Mô tả:
LÖÔÏNG GIAÙC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Chuyeân ñeà 7
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung:
1. Ñoä:
Goùc 10 = 1 goùc beït
180
2. Radian: (rad)
.
180 o
x
O
y
1800 = π rad
3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng:
00
0
Ñoä
Radian
300
450
600
900
6
4
3
2
π
π
π
1200
2π
3
π
1350
3π
4
1500
5π
6
1800
π
II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc:
1. Ñònh nghóa:
(tia ngọn)
y
y
(điểm ngọn)
+
B
O
x
(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)
+
α
α
t
α
3600
2π
x
O
(tia gốc)
t
M
A (điểm gốc)
AB = α + k 2π
2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
q = α + k2π
Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM
M
A
→
B
→
C
→
D
→
A, C
→
B, D
→
y
2kπ
B
π + 2kπ
+
2
π + 2kπ
- π + 2kπ
2
kπ
27
x
A
O
D
π + kπ
2
C
−
y
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc:
x'
u
B
1
u'
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
• A: ñieåm goác
• x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh )
• y'Oy : truïc sin ( truïc tung )
• t'At : truïc tang
• u'Bu : truïc cotang
t
−1
C
R =1
O
+
1
A
−
−1 D
y'
x
t'
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:
a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= α .
Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy
T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu
Ta ñònh nghóa:
t
y
t
Trục sin
Trục cotang
u'
U
B
M
Q
x'
O
Trục cosin
+
T
α
α
t
u
P
A
−
b. Caùc tính chaát :
•
Trục tang
t'
y'
sin α = OQ
x
−1
Vôùi moïi α ta coù :
−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1
•
•
tanα xaùc ñinh ∀α ≠
π
2
cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ
+ kπ
c. Tính tuaàn hoaøn
sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cos α
tan(α + kπ )
= tan α
cos α = OP
(k ∈ Z )
cot(α + kπ ) = cot α
28
tanα
= AT
cot α = BU
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:
Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät
y
t
3
- 3
- 3 /3
-1
u'
B
1
2π/3
π
u
π/4
2 /2
5π/6
3
1
π/3
3 /2
3π/4
x'
3 /3
π/2
π/6
3 /3
1/2
1/2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2
-1
2 /2
3 /2
O
-π/4
- 3 /2
-1
-π/2
Hslg
sin α
0
cos α
1
tan α
0
cot α
kxñ
450
6
1
2
π
3
2
3
3
3
π
600 900
π
π
4
2
2
2
2
1
3
3
2
1
2
2
1
3
kxñ
1
3
3
0
0
t'
1200
2π
3
3
2
1
−
2
− 3
−
29
-1
-π/3
y'
300
−
- 3 /3
-π/6
- 2 /2
00
0
x
1 A (Ñieåm goác)
-1/2
Goùc
+
3
3
1350
3π
4
2
2
2
−
2
-1
-1
- 3
1500
5π
6
1
2
3
2
3
−
3
− 3
−
1800 3600
π
2π
0
0
-1
1
0
0
kxñ
kxñ
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät:
Ñoù laø caùc cung :
1. Cung ñoái nhau
: α vaø -α
2. Cung buø nhau
: α vaø π -α
3. Cung phuï nhau
: α vaø
4. Cung hôn keùm
π
2
: α vaø
π
2
π
2
(toång baèng 0)
−α
( toång baèng π )
( toång baèng
π
2
)
= co s α
= − sin α
= − tan α
= − cot α
Buø sin
Ñoái cos
π
sin( − α )
2
= cos α
tan( − α )
2
= cotα
cot( − α )
2
= tan α
π
π
(Vd:
6
π
6
6
,…)
5π
,…)
6
π
&
3
,…)
&
2π
,…)
3
&
7π
,…)
6
π
6
cos(π − α )
sin(π − α )
tan(π − α )
cot(π − α )
= − cos α
= sin α
= − tan α
= − cot α
4. Cung hôn keùm
Phuï cheùo
Hôn keùm
tan(π + α )
cot(π + α )
=
=
tanα
cot α
