www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
PHẦN MỞ ĐẦU
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong quá trình học toán, làm toán và dạy toán khối 12 tôi nhận thấy các bài
toán về câu hỏi phụ của hàm số luôn là những bài toán hay và thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp cũng như các đề thi đại học. Rất nhiều học
sinh khi học hết chương trình rồi nhưng vẫn chưa thể tổng hợp được các phương
pháp làm bài, cũng như không thể làm được bài tập về câu hỏi phụ của hàm số
mặc dù bài tập không hề khó. Chính vì lý do như vậy mà tôi chọn đề tài này với
hy vọng rằng trong các năm tiếp theo của sự nghiệp dạy học tôi sẽ giúp cho học
sinh khi học phần hàm số có thể tổng hợp được phương pháp làm bài và có thể
định hướng nhanh khi gặp một bài tập liên quan đến câu hỏi phụ của hàm số .
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Giúp học sinh tổng hợp được các kiến thức liên quan tới hàm số , nhận dạng
nhanh về bài tập câu hỏi phụ của hàm số và từ đó định hướng được cách giải và
tự tin hơn khi gặp phải các bài toán hàm số.
3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu các mệnh đề về hàm số và định hướng cách làm bài tập liên quan tới
hàm số.
1
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
4.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Chỉ nghiên cứu các các mệnh đề về hàm số có trong chương trình toán 12 và đưa
ra các dạng bài tập liên quan tới hàm số có thể có trong đề thi đại học giúp cho
những học sinh yêu thích môn toán có nhiều kiến thức cơ bản và nâng cao về
dạng toán câu hỏi phụ của hàm số.
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
+) Đưa ra các mệnh đề về hàm số và chứng minh các mệnh đề đó.
+) Từ các mệnh đề đó đưa ra cách giải bài tập .
+) Giải các bài tập đó dựa vào cách chứng minh mệnh đề.
+)Giới thiệu một số bài toán về hàm số.
PHẦN NỘI DUNG
Một số mệnh đề về hàm số.
Mệnh đề 1: Đồ thị hàm số y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d ( a ≠ 0 ) cắt trục ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ có 3
−b
nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là x =
.
3a
Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với
trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ :
a.x 3 + b.x 2 + c.x + d = 0
−b
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 =
(2)
a
−b
Thay (1) vào (2) ta được : x2 =
. (Điều phải chứng minh )
3a
Chú ý :Trong mệnh đề trình bày ở trên chỉ là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc
ba cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng vì
vậy khi làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ bằng việc thay giá trị của tham
số tìm được vào hàm số và thử lại.
2
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Bài tập áp dụng.
Bài 1: Cho y = x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m ( Cm ) . Tìm m để (Cm) cắt Ox
tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Giải: Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ :
x3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m = 0
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 = 3m (2)
Thay (1) vào (2) ta được : x2 = m .
Vậy ta có y ( x2 ) = y ( m ) = 0 ⇔ m3 − 3m3 + 2m 2 ( m − 4 ) + 9m 2 − m = 0
m = 0
⇔ m2 − m = 0 ⇔
m = 1
3
Thử lại: +)Với m = 0 ⇒ y = x Đồ thị hàm số y = x 3 cắt Ox tại 1 điểm
⇒ m = 0 loại
+)Với m = 1 ⇒ y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8
Xét phương trình hoành độ : x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 = 0
x = −2
⇔ x =1
x = 4
Vì x = -2; x =1; x =4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng . vậy m =1 thỏa mãn .
Kết luận : m =1 là giá trị cần tìm.
Bài 2 : Cho y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có
hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Giải: Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ :
x3 − 3x 2 − 9 x + m = 0
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 = 3 (2)
Thay (1) vào (2) ta được : x2 = 1 .
Vậy ta có y ( x2 ) = y (1) = 0 ⇔ 1 − 3 − 9 + m = 0 ⇔ m = 11
Thử lại:
+)Với m = 11 ⇒ y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 11
3
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Xét phương trình hoành độ : x3 − 3x 2 − 9 x + 11 = 0
x =1− 2 3
⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 11) = 0 ⇔ x = 1
x =1+ 2 3
Nhận thấy : x = 1 − 2 3; x = 1; x = 1 + 2 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng
vậy m =11 thỏa mãn .
Kết luận : m =11 là giá trị cần tìm.
