Gv: Trần Quốc Nghĩa
1
MỤC LỤC
Bài 1. Quan hệ vuông góc - Khoảng cách........ 1
Bài 2. Hình chóp - Khối đa diện ...................... 8
Bài 3. Hình lăng trụ - Hình hộp ..................... 23
Bài 4. Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu ............... 28
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
2
Bài 1. Quan hệ vuông góc - Khoảng cách
1.
Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P). Hai điểm M, N di động
trên hai cạnh CB và CD. Đặt CM = x, CN = y. Trên đường thẳng At vuông
góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Tìm hệ thức giữa x, y để:
a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 450.
b) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
ĐS: a) xy 2a( x y ) 2a 2 0 b) x 2 a( x y )
ĐH Kiến trúc TpHCM - 94
2.
Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt ba điểm A,
B, C với OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là trực tâm của ABC.
a) Tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC.
b) Khi a, b, c thay đổi sao cho a 2 b2 c 2 k 2 với k là hằng số dương,
tìm giá trị lớn nhất của độ dài OH, của diện tích tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng a 2 tan A b 2 tan B c 2 tan C .
ĐH NL TpHCM - 95
ĐS: b) OH max
a) OH
k
k2 3
k
; S ABC(max)
khi a b c
3
6
3
abc
2 2
2
2
2
b c c a a b
3.
; S ABC
1 2 2
b c c 2 a 2 a 2 b2
2
Cho tam diện vuông đỉnh O. Trên ba cạnh của tam diện ấy lấy ba điểm A,
B, C sao cho AC = 2OB, BC = 2OA.
a) M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC. Chứng
minh rằng MN vuông góc với OC.
.
b) Tính cos MON
c) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh:
ĐH Kinh tế TpHCM - 95
4.
2
MN
tan 4 OCD
1.
AB
tan 4 OCA
ĐS: b) cos
MON 1 / 4
Cho tứ diện ABCD sao cho AB = 2x, CD = 2y và 4 cạnh còn lại đều có độ
dài bằng 1.
a) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo x và y.
b) Xác định x và y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất.
ĐH DL Ngoại ngữ - Tin học - 97
ĐS: a) S tp 2 x 1 x 2 y 1 y 2
b) S max 2 x y 2 / 2
Gv: Trần Quốc Nghĩa
5.
3
Cho hình chóp O.ABC với OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Kẻ OH (ABC). Chứng minh H là trực tâm của ABC.
b) Chứng minh rằng nếu H là trực tâm của ABC thì OH (ABC).
c) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
d) Chứng minh rằng a 2 tan A b 2 tan B c 2 tan C .
ĐH Ngoại ngữ HN - 97
6.
ĐS: c) S ABC
1 2 2
b c c 2 a 2 a 2 b2
2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Đặt SA = h.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm của SBC.
Chứng minh OH (SBC).
ĐH QG TpHCM khối A - 97
7.
ĐS: a)
3a 2 4h 2
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m, CD = 2n.
a) Xác định vị trí và tính độ dài đường vuông góc chung IJ của hai cạnh
đối nhau AB và CD (I AB, J CD).
b) Một mặt phẳng () vuông góc với IJ tại O sao cho JO = x . Vẽ thiết diện
MNPQ do mặt phẳng () cắt tứ diện. Tính diện tích thiết diện. Xác định
vị trí của điểm O để thiết diện có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
ĐS: a) d IJ a 2 n 2 m 2
ĐH Văn Lang khối A - 97
b) S
8.
ah 3
4mnx( d x )
d
; Smax mn khi x
a 2 n 2 m2
2
Cho ABC vuông tại A với BC = a và AC = b. S là một điểm di động trên
đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại C. Mặt phẳng (P) đi qua C và
vuông góc với SB cắt SA và SB lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh CH (SAB) và tìm quỹ tích của H khi S di động trên d.
b) Đặt SC = x. Tính độ dài HK theo a, b và x.
ĐH QG TpHCM đợt 3 - 98
ĐS:a) Đường tròn đkính CA trong mp(A; d) b) HK
x 2 a 2 b2
( x 2 a 2 )( x 2 b2 )
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
9.
4
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Các cạnh bên
của hình chóp tạo với đáy các góc đều bằng .
a) Chứng minh hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAI) vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
c) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Chứng minh rằng AK
vuông góc với mặt phẳng (SBC).
, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là d. Tính
d) Cho biết BAC
diện tích của tam giác ABC theo d, , .
ĐS: d) S 2d 2 .cot 2 .sin .cos 2 ( α/2 )
ĐH Ngoại ngữ HN - 98
10.
Cho tứ diện ABCD, có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a 2 .
và CBD
bằng 1 vuông.
a) Chứng minh rằng các góc CAD
b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
c) Chứng minh: (ACD) (BCD).
ĐS: b) S ( 2 3 )a 2
ĐH Văn hóa - 98
11.
Xét hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA = h, AB = AC = b, BC = a.
AD
a) D là một điểm trên cạnh A, hãy xác định tỉ số x
(0 < x < 1) sao
AB
cho mặt phẳng qua D, song song với SA và BC cắt hình chóp theo thiết
diện là hình vuông.
b) Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để tam giác SBC là một tam giác vuông.
HV Ngân hàng khối D ban C - 98
12.
h
; b) a 2 2( b 2 h 2 )
ah
Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông
450 . Gọi
tại B. Cho BSC
ASB , tìm để góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) bằng 600.
ĐH Y khoa HN - 99
13.
ĐS: a) x
ĐS: cos 2 / 5
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng () song song với AD và BC cắt các
cạnh AB, AC, CD, DB lần lượt tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của () để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn
nhất.
ĐH SP Vinh khối D - 99
ĐS: () qua trung điểm các cạnh AB, AC, CD, DB
Gv: Trần Quốc Nghĩa
14.
2 . Trên đường thẳng
Cho ABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC
d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho
SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH SI.
a) Chứng minh AH (SBC). Tính độ dài AH theo a và .
AK
b) Gọi K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
x . Mặt phẳng (R)
AI
qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M,
N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác này.
ĐH Quốc gia TpHCM Khối D - 99
15.
ĐS: a)
2 2
a2 3
c) arccos
2
3
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Đặt SA = h.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm SBC.
Chứng minh: OH (SBC).
HV Chính trị QG TpHCM - 01
17.
ĐS: MNPQ là hcn, S = 4a2x(1 - x)sin
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a.
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b) Chứng minh rằng BD SC.
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD).
ĐH SP Vinh - 99
16.
5
ĐS: a)
ah 3
3a 2 4h 2
Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2 , SC (ABC), ABC vuông tại
A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t.
b) Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung
của BC và SA.
ĐH Đà Nẵng khối A - 01
ĐS: a) MN 3t 2 4at 2a 2 b) t = 2a/3
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
18.
6
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau
và OA = OB = OC = a. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE
với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a.
ĐS: a 2 3 /6
ĐH Huế khối A - 01
19.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích
tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng
(SBC).
ĐS: a 2 10 /16 (đvdt)
ĐH Khối A - 02
20.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo
a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 02
21.
ĐS: 3a 5 /5
Cho tứ diện OABC có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau. Gọi , , lần
lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt (OBC), (OCA), (OAB).
Chứng minh: cos cos cos 3 .
Dự bị 2 ĐH Khối B - 02
22.
Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Dự bị 1 ĐH Khối D - 02
23.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA
Dự bị 2 ĐH Khối D - 02
24.
ĐS: 6 cm
a 6
.
2
ĐS: a 2 / 2
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới
mặt phẳng (BCD).
ĐH Khối D - 02
ĐS: 6 34 /17 (cm)
Gv: Trần Quốc Nghĩa
25.
7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC =
2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
Chứng minh rằng, tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB
theo a.
ĐS: a 2 2 /2 (đvdt)
Dự bị 1 ĐH Khối D - 03
26.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác
ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác
BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S abc (a b c) .
Dự bị 2 ĐH Khối D - 03
27.
ĐS: S a 2 b 2 b2 c 2 c2 a 2 /2 (đvdt)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a)
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
ĐH Khối B - 07
28.
ĐS: a 2 /4
900 ,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
ABC BAD
BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh
SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
ĐH Khối D - 07
29.
ĐS: a/3
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
a 5
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2
Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối D - 07
ĐS: a 11 /4
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
8
Bài 2. Hình chóp - Khối đa diện
30.
Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R. Lấy một
điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với (P) tại O sao cho OS = R 3 . Gọi
I là điểm thuộc đoạn SO với SI =
2R
3
, M là điểm thuộc (C).
SH
với H là hình chiếu của I lên SM. Từ đó suy ra quỹ tích
SM
của H khi M di động trên (C).
b) Xác định vị trí của M trên (C) để hình chóp H.AMB có thể tích lớn nhất.
Tính giá trị lớn nhất này.
.
c) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SMB) khi BAM
6
ĐH Bách khoa TpHCM - 94
ĐS: a) SH/SM=1/2
a) Tính tỉ số
b) Vmax R3 3 /8 khi M trung điểm AB c) arctan2
31.
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho
SA = h (h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I, J lần lượt là các
trung điểm của BC và AB.
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB.
b) Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất.
ĐH Bách khoa TpHCM - 95
ĐS: a)
bh
2
b 4h
32.
2
b)
V BMIJ 1
VBSCA 8
Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện
Oxyz. Điểm M cố định nằm trong tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt các
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt
phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
a
b
c
b) Chứng minh:
1.
OA OB OC
c) Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
ĐH Y Dược TpHCM - 95
ĐS: c) Vmin
9
abc OA 3a;OB 3b;OC 3c
2
Gv: Trần Quốc Nghĩa
33.
9
Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
a) Chứng minh rằng
3S ABC S SAB S SBC S SAC .
b) Biết rằng SA = a, SB + SC = k. Đặt SB = x. Tính VSABC theo a, k, x và xác
định SB, SC để VSABC lớn nhất.
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96
34.
ĐS: b) V
Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại A (M A).
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
b) Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của điểm M để
thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.
ĐH Quốc gia HN Khối B - 97
35.
ĐS: AM 1 AM 2 AD
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống
mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm của AH.
a) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
b) Chứng minh: AB CD. Tính khoảng cách giữa AB, CD theo a.
c) Chứng minh: OB, OC, OD từng đôi một vuông góc với nhau.
d) Xác định điểm M trong không gian sao cho:
MA2 MB 2 MC 2 MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐH QG TpHCM khối D - 97
36.
k
1
ax( k x ) ; SB SC
6
2
ĐS: a) V
a3 2
a 2
b)
c)M G (trọng tâm)
12
2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc
với đáy và có độ dài bằng a. Mặt phẳng đi qua CD cắt các cạnh SA, SB lần
lượt tại M và N. Đặt AM = x.
a) Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích MNCD theo a và x.
b) Xác định giá trị của x để tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNCD và
2
S.ABCD bằng .
9
ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) S ( 2a x ) a 2 x 2 /2 (đvdt) b) x 2a/3
37.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp.
ĐH Đà Nẵng khối D - 97
38.
ĐS: a3 2 /6 (đvtt); a 6 /6
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường
thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở về cùng phía đối với
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
10
mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không
trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a) Tính thể tích của hình chóp B.AMNC.
900
b) Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để MIN
ĐH Quốc gia HN khối D - 97
ĐS: a) V ( m n )a 2 /6 (đvtt);
b) MN 2a 2 ( m n )2 ;
MIN 90 0 a 2 2mn 0
39.
AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc
x, B thuộc y. Đặt độ dài AB = d. M là một điểm thay đổi thuộc x, N là một
điểm thay đổi thuộc y. Đặt AM = m, BN = n (m, n ≥ 0). Giả sử ta luôn có m2
+ n2 = k > 0, k không đổi.
a) Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với nhau và
mn 0, hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá
trị lớn nhất và tính giá trị đó.
ĐH Quốc gia HN khối A - 97
ĐS: a) MN max d 2 k k cos khi m n k/2 và AM ,BN
MN min d 2 k k cos khi m n k/2 và AM ,BN
(với là góc giữa hai đường thẳng x và y) b) VABMN(max) kd/12 khi m n k/2
40.
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (S) đường kính AB = 2R. Trên đường
thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm C sao cho AC = AB. M là một điểm
thuộc (S), H là hình chiếu của A xuống CM.
a) C/m khi M di động trên (S) thì H di động trên một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của M trên (S) (tính độ dài AM theo R) sao cho hình chóp
H.ABC có thể tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
ĐH Văn Lang khối B, D - 97
41.
