Tài liệu Chuyên đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức

I. QUAN HỆ SONG SONG 1. Hai đường thẳng song song  a, b  ( P ) a b   a  b   a) Định nghĩa: b) Tính chất ( P )  (Q)  ( R)   ( P )  (Q)  a   a, b, c ñoà ng qui a  b  c ( P )  ( R)  b ( Q )  ( R )  c   a b   a  b  a  c, b  c ( P)  (Q)  d   ( P)  a,(Q )  b   d  a  b d  a ( d  b)   a  b 2. Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P)  d  (P) =  b) Tính chất   d  (P )   d  (P ), d '  ( P )  d  (P ) d  d ' (Q)  d ,(Q)  ( P )  a d  a  ( P )  (Q )  d  d  a ( P )  a,(Q)  a 3. Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) =  b) Tính chất  ( P )  a, b   ( P )  (Q ) a  b  M  a  (Q), b  (Q)  ( P )  (Q )  ( P )  ( R)  (P )  (Q) (Q)  ( R )  (Q)  ( R)  ( P )  (Q)  a  a  b ( P )  ( R)  b 4. Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:  Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)  Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.  Áp dụng các định lí về giao tuyến song song. b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d  (P ) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào đó nằm trong (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 1 II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1. Hai đường thẳng vuông góc a) Định nghĩa: a  b   a , b   900 b) Tính chất  Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a  b  u.v  0 .  b  c  a  b a  c 2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc d  (P)  d  a, a  (P) a) Định nghĩa: b) Tính chất  Điều kiện để đường thẳng  mặt phẳng:  a, b  ( P ), a  b  O  d  (P )  d  a, d  b   a  b  (P )  b   a  b   a  (P )  b  a   a  (P ) a b  a  ( P ), b  ( P)  ( P )  (Q)  ( P )  Q ) ( P )  a,(Q)  a ( P)  a  ( P )  (Q)  a  (Q) a  (P)  b  (P )  a  b,(P )  b  a   P)  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.  Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P ), b  (P ) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a 3. Hai mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: (P)  (Q)   (P ),(Q)   900 b) Tính chất  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( P)  a  ( P )  (Q )  a  (Q) ( P )  (Q)    A  (P)  a  ( P)  a  A, a  (Q)  ( P )  (Q),( P )  (Q )  c  a  (Q)  a  (P ), a  c ( P )  (Q )  a   ( P )  ( R)  a  ( R) (Q)  ( R) 4. Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:  Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.  Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.  Chứng minh d  b mà b  a .  Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.  Sử dụng định lí ba đường vuông góc. GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 2  Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).  Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).  Chứng minh d // a và a  (P).  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).  Chứng minh ( P ),(Q )  90 0   III. GÓC – KHOẢNG CÁCH 1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'   a , b    a ', b '  0 Chú ý: 00   a , b   90 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: 0  Nếu d  (P) thì  d ,( P ) = 90 .  Nếu d  ( P ) thì  d ,( P ) =  d , d ' với d là hình chiếu của d trên (P). 0 Chú ý: 00   d ,( P )  90  a  (P )  ( P ),(Q )   a , b  b  ( Q )   Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng  a  (P ), a  c  ( P ),(Q)   a , b b  ( Q ), b  c  Chú ý: 00  ( P ),(Q )  900 c) Góc giữa hai mặt phẳng       d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  =  ( P ),(Q)  . Khi đó: S = S.cos 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:  Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.  Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 3  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.  AB 2  AC 2  BC 2  AB 2  BC.BH , AC 2  BC.CH  1 1 1   2 2 AH AB AC 2  AB  BC .sin C  BC .cos B  AC .tan C  AC .cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.  