2
cos( + α ) = − sin α
2
π
sin( + α )
2
= cos α
tan( + α )
2
= −cotα
cot( + α )
2
= − tan α
π
π
cos(π + α ) = − cos α
= − sin α
π
2
sin baèng cos
cos baèng tröø sin
5. Cung hôn keùm π :
sin(π + α )
π
π
cos( − α ) = sin α
2
π
6
&
π
2. Cung buø nhau :
3. Cung phuï nhau :
π
π
(Vd:
(Vd:
1. Cung ñoái nhau:
&−
6
(Vd:
+α
5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α
cos(−α )
sin(−α )
tan(−α )
cot(−α )
π
(Vd:
Hôn keùm π
tang , cotang
30
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:
1. Caùc heä thöùc cô baûn:
2
1
cos2α
1
1 + cot 2α =
sin 2 α
tanα . cotα = 1
1 + tan2α =
2
cos α + sin α = 1
tanα
cotα
sinα
cosα
cosα
=
sinα
=
Ví duï: Chöùng minh raèng:
1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x
2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x
Chứng minh
2
2
1) cos4 x + sin 4 x = (cos2 x ) + (sin2 x )
2
= (cos2 x + sin2 x ) − 2 sin2 x cos2 x
= 1 − 2 sin2 x cos2 x
3
3
2) cos6 x + sin6 x = (cos2 x ) + (sin2 x )
3
= (cos2 x + sin2 x ) − 3 sin2 x cos2 x (cos2 x + sin2 x )
= 1 − 3 sin2 x cos2 x
2. Coâng thöùc coäng :
cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
tanα +tanβ
1 − tan α .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
tan(α +β ) =
Ví duï: Chöùng minh raèng:
π
1.cos α + sin α = 2 cos(α − )
4
π
2.cos α − sin α = 2 cos(α + )
4
Chứng minh
31
⎛ 2
⎞
2
1) cos α + sin α = 2 ⎜⎜
cos α +
sin α ⎟⎟⎟
⎜⎝ 2
2
⎠⎟
π
π⎞
⎛
= 2 ⎜⎜cos α cos + sin α sin ⎟⎟
⎝
4
4⎠
π⎞
⎛
= 2 cos ⎜⎜α − ⎟⎟
⎝
4⎠
⎛ 2
⎞
2
2) cos α − sin α = 2 ⎜⎜
cos α −
sin α ⎟⎟⎟
⎜⎝ 2
2
⎠⎟
π⎞
π
⎛
= 2 ⎜⎜cos α cos − sin α sin ⎟⎟
⎝
4
4⎠
π⎞
⎛
= 2 cos ⎜⎜α + ⎟⎟
⎝
4⎠
3. Coâng thöùc nhaân ñoâi:
cos2 α =
1 + cos 2α
2
sin2 α =
1 − cos 2α
2
cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
= 1 − 2 sin2 α
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2 sin α .cos α
tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
sin α cos α =
4 Coâng thöùc nhaân ba:
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
cos 3 α =
cos 3α + 3 cos α
4
sin 3 α =
3 sin α − sin 3α
4
5. Coâng thöùc haï baäc:
cos2 α =
1 + cos 2α
;
2
sin2 α =
6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan
sin α =
2t
;
1 + t2
32
1 − cos 2α
;
2
tan2 α =
α
2
cos α =
1 − t2
;
1 + t2
1
sin 2α
2
tan α =
2t
1 − t2
1 − cos 2α
1 + cos 2α
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cos β =
8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :
cos α + cos β = 2 cos
α +β
.cos
α −β
2
2
α +β
α −β
cos α − cos β = −2 sin
.sin
2
2
α +β
α −β
sin α + sin β = 2 sin
.cos
2
2
α +β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tan α + tan β =
cos α cos β
sin(α − β )
tan α − tan β =
cos α cos β
9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:
π
π
cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + )
4
4
π
π
cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4
33
3 + cos 4α
4
cos 4α
5
3
+
cos6 α + sin6 α =
8
cos4 α + sin 4 α =
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)
Böôùc 4: Keát luaän
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )
sinu=sinv
cosu=cosv
⎡ u = v+k2π
⇔ ⎢
⎣ u = π -v+k2π
⎡ u = v+k2π
⇔ ⎢
