Bài giảng Toán 12
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
KIỂM TRA BÀI CŨ:
Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa trục toạ độ?
Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
Trả lời:
Câu1: Trục toạ độ là một đường thẳng trên đó đã xác định
một điểm O gọi là điểm gốc và một véc tơ đơn vị i.
Ký hiệu: (O; i )
x’
i
O I
Ta lấy điểm I sao cho OI i .
x
Tia OI còn được ký hiệu là Ox,tia đối của Ox là Ox’. Khi đó trục (O; i ),
còn gọi là trục x’Ox hay trục Ox.
KIỂM TRA BÀI CŨ:
Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
r r Trả lời:
r
r
Hệ trục toạ độ O; i, j gồm hai trục O; i và O; j vuông
góc với
r
nhau. Điểm gốc O của hai trục gọir là gốc toạ độ. Trục O; i gọi là
trục hoành, kí hiệu là Ox. Trục O; j gọi là trục tung, kí hiệu là Oy.
(
)
( )
( ) ( )
( )
r r
rr
Các vectơ i, j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i = j = 1
.
rr
Oy là trục tung
Hệ trục toạ độ O; i, j còn được kí hiệu là Oxy.
(
)
y
j
Chú ý: Mặt phẳng trên đó đã
cho một hệ trục toạ độ Oxy
được gọi là mặt phẳng Oxy
o
Điểm O là gốc
toạ độ
i
x
Ox là trục
hoành
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hệ toạ độ trong không gian
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Trụ sở liên hợp quốc tại New York
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
z’Oz là trục cao
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ : Định nghĩa (SGK)
Ký hiệu: Oxyz.
+) Điểm O được gọi là gốc toạ độ .
+) Trục x’Ox được gọi là trục hoành.
+) Trục y’Oy được gọi là trục tung.
+) Trục
z’Oz
r được gọi là trục cao.
Điểm O là
gốc toạ độ
r
+) i , j , k là ba véc tơ đơn vị đôi một
vuông góc, ta có:
r2 r 2 r 2
rr r r rr
i = j = k = 1 , i. j = j .k = k.i = 0
+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn
được gọi là không gian Oxyz.
z
r
k
y’
i
O
x’
r
j
z’
x
x’Ox là trục hoành
y’Oy là trục tung
y
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ
Hoạt động
1: Trong không gian Oxyz cho một điểm
Hãy phân
M.
tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho trên
các các trục Ox; Oy; Oz.
Lời giải
z
Gọi K, H, N lần lượt là hình chiếu của M
N z
lên các trục Ox, Oy, Oz.
Ta cã
OM
OE ON
uuu
r
uuu
r
uuu
r
OE OH
OK
Biểu
OK diễn
x.i,OM
OH theo
y. j ,OE
ON và
zON
.k ?
Biểu diễn: uuur
uuu
r
uuur
r
r
r
r
uuu
r
uuu
r
) OK
OE
Biểu
diễn
theoi,OK
và OH ?
+
i
theo
?
j,
k
?
OM
Biểu
diễn
theo
Vậy OM uuu
OK
r OHr ON
+ ) OH theo
j ?
uuu
ri y. j r z.k
x
.
+ ) ON theo k ?
M
k
O
i
K
x
x
H
y
j
E
y
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
2) Toạ độ của một điểm.
O M x .i y . j z . k
ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn
gian
Oxyz
cho
gọi làTrong
toạ độkhông
của
hệcó
trục toạ độ Oxyz.
Vớiđiểm
bộ
3Msố
(x;
y; z)
đối
với
i, j, k M
M và
3 nhiêu
vectơ
không
Viết điểm
M(x;y;z)
hoặc
M=
(x;y;z).
z
bao
điểm
thoả
đồng phẳng.
O Mbao
nhiêu
x .i y .bộ
j 3z .k ?
mãnCó
N z
số (x;
y;z) thoả
mãn:
Nhận xét: x; y; z là toạ độ tương
ứng của các
O M x .i y . j z .k ?
điểm K; H; N. Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz
O
i
K
x
x
M
k
H
y
j
E
y
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
2) Toạ độ của một điểm.
Ví dụ1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz.
a) Cho OM 2i 5 j k , ON 2k j
Xác định toạ độ của các điểm M, N?
b) Cho ®iÓm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1)
H·y biÓu thÞ OM, ON vµ OP theo c¸c vect
nv
Giải:
a) M(2;5;-1);
O N 2.k j 0. i 1. j 2.k
Vậy N(0;-1;2)
b ) OM 2 i , ON 2 j k , OP 3 i 2 j k .
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Em hãy nêu định lý về
biểu diễn một vectơ theo
3 vectơ không đồng
phẳng?
§.¸n: Trong kh«ng gian cho 3 vect¬ a, b, c kh g ng ph g.
Khi v m vect x ta u b 3
sè m, n, p sao cho
x =ma+nb+pc. Ngoµi ra bé 3 sè m, n, p lµ duy nhÊt.
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ
nh ngh : Trong kh g gian Oxyz cho ve ct a, khi lu t t duy nh b 3
sao cho a= a1 i + a2 j + a3 k. Ta gäi bé 3 sè (a1; a2 ;a3 ) l to c vect a i v
hto Oxyz . ViÕt a=(a1; a2 ;a3 ) hoÆc a(a1; a2 ;a3 )
NhËn xÐt:
)Trong h to Oxyz, to c
M
Ta cã: M= (x;y;z) OM = (x;y;z).
) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)
) 0 (0;0;0).
sè (a1; a2 ;a3 )
l to c vect OM.
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ
Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình
hộp
chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’
có đỉnh A trùng với gốc O, cóAB , AD, AA ' theo thứ
i, j , k
tự cùng hướng
với
và có AB = a, AD =b, AA’ = c. Hãy tính toạ
độ các vectơAB, AC, AC', AM
với M là trung điểm của C’D’.
Giải: Ta có:
) AB ai, AD b j, AA' ck AB a;0;0.
) AC AB AD ai bj AC a; b;0.
A’
z
) AC' AB AD AA' ai bj ck AC' a; b; c.
B’
) AM AD ' D ' M AD AA ' D ' M
c
1 1
A
AD AA ' AB bj ck ai.
a O
2
2
1
AM a; b; c .
2
B
x
D’
C’
M
D
b
y
C
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kiến thức cũ
Trong mặtphẳng
với hệ trục toạ độ Oxy cho a (a1; a 2 ), b (b1; b 2 )
Ta có: 1) a b (a1 b1; a 2 b 2 )
2) a b (a1 b1 ; a 2 b 2 )
3) k.a (ka1 ; ka 2 ), k
a1 b1
4) a b
a 2 b 2
5) V b 0, a c g ph ng b
k
: a kb
1 ,a 1 kb
2 .
2
6) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) th×
AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ).
To trung
M c AB: M(
xA + xB yA + yB
;
)
2
2
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai
vectơ
Ta có: 1) a b (a1 b1 ; a 2 b 2 ;a 3 b3 ).
2) a b (a1 b1 ; a 2 b 2 ;a 3 b3 ).
3) ka (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k
Hệ quả:
a (a1; a 2 ;a 3 ), b (b1;b 2 ;b3 )
a1 b1
1) a b a 2 b 2
a b
3
3
2) V b 0, a c g ph ng b
k
: a kb
1 ,a 1 kb
2 ,a 2 kb
3
3)Trong k/g víi hÖ Oxyz cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B ) th×
) AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).
+) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : M(
3.
x A x B yA yB z A z B
;
;
)
2
2
2
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Củng cố: Qua bài học cần nắm được các kiến thức trọng tâm sau:
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Định nghĩa hệ toạ độ
2)Toạ độ của một điểm.
Bộ
ba
số thực
(x;y;z)
thoả mãn
OM x .i y . j z .k
gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ
trục toạ độ Oxyz. Viết M(x;y;z) hoặc
M = (x;y;z).
3) Toạ độ của véc tơ
r
r
a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) Û a ( a1 ; a 2 ; a 3 )
r
r
r
r
Û a = a1 i + a 2 j + a 3 k
II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý: Trong không gian
Oxyz cho hai vectơ
a (a1; a 2 ;a 3 ), b (b1;b2 ;b3 )
Ta có:1) a b (a b ; a b ; a b ).
1
1
2
2
3
3
2) a b (a 1 b 1 ; a 2 b 2 ; a 3 b 3 ).
3) k a (ka 1 ; ka 2 ; ka 3 ), k
Hệ quả:
a1 b1
1) a b a 2 b 2
a b
3 3
2) V b 0, a c g ph ng b
k
sao cho a 1 kb 1 , a 2 kb 2 , a 3 kb 3.
3 )C h o A (x A ; y A ;z A ), B (x B ; y B ;z B )
A B = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).
T o tru n g
M c AB:
x + xB yA + yB zA zB
M( A
;
;
).
2
2
2
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu hỏi thảo luận
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
Cho A(1; 2; 3), B(1;3; 4),C(5;0; 1).
1
Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ: AB, AC, v 3AB AC.
2
Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC
CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Đáp án: a) AB ( 2;1; 1), AC (4; 2; 2)
1
1
3AB ( 6;3; 3), AC (2; 1;1), v 3AB AC ( 8; 4; 4).
2
2
3 5
b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: M(2; ; )
2 2
Hai véc tơ AB, AC cùng phương vì AC 2.AB
Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Công việc về nhà:
Ôn tập lý thuyết
Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68
Nghiên cứu phần III, IV SGK.
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hệ trục tọa độ như ta đã học còn được gọi là hệ trục tọa độ Đêcac
vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó.
Một vài nét về nhà toán học Đêcac
Đêcac (Descartes) sinh ngày 31/03/1596 tại
Pháp và mất ngày 11/02/1650 tại Thụy Điển.
Đêcac đã có rất nhiều đóng góp cho toán học.
Ông đã sáng lập ra môn hình học giải tích. Cơ sở
của môn này là phương pháp toạ độ do ông phát
minh .Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng
ngôn ngữ và phương pháp của đại số.
Các phương pháp toán học của ông đã có ảnh hưởng
sâu sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau
này.
1
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Một vài nét về nhà toán học Đêcac
17 năm sau ngày mất ,ông được đưa về Pháp và
chôn cất tại nhà thờ mà sau này trở thành điện
Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ của các danh
nhân nước Pháp.
Tên của Đêcác được đặt tên cho một miệng núi
lửa trên phần trông thấy của mặt trăng.
XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN CÁC
THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÁC THẦY (CÔ) VÀ CÁC EM
HỌC SINH
Xin chào và hẹn gặp lại !
- Xem thêm -
.PDF 
19 
373 
96 