ĐS: a) Vmax R3 2 /3 khi AM 2R 3 /3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt
SM
SN
trên các cạnh SB, SD sao cho:
2.
BM DN
SP
a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số
.
CP
b) Tính VS.AMPN theo VS.ABCD.
ĐH Cần Thơ khối A - 98
ĐS: a) SP/CP=1 b) VS.AMPN =VS.ABCD /3
Gv: Trần Quốc Nghĩa
42.
11
Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lất ba điểm
A, B, C.
a) Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c.
b) Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa:
OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
ĐH Ngoại thương khối A - 98
b) Vmax
43.
1 2 2
a b b2 c 2 c 2 a 2
2
k3
k
khi a b c
162(1 2 )3
3(1 2 )
ĐS: a) S
Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a.
a) Chứng minh rằng SA SC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC).
ĐS: b) V=a 3 2 /6 c) a 6 /3
ĐH Cần Thơ khối D - 98
44.
Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D, E, F là
các điểm mà AD x AB , AE x AC , x là số dương nhỏ hơn 1. Mặt phẳng
đi qua D, E, F chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó
theo x.
HV Ngân hàng khối D ban B - 98
45.
ĐS:
( x 1 )2 ( 2x 1 )
x 2 ( 3 2x )
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD =BC= a, AC =BD = b, AB = CD = c.
a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đoạn
vuông góc chung của các cặp cạnh đó.
b) Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.
ĐH QG TpHCM khối A - 98
ĐS: b) V
46.
1
3 2
( b 2 c 2 a 2 )( a 2 b 2 c 2 )( c 2 a 2 b 2 )
Hai tia Ax, By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau và tạo với nhau một
góc . Đường thẳng AB cùng vuông góc với Ax và By. Lấy M Ax,
N By. Biết rằng AB = d, AM = m, BN = n.
a) Hãy dựng đường vuông góc chung của AB và MN và tính độ dài đường
vuông góc chung ó theo m, n, và d.
b) Tính thể tích tứ diện ABMN.
ĐH Thái Nguyên khối D - 98 ĐS: a)
mn sin
2
2
m n 2mn cos
b) V
1
dmn sin
6
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
47.
12
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x và các cạnh còn lại đều bằng 1.
a) Chứng minh SA SC.
b) Tính thể tích hình chóp. Xác định x để bài toán có nghĩa.
Phân viện Báo Chí Tuyên Truyền - 98
48.
ĐS: a) V
Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a.
a) Chứng minh rằng AB CD. Hãy xác định đường vuông góc chung của
B và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: b) a 3 / 3
CĐ Kỹ nghệ TpHCM - 98
49.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng đường thẳng nối các trung điểm của cặp cạnh đối của
tứ diện là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.
c) Một mặt phẳng () song song với các cạnh AB, CD cắt ứ diện theo thiết
diện PQRS (P BC, Q AC, R AD, S BD). Chứng minh PQRS là
hình chữ nhật, tìm vị trí của () để PQRS là hình vuông.
CĐ SP Nghệ An - 98
50.
1
x 3 x 2 khi 0 x 3
6
ĐS: b) V
a3 2
c) () qua trung điểm BC
12
Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB
là đường vuông góc chung, AB = a. Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By
với AM = x, BN = y.
a) Chứng minh các mặt bên của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo a, x, y.
ĐH QG TpHCM khối D - 98
ĐS: b) Stp ( x a 2 y 2 ax y a 2 y 2 ay ) /2 ; V axy/6
51.
Trong mặt phẳng () cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. Gọi C là
điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt
phẳng () lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH SB, AK SC.
a) Chứng minh: AK (SBC), SB (AHK).
b) Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ
diện SAHK.
ĐH Cần Thơ - 99
ĐS: Vmax R3 5 /75 (đvtt)
Gv: Trần Quốc Nghĩa
52.
13
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều
bằng 1.
a) Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b) Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất ?
ĐH An ninh - 99
53.
ĐS: a) V
xy
x2 y 2
2
1
(đvtt); x y
6
4
3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB
= BC = CD = a và đường cao SO = a 3 , trong đó O là trung điểm của AD.
a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b) Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SD. Hãy xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ().
