2;
2
Đặt
Bài 23: Giải bất phương trình:
x 3 x2 x 4
2 23
x 1
x 1
Hướng dẫn: ĐK: x > -1
- Theo câu a ta có:
- Lại có
x3
x 1
x2 x 4
3,x 1.
x 1
2
x 1
x 1
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
(1)
x1,
2
ta được:
x1
2
2 2,x 1 (2)
x1
x 3 x2 x 4
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
2 2 3 , x 1
x 1
x 1
x 1
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là
Bài 24: Giải bất phương trình sau:
S 1;
1 2 x 2 x 2 3x 1
1 2 x x 1
1
2
x 0
x 0
Hướng dẫn: Điều kiện: x 2 3x 1 0
2
1 2 x x 1 0
2
x 1 3 3 1 (x 0) 1 2 x 2 x 1 0
- Ta có 2 x x 1 2
2 4
- BPT
2
x x2 x 1
x2 3x 1
1
1
1 x 1 x 3 (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình)
x
x
1
- Đặt x t t 2 vì x 0 .
x
13
- Ta có 1 t 1 t 3 2 t 1 3 t
4
Trang 9
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
- Suy ra 2 t
13
1 13
2x
4
x 4
x 1 2
x 12 0
13 105
13 105
x
x
8
8
x 1 13
4x2 13x 4 0
x 4
Bài 25: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1
Bất phương trình đã cho tương đương với
x 3 x 2 x 2 11x2 12x 10
x 9(x 2 x 2) 6 x(x 1)(x 2) 11x2 12x 10
6 (x 2 x)(x 2) 2x 2 2x 8 3 (x 2 x)(x 2) x 2 x 4
3 x 2 x. x 2 x 2 x 2(x 2)
a
x2 x
Đặt
b x 2
(a,b 0) ta được BPT 3ab a 2 2b2 (a b)(a 2b) 0
5 57
2 x x 2
2 2x 2 0
x
x
x
a b
2 x 5 57 (do x 1)
- TH1:
2
2
2
5 57
a 2b x x 4x 8 x 5x 8 0
x
2
2
2
a b
x x x 2
x 2x 2 0
- TH2:
1 3 x 1 3 1 x 1 3 (do x 1 )
a 2b x2 x 4x 8 x2 5x 8 0
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 5 57 ; 1;1 3
2
x
Bài 26: Giải bất phương trình log 1 4 4 log1 2 x
1 3 log2 2 .
x
2
2
Hướng dẫn:
log 1 4x 4 log 1 2x1 3 log2 2 x
log 1 4x 4 log
2
log
2
2
2
1
4
x
4 log
2
1
2
2
x1
3 log 2 x
2 x1
3.2x
1
2
1
2
4x 4 22 x1 3.2x
4x 3.2x 4 0
2x 1 L
x 2
2x 4
Vậy BPT có tập nghiệm: S = 2;
Trang 10
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bài 27: Giải bất phương trình 2.14x 3.49x 4x 0
x
2x
7
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4 được bpt 27 3 1 0
2
2
t 1
x
1
7
2
t
t
Đặt
(với t > 0). BPT trở thành 3t + 2t – 1 0
1
t
2
3
3
x
x
7 1
x log 7 3 . KL: BPT có tập nghiệm S
2 3
2
log 7 3 ;
2
Bài 28: Giải bất phương trình 4x 2x 1 45x3 75x2 30x 4(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện x 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với
2
4x 2x 1 4x 45x3 75x2 34x 4 0
4x( 2x 1 1) (x 1)(45x2 30x 4) 0
4x(2x 2)
(x 1) 5(3x 1)2 1 0
2x 1 1
4x
(x 1)
5(3x 1)2 1 0(1)
2x 1 1
4x
1
1
- Nhận xét
5(3x 1)2 1 5(3. 1)2 1 0,x nên (1) x 1 0 x 1
2
2
2x 1 1
1
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S = ;1
2
Bài 29: Giải bất phương trình: log2 (x 2) log0,5 x 1.
