Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a)
S
có tâm
I 2; 2; 3
b)
S
có tâm
I 1; 2;0
c)
S
có đường kính AB với
và bán kính R 3 .
và (S) qua
P 2; 2;1
.
A 1;3;1 , B 2;0;1
.
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm
(S):
b) Ta có:
x 2
2
và bán kính R 3 , có phương trình:
2
2
y 2 z 3 9
IP 1; 4;1 IP 3 2
Mặt cầu tâm
(S):
c) Ta có:
I 2; 2; 3
I 1; 2;0
x 1
2
.
và bán kính R IP 3 2 , có phương trình:
2
y 2 z 2 18
AB 3; 3;0 AB 3 2
.
1 3
I ; ;1
2 2 .
Gọi I là trung điểm AB
1 3
AB 3 2
I ; ;1
R
2
2 , có phương trình:
Mặt cầu tâm 2 2 và bán kính
2
2
1
3
9
2
x y z 1
2
2
2.
(S):
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua
A 3;1; 0 , B 5;5;0
và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng
c) (S) có tâm
:
x 1 y 1 z
.
1
1
3
I 1; 2;0
: 16 x 15 y 12 z 75 0 .
và có một tiếp tuyến là đường thẳng
Bài giải:
I a; 0; 0 Ox
a) Gọi
Do (S) đi qua A, B
I 10; 0;0
2
. Ta có :
IA IB
I 10;0;0
3 a
2
Mặt cầu tâm
2
1 5 a 25 4a 40 a 10
và bán kính R 5 2 , có phương trình (S) :
d O, R R
O 0;0;0
A 1;1;0 IA 0; 1;0
Do (S) tiếp xúc với
Mặt cầu tâm
2
75
3.
25
2
2
2
và bán kính R 3 , có phương trình (S) : x y z 9
.
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
x 1
.
y 2 z 2 50
b) Do (S) tiếp xúc với
c) Chọn
IA 3 a;1;0 , IB 5 a;5; 0
và IA 5 2 .
Mặt cầu tâm
x 10
u 1;1; 3
IA, u
10
d I , R R
u
11
I 1; 2;0
và bán kính
R
IA, u 3;0; 1
. Ta có:
.
.
10
11 , có phương trình (S) :
10
2
y 2 z 2
.
121
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm
b) (S) qua
A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 , D 1;0; 4
A 0;8;0 , B 4;6; 2 , C 0;12; 4
và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi
I x; y; z
.
là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:
Do đó:
IA IB
IA IC
IA ID
I 2;1;0
IA2 IB 2
y z 1
2
2
IA IC x 7 z 2
IA2 ID 2
y 4 z 1
x 2
y 1
z 0
2
.
2
x 2 y 1 z 2 26 .
và R IA 26 . Vậy (S) :
2
2
2
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 ,
a
2
b2 c 2 d 0
Do
.
A 1; 2; 4 S
Tương tự:
2a 4b 8c d 21
(1)
B 1; 3;1 S 2a 6b 2c d 11
(2)
C 2; 2;3 S 4a 4b 6c d 17
(3)
D 1;0; 4 S 2a 8c d 17
(4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :
x 2
2
2
y 1 z 2 26
.
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)
I 0; b; c
.
IA2 IB 2
b 7
IA IB IC 2
2
c 5 .
IA IC
Ta có:
Vậy
I 0;7;5
2
2
x 2 y 7 z 5 26.
và R 26 . Vậy (S):
x t
: y 1
z t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng
và
(S) tiếp xúc với hai mặt phẳng
:
x 2 y 2 z 3 0
Bài giải:
Gọi
I t ; 1; t
là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
và
:
x 2 y 2 z 7 0
.
Theo giả thiết:
I 3; 1; 3
Suy ra:
1 t
d I , d I ,
và
R d I ,
3
5 t
3
1 t 5 t
t 3
1 t t 5
.
2
4
2
2
2
x 3 y 1 z 3
3 . Vậy (S) :
9.
A 2;6;0 , B 4; 0;8
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm
và có tâm
x 1 y z 5
2
1 .
thuộc d: 1
Bài giải:
Ta có
x 1 t
d : y 2t
z 5 t
Ta có:
. Gọi
I 1 t ; 2t ; 5 t d
là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
IA 1 t ;6 2t ;5 t , IB 3 t; 2t ;13 t
.
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI
1 t
2
2
2
6 2t 5 t
3t
2
4t 2 13 t
62 32t 178 20t 12t 116 t
2
29
3
2
2
2
32
58
44
32 58 44
I ;
;
x
y z 932
3
3 và R IA 2 233 . Vậy (S):
3
3
3
3
.
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm
:
I 2;3; 1
và cắt đường thẳng
x 1 y 1 z
1
4
1 tại hai điểm A, B với AB 16 .
Bài giải:
Chọn
M 1;1;0 IM 3; 2;1
u 1; 4;1
Ta có:
. Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
.
IM , u
IM , u 2; 4;14 d I , 2 3
u
.
2
AB 2
R d I ,
2 19.
4
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết :
Vậy (S):
x 2
2
2
2
y 3 z 1 76
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng
.
P : 5x 4 y z 6 0, Q :
2 x y z 7 0
và đường
x 1 y z 1
7
3
2 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P)
thẳng
và sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20 .
:
Bài giải:
x 1 7t
y 3t
x 1 7t
: y 3t
z 1 2t
z 1 2t
5 x 4 y z 6 0
Ta có
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
Ta có :
d I , Q
5 1 7t 4 3t 1 2t 6 0 t 0 I 1;0;1
(1)
(2)
(3)
(4)
.
5 6
3 .
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:
20 r 2 r 2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
2
330
110
2
2
R d I , Q r 2
.
x 1 y 2 z 1
3
3 .
Theo giả thiết:
Vậy (S) :
Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x y 2 z 2 0 và đường thẳng
x t
d : y 2t 1
z t 2
.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và
(S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi
I t ; 2t 1; t 2 d :
là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
2
R d I ; P r 2 4 9 13
Theo giả thiết :
.
d I; P
Mặt khác:
1
t
2t 2t 1 2t 4 2
6
2
2 6t 5 6
4 1 4
t 11
6
2
2
2
1
2
13
1 2 13
1
I1 ; ;
S1 : x y z 13
t
6
3
6
6 : Tâm 6 3 6 , suy ra
* Với
.
2
2
2
11
2
1
11 2 1
11
I2 ; ;
S2 : x y z 13
t
3 6 , suy ra
6
3
6
6 : Tâm 6
* Với
.
- Xem thêm -