Mệnh đề 2: Đồ thị hàm số y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d ( a ≠ 0 ) cắt trục ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ có 3
−d
nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là x = 3
.
a
Chứng minh: : Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x 2 2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ :
a.x 3 + b.x 2 + c.x + d = 0
−d
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1.x2 .x3 =
(2)
a
−d
−d
Thay (1) vào (2) ta được : x 3 2 =
. (Điều phải chứng minh )
⇔ x2 = 3
a
a
Chú ý :Trong mệnh đề trình bày ở trên chỉ là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc
ba cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân vì
vậy khi làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ bằng việc thay giá trị của tham
số tìm được vào hàm số và thử lại.
Bài tập áp dụng.
Bài 3. Cho hàm số y = x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 ( Cm ) .Tìm m để hàm số
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Giải: Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x 2 2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ :
x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = 0
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1.x2 .x3 = 8 (2)
Thay (1) vào (2) ta được : x 3 2 = 8 ⇔ x2 = 2 .
Vậy ta có :
4
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
y ( x ) = y ( 2 ) = 0 ⇔ 8 − 4 ( 3m + 1) + 2 ( 5m + 4 ) − 8
2
⇔ 4 − 2m = 0 ⇔ m = 2
Thử lại:
+)Với m = 2 ⇒ y = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8
x = 1
Xét phương trình hoành độ : x − 7 x + 14 x − 8 = 0 ⇔ x = 2
x = 4
3
2
Nhận thấy : x = 1; x = 2; x = 4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
vậy m =2 thỏa mãn .
Kết luận : m =2 là giá trị cần tìm.
Mệnh đề 3 : Đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực tiểu (nếu có ) của đồ thị
hàm bậc ba ( y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d ( a ≠ 0 ) )là phần dư của phép chia y cho y′ .
Chứng minh:Xét hàm số y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d ( a ≠ 0 )
TXĐ: D = R
y′ = 3a.x 2 + 2b.x + c
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu, khi đó phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt là x1 ; x2
Gọi điểm cực đại là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu là T ( x2 ; y2 )
Ta luôn có y = y′ ( x ) .(α .x + β ) + m.x + n (*)
( m.x + n chính là phần dư của phép chia y cho y’)
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : y1 = m.x1 + n (1)
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : y2 = m.x2 + n ( 2 )
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực
tiểu của hàm số là y = m.x + n .(Điều phải chứng minh)
Chú ý :Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm
cực tiểu của hàm số bậc 3 ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực
đại, cực tiểu trước.sau đó mới vận dụng cách làm của mệnh đề để làm bài.
Bài tập áp dụng :
Bài 4. Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6m (1 − 2m ) x ( Cm ) .
a.Tìm m để hàm số (Cm) có cực đại ,cực tiểu .
b.Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm).
c.Tìm m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm) nằm trên đường thẳng
( d ) : y = −4 x
Giải :
5
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
a.Xét hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x
3
2
TXĐ: D = R
y′ = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6m (1 − 2m )
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
⇔ 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ x 2 + ( m − 1) x + m (1 − 2m ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
1
2
2
⇔ ∆ = ( m − 1) − 4m (1 − 2m ) > 0 ⇔ ( 3m − 1) > 0 ⇔ m ≠
3
1
Kết luận: Vậy m ≠ thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu.
3
2
b. Ta có : y = y′ ( x ) .( 2 x + m − 1) − ( 3m − 1) .x + m ( m − 1)(1 − 2m ) (*)
1
Với m ≠ thì (Cm) có cực đại, cực tiểu.
3
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là
T ( x2 ; y2 )
2
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : y1 = − ( 3m − 1) .x1 + m ( m − 1)(1 − 2m ) (1)
2
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : y2 = − ( 3m − 1) .x2 + m ( m − 1)(1 − 2m ) ( 2 )
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực
2
tiểu của hàm số (Cm) là y = − ( 3m − 1) .x + m ( m − 1)(1 − 2m ) ( ∆ )
− ( 3m − 1)2 = −4
c.Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có ∆ ≡ d ⇔
m ( m − 1)(1 − 2m ) = 0
9m 2 − 6m − 3 = 0
⇔
⇔ m = 1 (thỏa mãn)
m ( m − 1)(1 − 2m ) = 0
Kết luận: m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 ( Cm ) .
Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của của hàm số (Cm)
vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 3 x − 7 .
