Tài liệu Chinh phục bài tập tổ hợp – xác suất và số phức-lovebook

Chinh phục bài tập Tổ hợp xác suất và số phức Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn ........................................... sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành. Lời chúc & kí tặng .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ............... LOVEBOOK.VN Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty. GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC Sách dành cho:        Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo và độc đáo. NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011 Fax: (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc – Tổng biên tập: TS. PHẠM THỊ TRÂM Biên tập: Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN Đối tác liên kết xuất bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội SÁCH LIÊN KẾT CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC Mã số: 1L – 160 ĐH2015 In 1000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm tại Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội Số xuất bản: 2592 – 2014/CXB 34/ĐHQGHN, ngày 15/09/2015 Quyết định xuất bản số: 5783/CXBIPH-QLXB, ngày 15/09/2015 In xong và nộp lưu chuyển quý III năm 2015. Tác giả Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Lovebook.vn LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH 𝐅𝟏 (T1/2015) TRẦN TRÍ KIÊN – PHAN NGỌC ĐỨC NGUYỄN VĂN SƠN II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN 1. TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)  Sinh nhật: 23/09/1995  Facebook: https://www.facebook.com/Tran.Tri.Kien.1  Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp) - Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2013; - Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ.  Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên Hoà, Hà Nam. Trần Trí Kiên  Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành Kinh Tế Đối Ngoại. 2. PHAN NGỌC ĐỨC  Sinh nhật: 11/09/1996  Facebook:  Thành tích: - Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12).  Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành phố Pleiku,tỉnh Gia Lai.  Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân. Phan Ngọc Đức Tác giả Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Lovebook.vn 3. NGUYỄN VĂN SƠN  Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2014.  Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An.  Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông tin Đại học Bách Khoa Hà Nội. Nguyễn Văn Sơn MỤC LỤC PHẦN I: PHÉP ĐẾM A. LÝ THUYẾT I. Lý thuyết cơ bản 1. Quy tắc đếm 2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp II. Lý thuyết mở rộng 1. Nhắc lại một số kiến thức về tập hợp 2. Quy tắc cộng tổng quát 3. Hoán vị có lặp 4. Hoán vị vòng quanh B. PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI I. Quy trình 4T II. Các phương pháp tư duy lập sơ đồ công việc 1. Phương pháp đếm trực tiếp 2. Phương pháp đếm phần bù 3. Phương pháp láy trước rồi sắp xếp sau 4. Phương pháp vách ngăn III. Các phương pháp đặc biệt nâng cao 1. Sử dụng các lý thuyết mở rộng 2. Mô hình hóa bài toán C. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH I. Dạng toán liên quan đến số học 1. Lập số với điều kiện về các chữ số 2. Lập số với điều kiện lớn hơn hay nhỏ hơn số cho trước 3. Tính tổng các số thỏa mãn điều kiện cho trước II. Dạng toán liên quan đến hình học III. Dạng toán chọn, chia từ tập hợp cho trước 1. Dạng toán chọn 2. Dạng toán chặn IV. Dạng toán xếp vị trí V. Một số bài toán phát biểu dưới ngôn ngữ tập hợp D. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP E. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TỔ HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 PHẦN II. XÁC SUẤT A. LÝ THUYẾT I. Lý thuyết cơ bản 1. Biến cố 2. Xác suất của biến cố 3. Các quy tắc tính xác suất II. Lý thuyết mỏ rộng 1. Quy tắc cộng xác suất tổng quát 2. Quy tắc tính xác suất có điều kiện (Nhân xác suất mở rộng) B. PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI I. Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất – quy về bài toán đếm II. Sử dụng các quy tắc xác suất C. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH I. Quy về bài toán đếm 1. Dạng toán với đồng xu, xúc xắc 13 13 13 13 15 16 16 17 19 20 22 22 24 24 28 32 33 35 35 37 41 41 41 49 56 57 61 61 65 68 70 71 90 96 96 96 96 97 98 98 99 99 101 101 105 108 108 108 2. Dạng toán liên quan đến số học 110 3. Dạng toán lấy (chọn) ngẫu nhiên 111 4. Dạng toán xếp vị trí 118 5. Một số bài toán xác suất khác 120 II. Sử dụng quy tắc tính xác suất 122 D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 127 E. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 141 PHẦN III. NHỊ THỨC NEWTON VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 146 A. LÝ THUYẾT 146 I. Hệ số nhị thức 146 1. Định nghĩa 146 2. Một số tính chất cơ bản 146 II. Công thức triển khai nhị thức Newton 147 1. Định nghĩa 147 2. Một số tính chất cơ bản 147 B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 148 I. Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển của nhị thức Newton 148 m 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong một khai triển nhị thức Newton 148 2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức 154 3. Tìm hệ số và các số hạng trong khai triển một nhị thức thỏa mãn điều kiện cho trước 161 II. Các dạng bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức tổ hợp có sử dụng nhị thức Newton 164 1. Phương pháp biến đổi đại số 164 2. Phương pháp thuần nhị thức Newton và xét giá trị riêng 173 3.2. Khai triển phức 184 4. Phương pháp đếm bằng hai cách 187 5. Phương pháp sử dụng đạo hàm và tích phân 192 III. Các bài toán về giải phương trình, Hệ phương trình, bất phương trình chứa hệ số nhị thức và các biểu thức tổ hợp khác 212 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 218 D. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 237 PHỤC LỤC, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI SAI PHÂN 240 I. Mở đầu 240 II. Cơ sở của phương pháp truy hồi sai phân 240 1. Một số ví dụ mở đầu 240 2, Phương pháp truy hồi sai phân 241 III. Bài tập ứng dụng 242 PHẦN IV. SỐ PHỨC 253 A. LÝ THUYẾT 253 I. Tổng quan 253 II. Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức 253 1. Dạng đại số của số phức 253 2. Măt phẳng phức 253 3. Số thực và số thuần ảo 253 4. Số phức liên hợp 254 5. Mođun và argumen 254 B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 255 Dạng 1. Thực hiện các phép toán trên tập phức C 255 Dạng 2. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện- Phương trình hệ phương trình đơn giản 256 Dạng 3. Chuyển một số phức sang dạng lượng giác Dạng 4. Sử dụng công thức Moivre để tính toán Dạng 5. Biểu diễn hình học Dạng 6. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Dạng 7. Tìm căn bậc hai của số phức – giải phương trình bậc 2 hệ số phức Dạng 8. Phương trình quy về phương trình bậc 2 Dạng 9. Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình trong tập phức Dạng 10. Bài toán liên quan đến cực trị Dạng 11. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Dạng 12. Căn bậc n và ứng dụng Dạng 13. Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng Dạng 14. Ứng dụng của số phức trong lượng giác Dạng 15. Ứng dụng của số phức trong tổ hợp Dạng 16. Ứng dụng số phức, công thức Moiver giải các bài toán khác C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP I. Đề bài II. Lời giải D. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI SỐ PHUWCSTRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 1. Về dạng lượng giác của số phức 2. Về số lượng các căn bậc n PHỤ LỤC: SỬ DỤNG MODE 2 GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC PHẦN I. KĨ NĂNG TÍNH TOÁN 1. Tính giá trị biểu thức 2. Thử đáp số 3. Dạng lượng giác của số phức 4. Tính nhanh căn bậc 2 của số phức bằng máy tính PHẦN II. TỔNG KẾT – BÀI TẬP ỨNG DỤNG 257 260 261 263 265 267 271 273 276 279 283 285 291 297 301 301 311 358 361 361 363 363 363 363 363 364 365 Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH F1 (T1/2015) TRẦN TRÍ KIÊN – PHAN NGỌC ĐỨC NGUYỄN VĂN SƠN II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN 1. TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)  Sinh nhật: 23/09/1995  Facebook: https://www.facebook.com/Tran.Tri.Kien.1  Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp) - Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2013; - Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ.  Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên Hoà, Hà Nam.  Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành Kinh Tế Đối Ngoại. Trần Trí Kiên 2. PHAN NGỌC ĐỨC  Sinh nhật: 11/09/1996  Facebook:  Thành tích: - Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12).  Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành phố Pleiku,tỉnh Gia Lai.  Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân. Phan Ngọc Đức 3. NGUYỄN VĂN SƠN  Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2014.  Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An.  Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông tin Đại học Bách Khoa Hà Nội. Nguyễn Văn Sơn LOVEBOOK | I Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission LỜI MỞ ĐẦU Các bạn cảm thấy: Những chuyên đề Tổ hợp – Xác suất, Số phức quá lạ lẫm, sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức ở mức cơ bản trong khi đó lại có quá ít sách tham khảo để tìm hiểu và luyện tập thêm?  Lý thuyết tổ hợp, xác suất thật trừu tượng và khó hình dung, dù đã đọc kỹ sách giáo khoa và nghe cô giảng rồi mà bạn vẫn không thể nắm chắc được chúng. Làm sao có thể học tốt được nếu như nền móng còn chưa vững?  Lý thuyết số phức thì không quá nhiều nhưng cách ứng dụng lại quá đa dạng phong phú, tìm nhiều sách, học nhiều nơi mà vẫn không thể tổng hợp được đầy đủ những phân dạng của nó.  Các thầy cô dạy ở trường cũng như ở các lớp ôn thi đều chỉ giảng qua hai chuyên đề này vì cho rằng chúng không quan trọng. Do vậy bạn chẳng có một định hướng nào một cách hệ thống khi gặp các bài toán ấy mà chỉ làm theo cảm tính! Trước tình hình các kì thi quốc gia có nhiều biến động, việc nắm chắc kiến thức ở tất cả các chuyên đề trong bộ môn Toán là rất quan trọng ⇒ bạn cần một tài liệu đầy đủ về Tổ hợp – xác suất, Số phức để tháo gỡ những vấn đề trên. Vì lẽ đó đó, chúng tôi dành tặng bạn cuốn "Chinh phục Tổ hợp – xác suất và số phức trong đề thi quốc gia"! Trong cuốn sách này bạn sẽ: 1. Hiểu sâu sắc và cặn kẽ về lý thuyết chuyên đề tổ hợp – xác suất. Qua quá trình quan sát các bài kiểm tra, bài thi của học sinh trung học phổ thông, chúng tôi nhận thấy rằng phần lớn các bạn còn khá mơ hồ về chuyên đề này, thậm chí là từ những kiến thức hết sức cơ bản. Do vậy những phần lý thuyết trình bày về tổ hợp – xác suất sẽ được viết theo không chỉ một mà nhiều cách khác nhau, với những ví dụ trực quan. Để từ đó những người thiên về não phải hay tưởng tượng mộng mơ đến những người thiên về não trái đề cao tính logic đều tìm cho mình một cách tiếp cận phù hợp đến những khái niệm, định lý, công thức. Không dừng ở mức giải thích cắt nghĩa, cuốn sách còn trình bày những đối tượng ấy trong một mối liên hệ tương quan chặt chẽ với nhau. 2. Tiếp cận một phương pháp giải toán tổ hợp – xác suất hoàn toàn mới – SƠ ĐỒ CÔNG VIỆC – một phương pháp được phát triển dựa trên việc kết hợp tư duy sáng tạo và tư duy logic, giúp thay việc diễn giải bằng lời truyền thống trong các bài giải, hướng dẫn, đôi khi quá rối rắm khó hiểu, bởi một cách diễn với những sơ đồ thể hiện mối liên hệ của các đối tượng trong bài toán. Có thể nói, sơ đồ công việc đã giúp chuyển đổi ngôn ngữ viết trở thành ngôn ngữ của tư duy. Những bạn học sinh khá và giỏi nhiều năm liền có thể sẽ gặp phải một chút khó khăn khi tiếp cận với phương pháp này nhưng chúng tôi tin là