Tài liệu đại số 10 chương iv bất đẳng thức bất phương trình

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau a. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b. a² + b² + 1 ≥ ab + a + b c. a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc d. a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc e. a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae 1 1 1 1 1 1      với a, b, c > 0 a b c ab bc ca g. a + b + c ≥ ab  bc  ca với a, b, c ≥ 0 f. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau a. a 3  b3 a b 3 ( ) với a, b ≥ 0 2 2 c. a4 + 3 ≥ 4a e. a 4  b 4  5 a 6 b2 b. a4 + b4 ≥ a³b + ab³ d. a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0.  b 6 a2 5 ; với a, b ≠ 0. f. 4 1 1 a 2  1 1 b 2  2 ; với ab ≥ 1 1  ab 4 g. (a + b )(a + b) ≥ (a + b )(a² + b²); với ab > 0. Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu bất đẳng thức sau a a ac  1 thì  (1). Áp dụng (1) chứng minh các b b bc a b c   2 ab bc ca a b c d    2 b. 1  a bc bcd cd a d a b ab bc cd da    3 c. 2  a bc bcd cda da b a. Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau a. (a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca) b. 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² 4 4 4 c. a + b + c ≥ abc(a + b + c) Bài 5. Cho a, b không âm. Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau 1 1 1 1  3 3  3 3  với a, b, c > 0. 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 1 1 b. 3 3  3 3  3 3 ≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1. a  b 1 b  c 1 c  a 1 a. c. 3 3 4(a 3  b3 )  3 4(b3  c 3 )  3 4(c 3  a 3 ) ≥ 2(a + b + c) với mọi a, b, c ≥ 0 Bài 6. Chứng minh bất đẳng thức Mincốpxki: a 2  x 2  b2  y2  (a  b) 2  (x  y)2 Áp dụng (1) thực hiện các yêu cầu sau a. Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1. Chứng minh: 1  a 2  1  b 2  5 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2  1 b2 c. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh:  b2  x2  (1) 1 a2 1 x2  y2  1 y2  z2  d. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 223  x 2  223  y 2  223  z 2 Bài 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh 1 z2  82 a. ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) b. abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c. 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0 d. a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³ HD: a. Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c². b. Gợi ý a² > a² – (b – c)². c. Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0. d. Phân tích thành nhân tử. Bài 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b. (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc bc ca ab   ≥a+b+c a b c a b c 3    f. bc ca ab 2 c. (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1  3 abc)3 e. d. ab bc ca a bc    ab bc ca 2 Bài 9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 a 1 b 1 c a. (a³ + b³ + c³) (   ) ≥ (a + b + c)² b. 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) c. 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ a 3 b3 HD: a. Chú ý:  ≥ 2ab. b a b. Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b). c. Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) Bài 10. Cho a, b > 0. Chứng minh 1 1 4   (1). Áp dụng chứng minh a b ab 1 1 1 1 1 1    2(   ) với a, b, c > 0. a b c ab bc ca 1 1 1 1 1 1    2(   ) với a, b, c > 0. b. a b bc ca 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 1 1 1 1 1 1   1 c. Cho a, b, c > 0 thỏa    4 . Chứng minh: a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c ab bc ca a bc    d. ; với a, b, c > 0. ab bc ca 2 2xy 8yz 4xz   e. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + 2y + 3z = 12. Chứng minh: ≤6 x  2y 2y  4z 4z  x a. f. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh 1 1 1 1 1 1    2(   ) p a p b p c a b c HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1). d. (1) <=> ab 1  (a  b) . ab 4 e. Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 f. 1 1 4 4    pa pb pa pb c Bài 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a. (a² + b² + c²) ( 1 1 1 9    (1). Áp dụng (1) chứng minh bất đẳng thức a b c abc 1 1 1   ) ≥ 3(a + b + c)/2. a b bc ca b. Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y z   x 1 y 1 z 1 c. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1 a 2  2bc  1 b 2  2ac  1 c 2  2ab d. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 a 2  b2  c2  1 1 1   ≥ 30 ab bc ca Bài 12. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau x 18  ; với x > 0 2 x x 5  ; với 0 < x < 1 c. y = 1 x x x 2  ; với x > 1 2 x 1 2x 3  2x 2  1 d. y = với x > 0 x2 a. y = b. y = Bài 13. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau a. y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ 4 b. y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3 c. y = |x | 2 x  3x  9 d. y = x2 (x 2  2)3 Bài 14. Chứng minh các bất đẳng thức sau a. a² + b² ≥ 2 với a + b = 2 b. 3a² + 5b² ≥ 735 , với 2a – 3b = 7 47 c. a² + b² ≥ 4/5, với a + 2b = 2 d. (x – 2y + 1)² + (2x – 4y + 5)² ≥ 9/5 Bài 15. Chứng minh các bất đẳng thức sau a. a² + b² ≥ 1/2, với a + b ≥ 1. b. a³ + b³ ≥ 1 , với a + b ≥ 1. 