Định lí hàm số cosin: a 2 =b 2  c 2 – 2bc.cosA; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C a b c  Định lí hàm số sin:    2R sin A sin B sin C  Công thức độ dài trung tuyến: ma2  b2  c 2 a2 c2  a 2 b2 a2  b2 c 2  ; mb2   ; mc2   2 4 2 4 2 4 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1  S  a.ha  b.hb  c.hc  S  bc sin A  ca. sin B  ab sin C 2 2 2 2 2 2 abc  S  S  pr  S  p  p  a  p  b  p  c  4R  ABC vuông tại A: 2S  AB. AC  BC. AH S  ABC đều, cạnh a: S = a2 S = a.b a2 3 4 (a: cạnh hình vuông) (a, b: hai kích thước)  d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD   1 AC.BD e) Hình thoi: S  AB. AD.sinBAD 2 1 f) Hình thang: S  a  b .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1 g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S  AC.BD 2 b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 4 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V  abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 2. Thể tích của khối chóp: 1 V  Sñaùy .h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3 3. Thể tích của khối lăng trụ: V  Sñaù y .h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích bằng công thức  Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c) Tính thể tích bằng cách bổ sung Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta có thể vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có: VOABC OA OB OC  . . VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung  Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên  Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy. BÀI TẬP TRONG SGK HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN CHƯƠNG 1 Bài 1.(Tr25-HH12CB) . Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh là a Giải Khối tứ diện đều là khối chóp có tất cả các mặt đều là tam giác đều và chân đường cao hình chóp trùng với tâm đáy . Cho nên thể tích của chúng tính bằng : 2 2 1 11 3 1 a 2 3 2a 2 a 3 2 V  S day h  a.a.sin 600. a 2   a  .   3 32 6 2 3 12 3 2  Bài 2.(Tr25-HH12CB) . Tính thể tích khối bát diện đều cạnh là a Giải Gọi V là thể tích khối bát diện đều , và V' là thể tích khối chóp có đáy là hình vuông có cạnh là a , thì V=2V' . 2 Chiều cao của khối là chóp là a 2 2a 2 a 2 2 a      a  4 2  2  2 Diện tích đáy là S= a 2 1 3 Suy ra : V '  .a 2 . a 2 a3 2 a3 2   V  2V '  2 6 3 Bài 3.(Tr25-HH12CB) GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 5 Cho hình hộp .ABCD.A'B'C'D' . Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB'D' Giải Ta có kích thước của khối hộp là a,b,c . Thể tích của D' C' khối hộp là V=abc (1) . Coi B' làm đỉnh thì khối tứ diện ACB'D' là khối chop B'.ACD' Nhận xét : A' B' 1 1 1 1 VB '. ABC  . S ABCD h  Vhop . VC . B ' D 'C '  V , và ta có 3 2 6 6 1 1 VD ' ACD  V . . Suy ra thể tích khối tứ diện là V . 6 3 D C Cho nên tỉ số hai thể tích là k=3 . O A B Bài 4.(Tr25-HH12CB) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng : V SA SB SC  . . V ' SA ' SB ' SC ' Giải Giả sử ta vẽ hình như bên . Gọi H và H' lượt là chân đường cao kẻ từ A và A' xuống mặt phẳng SBC . Gọi góc giữa    SB; SC    và SC là . 1 VS . A ' B 'C '  S SBC . A ' H ' 3 Ta có : 11  VS . A ' B 'C '  SB '.SC 'sin  . A ' H ' 32 lần A A' SB C C' H S B' B Tương tự , ta cũng có : 11 SB.SC sin  . AH 32 1 SB.SC .sin  AH V SB SC AH  6  . . 1 1 V' SB ' SC ' A ' H ' SB '.SC '.sin  A ' H ' 6 Cho nên : .  VS . ABC  AH SA  Nhưng tam giác SA'H' đồng dạng với tam giác SAH suy ra : A ' H ' SA ' . Thay vào (1) : V SA SB SC  . . V ' SA ' SB ' SC ' . Bài 5.(Tr26-HH12CB) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E . Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a. D F Giải Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông a cân tại A suy ra tam giác CAD là tam giác vuông cân tại C . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , thì từ C E C GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 B a a A Trang 6 kẻ CF vuông góc với BD . Trong mặt phẳng (ABD) kẻ FE vuông góc với BD cho nên mặt phẳng qua C chính là mặt phẳng (CFE). Do đó : Nếu BD   CFE   BD  CE CE  BD  CE   ABD   CE  AD . CE  BA Mặt khác :  Nhưng CAD vuông cân cho nên E là trung điểm của AD . Xét 2 tam giác vuông đồng dạng : DF DC DF DC 2    DC DB DB DB 2 DF a2 1 V CD DE DF 1 1 1 1 Hay :  2  . Cho nên D .CFE  . .  1. .   VD .CFE  VD . ABCD 2 DB a  2a 3 VD . ABCD CD DA DB 2 3 6 6 DFC và DCB suy ra :  VD.CFE  11 111 2 a3 a3 S ABC CD  a .a  . Đáp số : VCDFE  63 632 36 36 Bài 6.(Tr26-HH12CB) Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d' . Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt trên đường thẳng d , đoạn thảng CD có độ dài bằng b trượt trên đường thẳng d' . Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi . Giải Gọi MN =h là đoạn vuông góc chung của hai A đường thẳng d và d' .  là góc hợp bởi giữa hai đường thẳng d với d' . 1 2 M - Diện tích đáy BCD là S , thì S= bh . Chiều cao từ A xuống đáy là AH . Khi đó chiều dài AH = a.sin  . - Vậy thể tích khối tứ diện là V : a H h  d' B D d 1 11 1 V  S BCD . AH  bh.a.sin   abh.sin  . ( 3 32 6 N C Không phụ thuộc vào vị trí của A,B,C,D. b ÔN CHƯƠNG I . Bài 4.(tr26-HH12CB) Cho lăng trụ và hình chóp có đáy và chiều cao bằng nhau . Tính tỉ số thể tích của chúng ? Giải 1 3 1 3 Ta có : VLT  B.h . Còn Vchop  Bh  VLT  Vchop VLT  1 3 Bài 5. (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc nhau và OA=a,OB=b và OC=c . Tính đường cao OH của hình chóp ? Giải A 1 3 Kẻ OM  BC , OH  AM . Ta được một số kết quả sau :  BC  OA  BC   AOM   BC  OH (1)   BC  OM Ta có V  abc (1) a H c O C b GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 M B Trang 7 OH  BC  OH   ABC  . Chứng tỏ OH là đường cao của chóp O.ABC kẻ từ O . OH  AM 1 1 1 Tam giác vuông OBC : .   2 2 OM OC OB 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Trong tam giác vuông OAM :         OH 2 OA2 OM 2 OA2 OC 2 OB 2 a 2 b 2 c 2 1 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 abc Hay : .   OH  2 2 2 2 OH abc a 2b2  b 2c 2  c 2 a 2 Mặt khác :  Bài 6. (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a . Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc bằng 600 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA . a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC Giải 0 a/ Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 thì: Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đáy Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác SAB=SAC , do đó BD=DC. a 3 , tam giác SAO có : 2 SA 3 3a SAO  600  ASO=30 0  OA   SA  2OA  a 3, SO  SA  2 2 2 Mặt khác SA   BDC   SA  DM , cho nên SD là S đường cao của chóp S.BDC . Tam giác ABC có : AM= Tam giác AMD có AD=AMcos600  DM= AM.sin600  a 3 1 a 3 .  . 2 2 4 a 3 3 3a .  2 2 4 D A a O Tam giác ABD : M 2  a 3  13a 2 a 13 BD 2  AB 2  AD 2  a 2    BD  CD    16 4  4  C B . 1 11 1 3a a 3 a 3 3 BC.DMAD  a.  3 32 6 4 4 32 3 11 2 3a a 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 3 Ta có VS . ABC  a sin 600   VS .BDC  VS . ABC  VA.BDC    32 2 8 8 32 32 3 a 3 3a 3 a 3 VS .BCD SD SA  AD 4  32  3.8  3 Tỉ số thể tích :  .1.1   VS . ABC SA SA 32 4 a 3 a3 3 4 8 Vì vậy : VA.BDC  S BDC . AD  Bài 7. (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a và CA=7a . Các mặt bên SAB,SBC ,SCA tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp đó Giải GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 8 Do các mặt bên ngiêng đều với đáy một góc cho nên hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Suy ra BH là phân giác góc B . Mặt khác ta lại có : AB  BC  CA 5a  6a  7 a   9a 2 2 Và S ABC  p  p  a  p  b  p  c  S p A 5a  9a  9a  5a  9a  6a  9a  7a  , 2  9a.4a.3a.2a  6a 6 Ta lại có : S ABC  pr . ( Với r =EM) . Suy ra : 7a 600 C H M N 6a B 2 pr  6a 2 6  r  ME  6a 6 2a 6 .  9a 3 Từ đó suy ra chiều cao SO , tam giác vuông SMH : SH  MH tan 600  1 3 2a 6 3  2a 2 . 