Tài liệu Phương trình lượng giác - lê văn đoàn

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Chuyên đề 2 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG 1. Công thức cơ bản • sin 2 x + cos 2 x = 1. • tan x.cot x = 1. 2. Công thức cộng cung • sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b. tan a + tan b • tan(a + b) = ⋅ 1 − tan a.tan b 3. Công thức nhân đôi – nhân ba và hạ bậc • 1 + tan 2 x = 1 ⋅ cos 2 x • 1 + cot 2 x = 1 ⋅ sin 2 x • cos(a ± b) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b. • tan(a − b) =  cos 2 x − sin 2 x • cos 2x =  ⋅ 2 2  2 cos x − 1 = 1 − 2 sin x tan a − tan b ⋅ 1 + tan a.tan b • sin 2x = 2 sin x.cos x. • sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x. • cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x. 1 − cos 2x 1 + cos 2x • sin 2 x = ⋅ • cos 2 x = ⋅ 2 2 4. Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b a+b a−b cos ⋅ sin ⋅ • cosa + cos b = 2 cos • cos a − cos b = −2 sin 2 2 2 2 a+b a−b a+b a−b • sin a + sin b = 2 sin cos ⋅ • sin a − sin b = 2 cos sin ⋅ 2 2 2 2 sin(a + b) sin(a − b) • tan a + tan b = ⋅ • tan a − tan b = ⋅ cos a.cos b cos a.cos b 5. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1 • cosa.cos b = cos(a + b) + cos(a − b)  . • sin a.cos b = sin(a + b) + sin(a − b)  . 2 2 1 • sin a.sin b = cos(a − b) − cos(a + b) ⋅ 2 6. Cung góc liên kết • "cos đối – sin bù – phụ chéo" cos đối: cos( −α ) = cos α , sin( −α) = − sin α , tan( −α ) = − tan α , cot( −α ) = − cot α. sin bù: sin( π − α ) = sin α , cos( π − α ) = − cos α , tan( π − α ) = − tan α , cot( π − α ) = − cot α. π  π  π  π  Phụ chéo: sin  − α  = cos α , cos  − α  = sin α , tan  − α  = cot α , cot  − α  = tan α. 2  2  2  2  π chỉ có sin = cos " 2  π  π  π  π sin  x +  = cos x, cos  x +  = − sin x, tan  x +  = − cot x, cot  x +  = − tan x. 2 2 2 2     • "Bỏ chẵn lần pi của sin và cos thì không thay đổi": sin(x + k2 π) = sin x, cos(x + k2π) = cos x. • "Hơn kém nhau sin[x + ( π + k2π)] = − sin x • "Bỏ lẻ lần pi của sin và cos thì cộng thành trừ":  ⋅ cos(x + π + k2 π) = − cos x Đặc biệt đối với tan, cot thì: tan(x + kπ) = tan x, cot(x + kπ) = cot x. 7. Một số công thức khác thường được sử dụng  π  π • sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −  ⋅ 4 4   1 3 + 1.cos 4x ⋅ • sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2x = 2 4 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái  π  π sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +  ⋅ 4 4   3 5 + 3.cos 4x • sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2x = ⋅ 4 8 • DeThiThuDaiHoc.com Page - 1 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Đường tròn lượng giác y t 3 - 3 - 3 /3 -1 u' B π/2 3 /3 3 1 u π/3 1 2π/3 π/4 3 /2 3π/4 2 /2 5π/6 x' π π/6 3 /3 1/2 1/2 - 3 /2 - 2 /2 -1/2 -1 x 1 A (Ñieåm goác) 3 /2 2 /2 O -1/2 -π/6 - 3 /3 - 2 /2 -π/4 - 3 /2 -1 -1 -π/3 -π π/2 y' - 3 t' Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 2π sin α 0 1 2 2 2 1 2 0 0 1 3 2 2 2 3 2 1 − 2 2 2 cos α 3 2 1 2 tan α 0 3 3 1 3 kxđ cot α kxđ 3 1 3 3 0 1 0 − 2 2 − 3 2 −1 1 3 3 0 0 kxđ kxđ − 3 −1 − 3 3 −1 − 3 − Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 2 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