4 c. a4 + b4 ≥ 1/8, với a + b ≥ 1. d. a4 + b4 ≥ 2, với a + b = 2. Bài 16. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1  x2  1  y2  1  z2 Bài 17. Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1. Chứng minh x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z Bài 18. Cho a, b, c ≥ –1/4 và a + b + c = 1. Chứng minh 7  4a  1  4b  1  4c  1  21 Bài 19. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a. A  4 1  , với x + y = 1 x 4y b. B = x + y, với 2 3  6 x y Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x 1  y  y 1  x , với mọi x, y thỏa mãn x² + y² = 1. Bài 21. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức a. A  7  x  2  x , với –2 ≤ x ≤ 7 b. B  6 x  1  8 3  x , với 1 ≤ x ≤ 3 c. C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9 Bài 22. Giải các bất phương trình sau 3 5 a. 3x   7  2x 3 b. 2x  14 7 x 5 4 Bài 23. Giải và biện luận bất phương trình sau: m(x  2) x  m x  1   6 3 2 Bài 24. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm a. m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x. b. mx – m² > mx – 4 Bài 25. Giải các hệ bất phương trình sau  3x  1  2x  7 a.   4x  3  2x  19  2  5x  x  14  c.  3x  5 11  x  5  3  4x  5  3(x  2) b.   3x  13  4(2x  3) Bài 26. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau 5   6x  7  4x  7 a.   8x  3  2x  25  2 1  15x  2  2x  3 b.   2(x  4)  3x  14  2 Bài 27. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm  7x  2  4x  19  2x  3m  2  0 b.   x  4m 2  2mx  1  3x  2  2x  1 d.  a.  c.   x 1  0  mx  3  0  mx  1  0  (3m  2)x  m  0 Bài 28. Giải các bất phương trình a. (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b. (2x – 7)(5 – x) ≥ 0 d. x³ + 8x² + 17x + 10 < 0. Bài 29. Giải các bất phương trình (x  1)(x  2) 0 x  3 2x  3 d. ≤x+1 x 1 a. x 3 x 5  x 1 x  2 2x 2  x e. ≥1–x 1  2x b. c. x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0 c. Bài 30. Giải các bất phương trình a. |5x – 12| < 3 b. |3x + 15| ≥ 3 c. |x – 2| > x + 1 Bài 31. Giải và biện luận các bất phương trình a. 2x  m  1 0 x 1 b. mx  m  1 0 x 1 c. 2x  5 +x≥0 2x d. |2x – 5| ≤ x + 1 x  1(x  m  2)  0 Bài 32. Xét dấu các biểu thức sau a. 3x² – 2x + 1 b. (x² – 4x + 3)(x – 5) Bài 33. Giải các bất phương trình a. –2x² + 5x < 2 b. 5x² – 4x < 12 d. x² – x – 6 ≤ 0 e. 2 3x  x  4 x 2  3x  5 0 Bài 34. Giải các hệ bất phương trình sau  x 2  6x  5  0 a.  2 x  x  6  0  4x  7  x 2 d.  2  x  2x  1  0  2x 2  x  6  0 b.  2  3x  3  10x e. –4 ≤ x 2  2x  7 ≤1 x2  1 c. 2x² – 7x + 5 d. (3x 2  x)(3  x 2 ) 4x 2  x  3 c. –2x² + 3x ≥ 7 f. 4x 2  3x  1 x 2  5x  7 0  2x 2  5x  4 c.  2  x  3x  10 f. 1/13 ≤ x 2  2x  2 ≤1 x 2  5x  7 Bài 35. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x a. 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b. x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0 c. mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d. (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 e. |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0 Bài 36. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm a. (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b. (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0 c. mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d. (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0 Bài 37. Giải các bất phương trình a. 2x² < |5x – 3| b. x – 8 > |x² + 3x – 4| c. |x – 3| – |x + 1| < 2 d. |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5| f. x2 ≥3 x  5x  6 2 e. |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0 x  4x 2 g. x x2 2 ≤1 h. 2x  5 1  0 x 3 Bài 38. Giải các phương trình sau a. 3 x  5  3 x  6  3 2x  11 b. 3 x  1  3 3x  1  3 x  1 c. 3 x  1  3 x  2   3 x  3 Bài 39. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a. 3x 2  5x  8  3x 2  5x  1  1 b. 3 5x  7  3 5x  13  1  0 c. 3 9  x  1  3 7  x  1  4 e. 4 47  2x  4 35  2x  4 d. f. 3 24  x  3 5  x  1 x 2  4356  x  x x 2  4356  x 2  5 x Bài 40. Giải các bất phương trình sau a. x 2  x  12  8  x b. x 2  x  12  7  x c.  x 2  4x  21  x  3 d. x 2  3x  10  x  2 e. 2x  6x 2  1  x  1 f. 2x  3  x  2  1 g. x  3  7  x  2x  8  0 h. 2  x  7  x  3  2x Bài 41. Giải các bất phương trình sau a. (x  3)(8  x) + x² – 11x + 26 > 0 b. (x  5)(x  2)  3 x(x  3)  0 c. (x + 1)(x + 4) – 5 x 2  5x  28 < 0 Bài 42. Giải các bất phương trình sau a. x 2  4x ≤ 2 3 x b. d. 3x 2  5x  7  3x 2  5x  2 ≥ 1 x 2  x  6  2x  5 x 2  x  6 x4 Bài 43. Giải các bất phương trình sau a. x + 2 ≤ 3 x 2  8 b. 3 x  1  x  3 Bài 44. Giải các bất phương trình sau a. |x² – 4x – 5| < 4x – 17 b. |x – 1| + |x + 2| < 3 c. 2|x – 3| – |3x + 1| – x – 5 ≤ 0 d. |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4| e. |x – 6| > |x² – 5x + 9| f. |x² – 2x – 3| – 2 – |2x – 1| > 0 4 9  với 0 < x < 1. x 1 x Bài 46. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x  1  5  x với 1 ≤ x ≤ 5. Bài 45. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Bài 47. Giải bất phương trình a. (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15 c. (x  3) x 2  4 ≤ x² – 9 b. (x + 4)(x + 1) – 3 x 2  5x  2 < 6 d. x² – 4x – 6 ≥ 2x 2  8x  12