⇔ u = ± v + k2π
⎣ u = -v+k2π
tanu=tanv
⇔
u = v+kπ
cotu=cogv
⇔
u = v+kπ
(u;v ≠
π
+ kπ )
2
(u;v ≠ kπ )
( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z )
Ví duï : Giaûi phöông trình:
π
3π
4
4
1
4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x )
4
2. cos( x −
1. sin 3 x = sin( − 2 x )
4
3. cos 3x = sin 2 x
Bài giải
π
) = cos
π
⎡
π k 2π
π
⎡
⎡
3 x = − 2 x + k 2π
x=
+
5 x = + k 2π
⎢
⎢
⎢
4
π
20
5
4
⎢
1) sin 3 x = sin( − 2 x ) ⇔
⇔⎢
⇔⎢
4
⎢3 x = π − ⎛ π − 2 x ⎞ + k 2π
⎢ x = 3π + k 2π
⎢ x = 3π + k 2π
⎜
⎟
⎢⎣
⎢⎣
⎢
⎣
4
4
⎝4
⎠
⎡
π 3π
⎡ x = π + k2π
+ k2π
⎢x − =
⎢
π
3π
⎢
4
4
2)cos(x − ) = cos
⇔⎢
⇔⎢
π
⎢ x = − + k2π
4
4
⎢ x − π = − 3π + k2π
2
⎢
⎣⎢
4
4
⎣
π
⎡
k2π
π
⎡
+
⎢x =
⎢ 3x = − 2x + k2π
⎛π
⎞⎟
2
10
5
⇔ ⎢⎢
3) cos 3x = sin 2x ⇔ cos 3x = cos ⎜⎜ − 2x⎟ ⇔ ⎢⎢
π
π
⎝2
⎠
⎢
⎢ 3x = − + 2x + k2π
⎢⎣ x = − 2 + k2π
⎢⎣
2
34
1
3 + cos 4 x 3 − cos 6 x
4) sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) ⇔
=
⇔ cos 6 x = − cos 4 x ⇔ cos 6 x = cos (π − 4 x )
4
4
4
π k 2π
⎡
⎢ x = 10 + 5
⎡6 x = π − 4 x + k 2π
⇔⎢
⇔⎢
⎣6 x = −π + 4 x + k 2π
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
2
II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1. Daïng 1:
sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m
( ∀m ∈ R )
* Gpt : sinx = m (1)
•
Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm
•
Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù
⎡ x = α +k2π
(1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢
⎣ x = (π -α )+k2π
* Gpt : cosx = m (2)
•
Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm
•
Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù
⎡ x = β +k2π
(2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢
⎣ x = − β +k2π
* Gpt: tanx = m (3)
( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )
•
Ñaët m = tan γ thì
(3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ
* Gpt: cotx = m (4)
•
( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )
Ñaët m = cot δ thì
(4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ
35
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
sin x = −1 ⇔ x = −
sinx = 0
⇔ x = kπ
sin x = 1
⇔ x =
cosx = 0
⇔ x=
π
2
y
+ k 2π
B
π
+ k 2π
2
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π
cos x = 1
π
C
+ kπ
2
⇔ x = k 2π
Giaûi caùc phöông trình :
1
1) sin 2 x =
2
3) sin 2 x + cos 2 x = 1
1) sin 2 x =
π
2
2) cos( x − ) = −
4
2
4
4
4) cos x + sin x = cos 2 x
1
π
⇔ s in2x=sin
2
6
π
⎡
⎢2 x = 6 + k 2π
⇔⎢
⎢2 x = π − π k 2π
⎢⎣
6
π
⎡
⎢ x = 12 + kπ
⇔⎢
⎢ x = 5π + kπ
⎢⎣
12
π
2
π
3π
2) cos( x − ) = −
⇔ cos( x − ) = cos
4
2
4
4
⎡ π 3π
⎢ x − 4 = 4 + k 2π
⇔⎢
⎢ x − π = − 3π + k 2π
⎢⎣
4
4
⎡ x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k 2π
2
⎣
36
x
A
O
D
Ví duï:
Bài giải:
+
−
π⎞
⎛
3) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = 1
⎝
4⎠
π⎞
2
⎛
⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ =
⎝
4⎠
2
π⎞
π
⎛
⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = cos
⎝
⎠
4
4
π
π
⎡2x − = + k2π
⎢
4
4
⇔ ⎢⎢
π
π
⎢2x − = − + k2π
⎢⎣
4
4
⎡ x = π + kπ
⎢
4
⇔⎢
⎢ x = kπ
⎢⎣
3 + cos 4x
4) cos4 x + sin 4 x = cos 2x ⇔
= cos 2x
4
⇔ 3 + 2 cos2 2x − 1 = 4 cos 2x
