TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUYỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG
SĐT: 01234332133-0978421673
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12
LUYỆN THI
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
* GTLN Và GTNN của hàm số
* Tiệm cận của đồ thị hàm số
* KSHS hàm bậc ba, trùng phương, hửu tỉ
Hueá, thaùng 7/2012
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
MỤC LỤC
Bài 3. Giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
-
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đỉnh nghĩa
-
Dạng 2: Đặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN
-
Dạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
-
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trên một miền
Bài 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số
-
Dạng 1: Tìm tiêm cận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa
-
Dạng 2: Một số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K
cho trước
Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận)
-
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận hàm phân thức
Bài 5. Khảo sát hàm số
Vấn đề 1: Hàm trùng phương
-
Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
-
Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm trùng phương
Vấn đề 2: Hàm bậc ba
-
Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
-
Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm bậc ba
Vấn đề 3: Hàm phân thức hữu tỉ
-
Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
-
Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ
Chuyên đề LTĐH
1
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa:
Giả s ử hàm số f xác định trên miền D (D R).
f ( x ) M , x D
a) M max f ( x )
D
x0 D : f ( x0 ) M
f ( x ) m, x D
b) m min f ( x )
D
x0 D : f ( x0 ) m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x ) f (b), min f ( x ) f (a) .
[ a;b ]
[ a;b ]
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x ) f (a), min f ( x ) f (b) .
[ a;b ]
Chuyên đề LTĐH
2
[ a;b ]
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f (x).
Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
Tính f (x).
Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu
có).
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a;b ]
m min f ( x ) min f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n )
[ a;b ]
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a) y
3x 1
trên đoạn [0;2]
x 3
b) y
3x 2 x 1
x2 x 1
Chuyên đề LTĐH
3
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Hướng dẫn:
b) Bảng biến thiên
x
0
y'
y
-
2
0
3
+
0
+
11
3
1
3
Dựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN
Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
b) y x 4 2 x 2
a) y x 2 4 x 3
c) y x 4 2 x 2 2
Hướng dẫn:
b) Hàm số xác định trên
Bảng biến thiên:
x
y'
y
-1
-
0
0
+
0
1
-
0
0
+
-1
-1
Dựa vào bảng biến thiên:
Hàm đạt gía trị nhỏ nhất tại x 1 , Min y 1 . Hàm không có giá trị lớn nhất
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
Chuyên đề LTĐH
4
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
x 2
y
2
x
trên 0;
Hướng dẫn:
Hàm xác định trên tập 0;
x 2 0;
y' 0
x 2
Bảng biến thiên
x
0
2
y'
-
y
+
8