các bạn sẽ nhanh chóng làm quen và sử dụng được nó một cách hiệu quả. Với sơ đồ công việc, bạn sẽ có thể giải quyết phần lớn các bài toán đếm và xác suất trong đề thi quốc gia năm học tới. Vậy cụ thể phương pháp này là gì, hãy cùng tìm hiểu trong cuốn sách nhé. LOVEBOOK | II Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission 3. Được tổng hợp một cách đầy đủ các phân dạng của một bài toán số phức. Với cuốn sách này, việc tìm hiểu cặn kẽ một cách tổng thể về chuyên đề số phức không còn khó khăn nữa. Bởi chúng tôi không chỉ dừng lại ở mức liệt kê các dạng bài, mà còn phân tích kĩ từng dạng bài đó và cả những ứng dụng của số phức trong việc giải toán thuộc các chuyên đề khác cũng được trình bày một cách cẩn thận, với mục đích gợi mở tư duy của người đọc. 4. Được nâng cao và mở rộng. Những bạn đọc có hứng thú với các chuyên đề này cũng sẽ có cơ hội được tìm hiểu sâu thêm thông qua những bài toán nâng cao, những tư duy khác biệt được lồng ghép một cách tỉ mỉ vào trong cuốn sách, có thể chúng được trình bày riêng rẽ thành đề mục, cũng có thể được trình bày trong một bài toán, một lời nhận xét. Có thể những nâng cao và mở rộng đó chưa đủ để các bạn dự các kì thi học sinh giỏi nhưng chắc chắn sẽ giúp hiểu sâu hơn, chắc chắn hơn hai chuyên đề này. 5. Tiếp cận với một phương pháp giải toán số phức bằng máy tính bỏ túi thông qua phụ lục của chuyên đề số phức. Dù đây chỉ là một kĩ thuật nhỏ nhưng sử dụng máy tính bỏ túi hứa hẹn sẽ giúp các bạn rất nhiều trong qua trình giải toán và làm toán số phức. Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! LOVEBOOK | III Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission LỜI CẢM ƠN Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người. Gia đình luôn là điểm tựa vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay. Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về những kiến thức mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống. - Thầy Đào Quốc Huy – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam. Bằng vốn kiến thức sâu rộng của mình, kết hợp với phong cách giảng hóm hỉnh nhưng không kém phần sâu sắc, thầy đã truyền cảm hứng chi nhiều thế hệ học sinh. - Cô Nguyễn Thị Hiền – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam. Những giờ lên lớp của cô luôn là những giờ được học sinh mong chờ nhiều nhất bởi những bài giảng lôi cuốn, bổ ích ấy luôn luôn mang lại cho học sinh hiệu quả cao nhất trong học tập. Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các em học sinh đã tin tưởng và sử dụng sách của Gia đình Lovebook. Sự tin tưởng của các em học sinh là nguồn động lực lớn lao nhất để chúng tôi hoàn thiện cuốn sách này. Cảm ơn hai bạn cộng tác viên: bạn Nguyễn Bá Khánh Trình và bạn Bùi Nhật Quang vì những đóng góp của các bạn cho sự ra đời của cuốn sách này. Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy – Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách. Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!! LOVEBOOK | IV Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Cuốn sách được viết chia làm hai phần lớn ứng với hai chuyên đề Tổ hợp – xác suất và Số phức. Trong phần một, chúng tôi trình bày về Tổ hợp – xác suất với 3 chuyên đề nhỏ: phép đếm, xác suất và nhị thức Newton. Phần hai trình bày về số phức như là một chuyên đề riêng biệt. Mỗi chuyên đề được viết theo cấu trúc: Lý thuyết cơ bản; Phương pháp – dạng bài; và bài tập tự luyện. Riêng với phép đếm và xác suất, phần phương pháp – dạng bài được tách riêng làm hai phần. Sau đây là một số hướng dẫn mà các bạn nên làm theo trong quá trình sử dụng cuốn sách: 1. Về thứ tự đọc: Việc đọc cuốn sách này không có một thứ tự bắt buộc nào phải tuân theo cả. Tuy vậy, do những gì đã được trình bày ở trước sẽ không được trình bày lại trong các phần sau, đặc biệt là lý thuyết về tổ hợp cũng như phương pháp sơ đồ công việc nên tốt nhất các bạn nên đọc chuyên đề phép đếm đầu tiên trước khi đọc các chuyên đề xác