Hướng dẫn: Điều kiện: x 2 .
log 2 x 2 log 2 x 1 log 2
x2
x2
1
2
x
x
x 2 2x x 2 .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x 2 .
Bài 30: Giải bất phương trình: x x 2 x3 4x 2 5x x3 3x2 4 .
Hướng dẫn:
Cách 1: BPT
x x 2
2
x x 2 1
(x 2) | x 2 | x 1 x 1
* x 2 : (1) 0 2 2 (loại).
* x 0 : (1) 2 2 (loại).
x 22 (x 1)
x 2 2 1 .
x 0 .
(1)
Trang 11
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x 22 1
x 1 x 1
* x 2 : (1) (x 2) 1
1
1
1
x.(x 2) 0 ta được: (1) 1 1
1
2 .
x
x x 2
x 2
- Chia 2 vế cho
- Xét hàm f (t) t 1 t 2 ,t 0 f '(t) 1
1 t 2
0 t 0 f (t) đồng biến
1
x 2 x x2 5x 4 0 x 4; x 1.
x x 2
- Kết hợp x 2 x 4 .
* 0 x 2:
x 22 1 .
(1) (x 2) 1 x 1 x 1
1
1
1
1
1
1
- Chia 2 vế cho x.(x 2) 0 ta được: (1)
2 .
x x 2
x
x 2
t 0 , (1)
1
t
- Xét hàm f (t) t 1 t ,t R f '(t) 1
2
t
1 t 2
1 t2 t
1 t 2
0 t f (t) đồng
1
biến t . Từ đó (1) 1 1 . Trường hợp này vô nghiệm vì
0.
x 2
x x2
Đáp số: x 4 .
Cách 2: ĐK x 0
+ x 0 không là nghiệm. Xét x 0 :
+ (1)
x 2
x 1
x 2 5x 4
x3 4x 2 5x x3 3x2 4
x 1
x 1
f (x) x 4
0.
3
2
3
2
x
2
x 4x 5x x 3x 4
x 1
x 1
x 2
x3 4x 2 5x x3 3x2 4
Nếu x 1 thì g(x) 0 .
+ Xét g(x)
+ Nếu 0 x 1: x 1 1
x3 3x2 4
x 1 1 . Ta có:
x 1 x 22
x2
x 1
x2
x 1
2 x2
1
2
(1)
x 1 x 2 2 x
x3 4x 2 5x x3 3x2 4 2 x
1 x
1 x 1 x 1
1 x
x3 4x 2 5x x3 3x2 4 2 x 2 2x x 2 2x 2
x 1
1
(2).
2
x3 4x 2 5x x3 3x2 4
Trang 12
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Từ (1) và (2) suy ra g(x) 0 x 0 .
+ f (x) 0 x 4 0 x 4 . Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x 4 .
Bài 31: Giải bất phương trình
x3 8 x3 2x 2 9 x 1(x R)
x3 8 0
x 2
Hướng dẫn: Điều kiện: x3 2x 2 9 0
x 3
2
(x 3)(x x 3) 0
x 1 0
Bất phương trình đã cho tương đương với
x3 8 x3 2x 2 9 x 1 2 (x 3)(x2 x 3)(x 1)
2x 2 x 2 (x 3)(x 1). x 2 x 3
x 2 2x 3 2 x 2 2x 3. x 2 x 3 x 2 x 3 0
( x 2 2x 3 x 2 x 3) 2 0 x 2 2x 3 x 2 x 3
x 2 2x 3 x 2 x 3 x 2
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 32: Giải bất phương trình : log 1 log 2 (2 x2 ) 0 (x R) .