I. Phương trình lượng giác cơ bản a = b + k2π  sin a = sin b ⇔   a = π − b + k2π a = b + k2π  cos a = cos b ⇔  a = − b + k2π  sin x = 0 ⇒ x = kπ  π   → sin x = 1 ⇒ x = + k2 π 2  π  sin x = −1 ⇒ x = − 2 + k2π cos x = 1 ⇒ x = k2π  π   → cos x = 0 ⇒ x = + kπ 2  cos x = −1 ⇒ x = π + k2 π  tan a = tan b ⇔ a = b + kπ  tan x = 0 ⇔ x = kπ   →  π  tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ  4  cot a = cot b ⇔ a = b + kπ  π cot x = 0 ⇔ x = 2 + kπ  →   cot x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ  4 II. Loại nghiệm hoặc kết hợp tập nghiệm Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cotan, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. π + kπ, (k ∈ ℤ). 2 Phương trình chứa cot x, điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ ℤ). Phương trình chứa tan x, điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ Phương trình chứa tan x và cot x, điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , (k ∈ ℤ). 2 Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có các phương pháp sau: 1. Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trong quá trình giải Nghĩa là áp dụng công thức lượng giác cơ bản, nhân đôi,… để liệt kê các trường hợp điều kiện và luôn so sánh trong quá trình giải, chẳng hạn ta có: sin a ≠ 0 nhân do: sin 2 2x + cos2 2x = 1  → sin 2x ≠ 0  → cos 2x ≠ ±1 ….. cos a ≠ 0  Điều kiện:  VD 1. VD 2. VD 3. VD 4. BT 1. BT 2. sin 2x + 3 tan 2x + sin 4x = 2. tan 2x − sin 2x 1 − 2 sin x x π Giải: 1 + cos x − = 2 tan x.sin 2  +  ⋅ cos x 2 2 π 3 π ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 Giải: ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ). 2 cos 2x − ⋅ sin 2x cos x sin 2 2x + cos 4 2x − 1 Giải: = 0. sin x.cos x π 5π + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 π ĐS: x = + kπ, (k ∈ ℤ). 4 Giải: cot x = ĐS: x = Bài tập rèn luyện tương tự 1 π ⋅ Giải: 1 − 3cos x + cos 2x = ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). (cot x − cot 2x)sin(x − π) 3 Giải:  π 2(1 + sin x + cos 2x) sin  x +  4  = cos x. 1 + tan x Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái π 6 ĐS: x = − + k2 π, x = 7π + k2π. 6 DeThiThuDaiHoc.com Page - 3 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 3. Giải: 1 1 2 + = ⋅ cos x sin 2x sin 4x Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán ĐS: x = π 5π + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 2. Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác để loại hoặc kết hợp tập nghiệm Để biết tập nghiệm có mấy ngọn cung nghiệm (điểm) khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, cần k2 π sẽ có n điểm trên đường tròn lượng giác cách đều n k2 π nhau". Chẳng hạn: x = π + kπ thì ta sẽ biến đổi x = π + ⇒ n = 2 điểm trên đường tròn lượng giác.  Để biết 2 điểm này là bao nhiêu, xuất phát từ k = 0 ⇒ x = π , tôi thường viết M 0 ( π) và k = 1 ⇒ x = 2π nắm vững nguyên tắc: "Tập nghiệm x = α + hay viết M1 (2 π). Đã đủ hai điểm cách đều và sẽ ngưng. Để vận dụng loại nghiệm trên đường tròn lượng giác, cần: biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện và từ đó ghi lại tập nghiệm mới. VD 5. VD 6. VD 7. VD 8. BT 4. BT 5. BT 6. π kπ 4 sin 2 x ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 1 − cos 4x 1 − (sin 6 x + cos6 x) 3 π π Giải: ĐS: x = + kπ, x = + kπ, ( k ∈ ℤ ) . = cos x. 4 2 sin x 2 π k2π (2 sin x + 1)(3cos 4x + 2 sin x) + 4 cos 2 x + 1 Giải: = 8. ĐS: x = kπ , x = + , (k ∈ ℤ). 1 + sin x 2 3 π π sin x + sin 2x + sin 3x = 3. Giải: ĐS: x = + kπ, x = − + k2 π, (k ∈ ℤ). cos x + cos 2x + cos 3x 6 3 Bài tập rèn luyện tương tự Giải: 1 + cot 2x = 3 sin x − 2 cos x + 3 2 = cos x. π 7π ĐS: x = − + k2 π, x = + k2π , (k ∈ ℤ). 6 6 π π Giải: cot x + cos 2x + sin x = sin 2x + cos x.cot x. ĐS: x = + kπ, x = − + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 1 − 2 sin x − 2 sin 2x + 2 cos x π Giải: = cos 2x − 3(1 + cos x). ĐS: x = π + k2 π, x = − + k2π , (k ∈ ℤ). 2 sin x − 1 6 Giải: 2 sin x − 1 3. Thử trực tiếp tập nghiệm vào điều kiện hoặc xét mệnh đề đối lập Với loại này ta không giải điều kiện, khi giải xong thay thế tập nghiệm vào điều kiện. Nếu đúng thì nhận, nếu sai thì loại tập nghiệm và kiến thức chủ yếu trong phương pháp này là cung góc liên kết. VD 9. Giải: VD 10. Giải: VD 11. sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 tan x + 3 ( 6 = 0. ) 2 cos x + sin 6 x − sin x cos x 2 − 2 sin x = 0. sin x sin 2x + 2 sin x cos 2 x + sin x + cos x = 6 cos 2x.  