suất và nhị thức Newton. Một cách đọc khác chúng tôi muốn gợi ý tới các bạn là bắt tay vào đọc phần mà mình thấy thú vị nhất đầu tiên, sau đó ghi lại những điều không hiểu và quay trở lại tìm hiểu ngay lập tức. Bằng cách đó, các bạn sẽ tìm thấy cảm hứng trong học tập được dễ dàng hơn. 2. Học một cách chủ động: Quá trình viết sách chúng tôi có đưa ra rất nhiều những ví dụ và bài tập (không phải bài tự luyện) kèm theo phân tích và nhận xét, để đạt được hiệu quả tối đa, mỗi khi đọc một ví dụ, các bạn nên đọc đề bài và chủ động làm ra nháp, sau đó so sánh với lời giải, đọc nhận xét và rút ra kinh nghiệm. Trong trường hợp chưa nghĩ ra ngay, các bạn có thể đọc phần phân tích phía trước lời giải (có ở đa số những bài tập hay và khó), qua đó định hướng để đưa ra lời giải của mình. NHỚ, đọc đề bài rồi xem ngay lời giải là hạ sách cuối cùng, cách làm đó sẽ khiến kiến thức trôi đi như nước đổ lá khoai. 3. Có một cuốn vở riêng: Dùng để ghi chú những kiến thức cần nhớ, và làm những bài tập tự luyện. Với việc ghi chú, tuyệt đối đừng chỉ dùng bút nhớ hay gạch chân trong sách, đó là kiểu ghi chú lười biếng. Kiến thức cần phải được diễn đạt lại bằng ngôn ngữ của bản thân người học thì mới có khả năng ghi sâu vào trong trí nhớ được. Bạn cũng nên sáng tạo cách ghi chú của riêng bản thân mình, đừng để bị gò ép vào một hình thức có sẵn nào cả. Về bài tập tự luyện: Nên trình bày logic khi làm bài, tính toán cẩn thận, đặc biệt là những bài tập hay hoặc những phần mà bạn cảm thấy dễ quên. Bằng cách cẩn thận ghi lại, bạn sẽ nhớ hơn rất nhiều những bài tập đó so với việc chỉ nháp ra ý tưởng. 4. Lập nhóm học tập: hay ít nhất là thường xuyên trao đổi về bài tập trong cuốn sách với bạn bè. Ý tưởng đơn giản nhất là hẹn bạn cùng đọc, ghi chú, làm bài tập trong một phần hay một đoạn của cuốn sách trong một khoảng thời gian nhất định, sau đó đổi vở ghi chép và cùng bàn luận về những phần mình chưa hiểu, những cái hay, những điều mà mình rút ra được. Việc này hoàn toàn có thể tận dụng khoảng thời gian ra chơi ở trường. Có bạn bè cùng học thì động lực và hiệu quả sẽ tăng lên rất nhiều. 5. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì? Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!! - Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn. - Hỏi thầy cô giáo trên lớp. - Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng. - Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/ Trên đây là một số hướng dẫn cho việc sử dụng cuốn sách để học tập và ôn luyện. Mong rằng các bạn sẽ đạt được những kết quả tốt với cuốn sách này! LOVEBOOK | V Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission Phần I: Phép đếm A. LÝ THUYẾT I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng. - Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án: Có n1 cách thực hiện. A1 ., n2 cách thực hiện..,…, nk cách thực hiện A k . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi tổng cộng n1 + n2 + n3 +. . . +nk cách. Ví dụ 1: Nam muốn đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng bằng một trong hai phương án: đi tàu hoặc đi ô-tô. Biết trong ngày có 3 chuyến tàu và 5 chuyến ô-tô. Tìm số cách để Nam thực hiện chuyến đi của mình. Lời giải: Số cách để Nam đi bằng một trong hai phương án tàu hoặc ô-tô là: 3 + 5 = 8 (cách). - Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Cho k tập hợp: A1 ; A2 ; A3 ; … ; Ak là các tập đôi một rời nhau. Biết |A1 | = n1 ; |A2 | = n2 ; … ; |Ak | = nk, khi đó |A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak | = n1 + n2 + ⋯ + nk . Để cho dễ hiểu hơn cách em có thể nhìn đơn giản như sau: Hình A1 có diện tích là n1 A1 Hình A2 có diện tích là n2 A2 Khi đó diện tích phần tô đậm là: n1 + n2 . A1 A2 Ví dụ 2: Nam có 2 chiếc hộp đựng kẹo. Hộp thứ nhất có 3 chiếc kẹo, hộp thứ hai có 5 chiếc kẹo. Hỏi Nam có tất cả bao nhiêu chiếc kẹo? Lời giải: Số kẹo mà Nam có là: 3 + 5 = 8 chiếc. Nhận xét: Đưa ra một bài toán “lớp 1” như vậy có vẻ thật ngớ ngẩn, tuy