2
Hướng dẫn:
2
2
- Điều kiện: log2 (2 x ) 0 2 x 1 1 x 1
1 x 1
1 x 1
1 x 1
2
- Khi đó log 2(2 x ) 1
2
2
2 x 2
x 0
x 0
Vậy tập nghiệm bpt là S (1;0) (0;1)
Bài 33: Giải bất phương trình: x 2 5x 4 1
x(x 2 2x 4) (x R).
1 5 x 0
Hướng dẫn: ĐK: x(x 2 + 2x − 4) ≥ 0
x 1 5
4 x(x2 2x 4) x2 5x 4 4 x(x 2 2x 4) (x 2 2x 4) 3x (**)
+ TH 1: x 1 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) 4
- Đặt t
x2 2x 4 x2 2x 4
3
x
x
x2 2x 4
, t 0 , ta có bpt: t 2 4t 3 0 1 t 3
x
x2 7x 4 0
x2 2x 4
1 17
7 65
1
3
x
x
2
2
x2 x 4 0
+ TH 2: 1 5 x 0 , x2 5x 4 0 , (**) luôn thỏa
Trang 13
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
1 17 7 65
Vậy tập nghiệm bpt (*) là S 1 5;0
;
2
2
Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 :
m x2 2x 2 1 x( 2 x ) 0
Hướng dẫn: Đặt t x2 2x 2 dox[0;1 3] nên t 1;2
- Bất phương trình trở thành: m
- Khảo sát hàm số g(t)
- Ta có: g'(t)
2
t 2t 2
(t 1)2
t2 2
t 1
2
t 2
với t 1;2
t 1
0 . Vậy g(t)
2
t 2
đồng biến trên 1;2
t 1
Maxg(t) g(2) 2
3
- Từ đó: m
2
t2 2
2
có nghiệm t [1,2] m max g(t) g(2) . Kết luận: m
t 1
3
3
t1;2
Bài 35: Giải bất phương trình 2x 2 5x 6 7x 11 4x 9(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện x 6
5
+ Bất phương trình đã cho tương đương với
2x 2 2x 4 5x 6 (x 2) 7x 11 (x 3) 0
x2 x 2
x2 x 2
0
5x 6 x 2
7x 11 x 3
1
1
(x 2 x 2)(
2) 0(1)
5x 6 x 2
7x 11 x 3
6
1
1
1
1
2,x
+ Nhận xét
5
5x 6 x 2
7x 11 x 3 2 6
13
6
3
5
5
5
2
+ Do đó (1) x x 2 0 (x 1)(x 2) 0 1 x 2 . Kết luận nghiệm -1-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
x 2 x 2 2 x3 2x 2 x 2 (x 2 1) 3x 6 0
Trang 14
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x 2 x 2 2 (x 2 1)(x 2 3x 6
x2 x 2
x2 x 2 2
(x 21)(x 2 x 2)
0
x 2 3x 6
1
x 2 1
0(1)
x 2 x 2 2 x 2 3x 6
(x 1)(x 2)
2
1
x 1
Ta có (x 2)
0, x 2 x 1 0 x 1.
2
x x 2 2 x 2 3x 6
Kết luận x 1
Bài 37: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
2x 5 3x 2 4x 1 5x 6
2x 5 4x 1 3x 2 5x 6 0
1
1
(2x 4)[
] 0
2x 5 4x 1
3x 2 5x 6
x 2
3x
1
Bài 38: Giải bất phương trình
.
