Tài liệu Luyện thi - nhận diện đồ thị hàm số - có lời giải chi tiết

http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. HÀM SỐ BẬC BA: y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị Giới hạn: - Với a  0 thì lim y   và lim y   . x  x  - Với a  0 thì lim y   và lim y   . x  x  Đạo hàm và cực trị: y  3ax2  2bx  c . Khi đó: - Hàm số có hai điểm cực trị khi y  0 có hai nghiệm phân biệt  y  0 . Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  2b   x1  x2  3a là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có:  x x  c  1 2 3a - Hàm số không có cực trị khi y  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  y  0 Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta luôn có yCÑ  yCT và: - Nếu a  0 thì xCÑ  xCT . - Nếu a  0 thì xCÑ  xCT . 2. Bảng biến thiên TH1: Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 . http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết x  y  0  0 CÑ y  x2 x1 x y     y  0  0  CÑ   CT CT  x2 x1 Hệ số a  0 Hệ số a  0 TH2: Hàm số không có điểm cực trị x   x   y y  y y    Hệ số a  0 Hệ số a  0 3. Đồ thị hàm số a0 a0 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 2/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết y  0 xCÑ  xCT xCÑ  xCT y  0 4. Phương pháp giải toán http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 3/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 ta làm như sau: Ta có y  3ax2  2bx  c Dựa vào lim y để xác định hệ số a : x  - Nếu a  0 thì nhánh cuối của đồ thị đi lên x; y tiến về vô cùng. - Nếu a  0 thì nhánh cuối của đồ thị đi xuống x   và y   . Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy ra tính chất của hệ số d Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình y  0 Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị hàm số. 2b   x1  x2  3a Trong trường hợp đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1 ; x2 ta có:  (định lý Viet) c x x   1 2 3a Khi đó dựa vào x1  x2  2b c suy ra tính chất của b; dựa vào x1 x2  suy ra tính chất của c. 3a 3a II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 4/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? A. y  x3  3x 2  2 . B. y  x 4  x 2  1 . C. y  x 4  x 2  1. D. y   x3  3x 2  2 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án B và C. Mặt khác lim y   nên hệ số. Chọn A. x  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên x  y y và có bảng biến thiên như hình vẽ. 0  0  0   2   2 2 Hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau: A. y  x3  3x 2  2 . B. y   x3  3x 2  2 . C. y   x3  3x 2  2 . D. y  x3  3x 2  2 . http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 5/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim y    Hệ số a  0 do đó loại B và C. x  Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x  0, x  2 nên loại D. Chọn A. Ví dụ 3: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? A. y  x3  4 x  1 . B. y  x3  3x 2  1. C. y  x3  4 x  1 . D. y   x3  4 x  1 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm  0; d   d  0 nên ta loại đáp án C lim y    a  0 nên ta loại đáp án D. x  Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 , x2 trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B. Chọn A. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 6/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 4: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y   x3  3x 2  1. B. y   x3  3x  1 . C. y  x3  3x  1 . D. y   x3  3x  1 . Lời giải Hàm số có hệ số a  0 do lim y   nên loại đáp án C. x  Hàm số có 2 điểm cực trị x1  0  x2 nên y  0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. x  0 Xét đáp án A. y   x3  3x 2  1  y  3x 2  6 x  0   (loại). x  2 Xét đáp án D. y   x3  3x  1  y  3x 2  3x  0  x   (loại). Chọn B. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 7/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 5: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 . x  Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0 2b  a 0 x1  x2   0  b0   3a 2  Mặt khác: y  3ax  2bx  c   . Chọn A. a 0  x x  c  0  c0  1 2 3a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 8/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 6: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 . x  Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0 và x1  x2  0 2b  a 0 x1  x2   0  b0   3 a 2 Mặt khác: y  3ax  2bx  c   . Chọn B. a 0  x x  c  0  c0  1 2 3a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 9/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 7: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 . x  Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0 2b  a 0 x1  x2   0  b0   3 a 2 Mặt khác: y  3ax  2bx  c   . Chọn D. c a  0 x x   0  c  0  1 2 3a http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 10/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 8: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 (loại đáp án A). x  Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm  0; d   d  0  x1  0  x1  0 Hàm số có 2 điểm cực trị trong đó  nên y  0 có 2 nghiệm thỏa mãn  .  x2  0  x2  0 Ta có: y  3ax 2  2bx  c  y  0   0  c  0  x2  2b  0  b  0 . Chọn C. 3a Ví dụ 9: Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có các điểm cực trị thỏa mãn x1   1;0  , x2  1;2  . Biết hàm số đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0, d  0 . B. a  0, b  0, c  0, d  0 . http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 11/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết D. a  0, b  0, c  0, d  0 . C. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Dựa vào giả thiết, ta có các nhận xét sau: - Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  f  0   d  0 - Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  x1; x2   f  x1   f  x2   x1 là điểm cực tiểu và x2 điểm cực đại  xCT  xCÑ  hệ số a  0 . - Ta có f   x   3ax 2  2bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tổng x1  x2  nghiệm x1.x2  2b  0  b  0 và tích hai 3a 1  x1  0  x1  x2  0 c  . Chọn D.  0  c  0 vì  3a 1  x2  2  x1.x2  0 II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y  ax 4  bx 2  c  a  0  1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị Giới hạn - Với a  0 thì lim y   . x  - Với a  0 thì lim y   . x  x  0 Đạo hàm và cực trị: y  4ax  2bx  2 x  2ax  b  nên y  0   2 x   b 2a  2 2 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 12/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết - Với ab  0 thì hàm số có một điểm cực trị x  0 . - Với ab  0 thì hàm số có 3 điểm cực trị x  0, x   b 2a 2. Bảng biến thiên x y y   0 0 – x y  y  a  0, b  0 0 x1  y'   a  0, b  0  – y CT x  0 0 CÑ    0  0  0 CÑ  CT  x2   0 x1  y'  CT x 0   0  0  CÑ CÑ y  x2 CT  a  0, b  0 a  0, b  0 3. Đồ thị hàm số ab  0 ab  0 http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 13/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết a0 a0 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. 4. Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0  ta làm như sau: http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 14/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Dựa vào lim y để xác định hệ số a : x  Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy ra tính chất của hệ số d Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số và hệ số a để xác định hệ số b. - Với ab  0 thì hàm số có một cực trị. - Với ab  0 thì hàm số có 3 cực trị. II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2018] Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y  x 4  3x 2  1. B. y  x3  3x 2  1 . C. y   x3  3x 2  1 . D. y   x 4  3x 2  1 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: lim y    Hệ số a  0 nên ta loại đáp án A và B. x  Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn D. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 15/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 2: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y  x 4  2 x 2  1 . B. y   x 4  2 x 2  1 . C. y  x3  x 2  1 . D. y   x3  x 2  1 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: lim y    Hệ số a  0 do đó loại đáp án B và D. x  Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hàm số y   x 4  bx 2  c có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức T  b  2c x y   1 0 2  0 0  1 0 2   y 3  A. T  4 . B. T  1 .  C. T  2 . D. T  1 . Lời giải http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 16/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Do y  0  2  c  3  y   x 4  bx 2  3 Mặt khác f 1  2  1  b  c  2  b  c  1  b  2 Suy ra b  2c  2  6  4 . Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0 . B. a  0, b  0, c  0 . C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 . x  a 0 b0 Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0  Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  0; c   c  0 . Chọn C. http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 17/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Ví dụ 5: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0 . B. a  0, b  0, c  0 . C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 . x  a 0 Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0  b0 Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  0; c   c  0 . Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0; b2  4ac . B. a  0, b  0, c  0; b2  4ac . C. a  0, b  0, c  0; b2  4ac . D. a  0, b  0, c  0; b2  4ac . http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 18/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết Lời giải Ta có: lim y   nên a  0 ; đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;c   c  0 . x  Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0  b  0 Giá trị cực trị của hàm số là yCT  b  b2 b2  y    c  0  b 2  4ac . Chọn B.   a.  4a 2a  2a  Ví dụ 7: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng AB  BC  CD , mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  0, b  0, c  0,100b2  9ac . B. a  0, b  0, c  0,9b2  100ac . C. a  0, b  0, c  0,9b2  100ac . D. a  0, b  0, c  0,100b2  9ac . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim y  lim  ax 4  bx 2  c     a  0 x  x  http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 19/85 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết  b  a  0 b  0 - Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó  . Gọi x1 , x2 là nghiệm  c  0 c  0  a b  x  x   1 1 2  a  c  phương trình ax4  bx2  c  0 suy ra  x1. x2   2  a  2 2  x A  xD  x1  2 2  xB  xC  x2 Ta có AB  BC  CD  xA  xC  2 xB  x1  x2  2 x2  x1  3 x2  x1  9 x2 (3) b   x1  x2   a 9b   x1    c c 9b 2   10a     9b 2  100ac Từ (1), (2), (3) suy ra  x1. x2  2 a a 100a  x   b 2   x1  9 x2 10a    Suy ra a  0, b  0, c  0,9b2  100ac . Chọn C. III. HÀM SỐ PHÂN THỨC: y  ax  b với c  0, ad  bc  0 cx  d 1. Đạo hàm http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 20/85