ĐS: a) V 3a 3 / 4
ĐH Quy Nhơn - 99
54.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA (ABC) và SA = a. Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
ACM , hạ SH CM.
a) Tìm quỹ tích các điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của VSAHC.
b) Hạ AI SC, AK SH. Tính SK, AK và thể tích tứ diện SAIK theo a.
ĐS: a) Vmax a 3 / 12
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99
b) SK
55.
a
1 sin 2
; AK
a sin
1 sin 2
;VSAIK
a 3 sin cos
12( 1 sin2 )
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O. Trên các
nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng phía đối với (P) ta
lần lượt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
a2
.
2
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích
giác OMN vuông tại O là xy
tứ diện BDMN. Xác định x, y để thể tích tứ diện này bằng
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99
a 2
b) V
6
a3
.
4
ĐS: a) MN 2a 2 ( x y )2
a
x a
a4 a2 2
a3
x
2
2 2
( x y ) x y ; V
2
a
4
2
4
y 2 y a
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
56.
14
Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân, AB = AC = 3a,
BC = 2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt
phẳng đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS: 2a 3 3 /3 (đvtt)
ĐH Quốc gia HN Khối D - 01
57.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đường cao SH và mặt phẳng () đi qua
điểm A vuông góc với cạnh bên SC. Biết mp() cắt SH tại H1 mà
SH1: SH = 1:3 và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lượt tại B, C, D.
a) Tính tỉ số diện tích thiết diện ABCD và diện tích đáy hình chóp.
b) Cho biết cạnh đáy của hình chóp bằng a. Tính thể tích của hình chóp
S.ABCD.
ĐH SP HN II Khối A - 01
58.
ĐS: a)
S AB' C' D'
15
a3 3
b) V
(đvtt)
S ABCD
15
90
Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đường cao
SH = h.
a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P) qua cạnh BC và
vuông góc với SA.
b) Nếu h = a 3 thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp đã cho theo tỉ số
nào ?
ĐH GTVT HN - 01
59.
ĐS: b)17/20
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a; BC = a. Các
cạnh bên của hính chóp bằng nhau và bằng a 2 .
a) Tính thể tích khối chóp theo a.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm trên
a
cạnh AD sao cho AK = . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
3
MN và SK theo a.
ĐH Kinh tế QD HN - 01
60.
ĐS: a) a 3 3 /3 b) a 21 /7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các đỉnh A và
D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a, (a > 0). Cạnh bên SA = 3a vuông góc
với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a.
ĐH DL Đông đô - 01
ĐS: a) 7a 2 /2 b) a 3 /2
Gv: Trần Quốc Nghĩa
61.
15
Trong không gian, cho đoạn OO = h và 2 nửa đường thẳng Od, Od cùng
vuông góc với OO và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N
chạy trên Od sao cho ta luôn có OM2 + ON2 = k2, k cho trước.
a) Chứng minh rằng đoạn MN có độ dài không đổi.
b) Xác định vị trí của M trên Od, N trên Od sao cho tứ diện OOMN có
thể tích lớn nhất.
HV Ngân hàng - 01
ĐS: a) MN k 2 h2 b) Vmax hk 2 /2 khi OM O' N k 2 /2
62.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 2 . Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi.
Đặt
ACM . Hạ SN CM.
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ
diện SACN theo a và .
b) Hạ AH SC, AK SN. Chứng minh SC (AHK) và tính HK.
ĐH QG TpHCM Khối A - 01
63.
ĐS:a) V
a cos
a 2 2 s in2
b) HK
6
1 sin 2
Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và
CAD
DAB
600 .
BAC
Dự bị 1 ĐH Khối A - 02
64.
ĐS: abc 2 /12 (đvdt)
Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau lần lượt lấy các điểm
khác O là M, N và S với OM = m, ON = n và OS = a. Cho a không đổi, m
và n thay đổi sao cho m + n = a.
a) Tính thể tích khối chóp S.OMN. Xác định vị trí của các điểm M và N sao
cho thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
MSN
NSO
900 .
b) Chứng minh: OSM
ĐS: m n a / 2
CĐ Sư phạm Nha Trang - 02
65.
Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
(00 < < 900). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến
mặt phẳng (SBC).
Dự bị 2 ĐH Khối B - 03
ĐS:
a 3 tan
a 3 sin
(đvtt);
22
2
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
66.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng (00 < < 900). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (ABCD) theo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
ĐH Khối B - 04
67.