1
1 x2
1 x2
Hướng dẫn: Điều kiện x 1. Bất phương trình đã cho tương đương với:
x2
1 x2 x2
3x
3x
1
2 0 (1)
1 x2
1 x2
1 x2
1 x2
+ Đặt t
t 1
, khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 3t 2 0
1 x2
t 2
x
+ Với t < 1 thì
x
1 x
2
1 x 1 x2 (2)
* 1 x 0 :bất phương trình (2) đúng
* 0 x 1: bất phương trình (2) x2 1 x2 0 x
2
2
2
Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 1;
2
+ Với t > 2 thì
x
1 x
2
2 x 2 1 x2 (3)
x 0
2 5
* Bất phương trình (3) 2
x
2
5
x 4(1 x )
2 5
Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S2
;1
5
Trang 15
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2 2 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1 S2 1;
;1
2 5
Bài 39: Giải bất phương trình:
(3x 1)3 2x 2 5x 1(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1
3
+ Bất phương trình đã cho tương đương với
(3x 1)( 3x 1 2x) 2x 2 5x 1 2x(3x 1)
(3x 1)( 3x 1 2x) 4x2 3x 1
(3x 1)( 3x 1 2x) ( 3x 1 2x)( 3x 1 2x)
( 3x 1 2x)( 3x 1 x 1) 0(1)
1
+ Ta có 3x 1 x 1 0,x nên
3
(1) ( 3x 1 2x)x(x 1) 0 ( 3x 1 2x)x(x 1) 0(2)
3x 1 x 1
Xét hai trường hợp xảy ra
x 0
x 1
x 0
+) Với x(x 1) 0
thì (2) 3x 1 2x x 0
x 1
0 x 1
x 0
2
4x 3x 1 0
0 x 1
+) Với x(x 1) 0 0 x 1 thì (2) 3x 1 2x 2
x
4x 3x 1 0
Kết luận nghiệm S 1 ;
3 1
Bài 40: Giải bất phương trình 2x( 3x 5 4x 3) 15 5 2x 9,(x R)
2x 9 3
Hướng dẫn: Điều kiện x 5 . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với
3
2x( 3x 5 4x 3) 5( 2x 9 3)( 2x 9 3)
2x( 3x 5 4x 3) 5.2x 3x 5 4x 3 5
7x 8 2 12x2 29x 15 25 2 12x2 29x 15 33 7x
33
33
5
5
33
5
5
x
x
x
3
3
7
3
7
7
x3
3
2
2
2
4(12x 29x 15) (33 7x)
x 346x 1029 0
x 343 x 3
5
Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là x 3
3
Bài 41: Giải bất phương trình : x 1 x 2 5 x x 2 1
Hướng dẫn:
x 1 : lo ạ i
Trang 16
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x 2 x 1
1
1
x2 5 x
x 2 5 x
x 1
x 1
x 1
5
1
5x 1 x 2 5 x 4x 5 x 2 5
2
x
1
x 5 x
x 1: x 2 5
x 5
x 2
4
2
15x 40x 20 0
Vậy : x > 2
Bài 42: Giải bất phương trình : x2 x. 2x 1 x3 2x 1
Hướng dẫn: ĐK: x 1
2
x 2x 1 0
2x 1 x 0vi x 2x 1 0
x 1 2;
BPT 2x 1 x
2
2
Bài 43: Giải bất phương trình: log
0,2
x log (x 1) log (x 2) .
0,2
0,2
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*).
log
0,2
x log (x 1) log (x 2) log (x 2 x) log (x 2)
0,2
0,2
x2 x x 2 x
0,2
2 (vì x >0).
Vậy bất phương trình có nghiệm x
2.