π cos  x −  4  VD 12. Giải: 1 + sin 2x + cos 2x = 2 sin x sin 2x. 1 + cot 2 x VD 13. Giải: 3 sin x + 2 cos x = 3(1 + tan x) − 1 ⋅ cos x  5π  sin  + 4x  − sin x sin 3x − cos 3x cos x 2   VD 14. Giải: =0 sin x Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 ĐS: x = 5π + m2 π, (m ∈ ℤ). 4 ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 12 ĐS: x = π π + kπ, x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 2 4 ĐS: x = k2π , x = α ± arccos ĐS: x = 13 + k2 π. 13 π 2π + mπ , x = + mπ, (k ∈ ℤ). 3 3 DeThiThuDaiHoc.com Page - 4 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập rèn luyện tương tự BT 7. sin 4 x + cos 4 x 1 Giải: = (tan x + cot 2x). sin 2x 2 BT 8. Giải: cos 3x tan 5x = sin 7x. BT 9. (1 − cos x)2 + (1 + cos x)2 1 + sin x − tan 2 x sin x = + tan 2 x 4(1 − sin x) 2 BT 10. Giải: 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + π kπ + , (k ∈ ℤ). 4 2 π π kπ ĐS: x = + mπ, x = + , (m, k ∈ ℤ). 2 20 10 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 ĐS: x = π ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ). 3 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 1 ⋅ sin 2x BT 11. Giải: tan 2 x + tan x tan 3x = 2. III. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 1. Sử dụng thành thạo cung liên kết Xem lại các công thức cung liên kết. VD 15. Giải: sin 5x + 2 cos 2 x = 1 (B 2013) VD 16. Giải: cos 2 2x − sin(2014 π + 4x) − cos(2015π − 2x) = 0 2 VD 17. Giải: cos 2x cos x + cos x = sin 2x sin x VD 18. Giải: 2 cos 5x.cos 3x + sin x = cos 8x VD 19. Giải: cos x cos 2x cos 3x − sin x sin 2x sin 3x = 1 2 π k2π π k2π ĐS: x = − + , x= + , (k ∈ ℤ). 6 3 14 7 π kπ π ĐS: x = + , x = − + kπ, (k ∈ ℤ). 4 2 2 π kπ π ĐS: x = + , x = − + kπ, (k ∈ ℤ). 4 2 2 π π k2π ĐS: x = + k2π , x = − + , (k ∈ ℤ). 2 6 3 π kπ π kπ π ĐS: x = − + ,x = + , x = − + kπ. 8 2 12 3 4 Bài tập rèn luyện tương tự  5π  − x  sin x = 1.  12  π 3π + kπ , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 6 4 BT 12. Giải: 2 2 cos  ĐS: x = BT 13. Giải: tan 2 3x + 2 tan 3x.tan 4x − 1 = 0. π kπ + , (k ∈ ℤ). 4 2 π k2π π k2 π ĐS: x = + , x= + , (k ∈ ℤ). 14 7 10 5 π kπ π k2 π π ĐS: x = + , x= + , x = + k2π. 4 2 10 5 2 BT 14. Giải: 2 sin 3x(1 − 4 sin 2 x) = 1. BT 15. Giải: 2 cos 2 2x + cos 2x sin 3x + 3 sin 2 2x = 3. 1+ BT 16. Giải: 1 2 (sin x − cos x) + sin 2x  π 1 + tan  x −  4  1 = (1 + cot x). 2 ĐS: x = ĐS: x = π 17 π + k2π , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 12 12 2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tổng thành tích a+b a−b ⋅ cos ⋅ 2 2 a+b a−b ● cos a − cos b = −2 sin ⋅ sin ⋅ 2 2 sin(a + b) ● tan a + tan b = ⋅ cos a.cos b a+b a−b ⋅ cos ⋅ 2 2 a+b a−b ● sin a − sin b = 2 cos ⋅ sin ⋅ 2 2 sin(a − b) ● tan a − tan b = ⋅ cosa.cos b a+b a−b Khi áp dụng tổng thành tích thì được hai cung mới: ; ⋅ Trước khi áp dụng, nên nhẩm hai 2 2 ● cos a + cos b = 2 cos ● sin a + sin b = 2 sin cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 5 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM VD 20. Giải: tan x + tan 2x + tan 3x = tan 6x. VD 21. Giải: sin 3x + cos 2x − sin x = 0 (D – 2013) Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π kπ ĐS: x = ± + kπ , x = , (k ∈ ℤ). 3 5 π kπ π 7π ĐS: x = + , x = − + k2 π, x = + k2π. 4 2 6 6  2π π k2π π  + k2π; + ; − + k2π  ⋅ 3 6 3 2   VD 22. Giải: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. ĐS: x ∈ ± VD 23. Giải: sin 3x + sin 2x + sin x + 1 = cos 3x + cos 2x − cos x π k2 π , x = π + k2π. 4 3 π π 7π ĐS: x = − + k2 π, x = − + kπ, x = + kπ. 2 12 12 kπ ĐS: x = , (k ∈ ℤ). 