Giải: Xét hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3
TXĐ: D = R
y′ = 3 x 2 + 2mx + 7
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
6
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
⇔ 3x 2 + 2mx + 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt
m > 21
⇔ ∆′ = m 2 − 21 > 0 ⇔
m < − 21
m 2
7m
1
Ta có : y = y′ ( x ) . x + + ( 21 − m 2 ) .x + 3 −
( *)
9 9
9
3
m > 21
thì (Cm) có cực đại, cực tiểu.
Với
m
<
−
21
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là
T ( x2 ; y2 )
2
7m
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : y1 = ( 21 − m 2 ) .x1 + 3 −
(1)
9
9
2
7m
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : y2 = ( 21 − m 2 ) .x2 + 3 −
( 2)
9
9
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực
2
7m
tiểu của hàm số (Cm) là y = ( 21 − m 2 ) .x + 3 −
(d )
9
9
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có
2
45
3 10
(thỏa mãn)
∆ ⊥ d ⇔ ( 21 − m 2 ) .3 = −1 ⇔ m 2 =
⇔m=±
9
2
2
3 10
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Bài 6:Tìm m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + m ( Cm ) có điểm cực đại, điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ( ∆ ) : x − 2 y − 5 = 0 .
Kết luận: m = ±
Giải: Xét hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + m
TXĐ: D = R
y′ = 3 x 2 − 6 x + m 2
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
⇔ y′ = 3 x 2 − 6 x + m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3
1 2 2
m2
1
′
+ m ( *)
Ta có : y = y ( x ) . x − + ( m − 3) .x +
3 3
3
3
Với − 3 < m < 3 thì (Cm) có cực đại, cực tiểu.
7
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là
T(x ; y )
1
2
1
2
2 2
m2
m − 3) .x1 +
+ m (1)
(
3
3
2 2
m2
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : y2 = ( m − 3) .x2 +
+ m ( 2)
3
3
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực
2
m2
tiểu của hàm số (Cm) là y = ( m 2 − 3) .x +
+ m (1) ( d )
3
3
x +x 2
+) Gọi I là trung điểm của ĐT ta có xI = 1 2 = = 1 (Vì x1 ; x2 là 2 nghiệm
2
2
của phương trình y’=0 ,theo định lý viet ta có x1 + x2 = 2 )
2 2
m2
Mặt khác I ∈ d ⇒ yI = ( m − 3) .xI +
+ m = m 2 + m − 2 ⇒ I (1; m 2 + m − 2 )
3
3
1
5
Điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm) đối xứng nhau qua ∆ : y = x −
2
2
1
2 2
m − 3). = −1
(
∆
⊥
d
m 2 = 0
3
2
⇔
⇔ 2
⇔ m = 0 (thỏa mãn)
1
5
m
m
0
+
=
2
I ∈ ∆
m + m − 2 = −
2 2
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : y1 =
Kết luận: m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mệnh đề 4: Đồ thị hàm trùng phương ( y = a.x 4 + b.x 2 + c ( a ≠ 0 ) ) cắt trục
hoành tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là
phương trình trung gian ( a.t 2 + b.t + c = 0 ) có 2 nghiệm dương phân biệt và
nghiệm lớn bằng 9 lần nghiệm nhỏ.
Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ
giao điểm : a.x 4 + b.x 2 + c = 0
Xét phương trình: a.x 4 + b.x 2 + c = 0 (1)
Đặt x 2 = t điều kiện ( t ≥ 0 )
Ta có phương trình : a.t 2 + b.t + c = 0 ( 2 )
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt lớn hơn 0
Gọi hai nghiệm của phương trình (2) là : t1 ; t2 (giả sử 0 < t1 < t2 )
8
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
x = ± t1
x 2 = t1
Khi đó ta có 2
⇔
x = ± t2
x = t2
Như vậy theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2
Mà x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng
⇒ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 (Điều phải chứng minh)
Chú ý :Khi làm bài tập tìm tham số để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành
tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì lên vận dụng cách
chứng minh mệnh đề trên để làm bài, cần chú ý tìm điều kiện để phương trình
hoành độ có 4 nghiệm phân biệt.