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x 2, Min y 8
0;
Hàm không có giá trị lớn nhất
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y x 2 5 x 6 trên đoạn [ -1;6]
Hướng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại x
5
2
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y x 6 x 2 4 trên đoạn [0;3]
Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nh ất tại x=0
Bài 6. (Đề thi TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
y x 4 x2
Hướng dẫn:
Cách 1: Tập xác định D 2;2 ;
Chuyên đề LTĐH
5
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
y 1
x ; y 0 x 4 x 2
4 x2
max y 2 2
x 0
2
x
2
2
min y 2
x 4 x
Cách 2: Đặt x 2sin u, u ;
2 2
y 2 sin u cos u 2 2 sin u 2;2 2 ; max y 2 2 ; min y 2
4
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y
x 1
trên đoạn [-1;2]
x2 1
Hướng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x= -1 và đạt giá trị lớn nhất tại x 1
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x 2 1 trên đoạn [-2;1]
Hướng dẫn:
Hàm đã cho xác định trên 2;1
x 0
Đặt g( x ) x 3 3 x 2 1, x 2;1 , g '( x ) 0
x 2 2;1
Do đó: Max g( x ) 1; Min g( x ) 19
2;1
2;1
Ta có: x 2;1 g( x ) 19;1 g( x ) 0;19
g(0).g(1) 0 x1 0;1 : g( x1 ) 0 . Vậy Max f ( x ) 19; Min f ( x ) 0
2;1
2;1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y
x2 x 1
x2 x 1
Chuyên đề LTĐH
b) y 4 x 3 3 x 4
6
c) y
x4 x2 1
( x 0)
x3 x
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
d) y x 2 x 2
f) y
2x2 4x 5
x2 1
e) y
x 1
x 2x 2
2
g) y x 2
1
( x 0)
x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y 2 x 3 3 x 2 12 x 1 trên [–1; 5]
b) y 3 x x 3 trên [–2; 3]
c) y x 4 2 x 2 3 trên [–3; 2]
d) y x 4 2 x 2 5 trên [–2; 2]
e) y
3x 1
trên [0; 2]
x 3
f) y
x 1
trên [0; 4]
x 1
g) y
4x2 7x 7
trên [0; 2]
x2
h) y
1 x x2
trên [0; 1]
1 x x2
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y 100 x 2 trên [–6; 8]
b) y 2 x 4 x
c) y 2 x x 2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 x 2 72 x 90 trên
đoạn [-5;5]
Hướng d ẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 5;5
Đặt g( x ) x 3 x 2 72 x 90, x 5;5
x 6 5;5
Ta có : g '( x ) 0
x 4 5;5
Với g(4) 86; g(5) 400; g(5) 70
Do đó: 86 g( x ) 400 0 g( x ) 400 0 f ( x ) 400
Vậy Max f ( x ) 400 khi x 5
5;5
Chuyên đề LTĐH
7
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x sin 2 x trên đoạn ;
2
Hướng dẫn:
5
f '( x ) 0 x ; ;
6 6 6
Vậy:
Max f ( x )
;
2
5
3
5
khi x
;
6
2
6
Chuyên đề LTĐH
Min f ( x )
;
2
8
2
khi x
2
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
DẠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM GTLL VÀ GTNN
Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:
Nếu đặt t x 2 thì t 0 và giả sử x 1;1 t 0;1
Nếu
Nếu
t sin x
t 1;1
t cos x
t sin 2 x
t cos 2 x
t 0;1
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
y x 6 4 1 x 2 trên đoạn 1;1 .
3
Hướng dẫn:
Đặt u x 2 0;1 . Ta có y u3 4 1 u 3u3 12u 2 12u 4
3
2
u
3
y 9u 24u 12 0
u 2 0;1
2
Từ đó ta được max y 4;min y 4
9
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số y x 6 3 x 4
9 2 1
x trên
4
4
đoạn [-1;1]
Hướng dẫn:
Đặt t x 2 t 0;1 , x 1;1 ta có:
9
1
f (t ) t 3 3t 2 t liên tục trên đoạn [0;1]
4
4
Chuyên đề LTĐH
9
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
t