3 1 3 Vậy : VS . ABC  S ABC SH  6 a 2 6 2 a 2  4 a 3 .2 3  8a 3 3 Bài 8. (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy và AB=a ,AD=b và SA=c . Lấy B',D' theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB' vuông góc với SB , AD' vuông góc với SD . Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' . Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' Giải S - Kẻ AB' vuông góc với SB , AD '  SD . Vì  AB '  SB  AB '  SC . (1)   AB '  BC  BC  SAB   AD '  SD Tương tự :   AD '  ( SDC  AD '  SC (2) .  AD '  DC  SC  B ' C '  SC  D ' C ' D' C' B' D a A Từ (1) và (2)  SC   AB ' D '    b C Vì vậy ta chỉ kẻ B'C'  SC và nối C'D' ta được thiết diện của B (AB'D') cắt chóp : AB'C'D'. Các tam giác : SB'A và SAB , SD'A và SAD dồng dạng , suy ra ta có các tỉ số đồng dạng : SB ' SA SB ' SA2 c2    2  2 2; SA SB SB SB a c 2 SD ' SA SD ' SA c2     . Tam giác SC'A ~ SAC suy ra: SA SD SD SD 2 b 2  c 2 SC ' SA SC ' SA2 c2     . SA SC SC SC 2 a 2  b 2  c 2 VS . A' B 'C ' SB ' SC ' VS . A' D 'C ' SD ' SC ' VS . A ' B 'C '  VS . A' B 'C ' SC '  SB ' SD '   ;       VS . ABCD VS . ABC SB SC VS . ADC SD SC SC  SB SD  2 2 2 2 4  c  c c c 1   1  2  2 2  2  2 k 2 2  2 2 2 2 2  2 a  b  c  a  c b  c   a  b  c   a  c b  c2  Ta có : GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 9 VS . A ' B 'C '  VS . A ' B 'C ' 2V 1 1 1 1  S . AB 'C ' D '  k  VS . AB 'C ' D '  kV  k abc  abck VS . ABCD V 2 2 3 6 2 abc5  a 2  b 2  2c 2  1 c4 1   1 VS . AB 'C ' D '  abc 2   6  a  b2  c 2   a 2  c 2 b2  c 2  6  a 2  b2  c 2  a 2  c 2  b2  c 2  Vậy Bài 9. (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích khối chóp S.AEMF ? Giải - Nối AM cắt SO tại I . Kẻ qua I một dường thẳng song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Nối EF và MF S ta có thiết diện tạo bởi (P) qua AM và // BD . Tam giác SEF ~ SBD suy ra : SE SF SI (*)   SB SD SO M Vì M là trung điểm của SC và O là trung điểm của AC SI 2 suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC , suy ra  SO 3 F E I A (1). Trong tam giác vuông SOB ta có SO = 600 D a 2 a 6 3 (2) O 2 2 B C 1 1 a 6 a3 6 - Tính VS . ABCD  a 2 SO  a 2 (3) ;  3 3 2 6 1 VS . ABC  VS . ADC  VS . ABCD  V ' 2 VS . AEM SE SM 2 1 1 V SF SM 2 1 1 Và :   .  .  ;  S . AFM  .  .  ( Do từ (*)) VS . ABC SB SC 3 2 3 VS . ABC SB SC 3 2 3 OB tan 600   VS . AEM  VS .AFM 1 1 2 2V 1 1 a3 6 a 3 6     VAB 'C ' D '   V  V 3 3 3 32 3 3 6 18 2 Bài 10. (Tr 27-HH12CB) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C ? b/ Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE ? Giải a/ Vì lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng a suy ra tam giác hai đáy là tam giác đều , và các mặt bên là các hình vuông . 1 1 3 2 Ta có : VA' BB 'C  VC . A ' BB '  . a 2 .a  a3 6 b/ Vì A'B' song song với mặt phẳng (ABC) cho nên mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm G sẽ cắt (ABC) theo giao tuyến qua G và song song với AB , cắt AC tại E và cắt BC tại F .Kéo dài B'F và A'E chúng đồng quy tại S . GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 S A E C G B A' F C' Trang 10 M B' V ' SE SC SF (1)  . . V SA ' SC ' SB ' SC SE SF EF EF 2 Nhưng :      . SC ' SA ' SB ' A'B' AB 3 V' 2 2 2 8 8 1 1 1 1 Suy ra :  . .   V '  V (2) . Ta có : VC . A ' B 'C '  BCC '  B. SC '  V (3) V 3 3 3 27 27 3 3 3 3 1   8 Vậy : VC . A' B ' FE  V  V ' VC . A ' B 'C '   V   V  V  3   27 3 10 10 1 1 2 3 5a 3 5a 3 VC . A ' B ' FE  V  a .3a   27 27 3 2 2 3.18 18 3 Gọi V  VS . A' B 'C ' ;V '  VS .CEF  Bài 11. (Tr 27-HH12CB) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và Đ' . Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm 2 khối đa diện . Tính tỉ số thể tích hai khối đó . Giải Từ C kẻ đường thẳng song song I với BD nó cắt AB và AD tại I N D' và K . Nối các đường thẳng IE, M A và KF chúng cắt A'B' và A'D' B' C' F tại M và N . Suy ra (CEF) cắt khối hộp theo thiết diện là A O D K CEMNF. E Ta xét khối đa diện chứa cạnh AA' gọi là V' C Xét : B'E=IA'=a/2 suy ra IA = B 3 a a . Mặt khác : IB= =KD=IA' 2 2 J . 