2
⇔ (cos 2x − 1) = 0
⇔ cos 2x = 1
⇔ 2x = k2π
⇔ x = kπ
Ví duï:
Giaûi caùc phöông trình:
1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x
3) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0
1
4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x =
4
2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x
Bài giải
1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x ⇔ cos 2 x = 1
⇔ 2 x = k 2π
⇔ x = kπ
Vậy nghiệm pt là x = kπ
5 + 3 cos 4 x
2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x ⇔
= cos 4 x
8
⇔ cos 4 x = 1
⇔ 4 x = k 2π
kπ
⇔x=
2
Vậy nghiệm pt là x =
kπ
2
37
3) 4(sin 4 x + cos4 x) + sin 4x − 2 = 0 ⇔ 3 + cos 4x + s in4x − 2 = 0
π⎞
⎛
⇔ 2 cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = −1
⎝
4⎠
3π
π⎞
⎛
⇔ cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = cos
⎝
⎠
4
4
⎡
π 3π
+ k2π
⎢4x − =
4
4
⇔ ⎢⎢
⎢4x − π = − 3π + k2π
⎢
4
4
⎣
⎡4x = π + k2π
⎢
⇔⎢
π
⎢4x = − + k2π
⎢⎣
2
⎡
π kπ
⎢x = +
⎢
4
2
⇔⎢
π
⎢ x = − + kπ
⎢
8
2
⎣
⎡
π kπ
⎢x = +
⎢
4
2
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢
8
2
⎣
1
1
4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = ⇔ − sin x cos x. cos2 x − sin2 x =
4
4
1
⇔ − s in2x.cos2x =
2
⇔ s in4x = −1
(
⇔ 4x = −
⇔x=−
π
kπ
Vậy nghiệm pt là x = − +
8 2
2. Daïng 2:
π
π
8
2
+ k 2π
+
kπ
2
a sin 2 x + b sin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0
a tan2 x + b tan x + c = 0
Caùch giaûi:
)
a cot 2 x + b cot x + c = 0
38
( a ≠ 0)
Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1)
Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x
Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù)
Ví duï :
1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0
3) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos(
Bài giải
(
5
=0
2
2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x. cos x
2) cos 2 x − 4 cos x +
π
2
− 2 x) = 0
4)
)
1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 1 − sin 2 x + 5sin x − 4 = 0
⇔ 2 sin2 x − 5sin x + 2 = 0
⎡sin x = 2 (VN)
⇔⎢
⎢sin x = 1
2
⎣
π
⎡
⎢ x = 6 + k 2π
⇔⎢
⎢ x = 5π + k 2π
⎢⎣
6
π
⎡
⎢ x = 6 + k 2π
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = 5π + k 2π
⎢⎣
6
5
2) cos 2 x − 4 cos x + = 0 ⇔ 2(2 cos2 x − 1) − 8 cos x + 5 = 0
2
⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0
⎡
⎢ cos x =
⇔⎢
⎢ cos x =
⎢⎣
⇔x=±
Vậy nghiệm pt là x = ±
π
3
π
3
3
(VN)
2
1
2
+ k 2π
+ k 2π
39
2 − 2 sin x
=0
π
3 + cos 4x
3) 2(sin 4 x + cos4 x) − cos( − 2x) = 0 ⇔
− s in2x = 0
2
2
⇔ 3 + 1 − 2 sin2 2x − 2 s in2x = 0
⇔ 2 sin2 2x + 2 s in2x − 4 = 0
⎡s in2x = 1
⇔ ⎢⎢
⎢⎣s in2x = −2 (VN)
π
⇔ 2x = + k2π
2
π
⇔ x = + kπ
4
π
+ kπ
4
2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x
4)
=0
2 − 2 sin x
⎡ x ≠ π + k2π
⎢
2
4
Điều kiện: sin x ≠
⇔ ⎢⎢
3
2
⎢ x ≠ π + k2π
⎢⎣
4
Khi đó:
2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x
5 + 3 cos 4x 1
=0⇔
− s in2x = 0
2 − 2 sin x
4
2
2
⇔ 5 + 3 (1 − 2 s in 2x ) − 2 s in2x = 0
Vậy nghiệm pt là x =
⇔ 6 sin2 2x + 2 s in2x − 8 = 0
⎡ s in2x = 1
⎢
⇔⎢
⎢ s in2x = − 4 (VN)
⎢⎣
3
π
⇔ 2x = + k2π
2
π
⇔ x = + kπ
4
5π
So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x =
+ k2π .