nhiên khi so sánh ví dụ 1 với ví dụ 2, các em sẽ thấy một sự tương đồng hoàn toàn giữa một bài “Đếm số cách làm” và một bài “Đếm số kẹo”. NX1: Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau ⇒ Chúng dễ tương tự như nhau ⇒ Chỉ cần nắm vững được những phương pháp tư duy hệ thống (sẽ được trình bày ở phần sau) thì các em hoàn toàn có thể làm được chúng một cách “dễ như ăn kẹo”. NX2: Hiểu được bản chất thông quan những ví dụ đơn giản nhất giúp ta làm được bài toán trong những trường hợp khó và phức tạp hơn. b) Quy tắc nhân. - Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 ; A2 ;...; Ak . Công đoạn có thể thực hiên theo. n1 .cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,… công đoạn có thể thực hiện theo n k cách. Khi đó, số cách để thực hiện công việc này là n1 n2 … nk cách. LOVEBOOK.VN | 13 Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission Ví dụ 3: An muốn từ nhà mình qua đón Bình rồi cả 2 cùng sang nhà Cường chơi. Hỏi A có bao nhiêu cách đi biết từ nhà An sang nhà Bình có 2 đường, từ nhà Bình sang nhà Cường có 3 đường. Lời giải: Số cách chọn đường từ nhà A sang nhà Bình là: 2 cách. Số cách chọn đường từ nhà Bình sang nhà Cường là: 3 cách. Vậy áp dụng quy tắc nhân, số cách đi của A là: 2.3 = 6 (cách) - Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk . Khi đó s A1 ố cách chọn (S) bộ gồm n phần tử (a1 ; a2 ; … ; an ) với ai ∈ Ai (1 ≤ A k i ≤ n) sẽ là: n S = |A1 . A2 . … . An | = m1 . m2 . … mn = ∏ mk k=1 - Để cho dễ hiểu, ta có thể hình dung qua trường hợp có 2 công đoạn như sau: 1 2 3 ⋮ 1 2 3 ⋮ ⋮ ⋮ … … … … m1 A1 ⋱ m2 A2 m1 . m2 Với chiều dài đại diện cho công đoạn A1 ; chiều rộng đại diện cho công đoạn A2 thì có tất cả m1 . m2 ô trong bảng. Ví dụ 4: Nam có 2 hộp đựng kẹo, mỗi hộp có 3 chiếc. Hỏi Nam có tất cả bao nhiêu chiếc kẹo? Lời giải: Nam có tất cả 2.3 = 6 chiếc kẹo. Nhận xét: Lại một bài toán lớp 1 nữa được đưa ra làm ví dụ, tuy nhiên, ta có một cách giải khác như sau: Số kẹo Nam có là: 3 + 3 = 6 (chiếc). So sánh với ví dụ 2, ta có thể thấy rằng quy tắc nhân có “bản chất cộng”. Điểm khác biệt duy nhất trong trường hợp này là số kẹo trong mỗi hộp bằng nhau (và bằng 3) nên thay vì 3 + 3 = 6 ta còn có thêm cách tính nữa là 2.3 = 6. Bất kì bài toán nào sử dụng quy tắc nhân đều có thể quy về làm bằng quy tắc cộng, chẳng hạn xét ví dụ sau: Ví dụ 5: Một tour du lịch lần lượt đưa khách xuất phát từ thành phố A đi qua các thành phố B, C và kết thúc ở thành phố D. Biết có 2 con đường nối từ A đến B, 4 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách hoàn thành tour? Lời giải (dùng quy tắc nhân): Có tất cả 2.4.3 = 24 cách hoàn thành tour. Lời giải (dùng quy tắc cộng): Số cách hoàn thành tour là: 3 cách từ C đến D (3+3+3+3)+(3+3+3+3)=24 cách 4 cách từ B đến C 2 cách từ A đến B LOVEBOOK.VN | 14 Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission Tuy vậy ta cũng thấy giải chỉ bằng quy tắc cộng quá dài dòng và phức tạp một cách không cần thiết, sử dụng quy tắc nhân là một sự rút ngắn khôn ngoan. Do vậy trong hầu hết các bài toán ta cần sử dụng kết hợp cả 2 phương pháp để giải. Ví dụ 6: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải: Xét 2 trường hợp: - TH1: chữ số tận cùng là số 0. Ta tiến hành lập các số thỏa mãn ycbt theo các bước: B1: Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn. B2: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn. B3: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 7.8.9 = 504 số thỏa mãn ycbt. - TH2: chữ số tận cùng khác 0. Vì đây là số chẵn nên chữ số tận cùng chỉ có thể thuộc tập {2;4;6;8}. Ta thực hiện lần lượt các bước: B1: Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn. B2: Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn (ngoại trừ số 0 và chữ số hàng đơn vị) B3: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn. B4: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 4.8.8.7 = 1792 số thỏa mãn ycbt. Vậy có tất cả 504 + 1792 = 2296 cố thỏa mãn