f '(t ) 0
t
1
2
3
0;1
2
3
1
3
2
khi t
hay Max f ( x ) khi x
0;1
1;1
4
2
4
2
1
1
Min f (t ) khi t 0 hay Min f ( x ) khi x 0
[
1;1]
0;1
4
4
Max f (t )
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y sin 4 x cos2 x 2
Hướng dẫn:
Hàm đã cho xác định trên
y sin 4 x cos2 x 2 sin 4 x sin 2 x 3
Đặt t sin 2 x , t 0;1 . Xét hàm f (t ) t 2 t 3, t 0,1
Vậy Max f ( x ) 3; Min f ( x )
0;1
0;1
11
4
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y
s inx 1
sin x s inx 1
2
Hướng dẫn:
Đặt t sin x , t 1;1
f (t )
t 1
1;1 , f (t ) liên tục trên 1;1 , f '(t ) 0 t 0
t t 1
2
Max f ( x ) Max f (t ) 0 khi sin x 1 x
k 2 , k
2
Min f ( x ) Min f (t ) 0 khi sin x 0 x k , k
1;1
1;1
2
2
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 4sin x 4cos x
Hướng dẫn:
Cách 1:
Chuyên đề LTĐH
10
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
2
2
2
2
4
2
y 4sin x 4cos x 4sin x 41sin x 4sin x
2
Đặt t 4sin x , t 0;4 , xét hàm số y
4sin
2
x
t2 4
, t 1;4
t
Từ đó suy ra được:
Max f ( x ) Max f (t ) 5
; Min f ( x ) Min f (t ) 4
1;4
1;1
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:
2
2
2
2
4sin x 4cos x 2 4 4. Đẳng thức xảy ra khi
4sin x 4cos x x
2
k
,k
2
4
2
2
2
2
1
4sin x 1 4cos x 1 0 4sin x 4cos x 5
cos2 x
1
4
sin2 x
Đẳng thức xảy ra khi sin x 0 hoặc cos x 0
Vậy Miny 4 khi x
4
k
;
2
Maxy 5 khi x
k
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y
2sin x 1
sin x 2
c) y 2sin 2 x cos x 1
b) y
1
cos x cos x 1
2
d) y cos2 x 2sin x 1
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
x2 1
a) y 4
x x2 1
b) y x 2 4 x x 2 4 x 3
g) y 4 x 2 2 x 5 x 2 2 x 3
e) y sin3 x cos3 x
Chuyên đề LTĐH
11
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
Phương pháp:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x ) m; max f ( x ) M .
D
D
Khi đó:
f (x)
1) Hệ phương trình
có nghiệm m M.
x
D
f (x)
2) Hệ bất phương trình
có nghiệm M .
x D
f (x)
3) Hệ bất phương trình
có nghiệm m .
x D
4) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x m .
5) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x M .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 :
m
x 2 2 x 2 1 x (2 x ) 0 (2)
Hướng dẫn:
Đặt t x2 2x 2 . (2) m
Khảo sát g(t)
t2 2
(1 t 2),do x [0;1 3]
t 1
t2 2
với 1 t 2; g '(t ) 0 . Vậy g tăng trên [1,2]
t 1
Do đó, ycbt bpt m
t2 2
2
có nghiệm t [1,2] m max g(t ) g(2)
3
t 1
t1;2
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân b iệt:
10 x 2 8 x 4 m(2 x 1). x 2 1
Hướng dẫn:
Chuyên đề LTĐH
12
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Nhận xét: 1 0 x 2 8 x 4 2(2 x 1)2 2( x 2 1)
2
2x 1
2x 1
2x 1
(pt) 2 2 m 2 2 0 . Đặt 2 t
x 1
x 1
x 1
Điều kiện : –2< t 5 .
Rút m ta có: m=
12
2t 2 2
. Lập bảng biên thiên 4 m
hoặc –5 < m 4
t
5
Bài 3.
Tìm tham soá m ñeå baát phöông trình
x 2 2 x 24 x 2 2 x m (1) coù nghieäm
treân 4;6
Hướng dẫn:
Ñaët t x 2 2 x 24, x 4,6 thì t 0;5
ycbt tìm m ñeå baát phöông trình t 2 t 24 m coù nghieäm thöïc t 0;5
Xeùt haøm soá f(t)=t 2 t 24, lieân tuïc treân 0;5
Ta coù: f '(t ) 0, t 0;5 f (t ) lieân tuïc vaø ñoàng bieán treân 0;5
Vaäy bpt coù nghieäm thöïc treân ñoaïn 0;5 khi max f (t ) m f (5) m m 6
0;5
x 2 3 x 0
Bài 4. Tìm m để hệ BPT: 3
(1) có nghiệm.
2
x 2 x x 2 m 4m 0
0 x 3
Giải. (1)
(2).