1 1 3a 3a 3a 9 a 3 . V0  VI .AJK  .S AIK .IA  .  3 3 2 2 2 8 1 1 1 a a a a3 1 1 a a a3 V1  VI . A ' MN  S A ' MN .IA '   V2  VJ .BCE  a.   VK .CDF 3 3 2 2 2 2 48 3 2 2 2 24 9a 3  a 3 a3  49a3 Như vậy V '  V0  V1  2V2     2   8  48 24  48 Phần thể tích còn lại là : ? Bài 12. (Tr 27-HH12CB) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh là a Gọi M là trung điểm A'B' , N là trung điểm của BC a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN ? b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện Giải a/ Tính thể tích khối tứ diện ABMN. Xét tam giác vuông ABN ( vuông tại B ) Ta có S AND  S ABCD   S ANB  S DCN  a a2  a2  a  . Do đó thể tích tứ diện ABMN coi như là thẻ tích khối chóp M.ABD có đáy là 2 2 1 a2 a3 tam giác ADN và chiều cao kẻ từ M xuống đáy = AA'=a suy ra VM . ADN  .a  . 3 2 6 GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 11 b/ Nối DN cắt AB tại J . Nối JM cắt BB' tại E và cắt A'B' tại M , cắt AA' tại I . Nối ID cắt A'D' tại F . Như vậy (DMN) cắt khối chóp theo thiết diện : DNEMF . Ta đi tính thể tích khối đa diện chứa cạnh AA' . .Tam giác BJN=CDN suy ra JB=CD=a . Tam EB ' MB ' a 1 1   .  EB JB 2 a 2 EB ' EB 1  2 BB ' 3 2 2 1      EB  BB '  a  EB '  a EB 2 EB 2 3 3 3 a Tam giác MB'E = tam giác IA'M suy ra EB'=IA'= 3 giác JEB đồng dạng với tam giác EMB' suy ra I . Tam giác IA'F đồng dạng với tam giác IAD suy ra FA ' IA ' a 1 1 1 a   .   FA '  AD  a AD IA 3  a 4 4 4 3 1 1 1 a a a a3 . VI . A' MF  . A ' M . A ' F .IA '  . .  3 2 6 2 4 3 144 11 1 2a a a3 VJ .BEN  EB.BN .JB  .a  32 6 3 2 18 A' F D' M B' E C' D A Mặt khác : 1 1 1 a  a 2 4 a 4a 3  VJ .?D  . JA. AD.IA  2a.a.  a     3 2 6 3 3 3 9  Do dó : B N C J 4a 3  a 3 a 3  55a 3    . Thể tích hình lập phương bằng 9  144 18  144 V H  55 55a 3 89a 3  a3     144 144 V H ' 89 V H   VI .AJD  VI . A' MF  VJ .BEN   a 3  V H '  a 3  V H  DẠNG TOÁN TÌM THỂ TÍCH BIẾTCẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Baøi 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, SA  (ABCD). AB = a, SA  a 2 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SD. Chöùng minh SC(AHK) vaø tính theå tích cuûa töù dieän OAHK. HD: V  2 a3 27 Baøi 2. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600. Treân caïnh SA laáy ñieåm M sao cho AM = a 3 . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N. 3 Tính theå tích khoái choùp S.BCNM. HD: V  10 3 3 a 27 Baøi 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a,  BAD  600 , SA  (ABCD), SA = a. Goïi C' laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) ñi qua AC' vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi B', D'. Tính theå tích khoái choùp S.AB'C'D'. HD: V  a3 3 18 Baøi 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông   1200 , M là trung điểm cạnh BC và SMA   450 . Tính theo a thể tích góc với đáy, BAD của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC). GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 12 a3 4 V=  d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1 1a 3 a 6 SM  2 2 2 2 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với (ABCD), AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC vuông góc với (AHK) và tính thể tích của khối chóp OHAK theo a. Baøi 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm của đáy SO  (ABCD) và M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD. Góc giữa MN và (ABCD) bằng 600. Tình thể tích khối chóp S.ABCD Baøi 7. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên (ABCD) trùng với O = AC ∩ BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ và Baøi 5. khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD). 