ycbt. 2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp Hoán vị. - Cho tập hợp A có n phần tử (n > 0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của các phần tử của tập A (một hoán vị của A). Số các hoán vị của tập có n phần tử là: 𝑃𝑛 = 𝑛! - Với những ai chưa hình dung rõ về ngôn ngữ tập hợp thì có cách diễn đạt dễ hiểu hơn như sau: Có n đồ vật và n vị trí (có tính thứ tự) cho trước, số cách sắp xếp n đồ vật đó vào n vị trí đã cho là Pn  n! Ví dụ 7: Cho các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ các số đã cho? Lời giải: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅, trong đó a,b,c,d,e,f ∈ {1,2,3,4,5,6}. Gọi số cần lập là abcdef Số cách chọn chữ số a là: 6 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} ) Số cách chọn chữ số b là: 5 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a đã được chọn) Số cách chọn chữ số c là: 4 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a và b đã được chọn) Số cách chọn chữ số d là: 3 cách (…) Số cách chọn chữ số e là: 2 cách Số cách chọn chữ số f là: 1 cách. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ là: 6.5.4.3.2.1 = 6! = 720 ⇒ Số cách lập số abcdef Nhận xét: Đây cũng chính là cách chứng minh công thức của hoán vị Chỉnh hợp. Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi lấy ra k phần tử của A rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của A. Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử là: (với ) Ta có cách diễn đạt dễ hiểu hơn: LOVEBOOK.VN | 15 Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission Có n đồ vật và k vị trí (có tính thứ tự) cho trước (k≤n), số cách lấy ra k trong n đồ vật rồi sắp xếp k đồ vật n! đó vào k vị trí đã cho là A kn  (n  k )! Ví dụ 8: Cho các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho? Lời giải: ̅̅̅̅̅̅, trong đó a,b,c,d, ∈ {1,2,3,4,5,6} Gọi số cần lập là abcd Số cách chọn chữ số a là: 6 cách Số cách chọn chữ số b là: 5 cách Số cách chọn chữ số c là: 4 cách Số cách chọn chữ số d là: 3 cách ⇒ Số cách lập số ̅̅̅̅̅̅ abcd là: Nhận xét: Đây cũng là cách chứng minh công thức chỉnh hợp chập k của n phần tử. Tổ hợp. Cho tập hợp A có n phần tử. Mỗi tập con có k phần tử của A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k của một tập có n phần tử là: (với ) Ta có cách diễn đạt dễ hiểu hơn: Có n đồ vật và k vị trí (có tính thứ tự) cho trước (k≤n), số cách lấy ra k trong n đồ vật không kể thứ tự là n! Ckn  k !(n  k )! Ví dụ 9: Một lớp có 30 em học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 em bất kì? Lời giải: Số cách chọn ra 5 em là 5 C30 = 142506 (cách) Nhận xét: Cách chứng minh công thức tổ hợp sẽ được đề cập ở phần sau: (*) Chú ý quan trọng: Như đã so sánh ở phần trên giữa bài toán “đếm kẹo” với bài toán “đếm số cách làm”, các bài toán đếm có bản chất giống nhau. Trong một số trường hợp, người ta thường đếm số cách làm ra sản phẩm thay cho số sản phẩm. Muốn đếm như vậy thì ta phải hiểu rằng hai cách làm khác nhau sẽ tạo ra hai sản phẩm khác nhau. Chẳng hạn như ví dụ sau: Ví dụ 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? Lời giải: Gọi số thỏa mãn là ̅̅̅ ab với a, b là số chẵn (hay a, b ∈ {0; 2; 4; 6; 8}) Số cách chọn chữ số hàng chục a là: 4 cách (trừ số 0 ra) Số cách chọn chữ số hàng đơn vị b là: 5 cách. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5.4 = 20 (số). Nhận xét: trong bài toán trên, thực chất ta đã đếm số cách lập số thỏa mãn. Tuy nhiên ta có thể đồng nhất số cách lập số thoản mãn với số các số thỏa mãn vì mỗi cách lập cho ra một số khác nhau. II. LÝ THUYẾT MỞ RỘNG. 1. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập hợp Trước khi tìm hiểu các lý thuyết mở rộng về phép đếm, ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản cũng như kí hiệu trong toán tập hợp.  là biểu thị của tập hợp rỗng (không chứa phần tử nào). Do đó  là tập hợp con của mọi tập hợp. Tập A B gọi là “A hợp B”: là tập chứa tất cả các phần tử của A và của B LOVEBOOK.VN | 16