3 VD 24. Giải: cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x − 1 = 0 VD 25. Giải: 4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0 ĐS: x = − + kπ, x = Bài tập rèn luyện tương tự BT 17. Giải: sin 5x + sin 3x + 2 cos x = 1 + sin 4x. π kπ π , x = ± + k2π , (k ∈ ℤ). 8 2 3  π k2π π k2π π kπ π  ; + ; + ; − + kπ ⋅ ĐS: x ∈  +  30 5 6 5 16 4 4  ĐS: x = − + BT 18. Giải: cos 2x − sin 3x + cos 5x = sin10x + cos 8x. BT 19. Giải: sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x. BT 20. Giải: 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x. BT 21. Giải: cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0. 2π π kπ + k2 π, x = + , (k ∈ ℤ). 3 8 2  π π 7π  ĐS: x ∈ ± + k2 π; kπ; − + k2π; + k2π  ⋅ 3 6 6   ĐS: x = ± ĐS: x = π kπ + , x = kπ, (k ∈ ℤ). 18 9 3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn ● sin 2 α = 1 1 − cos 2α. 2 2 ● cos 2 α = – Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1 1 + cos 2α. 2 2 1 và cung góc tăng gấp đôi. 2 – Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn. VD 26. Giải: cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = π 4 VD 27. Giải: cos 3x + sin 7x = 2sin 2  + π 3 3 2 5x  2 9x  − 2 cos 2  2  VD 28. Giải: cos 2 x + cos 2 2x + cos 2  − 3x  =  7 4 π kπ π 2π + , x = ± + kπ, x = ± + kπ. 8 4 5 5 π kπ π π kπ ĐS: x = + , x = + kπ , x = − + ⋅ 12 6 4 8 2 ĐS: x = ĐS: x = π kπ π kπ π kπ + , x=− + , x=− + ⋅ 6 3 6 2 12 2  π π   3π  π  + x  − sin 2  + x  cos x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x ĐS: x ∈  − + kπ; ± + kπ  2 2 4 6       VD 29. Giải: 3 sin 2 x cos  Bài tập rèn luyện tương tự π   π BT 22. Giải: sin 2 4x − cos 2 6x = sin  + 10x  , ∀x ∈  0;  ⋅ 2   2  π 3π π 7 π 9 π  ; ; ; ; ⋅  20 20 4 20 20  ĐS: x ∈  π π kπ π kπ + kπ , x = + , x= + ⋅ 2 4 2 10 5 kπ kπ BT 24. Giải: sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x. ĐS: x = , x= , (k ∈ ℤ). 2 9 π BT 25. Giải: tan 2 x + sin 2 2x = 4 cos 2 x. ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ). 4 π kπ 2 2 2 BT 26. Giải: 2 cos x + 2 cos 2x + 2 cos 3x − 3 = cos 4x(2 sin 2x + 1). ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 8 2 BT 23. Giải: cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 2. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: x = DeThiThuDaiHoc.com Page - 6 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 27. Giải: 4 sin 2 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán x  3π  − 3 cos 2x = 1 + 2 cos 2  x −  ⋅ 2 4   ĐS: x = 5π k2 π 7π + , x=− + k2 π. 18 3 6 kπ , (k ∈ ℤ). 2 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 π 5π ĐS: x = + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 BT 28. Giải: cos 2 3x.cos 2x − cos 2 x = 0. ĐS: x = tan x = 2. cot 3x 1 cos 2 4x BT 30. Giải: − = sin 2x + sin 6x. cos x sin 2x BT 29. Giải: tan 2 x − 4. Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số Đa số đề thi thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp. Hiển nhiên là phải thành thạo công thức lượng giác. Một số lượng nhân tử thường gặp: – Các biểu thức có nhân tử chung với cos x + sin x thường gặp là: 1 + sin 2x; cos 2x; 1 + tan x; 1 + cot x; sin 3x − cos 3x; cos 3 x + sin 3 x; cos 4 x − sin 4 x; … – Các biểu thức có nhân tử chung với cos x − sin x thường gặp là: 1 − sin 2x; cos 2x; 1 − tan x; 1 − cot x; sin 3x + cos 3x; cos 3 x − sin 3 x; cos 4 x − sin 4 x; 1 + cos 2x − sin 2x; … – Từ sin 2 x + cos 2 x = 1 và nhìn nhận với góc độ hằng đẳng thức số 3, ta có: + sin 2 x; tan 2 x có nhân tử chung là: (1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos 2 x. + cos 2 x; cot 2 x có nhân tử chung là: (1 − sin x)(1 + sin x) = 1 − sin 2 x. – f(X) = aX 2 + bX + c = a(X − X1 )(X − X 2 ) với X có thể là sin x,cos x, … và X 1 , X 2 là 2 nghiệm của f(X) = 0. π 3 3π x=± + k2π , (k ∈ ℤ). 4 π x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 2π π x=± + k2 π, x = + kπ , (k ∈ ℤ). 