Tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng toán lớp 9 tham khảo (3)

Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức E = x 2  4 x 2  36 x 2  10 x  3 (với x là số tự nhiên) không là số nguyên. Giải Do x không là số tự nhiên nên: (4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1 < 36x2 + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + 4  4x + 1 < 36x 2  10x  3  6 x  2  (2x + 1)2 < 4x2 + 36x 2  10x  3 < 4x2 + 6x + 2 < (2x + 2)2  2x + 1 < 4x 2  36 x 2  10 x  3 < 2x + 2  x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 <  x+1< 2 2 4x 2  36 x 2  10 x  3 < x + 2x + 2 < (x + 2) x 2  4x 2  36 x 2  10 x  3 < x + 2  x + 1 < E < x + 2, giá trị của E nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp. Vậy E không phải là số nguyên. Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc  0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1  2 2    . 2 a b c a b c Giải 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 Ta có      2  2  2    = 2 2 2 + a b c ab bc ca a b c a b c 2(a  b  c) abc 2 1 1 1 1 1 1 Với abc  0 và a + b + c = 0, ta có      2  2  2 Suy ra a 1 1 1 1 1 1  2 2    2 a b c a b c b c a b c (đfcm) Bài 3: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: S= 1 1 1   là một số hữu tỉ. 2 2 (a  b) (b  c ) (c  a) 2 Giải Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 và a – b  0, b – c  0, c – a  0. Áp dụng kết quả bài 3, ta có 1 1 1 1 1 1     2 2 2 = a b b c c a (a  b) (b  c ) (c  a ) Do các số a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, nên S là số hữu tỉ. Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau: P = 1 1 1  + 22 32 1 1 1  +…+ 32 42 1 1 1  . 2 2014 20142 Giải Mỗi số hạng của tổng có dạng: Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT 1 1 1  2 = 2 (n  1) n 1 (n  1) 2  1 1 Ta có P = 1    +  2 3 1 1 1 1  (n = 3, 4 … , 2014) 2 = ( n) n 1 n 1 1   1 1   1    + … + 1    3 4  2013 2014  1 1 2012 Tổng có 2012 số hạng nên: P = 2012   = 2012 2 2014 2014 1  Bài 5: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  1  z 1 = 1  x  y  z 2 Giải 1 x  y 1  z 1 =  x  y  z  2 Từ Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được: (x - 2 x + 1) + (y - 1 - 2 y  1 + 1) + (z - 2 - 2 z  2 + 1) = 0     2 x 1    2 y 1 1   x 1  0 x 1  2  z  2 1   y 1  1   y  2  z  3   z  2 1  Vậy các số thực phải tìm là x = 1; y = 2; z = 3. Bài 6: Cho các số dương a, b, c với a  c,  Chứng minh rằng: b a Từ a + b =  a b c   c a c b a b a=  a b c 2 2 = a c b c Giải 2  a  b  c - b =  a  b  c =  a 2 b  c  a  c b =  a  b  c - a =  a  b  c =  2 a  b  c  b  c a a  c Thay a và b vào , b b  c  2 a 2 b 2 c  a  c a  c ta được: =  2 a 2 b 2 c  a  c b  c Suy ra c,a+b= 2 2 2 2 b 2 (b dương) a 2 (a dương) 2 2 (đfcm) Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a  b  c = 2. Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An  2 Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Chứng mnh rằng: a b c   = 1 a 1 b 1 c 2 (1  a )(1  b)(1  c) Giải Đặt x = a ; y = b ; z = c thì x2 + y2 + z2 = x + y + z = 2 (x + y + z)2 = 22  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22  2(xy + yz + zx) = 22 – 2 = 2  xy + yz + zx = 1 1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z) 1 + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x) 1 + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y) Do đó x y z a b c   =  x  y  x  z   y  z  y  x    z  x   z  y 1 a 1 b 1 c 2  xy  yz  zx  2 = x  y y  z x  z = (1  a)(1  b)(1  c) (đfcm)     3 Bài 8: Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn: a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2 = . 2 Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2 = 3 2 Giải Vì 1 – b  0; 1 – c  0; 1 – a  0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có: 2 2 2 a 2  1  b2 b2  1  c2 c2  1  a 2  a 1  b2 ;  b 1  c2 ;  c 1 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a 1 b b 1 c c 1 a Mà + + =  a 1  b2 + b 1  c 2 + c 1  a 2 2 2 2 2  a  1  b2  a2  1  b2   2 3  2 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:  b  1  c   b  1  c  a2 + b2 + c2 = 2   c2  1  a2 2   c  1  a Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3. 3 9 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x  y  3x  y Giải 3 9 27  6 (1) Áp dụng bđt Cosi ta có: x  y  2 xy 26 13 26 13 3x + y  2 3 xy  6  3x  y  3   3 x  y   3 (2) 3 9 26 3 9 26 13 5 Từ (1) và (2) suy ra: P = x  y  3x  y  6   P = x  y  3x  y  3 3 Vâ ây MinP =  3x  y  x  1( x  0) 5   khi  3  xy  3 y 3 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  4 x  1 4 x 3   2016 với x > 0. 4x x 1 Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Giải Với x > 0, ta có: 1 4 x 3 1 4 x 3   2016  (4 x  2  )  (4  )  2014 4x x 1 4x x 1 A  4x   1 1   4 x  4 x  1  (2 x ) 2  2.2 x    2014   x 1 2 x (2 x ) 2      (2 x  1 2 x )2  (2 x  1) 2  2014  2014 x 1 1  0 1 2 x  2 x  min A  2014    x 4  2 x 1  0  1 1 1 1    ....  1 2 2 3 3 4 120  121 1 1  ....  B = 1 2 35 Bài 11: Cho A = Chứng minh rằng: B > A Giải 1 1 1 1    ....  A = = 1 2 2 3 3 4 120  121 Ta có: = 1 2   1 2   1 2   2 3 2 3  2 3   ....   120  121 120  121 1 2 2 3 120  121   ....  1 1 1 = 2  1  3  2  .......  121  120 = - 1 + 11 = 10 1 2 2    2 k 1  k Với mọi k  N * , ta có: k k k k  k 1 1 1  ....  Do đó: B = 1  2 35  120  121 =    B  2  1  2  2  3  3  4  ...  35  36  2  (1)   1  36  2  1  6   10 Từ (1) và (2) suy ra: B > A Bài 12: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 4. 1 1 Chứng minh rằng xy  xz  1 Giải Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z) Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An  Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Mặt khác: 1 1 11 1 1 1   1   x do x dương. (*)    1 xy xz xy z y z Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có: 1 1 1 1   4   y  z  2 y  2 z  0  y z y z 2 2  1   1   y   z  0    z   y  Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: y = z = 1, x = 2. Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An