3a 3 a 3 ĐS: ; 2 2 Cho hı̀nh lă ng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, CB = 2a, = 120° và đường o thang A’C tạ o với mặ t phang (ABB’A’) mộ t gó c 30 . Gọ i M là trung điem củ a BB’. Tı́nh VABC.A’B’C’ và d(A’;(ACM)). Baøi 9. Cho hı̀nh chó p tứ giá c S.ABCD có đá y là ABCD là hı̀nh vuô ng tâ m O cạ nh a. Cạ nh bê n SA vuô ng gó c với đá y và SA = √2 . Gọ i H, K lan lượt là hı̀nh chieu củ a A lên SB, SD. Chứng minh SC⊥ (AHK) và tı́nh VO.AHK. Baøi 10. Cho hı̀nh chó p S.ABC có đá y là tam giá c ABC vuô ng tạ i C, AC = a, AB = 2a, SA vuô ng gó c đá y; ((SAB);(SAC)) = 60o. Gọ i H, K lan lượt là hı̀nh chieu củ a A lên SB, SC. Chứng minh AK ⊥ HK và tı́nh VS.ABC. Baøi 11. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy ,tam giác ABC là tam giác cân có AB=AB= 2a ,khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là a .Tính thể tích khối chóp đã cho Baøi 8. Baøi 12. DẠNG TOÁN TÌM THỂ TÍCH BIẾT CẠNH BÊN TẠO VỚI ĐÁY GÓC CHO TRƯỚC Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích khối chóp S.AEMF ? Baøi 2. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  , với  0 0    90 0  . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và  Baøi 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’  = 600. Hình chiếu và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Baøi 4. GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 13 DẠNG TOÁN TÌM THỂ TÍCH BIẾT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Baøi 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH = AC/4 .Goi Cm là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm SA và thể tích tứ diện SMBC theo a Baøi 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuuong cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . Baøi 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BA=3a, BC=4a ; mặt   300 . Tính thể phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a . Baøi 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên đáy (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . Baøi 5. Cho khối chóp S.ABC có BC=2a, . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông . Tính thể tích của khối chóp Baøi 6. DẠNG TOÁN TÌM THỂ TÍCH BIẾT MẶT BÊN TẠO ĐÁY GÓC CHO TRƯỚC Baøi 1. Cho hı̀nh chó p S.ABC có cạ nh bê n SA ⊥ (ABC) và AB = a, AC = 2a, = 120°. Mặ t phang (SBC) tạ o với đá y gó c 60o. Tı́nh VS.ABC và d(SB;AC). Baøi 2. Cho hı̀nh chó p S.ABCD có đá y ABCD là hı̀nh thang vuô ng tạ i A và D, AB là đá y lớn và ∆ABC đeu. Cá c mặ t phang (SAB) và (SAC) cù ng vuô ng gó c vớ i đá y, cạ nh bên SC = 2a và tạ o với mặ t phang (SAB) mộ t gó c bang 30o. Tı́nh VS.ABCD Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Baøi 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA”B”C” có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Baøi 5. Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a , AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng  ADD1 A1  và  ABCD  bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a . Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 . Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a . Baøi 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB  a ,  A ' BC  ,  ABC   60 0   . G là trọng tâm  A’BC. Tính VABC . A ' B ' C ' GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 14 Baøi 8. Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD  a 3 , h.c.v.g của A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa (ADD 1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính VABCD. A1B1C1D1 Baøi 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a mp(SAB), (SAC) cùng vuông góc (ABC), M là trung điểm AB, mp qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính  VS . BCNM V  a 3 3  Baøi 10. DẠNG TOÁN TÌM TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài 9. (Bài 45-tr11-BTHHNC) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và trung điểm M của cạnh SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó Giải S Mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của SC cắt mặt phẳng SDC theo giao tuyến MN //CD . Gọi V= thể rích khối chóp VS . ABCD ;V '  VS . ABMN . VS .MNB VS .CBD SN   SD V  S . ABN VS . ABD Ta có :  SM SN SB 1 1 1  . 