3 4 π kπ x= + , (k ∈ ℤ ). 4 2 VD 30. Giải: sin x + 4 cosx = 2 + sin 2 x (A, A1 – 2014) ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). VD 31. Giải: (B – 2014) ĐS: 2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x VD 32. Giải: (tan x + 1) sin 2 x + cos 2x = 0 ĐS: VD 33. Giải: (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = 4 cos 2 x − 1 ĐS: VD 34. Giải: π  1 + cos 2x 2 cos  − x  ⋅ = 1 + cot x sin x 4  ĐS: π kπ π + , x = − + k2 π , x = π + k2 π. 4 2 2 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 π ĐS: x = π + k2 π, x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 π 4π ĐS: x = + k2π, x = ± + k4 π, (k ∈ ℤ). 2 3 VD 35. Giải: 2 sin 3 x − sin x = 2 cos 3 x − cos x + cos 2x ĐS: x = 5 4 VD 36. Giải: sin 8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos 2x VD 37. Giải: 2 sin 3 x + cos 2x + cos x = 0  x x x x π 2 2  sin 3 − cos 3  cos = ( 2 + sin x ) cos  +  2 2 2  2 4 1 3 VD 39. Giải: sin 2x + tan x = − cos 2x 2 2 VD 38. π π 5π + kπ , x = + kπ , x = + kπ. 4 12 12 π kπ π kπ ĐS: x = + , x= + , (k ∈ ℤ). 4 2 8 2 ĐS: x = VD 40. Giải: sin 2 x(4 cos 2 x − 1) = cos x(sin x + cos x − sin 3x) Bài tập rèn luyện tương tự BT 31. Giải: sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x. BT 32. Giải: tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x). BT 33. Giải: (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2x. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 π kπ π kπ ĐS: x = + , x= + , (k ∈ ℤ). 4 2 8 2 π π ĐS: x = − + kπ, x = + k2 π, x = k2π. 4 2 ĐS: x = π + k2 π, x = DeThiThuDaiHoc.com Page - 7 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 34. Giải: (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 3 − 4 cos 2 x.  BT 35. Giải: cos 2x − 3 sin 2x + 5 2 sin  x −  7π   = 3. 4  Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π π 5π + k2π , x = + k2 π, x = + kπ. 6 6 4 π ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = BT 36. Giải: (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin 2 x = 0. ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). BT 37. Giải: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x. ĐS: x = ± + k2π , x = − + kπ, (k ∈ ℤ). BT 38. Giải: 4 sin 2x sin x + 2 sin 2x − 2 sin x = 4 − 4 cos 2 x. π π 3 4  π 7π π k2π  ĐS: x ∈ − + k2π; + k2π; k2 π; + ⋅ 6 3 3   6 BT 39. Giải: 3 sin 3 x x 1 − 3 cos 3 = 2 cos x + sin 2x. 2 2 2 BT 40. Giải: 2 cos x cos 2x cos 3x + 5 = 7 cos 2x. π + k2 π, (k ∈ ℤ). 2 ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). BT 41. Giải: sin 3 x + cos 3 x = 2(sin 5 x + cos 5 x). ĐS: x = BT 42. Giải: ĐS: x = π kπ , (k ∈ ℤ). + 4 2 2π ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 sin x + 3 tan x + sin 2x = 2. tan x − sin x  π 4 1 2     π  4  π 17 π + k2π , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 12 12 BT 43. 1 + sin  x −  + sin 2x = (1 + cot x) 1 + tan  x −   ⋅ ĐS: x = cos 2 x(cos x − 1) BT 44. Giải: = 2(1 + sin x). sin x + cos x ĐS: x = − + k2 π, x = π + k2π , (k ∈ ℤ). BT 45. Giải: 2 sin 2 x − sin 2x + sin x + cos x − 1 = 0. ĐS: x ∈  + k2 π;  π 2 π 6 5π 3π  + k2π; k2 π; + k2 π  ⋅ 6 2  π + kπ, x = k2π , (k ∈ ℤ). 4 (sin x + cos x)2 − 2 sin 2 x 1  π  π  π π kπ BT 47. = , (k ∈ ℤ). sin  − x  − sin  − 3x   ĐS: x = + kπ , x = − + 2 4 4 2 8 2 1 + cot x 2     BT 46. Giải: cos x + tan x = 1 + tan x sin x. BT 48. Giải: ĐS: x = 2  π  tan 2 x + tan x sin  x +  = ⋅ 2 4 tan 2 x + 1   π   π 4 ĐS: x = − + kπ, x = BT 49. Giải: 1 + 2 sin  2x +  = cos x + cos 3x. 4 ĐS: x = π 5π + k2 π, x = + k2π. 6 6 π π + kπ , x = − + kπ, x = k2π. 2 4 2 cos x + 2 sin 2x − 2 sin x − 1 2π π ĐS: x = − + k2 π, x = + k2π , (k ∈ ℤ). 2 cos x − 1 2 3 π kπ BT 51. Giải: tan x = sin 2x − 2 cot 2x. ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2  π π π BT 52. Giải: sin 2x + cos x − 2 sin  x −  − 1 = 0. ĐS: x = − + k2 π, x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 3  BT 50. Giải: cos 2x + 3(1 + sin x) = BT 53. Giải: (tan x + 1) sin 2 x + cos 2x + 2 = 3(cos x + sin x) sin x. BT 54. Giải: sin 2x − cos 2x − 2 sin x = 0.  π   BT 55. Giải: 5 cos x + sin x − 3 = 2 sin  2x +  , ∀x ∈ ( 0; π ) 4 BT 56. Giải: 2 sin x cos 2 π π + k2π, x = ± + kπ, (k ∈ ℤ). 4 3 π 5π k2 π ĐS: x = + k2π, x = + , (k ∈ ℤ). 4 12 3 π ĐS: x = ⋅ 3 ĐS: x = x  π π π k2π + sin x cos 2x = cos 2x + 2 cos  x −  ĐS: x = + k2π, x = + , x = −π + k2 π. 2 4 2 3 3    π 2 sin  2x −  = 2 sin x − 1 . 4  π π kπ 5 π kπ + kπ , x = + , x= + ⋅ 2 24 2 24 2 π ĐS: x = kπ , x = + k2π , (k ∈ ℤ). 2 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 8 - BT 57. Giải: tan 2x + cot x = 8 cos 2 x . BT 58. Giải: ĐS: x = www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π π + kπ, x = ± + kπ, (k ∈ ℤ). 4 3 π kπ π ĐS: x = + , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 2 π ĐS: x = k2π , x = − + k2π , (k ∈ ℤ). 2 3 2 BT 59. Giải: (tan x − 1) sin 2 x + 3 cos 2 x − sin 2x = 0. ĐS: x = BT 60. Giải: (1 − cos x) cot x + cos 2x + sin x = sin 2x. BT 61. Giải: sin 3 x − cos 3 x + 3 sin 2 x + 4 sin x − cos x + 2 = 0. x π x x BT 62. Giải: 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  ⋅ 2 2 4 2 ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). sin x 1 + + cot x = 2. 1 + cos x 1 − cos x π  1 + sin 2x = 1 + tan x. BT 64. Giải: 2 sin  − x  ⋅ 4   cos x π π + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 π ĐS: x = − + kπ, x = kπ, (k ∈ ℤ). 4   BT 63. Giải: ĐS: x = − + kπ, x =  3π  sin x − x + = 2.  2  1 + cos x BT 65. Giải: tan  BT 66. Giải: (sin 2x − sin x + 4) cos x − 2 = 0. 2 sin x + 3 1 15 cos 4x BT 67. Giải: + = ⋅ 2 2 2 cot x + 1 2 tan x + 1 8 + sin 2 2x BT 69. Giải: 2 sin x(2 cos 2x + 1 + sin x) = cos 2x + 2.  π π  sin  x −  + cos  − x  6 3 1     + sin x tan x ⋅ BT 70. − cos x = 2 cos x 2 cos x sin x − cos x  π + cos 3x = 2 sin  2x −  − 1. BT 71. Giải: tan x − 1 4  BT 73. Giải: 3 sin x − sin 2x = 3 + 2 cos x. 3 x π  π x + sin  − x  = 4 cos sin  +  − sin x. 2 3 2   3 2 BT 74. Giải: cos 7x + 2 sin 2 x = 5 sin x  π 2 tan  x +  .sin 3x = sin x + cos x 4   π BT 76. Giải: 8 sin  x +  + tan x + cot x = 4 cot 2x 6  BT 75. Giải: Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 ĐS: x = ± BT 68. Giải: 3 sin 3x + 2 + sin x(3 − 8 cos x) = 3 cos x. (2 sin x − 1)(cos 2x + sin x + 1) π 5π + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 π kπ + , (k ∈ ℤ). 12 2 π 5π ĐS: x = + kπ , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 12 12 π π 5π ĐS: x = ± + kπ , x = + k2 π, x = + k2π. 3 6 6 1 BT 72. Giải: ĐS: x = ĐS: x = k2π , x = π + kπ , (k ∈ ℤ). 3 π 4 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). ĐS: x = 5π π kπ + k2 π, x = + , (k ∈ ℤ). 6 4 2 ĐS: x = π + k2 π, x = 4π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 k2 π π k2 π , x= + , (k ∈ ℤ). 5 7 7 π π kπ 3π ĐS: x = − + kπ, x = + , x= + kπ. 4 16 2 8 ĐS: x = kπ , x = π 6 ĐS: x = − + k2 π, x = π k2π 5π + ,x = + k2 π. 18 3 6 DeThiThuDaiHoc.com Page - 9 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP


Có khoảng 80% đề thi với câu giải phương trình lượng giác phải đưa về tích số. Do đó, ta cần nắm vững các phép biến đổi lượng giác, công thức lượng giác, các kỹ thuật tách, ghép, đặt thừa số chung,… để đưa về phương trình tích dạng: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0 với A, B có thể là: ♦ Phương trình lượng giác cơ bản (đã tìm hiểu ở bài 1). ♦ Phương trình lượng giác bậc hai hoặc bậc cao theo một hàm lượng giác. ♦ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển): a.sin x + b.cos x = c. ♦ Phương trình lượng giác đối xứng (nửa đối xứng): a(sin x ± cos x) + b.sin 2x + c = 0. ♦ Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn). I. Phương trình bậc hai và bậc cao Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện a sin 2 x + b sin x + c = 0 t = sin x −1 ≤ t ≤ 1 2 t = cos x −1 ≤ t ≤ 1 2 a tan x + b tan x + c = 0 t = tan x a cot 2 x + b cot x + c = 0 t = cot x π + kπ 2 x ≠ kπ a cos x + b cos x + c = 0 x≠ Nếu đặt t = sin 2 x hay t = cos 2 x hoặc t = sin x hay t = cos x thì điều kiện lúc này là 0 ≤ t ≤ 1 .  π  5π  π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 VD 1. Giải: 5 cos  2x +  = 4 sin  − x  − 9 3   6  ĐS: x = VD 2. Giải: cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 ĐS: x = VD 3. Giải: 3 tan 2x − VD 4. Giải: 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x ĐS: VD 5. Giải: (2 tan 2 x − 1) cos x = 2 − cos 2x ĐS: VD 6. Giải: cos 2x − tan 2 x = VD 7. Giải: 5 sin  ĐS: VD 8. Giải: 4 sin x + 3 = 2(1 − sin x) tan 2 x π 7π + k2π , (k ∈ ℤ). 6 6 2π ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π π 5π ĐS: x = + k2π, x = + k2 π, x = + k2 π. 2 6 6 3 2 tan x − 2 − + 4 cos 2 x = 2 cos 2x 1 + tan x cos 2 x + cos 3 x − 1 cos 2 x  5π  − x  − 3(1 − cos x) cot 2 x = 2 2   3 sin 2 x + 2 sin x − 3 + 3 − 2 sin 3 x = 0 cot x 3 sin 2 x − 7 sin 3 x + 2 sin 4 x + 1 VD 10. Giải: sin 3x + cot 2 x = sin 2 x VD 9. Giải: VD 11. Giải: 3  x − tan x − 2 3 = sin x  1 + tan x tan  2 cos 2 x  VD 12. Giải: 2 sin 3 x − 3 = (3 sin 2 x + 2 sin x − 3) tan x VD 13. Giải: 3 cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x VD 14. Giải: 4 + 3 sin x + sin 3 x = 3 cos 2 x + cos6 x Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: ĐS: π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π 7π x = − + kπ , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 12 12 2π x=± + k2 π, x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π x = π + k2 π, x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 k2 π x= , (k ∈ ℤ). 3 π x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 ĐS: x = − + k2 π, x = ĐS: x = π π + kπ , x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 3 6 2π + k2π , ( k ∈ ℤ ) . 3 π π ĐS: x = ± + k2 π, x = ± + k2π , ( k ∈ ℤ ) . 4 3 π ĐS: x = kπ , x = − + k2π, (k ∈ ℤ). 2 ĐS: x = ± DeThiThuDaiHoc.com Page - 10 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập rèn luyện tương tự BT 1. BT 2. BT 3.   5π  7π  Giải: sin  2x +  − 3 cos  x −  = 1 + 2 sin x 2  2    cos 3x + sin 3x Giải: 5 ⋅ sin x + = 3 + cos 2x 1 + 2 sin 2x  π  π 3 Giải: cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3x −  − = 0. 4 4 2    ĐS: x = kπ , x = π 5π + k2π , x = + k2 π. 6 6 π 3 ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). ĐS: x = π + kπ, (x ∈ ℤ). 4 π 5π + k2π , x = + k2 π, (x ∈ ℤ). 6 6 7π ĐS: x = + kπ, (x ∈ ℤ). 12 BT 4. Giải: 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan 2 x. BT 5. Giải: (sin 2x + 3 cos 2x)2 − 5 = cos  2x −  ⋅ 6 BT 6. Giải: 2 cos x.(cos x + 3 sin x) + 5.(sin x + 3 cos x + 1) = 0. ĐS: x = − + k2 π, x = BT 7.  11π  π  2 x sin  2x −  + 16 = 2 3 sin x cos x + 20 sin  +  ⋅ 2 2 12     BT 8. Giải: tan 2 x + tan x tan 3x = 2. BT 9. Giải: 2 sin 3x − ĐS: x =  π   π 2 π kπ + , (k ∈ ℤ). 4 2 π π 7π ĐS: x = ± + kπ , x = − + kπ, x = + kπ. 4 12 12 ĐS: x = 1 1 = 2 cos 3x + ⋅ sin x cos x cos x(2 sin x + 3 2) − 2 cos 2 x − 1 = 1. 1 + sin 2x x 3x x 3x 1 = ⋅ BT 11. Giải: cos x cos cos − sin x sin sin 2 2 2 2 2 π + k2 π, (k ∈ ℤ). 4  π π π 5π  ĐS: − + kπ; − + k2π; + k2 π; + k2π  ⋅ 4 2 6 6   BT 10. Giải: ĐS: x = sin 4 x + cos 4 x 1 1 = ⋅ cot 2x − ⋅ 5 sin 2x 2 8 sin 2x 1 2 BT 13. Giải: 48 − − ⋅ (1 + cot 2x cot x) = 0. cos 4 x sin 2 x 1 1 BT 14. Giải: sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x. 2 sin x sin 2x π 6 BT 12. Giải: ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ). π kπ + , (k ∈ ℤ). 