4
40
3. Daïng 3:
a cos x + b sin x = c (1)
( a;b ≠ 0)
Caùch giaûi:
•
•
Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt
a
b
c
(1) ⇔
cos x +
sin x =
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
Ñaët
a
2
a +b
2
= cosα vaø
b
= sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì :
a + b2
2
(2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
⇔ cos(x-α ) =
c
a + b2
Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.
Chuù yù :
(2)
2
c
2
a + b2
(3)
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c 2
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
1) cos x + 3 sin x = −1
2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2
Bài giải
1
3
1
cos x +
sin x = −
2
2
2
2π
π⎞
⎛
⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos
3⎠
3
⎝
1) cos x + 3 sin x = −1 ⇔
⎡ π 2π
⎢ x − 3 = 3 + k 2π
⇔⎢
⎢ x − π = − 2π + k 2π
⎢⎣
3
3
⎡ x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k 2π
3
⎣
⎡ x = π + k 2π
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + k 2π
3
⎣
41
2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ cos 4 x + 3 s in4x = −1
1
3
1
cos 4 x +
s in4x = −
2
2
2
π⎞
2π
⎛
⇔ cos ⎜ 4 x − ⎟ = cos
3⎠
3
⎝
⇔
π 2π
⎡
⎢ 4 x − 3 = 3 + k 2π
⇔⎢
⎢ 4 x − π = − 2π + k 2π
⎢⎣
3
3
⎡ 4 x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ 4 x = − π + k 2π
3
⎣
π kπ
⎡
⎢x = 4 + 2
⇔⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
12 2
π kπ
⎡
⎢x = 4 + 2
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
12 2
d. Daïng 4:
a sin2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0
(a;c ≠ 0)
(1)
Caùch giaûi 1:
1 − cos2 x
1 + cos 2 x
vaø cos2 x =
2
2
1
vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3
2
Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin2 x =
Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )
Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt:
a tan2 x + b tan x + c = 0
Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi.
Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x =
π
+ kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng?
2
Ví duï : Giaûi phöông trình:
3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0
42
d. Daïng 5:
a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0
Caùch giaûi :
(1)
π
Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2
4
t2 −1
2
Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx=
2
• Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình :
t2 − 1
at + b
+ c = 0 (2)
2
•
•
Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt:
π
2 cos( x − ) = t tìm x.
4
Ví duï : Giaûi phöông trình :
sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0
Chuù yù :
Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng :
a(cos x − sin x ) + b sin x .cos x + c = 0
Ví duï : Giaûi phöông trình :
sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :
a. Phöông phaùp 1:
Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng
giaùc cô baûn ñaõ bieát
Ví duï: Giaûi phöông trình:
3
=0
2
2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x
1
3) tan x − 3 =
cos x
1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x −
b. Phöông phaùp 2:
Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:
⎡ A=0
A.B = 0 ⇔ ⎢
⎣ B=0
hoaëc
A.B.C = 0
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. sin2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2
b. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0
43
⎡ A=0
⇔ ⎢⎢ B=0
⎢⎣C=0
c. Phöông phaùp 3:
Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï
Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :
* Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0
* Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx
3
1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x
Ví duï : Giaûi phöông trình :
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
⎛ 7π
⎞
1
1
1)
+
= 4 sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟
⎝4
⎠
sin x sin ⎛⎜x − 3π ⎞⎟
⎟
⎝⎜
⎠
2
2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x
3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x
Bài giải:
⎛ 7π
⎞
1
1
1)
+
= 4 sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟
⎛
⎞
⎝4
⎠
sin x sin ⎜x − 3π ⎟
⎜⎝
⎟
⎠
2
44
Bài giải:
2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x
Bài giải:
3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau
1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x
2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
x ⎞⎟2
⎛ x
⎜
3) ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2
⎝
2
2⎠
Bài giải
1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x
Bài giải:
2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
45
Bài giải:
x
x ⎞2
⎛
3) ⎜⎜sin + cos ⎟⎟ + 3 cos x = 2
⎝
2
2⎠
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x
1)
=0
2 − 2 sin x
x⎞
⎛
2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = 4
⎝
2⎠
3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
Bài giải:
2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x
1)
=0
2 − 2 sin x
Bài giải:
x⎞
⎛
2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = 4
⎝
2⎠
46
- Xem thêm -
.PDF 
23 
510 
86 