Bài tập áp dụng :
Bài 7. Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1( Cm ) .Tìm m để đồ thị hàm số
(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Giải : Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao
điểm : x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0
Xét phương trình: x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1)
Đặt x 2 = t điều kiện ( t ≥ 0 )
Ta có phương trình : t 2 − 2 ( m + 1) .t + 2m + 1 = 0 ( 2 )
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt lớn hơn 0
⇔ t 2 − 2 ( m + 1) .t + 2m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt t1 ; t2 lớn hơn 0
∆′ = ( m + 1)2 − 2m − 1 > 0 m 2 > 0
1
⇔ S = t1 + t2 = 2 ( m + 1) > 0 ⇔ m > −1 ⇔ − < m ≠ 0
2
P = t .t = 2m + 1 > 0
1
1 2
m > −
2
(giả sử 0 < t1 < t2 )
x = ± t1
x 2 = t1
⇔
Khi đó ta có 2
x = ± t2
x = t2
Như vậy theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2
Mà x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng
⇒ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1
9
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
S = t + t = 2 ( m + 1)
Mặt khác theo viet ta có:
( *)
1
2
P = t1.t2 = 2m + 1
m +1
10t1 = 2 ( m + 1) t1 =
Thay t2 = 9t1 vào (*) ta được 2
5
⇔
9
t
=
2
m
+
1
2
1
9t 1 = 2m + 1
Thay (I) vào (II) ta được
2
2
m +1
9
= 2m + 1 ⇔ 9 ( m + 1) = 50m + 25
5
(I )
( II )
⇔ 9m 2 − 32m − 16 = 0
m = 4
⇔
4
m = −
9
Với m = 4; m = −
4
đều thỏa mãn điều kiện
9
Kết luận: Vậy tìm được hai giá trị thỏa mãn là : m = 4; m = −
4
9
f ( x)
. Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 )
g ( x)
f ( x0 ) f ′ ( x0 )
Khi đó tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có
=
g ( x0 ) g ′ ( x0 )
Mệnh đề 5: Cho hàm số y =
(với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ 0 )
Chứng minh : Xét hàm số y =
Ta có y′ =
f ( x)
g ( x)
Điều kiện : g ( x ) ≠ 0
f ′ ( x ) .g ( x ) − g ′ ( x ) . f ( x )
g2 ( x)
Nếu M ( x0 ; y0 ) là điểm cực trị của hàm số thì
f ′ ( x0 ) .g ( x0 ) − g ′ ( x0 ) . f ( x0 )
y′ ( x0 ) = 0 ⇔
=0
g 2 ( x0 )
⇔ f ′ ( x0 ) .g ( x0 ) − g ′ ( x0 ) . f ( x0 ) = 0 (Vì g ( x0 ) ≠ 0 )
⇔ f ′ ( x0 ) .g ( x0 ) = g ′ ( x0 ) . f ( x0 )
⇔
f ( x0 ) f ′ ( x0 )
=
(Vì g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ 0 )( Điều phải chứng minh)
g ( x0 ) g ′ ( x0 )
10
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Hệ quả: Đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số
ax 2 + bx + c
2ax b
y=
+ .
( a.a1 ≠ 0 ) là y =
a1 x + b1
a1
a1
(Cách chứng minh hệ quả tương tự như chứng minh mệnh đề 5)
Chú ý : Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và
điểm cực tiểu của hàm số phân thức hữu tỷ,ta cần chú ý tìm điều kiện để hàm số
có cực đại , cực tiểu. Sau đó cần đưa ra mệnh đề 5 và chứng minh mệnh đề sau
đó áp dụng vào bài tập.
Bài tập áp dụng :
x2 − 2 x + m + 2
Bài 8. Cho hàm số y =
(Cm) .Viết phương trình đường thẳng đi
x + m −1
qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của (Cm).
x2 − 2 x + m + 2
Giải: Xét hàm số : y =
x + m −1
TXĐ: D = R \ {1 − m}
Có y′ =
x 2 + 2 ( m − 1) x − 3m
( x + m − 1)
2
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1 − m
x 2 + 2 ( m − 1) x − 3m
⇔
= 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1 − m
2
( x + m − 1)
⇔ x 2 + 2 ( m − 1) x − 3m = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1 − m
∆′ = ( m − 1)2 + 3m > 0
m 2 + m + 1 > 0
⇔
⇔ 2
⇔ ∀m ∈ R
2
−
m
−
m
−
1
≠
0
(1 − m ) + 2 ( m − 1)(1 − m ) − 3m ≠ 0
f ( x)
Bổ đề: Cho hàm số y =
. Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 )
g ( x)
f ( x0 ) f ′ ( x0 )
Khi đó tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có
=
g ( x0 ) g ′ ( x0 )
(với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ 0 )
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5)
∀m ∈ R thì hàm số (Cm) luôn có cực đại, cực tiểu
11
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là T ( x ; y )
1
1
2
2
Áp dụng bổ đề trên ta có :
x12 − 2 x1 + m + 2
y
=
y
x
=
= 2.x1 − 2
(
)
(1)
1
1
x1 + m − 1
2
y = y ( x ) = x2 − 2 x2 + m + 2 = 2.x − 2
( 2)
2
2
2
x2 + m − 1
Từ (1) và (2) ta suy ra đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của (Cm)
là : y = 2.x − 2 .