3
2
f x x 2 x x 2 m 4m
3 x 2 4 x 4 x 0;2
Ta có: f x 2
;
3 x 4 x 4 x 2;3
(x) 0 x 2 . Hàm không có đạo hàm tại x 2
3
Nhìn BBTsuy ra: Max f x f 3 21
x 0;3
Để (2) có nghiệm thì Max f x m 2 4m m 2 4m 21 3 m 7
x 0;3
Chuyên đề LTĐH
13
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
2
Bài 5. Tìm m để PT: 2 2sin 2 x m 1 cos x (1) có nghiệm x ,
2 2
Giải. Do x , x , nên đặt t tg x 1,1
2 2
2
2 4 4
2
2
2
cos x 1 t 2 ; sin x 2t 2 . Khi đó (1) 2 sin x cos x m 1 cos x
1 t
1 t
2
2
2
2
2
2 2t 1 2 t m 1 1 t 2 f t 2t 1 t 2 2m (2)
1 t
1 t
Ta có: f t 2 2t 1 t 2 2 2t 0 t 1; t 1 2
Để (2) có nghiệm t 1,1
thì Min f t 2m Max f t
t 1,1
t 1,1
0 2m 4 0 m 2 . Vậy để (1) có nghiệm x , thì m 0;2 .
2 2
2
@ Chú ý: ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt t tg x thì cos x 1 t 2 ;
2
1 t
sin x 2t 2 . Công thức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết để khi
1 t
nào thấy “bí” đem ra dùng. Việc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng.
Bài 4. Giải phương trình:
4
x 2 4 4 x 2
Gợi ý: yêu cầu học sinh phải nắm công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa(
chương II-Giait tích 12
Hướng dẫn:
Đặt f x 4 x 2 4 4 x với 2 x 4
0 x3
1
1
f x 1
3
3
4 4
4
4 x
x 2
Nhìn BBT suy ra: f x f 3 2 x 2,4
Phương trình f x 4 x 2 4 4 x 2 có nghiệm duy nhất x 3
Bài 5. Giải phương trình: 3x 5x 6 x 2
Chuyên đề LTĐH
14
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Hướng dẫn:
PT f x 3x 5x 6 x 2 0 . Ta có: f x 3x ln 3 5x ln 5 6
f x 3x ln3 5x ln 5 0 x (x) đồng biến
2
2
Mặt khác (x) liên tục và
f 0 ln3 ln 5 6 0 , f 1 3ln3 5ln 5 6 0
Phương trình (x) 0 có đúng 1 nghiệm x0
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Phương trình f x 3x 5x 6 x 2 0 có không quá 2 nghiệm.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Giải các phương trình sau: x 5 (1 x )5
1
16
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
3 x 6 x (3 x )(6 x ) m
b) x 2 3x 2 x 2 2mx 2m
Hướng dẫn:
b)
1 x 2
1 x 2
x 2 3x 2 0
f ( x ) 3 x 2 2m
2
2
x 3 x 2 x 2mx 2m
2m( x 1) 3 x 2
x 1
(*)
f(x) liên tục trên 1; 2 và có f ( x)
5
x 1
2
0, x 1; 2
f (x) đồng biến trên 1;2
Bài toán yêu cầu f (1) 2m f (2)
1
2
m
4
3
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R:
a) x 2 x 2 1 m
c) mx 4 4 x m 0
Bài 4. Cho bất phương trình: x 3 2 x 2 x 1 m 0 .
Chuyên đề LTĐH
15
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a) mx x 3 m 1 có nghiệm.
b)
(m 2) x m x 1 có nghiệm x [0; 2].
c) m( x 2 x 1) x 2 x 1 nghiệm đúng với mọi x [0; 1].