Bài 44: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*)
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
+ x > 0 chia 2 vế BPT cho
- Đặt t x
x ta được:
x2 20x 4
x 2x 4
2
4
x 20 1 2 x
x
x
2
4
x t2 4
x
x
Bất phương trình thành:
Với t 3 ta có:
0,2
x
t 1
t 16 2t 1 2
t 3
t 2 16 4t 2 4t 1
2
2
3 x 4;0 x 1
x
Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S
Bài 45: Giải bất phương trình:
0;1[4;]
300x2 40x 2 10x 1 310x
0
1x 1x2
Trang 17
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Hướng dẫn: Điều kiện: 1 x 3
10
- Ta có:
10
1 3
1 x 1 x 2,x ; (Theo BĐT Bunhia)
10 10
Bpt 300x2 40x 2 10x 1 3 10x 0
( 10x 1 1) ( 3 10x 1) 300x2 40x 4
10x 2
2 10x
(10x 2)(30x 2)
10x 1 1
3 10x 1
1
1
(10x 2)
30x 2 0 (*)
3 10x 1
10x 1 1
1
1
f (x)
30x 2
10x 1 1
3 10x 1
5
5
1 3
f '( x)
30 0, x ( ; )
2
2
10 10
10x 1( 10x 1 1)
310x ( 3 10x 1)
1 3
1 3
- Mặt khác f ( x) liên tục trên [ ; ] nên f ( x) nghịch biến trên [ ; ]
10 10
10 10
3
1
f ( ) f ( x) f ( ) 0 ( Hs có thể đánh giá)
10
10
1
- Do đó bất phương trình (*) 10x 2 0 x
5
1
3
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: x
5
10
(
)
Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x2 + 5x + 3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x+ 2 = a2 −b2
2x + 3 = a
Đặt x + 1 = b
⇒ 2x 2 + 5x + 3 = ab .
a,b ≥ 0
1= a2 − 2b2
Bất phương trình trở thành:(a2 −b2 )(a − 2b) + ab ≥ a2 − 2b2
⇔ (a 2 −b2 )(a − 2b) +b(a +b) − (a2 −b2 ) ≥ 0
⇔ (a −b)(a − 2b)−(a − 2b) ≥ 0 (do a +b > 0)
⇔(a − 2b)(a −b −1) ≥ 0
x ≥ −1
TH1:
2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0
2x + 3 − x + 1 −1 ≤ 0
x≥ −1
⇔ x≥ −
1
2
−1≤ x ≤ 3
⇔−
1
≤ x≤3
2
Trang 18
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x≥ −1
x ≥−1
TH2: 2x + 3 − 2
x+1≥0
⇔x≤ −
1
2
x≤ −1; x ≥ 3
2x + 3 − x + 1 −1 ≥ 0
⇔x = −1
1
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
2
Bài 47: Giải bất phương trình
x 1 x2 2 3x 4x 2 .
Hướng dẫn:
x 0
0 x 1
3 41
2
Điều kiện: 1 x 0
.
3 41
3 41 0 x
8
x
2
8
8
2 3x 4x 0
(*)
Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 x2 2 x(1 x2 ) 2 3x 4x 2 3(x2 x) (1 x) 2 (x x2 )(1 x) 0
5 34
x
x2 x
x2 x
x2 x 1
9
3
2
1 0
9x 2 10x 1 0
1 x
1 x
1 x
3
5 34
.
x
9
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34 x 3 41.
9
8
Bài 48: Giải bất phương trình 5x 2 5x 10 x 7 2x 6 x 2 x3 13x2 6x 32 .
Hướng dẫn:
Điều kiện x 2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x2 5x 10)
x 7 3 (2x 6)
(5x2 5x 10)
x 2 2 3(5x2 5x 10) 2(2x 6) x3 13x2 6x 32
x 7 3 (2x 6)
5x 2 5x 10
x 2
x 73
x 2 2 x3 2x2 5x 10 0
x2 5 0 (*)
x22
1
1
và vì 2x 6 0
+ Do x 2 x 2 2 2
x2 2 2
2x 6
2x 6
x 3 (1)
2
x 2 2
1
1
và vì 5x2 5x 10 0 xℝ
+ Do x 2 x 7 3 5 3 5
x7 3 5
2
2
5x 5x10 5x 5x10
5x 2 5x10
x2 5 x 3 (2)
x 2 x 2
5
x7 3
x 7 3
2
5x 5x 10
2x 6
Từ (1) và (2)
x 2 5 0 . Do đó (*) x 2 0 x 2
x 73
x2 2
Kết hợp điều kiện x 2 2 x 2.
2x 6
Trang 19
- Xem thêm -
.PDF 
21 
508 
54 