− x 2 + 3x + m
Bài 9: Tìm m để hàm số : y =
( Cm ) có yCĐ − yCT = 4
x−4
− x 2 + 3x + m
Giải: Xét hàm số : y =
x−4
TXĐ: D = R \ {4}
− x 2 + 8 x − m − 12
2
( x − 4)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 4
− x 2 + 8 x − m − 12
⇔
= 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 4
2
( x − 4)
⇔ − x 2 + 8 x − m − 12 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 4
∆′ = 16 − m − 12 > 0
m < 4
⇔
⇔
⇔m<4
−16 + 32 − m − 12 ≠ 0 m ≠ 4
f ( x)
Bổ đề : Cho hàm số y =
. Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 )
g ( x)
f ( x0 ) f ′ ( x0 )
Khi đó tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có
=
g ( x0 ) g ′ ( x0 )
Có y′ =
(với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ 0 )
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5)
Với m < 4 thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là T ( x2 ; y2 )
Áp dụng bổ đề trên ta có :
12
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
− x12 + 3 x1 + m
y
=
y
=
y
x
=
= −2.x1 + 3
( 1)
1
CĐ
x
−
4
1
2
y = y = y ( x ) = − x2 + 3x2 + m = −2.x + 3
2
2
2
CT
x2 − 4
Vậy yCĐ − yCT = 4 ⇔ ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = 4 ⇔ 2 x2 − x1 = 4 ⇔ x2 − x1 = 2
2
2
⇔ ( x2 − x1 ) = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1.x2 = 4 (*)
Mặt khác x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình − x 2 + 8 x − m − 12 = 0 . Theo định
x + x = 8
lý Viet ta có 1 2
Thay vào (*) ta được:
x1.x2 = m + 12
64 − 4 ( m + 12 ) = 4 ⇔ 16 − 4m = 4 ⇔ m = 3 (Thỏa mãn điều kiện m < 4 )
Kết luận: m = 3 là giá trị cần tìm.
x 2 − ( m + 1) x − m 2 + 4m − 2
Bài 10: Tìm m để hàm số : y =
( Cm ) có cực trị và
x −1
( yCĐ . yCT ) nhỏ nhất .
x 2 − ( m + 1) x − m 2 + 4m − 2
Giải: Xét hàm số : y =
x −1
TXĐ: D = R \ {1}
x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3
Có y′ =
2
( x − 1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1
x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3
⇔
= 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1
2
( x − 1)
⇔ x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1
∆′ = 1 − m 2 + 3m − 3 > 0 −m 2 + 3m − 2 > 0
⇔
⇔ 2
⇔1< m < 2
2
1
−
2
+
m
−
3
m
+
3
≠
0
m
−
3
m
+
2
≠
0
f ( x)
Bổ đề : Cho hàm số y =
. Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 )
g ( x)
f ( x0 ) f ′ ( x0 )
Khi đó tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có
=
g ( x0 ) g ′ ( x0 )
(với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ 0 )
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5)
Với 1 < m < 2 thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu
13
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu của (Cm) là T ( x ; y )
1
1
2
2
Áp dụng bổ đề trên ta có :
x12 − ( m + 1) x1 − m 2 + 4m − 2
y
=
y
=
y
x
=
= 2.x1 − m − 1
( 1)
1
CĐ
x1 − 1
2
2
y = y = y ( x ) = x2 − ( m + 1) x2 − m + 4m − 2 = 2.x − m − 1
2
2
2
CT
x2 − 1
Mặt khác x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3 = 0 .
x1 + x2 = 2
Theo định lý Viet ta có
2
x1.x2 = m − 3m + 3
2
Vậy yCĐ . yCT = ( 2.x1 − m − 1)( 2.x2 − m − 1) = 4.x1.x2 − 2 ( m + 1)( x1 + x2 ) + ( m + 1)
2
7 4
4
= 4.( m − 3m + 3) − 4 ( m + 1) + ( m + 1) = 5m − 14m + 9 = 5 m − − ≥ −
5 5
5
7
xẩy ra khi m = .