Bài 6. Tìm m để BPT: m 2 x 2 9 x m có nghiệm đúng x
Hướng dẫn:
m 2 x 2 9 x m m 2 x 2 9 1 x m f x
9 2x2 9
Ta có: f x
2 x 2 9 2 x 2 9 1
lim f x lim
1
1 ;
2
2 92 1
x
x
lim f x lim
1
1
2
2 92 1
x
x
x
x
x
x
2
0
x
2x 9 1
2
2 x 2 9 9 x 6
Nhìn BBT ta có f x m , x Min f x f 6 3 m m 3
x
4
4
Bài 7. Tìm m để phương trình: x( x 1) 4( x 1)
x
m có nghịêm
x 1
Hướng dẫn:
Đặt t ( x 1)
x
x 1
Chuyên đề LTĐH
khi đó pt cho ta m = t(t – 1) suy ra m 4
16
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
DẠNG 4 : Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLL và GTNN của hàm số
trên một miền
(Phần nâng cao-bồi dưỡng học sinh giỏi -Trích tài liệu của Trần Phương và tham
khảo phần tài liệu Sĩ Tùng)
Phương Pháp:
1. Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
Chứng minh một bất đẳng thức.
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được
trở thành đẳng thức.
2. Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có
nghiệm:
f ( x ) y0
x D
(1)
(2)
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường
điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng:
m y0 M (3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f ( x ) m; max f ( x ) M
D
D
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 x 2 2 x 1
Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)
tồn tại x0 sao cho y0 = x0 4 x02 2 x0 1
y0 x0 4 x02 2 x0 1 y02 2 y0 x0 x02 4 x02 2 x0 1
g(x0) = 3 x02 2(1 y0 ) x0 1 y02 0 . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0
= (1 y0 )2 3(1 y02 ) 2(2 y02 y0 1) = 2( y0 1)(2 y0 1) 0
Chuyên đề LTĐH
17
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Do y0 = x0 3 x02 ( x0 1)2 x0 3 x02 x0 3 x0 0 nên
0 2y0 1 0 y0
1
1
1
. Với x = thì Minf(x) =
2
2
2
Bài 2. Cho y f x x 2 5 x 4 mx. Tìm các giá trị của m sao cho Min y 1
x 2 m 5 x 4 ; x 1 x 4 : P1
Giải. Ta có f x
2
x m 5 x 4 ; 1 x 4 : P2
Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) (P) = (P1) (P2) khi đó (P) có 1 trong các hình
dạng đồ thị sau đây
A
P1
P2
C
B
A
P2
B
P1
P1
C
A
P2
C B
Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):
Hoành độ giao điểm ( P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): xC
5m
.
2
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).
3 m 3
Khi đó Minf(x) > 1 f (1) m 1 1 < m 3
f (4) 4m 1
(1)
5m
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = f1 xC f1
=
2
m 2 10m 9
4
Chuyên đề LTĐH
18
Biên soạn:Trần Đình Cư
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
m [3,3]
Khi đó Minf(x) > 1 2
3 m 5 2 3
m 10m 13 0
(2)
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1 1 m 5 2 3
x, y 0
Bài 3. Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
x y 1
x
1 x
y
1 y
Giải:
x
y
S
y
x
y
x
x
Mặt khác, S =
Suy ra 2S
1 x
1
x
1
y
y
1 y
2
4
xy
=
x y 2
1 y
y
2
xy
2
x y
1
1
=
x
x
y
1 x
x y x y
x y
2 2 S 2 MinS = 2 .
Bài 4. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)
Cho x 2 y 2 1 . Tìm Max, Min của A x 1 y y 1 x .
Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có
A
x
2
y 2 1 y 1 x 2 x y 2 2 x 2 y 2 2 2 .
Với x y 1 thì Max A 2 2
2
2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây
• Trường hợp 1: Nếu xy 0 , xét 2 khả năng sau:
+) Nếu x 0, y 0 thì A>0 Min A 0
+) Nếu x 0, y 0 thì
A
( x 2 y 2 ) (1 x ) (1 y )
2 x y = 2 x y 2 x2 y2 1
Từ 2 khả năng đã xét suy ra với xy 0 thì Min A = 1
Chuyên đề LTĐH
19
Biên soạn:Trần Đình Cư
- Xem thêm -
.PDF 
97 
341 
143 