16
ĐS:
2 tan ;
a3 2 tan
(đvtt)
6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB.
ĐS: a 3 2 /36 (đvtt)
ĐH Khối B - 06
68.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM.
ĐS: 3 3a 3 /50 (đvtt)
ĐH Khối D - 06
69.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một
a 3
. Mặt phẳng (BCM)
3
cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
Dự bị 2 ĐH Khối A - 06
70.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường
cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng bên
(SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Dự bị 1 ĐH Khối D - 06
71.
ĐS: 10 3a 3 /27 (đvtt)
ĐS:
2
a3b
(đvtt)
3 a 2 16b2
600 , SA
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD
vuông góc với mp(ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng
(P) đi qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần
lượt tại B, D. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 06
ĐS: a 3 3 /18 (đvtt)
Gv: Trần Quốc Nghĩa
72.
17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP
và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
ĐS: a 3 3 /96 (đvtt)
ĐH Khối A - 07
73.
Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600,
ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B
đến mp(SAC).
Dự bị 2 ĐH Khối A - 07
74.
ĐS: 3a/ 13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của A lên SB, SD. Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp
OAHK.
ĐS: 2a 3 /27 (đvtt)
Dự bị 1 ĐH Khối B - 07
75.
Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với
(P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh AHK
vuông và tính VSABC?
ĐS: R 3 6 /12 (đvtt)
Dự bị 2 ĐH Khối B - 07
76.
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c. Tính thể
tích của tứ diện đó.
CĐ KT- CN HCM - 07
77.
ĐS:
2( b2 c 2 a 2 )( c2 a 2 b2 )( a 2 b 2 c2 ) / 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm
a 3
Tính
6
khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp
S.ABCD.
của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng
Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối A, B - 07
78.
ĐS: a) a 3 /4 ; b) a 3 3 /6 (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Biết thể tích là
V
9a3 2
. Tính độ dài cạnh của hình chóp.
2
CĐ KT Đối ngoại - 07
ĐS: 3a
Tài liệu LTĐH - Hình không gian
79.
18
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc
với đáy,
ACB 600 , BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính thể tích khối tứ diện MABC.
ĐS: a 3 /4 (đvtt)
CĐ Cao Thắng - 07
80.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
ĐH Khối B - 08
81.
ĐS: V = a 3 3 /3 (đvtt) , cosφ = 5 /5
900 ,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
ABC BAD
AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và
tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
ĐS: a 3 / 3 (đvtt)
CĐ - 08
82.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA =
BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung
điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là
( 900 ) và H là
điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM
hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ
theo a, và tìm để thể tích đó lớn nhất.
Dự bị 1 ĐH Khối A - 08
83.
5a 3
s in2 (đvtt) , =
24
4
Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,
SA = SB = SC = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,
BC; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD
với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo
a thể tích của khối tứ diện MBSI.
Dự bị 2 ĐH Khối A - 08
84.
ĐS: V =
ĐS: V = a3/36 (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
SA a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ
diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Dự bị 1 ĐH Khối B - 08
ĐS: V = a3 3 /6 (đvtt);
2 /4
Gv: Trần Quốc Nghĩa
85.
Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a,
các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ
diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
Dự bị 2 ĐH Khối B - 08
86.
ĐS: V = 3a3 15 /5 (đvtt)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường
thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ
diện AMNP.
CĐ - 09
90.
ĐS: 8a 3 /45 (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính VS.ABCD theo a.
ĐH Khối A - 09
89.
ĐS: AQ/AD = 3/5 ; V1 /V2 = 7/13
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A
vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ
diện SAHK.
Dự bị 2 ĐH Khối D - 08
88.
ĐS: V = a 3 2 /12 (đvtt); 600
Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD,
AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại
AQ
Q. Tính tỉ số
và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được
AD
phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
Dự bị 1 ĐH Khối D - 08
87.
19
ĐS: a 3 6 /48 (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể
tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
ĐH Khối A - 10
91.
ĐS: V = 5a3 3 /24 (đvtt) , 2a 3 / 19
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
CĐ - 10
ĐS: a 3 5 /6 (đvtt)
- Xem thêm -
.PDF 
35 
557 
116 