5
7
4
Kết luận:Với m = ∈ (1;2 ) thì ( yCĐ . yCT ) nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất bằng −
5
5
2
2
2
f ( x)
.Tiếp tuyến của hàm số tại một
g ( x)
điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không đổi.
(Trong chương trình sách toán 12(chương trình nâng cao)chỉ xét hai loại hàm
số phân thức là hàm bậc nhất trên bậc nhất và hàm bậc hai trên bậc nhất vì vậy
tác giả xin được không trình bày phần chứng minh mệnh đề này mà chỉ đi vào
xét bài tập cụ thể về hai loại hàm số đã nói ở trên)
Bài tập áp dụng :
2x + 1
Bài 11. Cho hàm số y =
( C ) .Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến
x −1
của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là giao
điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng S ∆IAB có giá trị không đổi khi M di
chuyển trên (C).
2x + 1
Giải :Xét hàm số y =
x −1
TXĐ: D = R \ {1}
−3
Đạo hàm y′ =
2
( x − 1)
Mệnh đề 6: Cho hàm số phân thức y =
14
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Tiệm cận đứng: x = 1 ( ∆ )
Tiệm cận ngang : y = 2 ( ∆ )
1
2
2a + 1
Gọi M a;
( a ≠ 1) là 1 điểm bất kỳ thuộc (C).
a −1
2a + 1
−3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y =
2 ( x − a) +
a −1
( a − 1)
+)Gọi A = ∆ ∩ ∆1 ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ
x = 1
x = 1
2 ( a + 2)
2a + 1 ⇔
⇒ A 1;
y = −3
2
a
+
2
(
)
a −1
2 ( x − a) +
y=
a −1
( a − 1)
a −1
( ∆)
+)Gọi B = ∆ ∩ ∆ 2 ⇒ tọa độ B là nghiệm của hệ
y = 2
x = 2a − 1
2a + 1 ⇔
⇒ B ( 2a − 1;2 )
y = −3
y
2
=
2 ( x − a) +
a −1
( a − 1)
+) I = ∆1 ∩ ∆ 2 ⇒ I (1;2 )
6
6
Có IA = 0;
⇒ IA =
a −1
a −1
IB = ( 2a − 2;0 ) ⇒ IB = 2 a − 1
1
1 6
Vì ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇒ ∆IAB vuông tại I ⇒ S ∆IAB = .IA.IB = .
.2. a − 1 = 6
2
2 a −1
Vậy S∆IAB = 6 là số không đổi. (Điều phải chứng minh )
x2 − 2x + 2
Bài 12 Cho hàm số y =
( C ) .Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp
x −1
tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là
giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng S∆IAB có giá trị không đổi khi M di
chuyển trên (C).
x2 − 2x + 2
1
Giải : Có y =
= x −1+
x −1
x −1
TXĐ: D = R \ {1}
1
Đạo hàm y′ = 1 −
2
( x − 1)
Tiệm cận đứng: x = 1 ( ∆1 )
Tiệm cận xiên : y = x − 1 ( ∆ 2 )
15
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
1
Gọi M a; a − 1 +
( a ≠ 1) là 1 điểm bất kỳ thuộc (C).
a −1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
1
1
y = 1 −
( ∆)
2 ( x − a) + a −1 +
( a − 1)
a
−
1
+)Gọi A = ∆ ∩ ∆1 ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ
x = 1
x = 1
2
1
1 ⇔
2 ⇒ A 1;
a −1
y = 1 − a − 1 2 ( x − a ) + a − 1 + a − 1 y = a − 1
)
(
+)Gọi B = ∆ ∩ ∆ 2 ⇒ tọa độ B là nghiệm của hệ
y = x −1
x = 2a − 1
⇔
⇒ B ( 2a − 1;2a − 2 )
1
1
y = 2a − 2
y = 1 − a − 1 2 ( x − a ) + a − 1 + a − 1
)
(
+) I = ∆1 ∩ ∆ 2 ⇒ I (1;0 )
2
2
Có IA = 0;
⇒ IA =
a −1
a −1
IB = ( 2a − 2;2a − 2 ) ⇒ IB = 2 2. a − 1
Gọi α là góc giữa ∆1 : x − 1 = 0 và ∆ 2 : x − y − 1 = 0
1
1
⇒ cos
AIB =
⇒
AIB = 450
Ta có cos α =
2
2
1
1 2
1 2
2
S∆IAB = .IA.IB.sin
AIB = .