1  (1)và ta lại có SC SD SB 2 2 4 N M 1 (2) .Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được D 2 1 1 3 3     VS .MNB  VS . ABN  VS .CBD O 4 2 4 4 C B 3  VS . ABCD 8 1 3 ( vì : VS . ABD  VS .CBD  VS . ABCD ) Do đó : VS . ABMN  VS .BMN  VS . ABN  VS . ABCD 2 8 3 5 Vậy thể tích của khối chóp còn lại : VABMNCD  VS . ABCD  VS . ABMN  VS . ABCD  VS . ABCD  VS . ABCD 8 8 VS . ABNM 3 8 3 Tỉ số thể tích của khai khối chóp là :  .  VABMNCD 8 5 5 VS . ABN VS . ABD VS .MNB VS .CBD 3 1  . VS . ABCD 4 2 A Bài 10 (Bài 46-tr-11-BTHH12NC) Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Các điểm E,F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'. a/ Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF) b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF) Giải a/ Cách dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AEF) với khối chóp : Kéo dài EF cắt A'B' và A'D' tại M và N . Nối MA và NA chúng cắt BB' và DD' tại Q và P . Vậy thiết diện chính là AQEFP . b/ Tính tỉ số thể tích . GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 15 Ta đặt : A D V  V ABCD . A ' B 'C ' D ' ;V1  VABCDQEFP ;V2  V AQEFP. A ' B ' D ' ;V3  V A.MA ' N ;V4  VN .PFD ' ;V5  VM .QEB ' Dễ nhận thấy : V4  V5 do tính chất đối xứng của hình lập phương . B C A' P D' N 1 6 Q O 1 3a 3a 3a 3  a  . B' F 6 2 2 8 E C' 1 V4  PD '.D ' F .D ' N M 6 1 a a a a3   . 6 3 2 2 72 3a 3 2a 3 25a 3 25a3 47 a3 V2  V3  2V4    V1  V  V2  a 3   8 72 72 72 72 Ta có : V3  AA'.A'M.A'N Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương thành hai phần lần lươt có thể tích là : V1  47 a 3 25a 3 V 47 ;V2   1  72 72 V2 25 Bài11. ( Bài 47-tr11-BTHH12NC) Cho điểm M trên cạnh SA , N trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho : SM 1  ; MA 2 SN  2 . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai NB phần . Tìm tỉ số thể tích hai khối đó ? Giải - Ta thấy từ giả thiết : Chia SA thành 3 phần MA=2MS và N chia SB : NS=2NB . Nối MN cắt AB tại I . Từ M kẻ MD //SC cắt AC tại D . Nối ID cắt BC tại E . Do đó (P) qua MN và song song với SC cắt khối chóp theo thiết diện MNED .Kẻ MI//AB ta có : SM SI 1 SN   ;  2  SN  2 NB  2 SI SA SN 2 NB  NB  SI , hay I là trung điểm của SN . V AM AD AI 2 2 4 16 Ta có : A.MDI  . .  .  VA.SCB AS AC AB 3 3 3 27 16 1 1 4    VA.MDI  VS . ABC  BI  MJ .MJ  AB;  BI  AB; AI  AB  27 3 3 3   VI .BNE IB IN IE 1 1 1 1 1 1      VI .BNE  VA.MDI  VS . ABC . VI . AMD IA IM ID 4 2 2 16 16 16 15 5 4 V 5 Gọi V1  V.MDI  VI .BNE  VS . ABC  VS . ABC , nên V2  VS . ABC  V1  VS . ABC  1  . 27 9 9 V2 4 Baøi 1. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và trung điểm M của cạnh SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó Baøi 2. Cho điểm M trên cạnh SA , N trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho : SM 1  ; SA 2 SN  2 . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp SB thành hai phần . Tìm tỉ số thể tích hai khối đó ? GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 16 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Baøi 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD  a 2 , SA = a vaø SA  (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, SC; I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng (SAC)  (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. Baøi 2. Trong maët phaúng (P), cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R vaø ñieåm C thuoäc nöûa ñöôøng troøn ñoù sao cho AC = R. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi A laáy  (SAB),(SBC)  600 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SB, ñieåm S sao cho  SC. Chöùng minh tam giaùc AHK vuoâng vaø tính theå tích töù dieän SABC. HD: V R3 6 12 Baøi 3. Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AA1. Chöùn g minh BM  B1C vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng BM vaø B1C. HD: d  a 30 10 Baøi 4. CÁC DẠNG TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC Bài 1) ĐH 2002 K.A Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác Agiacsbieets rằng mặt phẳng (AMNphawngrvuoong góc với mặt phẳng (SBC). Bài 2) ĐH 2002 K.B Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D 1 có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C1N. Bài 3) ĐH 2002 K.D Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). Bài 4) 2003 K.B Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình  = 600. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’ và N là trung điểm của thoi cạnh a, góc BAD cạnh CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giácB’MDN là hình vuông. Bài 5) ĐH 2003 K.D Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng. Trên giao tuyến lấy hai điểm A, B với AB = a . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểmD sao cho AC, BD vuông góc với nhau và AC = GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 17 BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bài 6) ĐH 2004 K.B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  (00 <  < 900). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và  . Bài 7) ĐH 2006 A Cho 2 hình trụ có đáy lần lượt là 2 đường tròn (O) và (O’).Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A.Trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm Bsao cho AB=2a.Tính thể tích khối tứ diện OO’AB Đ/S VS .BMDN  Bài 8) 3a 3 12 ĐH 2007 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC,CD .Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích của tứ diện CMNP Đ/S VS .BMDN  Bài 9) 3a 3 96 ĐH 2007 B Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA,M là trung điểm của AE,N là trung điểm của BC .chứng minh :MN vuông góc BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN,AC ĐS: d (MN ; AC )  a 2 4 Bài 10) ĐH 2007 Khối D: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Góc DAB=ABC=90 0 ,BA=BC=a,AD=2a.cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp (SCD) ĐS: d ( H ; (SCD )  a 3 Bài 11) ĐH 2008 A Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chop A’ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’ ĐS: V A'. ABC  a3 , 3 cos   1 4 Bài 12) ĐH 2008 B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 18 ĐS: VS .BMDN  3a 3 3 cos   5 5 Bài 13) ĐH 2008 D Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. ĐS: V ABC . A' B 'C '  a3 2 a 7 d ( AM ; B ' C )  2 7 Bài 14) ĐH 2009 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS: VS . ABCD  3 15a 3 5 Bài 15) ĐH 2009 B Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa  = đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a ĐS: V A' ABC  9a 3 208 Bài 17) ĐH 2010 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. ĐS: VS .CDNM 2a 3 5a 3 3 d ( DM ; SC )   24 19 Bài 18) ĐH 2010 B Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. ĐS: V ABC . A'B 'C '  3a 3 3 8 R 7a 12 Bài 19) ĐH 2010 D Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH  AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung 4 điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. ĐS: VS .BCM  a 3 14 48 GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 19 Bài 20) ĐH 2011 A Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. ĐS: VS .BCNM  a 3 3 d ( AB ; SN )  2a 39 13 Bài 21) ĐH 2011 B Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. ĐS: V ABCD. A B C D  1 1 1 3a 3 2 d ( B1 ; mp(A 1 BD)  a 3 2 Bài 22) ĐH 2011 D Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và  = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SBC (SAC) theo a. ĐS: VS . ABC  2 3a 3 d ( B; mp( SAC ))  6a 7 Bài 23) ĐH 2012 A. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Bài 24) ĐH 2012 B. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Bài 25) ĐH 2012 D. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Bài 26) ĐH 2013 A. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°. SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 20