.2 2. a − 1 .sin 450 = .
.2 2. a − 1 .
=2
2
2 a −1
2 a −1
2
Vậy S ∆IAB = 2 là số không đổi. (Điều phải chứng minh )
Bài tập giới thiệu
Bài 1: Cho y = x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox
tại 3 điểm theo thứ tự lập thành CSC.
Bài 2 : Cho y = x 3 − 3x 2 − 9 x + m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm theo
thứ tự lập thành CSC.
Bài 3: Cho y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = x tại
3 điểm theo thứ tự lập thành CSC.
16
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Bài4: Cho y = x − ( 2m + 1) x − 9 x ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm theo
3
2
thứ tự lập thành CSC.
Bài 5: Cho y = 2 x 3 − 3x 2 + 1( C ) Tìm điều kiện của a,b để (C) cắt đường thẳng
y = ax+b tại A,B,C phân biệt sao cho AB = BC.
Bài 6: Cho y = 2 x 3 − 3x 2 − 9 x + 1( C ) Tìm điều kiện của a,b để (C) cắt đường
thẳng y = ax+b tại A,B,C phân biệt sao cho AB = BC.
Bài7: Cho y = x 3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại
3 điểm theo thứ tự lập thành CSC.
Bài 8:Cho hàm số y = x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt
Ox tại 3 điểm lập thành CSN.
Bài 9:Cho hàm số y = 2 x 3 + 2mx 2 − 7 ( m − 1) x − 54 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt
Ox tại 3 điểm lập thành CSN.
Bài 10:Cho hàm số y = 3x 3 + ( 2m + 2 ) x 2 + 9mx + 192 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt
Ox tại 3 điểm lập thành CSN.
Bài 11:Cho hàm số y = 8 x 3 − ( 5m + 1) x 2 + 4 ( 4m − 3) x − 216 ( Cm ) Tìm m để hàm
số cắt Ox tại 3 điểm lập thành CSN.
Bài 12: Cho hàm số y = 2 x 3 + 3( m − 1) x 2 + 6m (1 − 2m ) x .Tìm m để hàm số có
cực đại ,cực tiểu nằm trên đường thẳng y = −4 x .
Bài 13: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 .Tìm m để đường thẳng qua CĐ,CT
của hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 .
Bài 14: Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m − 1) x 2 + ( 2m 2 − 3m + 2 ) x − m ( m − 1) .Tìm m để
hàm số có đường thẳng qua CĐ,CT tạo với đường thẳng y =
−1
x + 5 một góc
4
450
Bài 15: Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 + 3 (1 − m 2 ) x + m3 − m 2 ( Cm )
a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b.Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
3
− x + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0
c.Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của (Cm).
Bài 16: Tìm m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + m 2 x + m có CĐ,CT đối xứng nhau qua
đường thẳng ( ∆ ) : x − 2 y − 5 = 0 .
Bài 17:Cho hàm số y = 2 x 3 − 3( 3m + 1) x 2 + 12 ( m 2 + m ) x + 1 . Tìm m để hàm số
có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của hàm số đó.
17
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
Bài 18: Cho hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 2 ( m + 7m + 2 ) x − 2m ( m + 2 ) . Tìm m
3
2
2
để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của hàm số
đó.
Bài 19: Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 có CĐ,CT đối xứng nhau qua
∆ :x− y=0
đường thẳng ( )
.
Bài 20: Tìm m để hàm số y = 2 x 3 − 3( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 có CĐ,CT đối
xứng nhau qua đường thẳng ( ∆ ) : y = x + 2 .
Bài 21: Cho hàm số y = mx3 − 3mx 2 + ( 2m + 1) x + 3 − m .Tìm m để hàm số có
CĐ,CT. Chứng minh rằng đường thẳng qua CĐ,CT luôn đi qua 1 điểm cố định.
2
Bài 22:Cho hàm số y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 4m + 3) x
3
a.Tìm m để hàm số có CĐ,CT.
b.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
c.Gọi hoành độ các cực trị là x1;x2 tìm max của A = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) .
1
Bài 23: Tìm m để hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa CĐ,CT
3
là min.
1
1
Bài 24: Tìm m để hàm số y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đạt cực trị tại
3
3
x1;x2 thỏa mãn x1+2x2=1.
1
Bài 25: Tìm m để hàm số y = x 3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại x1;x2 thỏa mãn
3
x1 − x2 ≥ 8
Bài 26: Tìm m để hàm số y = x 3 + 2 ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 4m + 1) x − 2 ( m 2 + 1) đạt
1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2
3m 2
Bài 27:Tìm m để hàm số y = x 3 −
x + m có các điểm CĐ và CT nằm về 2
2
phía của đường thẳng y = x .
Bài 28: Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1( Cm ) .Tìm m để hàm số cắt Ox
tại 4 điểm lập thành CSC.
Bài 29: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1( Cm ) .Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4
điểm lập thành CSC.
mx 2 + 3mx + ( 2m + 1)
tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm
Bài 30: Cho hàm số y =
x −1
về 2 phía của Ox.
cực trị tại x1;x2 thỏa mãn
18
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
x + ( m + 1) x − m + 1
Bài 31: Cho hàm số y =
tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm
2
x−m
về cùng một phía của Ox.
− x 2 + 2mx − 5
Bài 32: Cho hàm số y =
.Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm về 2
x −1
phía của đường thẳng y = 2x.
x 2 + ( 2m + 3) x + m 2 + 4m
.Tìm m để hàm số có 2 cực
Bài 33: Cho hàm số y =
x+m
trị trái dấu nhau.
x2 + x + m
Bài 34: Cho hàm số y =
.Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm về 2 phía
x +1
của Oy.
x 2 + mx − m
.Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm về 2
x −1
phía của đường thẳng: x -2y -1 = 0.
− x 2 + 3x + m
Bài 36: Tìm m để hàm số : y =
có yCD − yCT = 4
x−4
2 x 2 + 3x + m − 2
Bài 37: Tìm m để hàm số : y =
có yCD − yCT < 12
x+2
x 2 − ( m + 1) x − m 2 + 4m − 2
Bài 38:Tìm m để hàm số : y =
có cực trị
x −1
và (yCĐyCT) nhỏ nhất
x 2 − mx + m
Bài 39:Cho hàm số : y =
.CMR hàm số luôn có cực trị và khoảng
x −1
cách giữa 2 cực trị là không đổi.
2 x2 − 3x + m
Bài 40: Tìm m để hàm số : y =
có yCD − yCT > 8 .
x−m
( m − 1) x 2 + x + 2 có CĐ,CT
Bài 41: Tìm m để hàm số : y =
( m + 1) x + 2
và (yCĐ-yCT)(m+1)+8=0.
x 2 + 2mx + 2
Bài 42: Tìm m để hàm số : y =
có CĐ,CT và khoảng cách từ 2
x +1
điểm đó tới đường thẳng x + y + 2 = 0 là bằng nhau.
x 2 + ( m + 2 ) x + 3m + 2
Bài 43: Tìm m để hàm số : y =
có CĐ,CT
x+2
và y2CĐ + y2CT >1/2
Bài 35: Cho hàm số y =
19
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè
PHẦN KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc
đưa ra các mệnh đề về hàm số và áp dụng những mệnh đề đó vào 1 số bài toán
cụ thể . Cách làm này có ưu điểm là nhanh thu được kết quả, cách tư duy đơn
giản ,dễ hiểu, có thể dạy cho cả những học sinh có sức tư duy chậm .
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do tác giả vẫn là 1 giáo viên trẻ kinh
nghiệm còn thiếu nhiều lên không tránh khỏi sai xót cũng như chưa thể tổng
quát hết các dạng toán về hàm số . Vậy kính mong các đồng nghiệp đi trước xem
xét và góp ý cho tác giả .Để tác giả có hướng nghiên cứu vào các năm sau .
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường THPT Thủy
Sơn đã tạo điều kiện cho tôi được giảng dạy bộ môn toán lớp 12 ,cảm ơn các
đồng chí giáo viên trong tổ toán của trường đã đóng góp ý kiến vô cùng quý báu
giúp tôi hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này.
Tôi xin chân trọng cảm ơn !
TÀI LIỆU THAM KHẢO .
1. Các cuốn “ Giới thiệu đề thi tuyển sinh đại học môn toán “.
2. Sách giáo khoa Đại số 12 ( Chương trình chuẩn).
20
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n
- Xem thêm -
.PDF 
20 
335 
66 