8 4 π ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 8 2 π  1 ĐS: x = + k2π, x = arcsin  −  + k2 π. 2  4 ĐS: x = BT 15. Giải: cot 2 x + tan 2 x + 2 cot 2x + tan 2x − 9 = 0. BT 16. Giải: 4(sin 3x − cos 2x) = 5(sin x − 1). BT 17. Giải: 2 ⋅ 5π + k2π, (k ∈ ℤ). 6 π 5π ĐS: x = + k2π, x = − + k2π, (k ∈ ℤ). 2 6 sin x + cos x  3π  + 2 tan 2x − sin  − 2x  = 1. sin x − cos x 2   ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 2 π π + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 π  2 ĐS: x = ± + k2 π, x = ± arccos  −  + k2 π. 3  3 BT 18. Giải: sin 4x + 2 cos 2x + 4(sin x + cos x) = 1 + cos 4x. ĐS: x = − + kπ, x = BT 19. Giải: 3 cos x − 2 = 3(cos x − 1) cot 2 x. π 3 π π x = ± + kπ, x = + kπ, (k ∈ ℤ). 6 2 π x = − + k2π , (k ∈ ℤ). 2 π π x = + kπ, x = + k2 π, x = π + k2π. 6 3 π π 5π x = − + k2 π, x = + k2π, x = + k2 π. 2 6 6 BT 20. Giải: cos 2x cot 2x = cos x cot x. ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). BT 21. Giải: cos 2 3x + 3 cos 2 2x + cos 2 x + cos 2x = 2. ĐS: BT 22. Giải: 4 sin 6 BT 23. Giải: BT 24. Giải: x x 2x − 3π 6x − π + 4 cos 6 + 3 = 4 cos ⋅ cos ⋅ 2 2 4 4 3(sin 2x + sin x) + cos 2x − cos x = 2. (1 − sin x)(2 sin 2x + 6 cos x + 2 sin x + 3) = 2. 2 cos x + 1 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: ĐS: ĐS: DeThiThuDaiHoc.com Page - 11 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 25. (2 sin x + 1)(cos 2x + sin x) − 2 sin 3x + 6 sin x + 1 2 cos x − 3 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán + 2 cos x + 3 = 0. 1  9π  (3 sin x − sin 3x) + cos  − x  − 5 cos 2 x + 3 = 0. 2 2   ĐS: x = 7π + k2 π, (k ∈ ℤ). 6 ĐS: x = π k2π , (k ∈ ℤ). + 6 3 BT 27. Giải: 2 cos 2 x + 10 cos  x +  − 3 sin 2x + 5 = 0. 6 ĐS: x = π 5π + k2π, x = − + k2π, (k ∈ ℤ). 2 6 BT 28. Giải: cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x). π + k2π , x = π + k2π, (k ∈ ℤ). 2 π ĐS: x = + kπ, (k ∈ ℤ). 3 2π ĐS: x = + kπ, (k ∈ ℤ). 3 BT 26. Giải:  π   2 3 sin 2x(1 + cos 2x) − 4 cos 2x sin 2 x − 3 = 0. 2 sin 2x − 1 π  BT 30. sin x sin 4x = 2 2 cos  − x  − 4 3 cos 2 x sin x cos 2x. 6   BT 29. Giải: ĐS: x = Một số dạng thường gặp khi đưa về phương trình bậc hai hoặc bậc cao x 3 ► Phương trình có chứa R(..., tan X, cot X, sin 2X, cos 2X, tan 2X,...) trong đó: X = ...., , x , x, 2x,... 2 sao cho cung của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó ta sẽ đặt t = tan X và sẽ biến đổi: ● sin 2X = 2 sin X cos X = 2 ⋅ ● cos 2X = 2 cos 2 X − 1 = 2 ⋅ ● tan 2X = sin X 2 tan X 2t ⋅ cos 2 X = = ⋅ 2 cos X 1 + tan X 1 + t 2 1 1 − tan 2 X 1 − t 2 − 1 = = ⋅ 1 + tan 2 X 1 + tan 2 X 1 + t 2 sin 2X 2t 2 1 − t2 = & cot 2X = ⋅ cos 2X 1 − t 2 2t 2 VD 15. Giải: (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x VD 16. Giải: cot x = sin 2x − cos 2x  π  , ∀x ∈  − ; 0  2 + sin 2x  2   π   1 + tan x π 4 π ĐS: x = − ⋅ 4 ĐS: x = − + kπ, x = kπ, (k ∈ ℤ). VD 17. Giải: 1 + cot  x −  = 2 1 + sin 2x ĐS: x = kπ, (k ∈ ℤ). VD 18. Giải: sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 4x − 1 − 2 = 0 ĐS: x = kπ 1 kπ , x = arctan ( −8 ) + , (k ∈ ℤ). 2 2 2 Bài tập rèn luyện tương tự π 4 BT 31. Giải: (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x. ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). BT 32. Giải: sin 2x + 2 tan x = 3. ĐS: x = BT 33. Giải: cot x − 1 = cos 2x 1 + sin 2 x − sin 2x. 1 + tan x 2 BT 34. Giải: 2 tan x + cot x = 2 sin 2x + 1 ⋅ sin 2x π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 π ĐS: x = + kπ, (k ∈ ℤ). 4 π 3 ĐS: x = ± + kπ , (k ∈ ℤ).  π tan(x + a).tan(b − x) = 1 khi a + b = + kπ  2 ► Áp dụng:  hay sử dụng công thức cộng cung theo hàm cot(x + a).cot(b − x) = 1 khi a + b = π + kπ  2 tan a ± tan b tan: tan(a ± b) = ⋅ 1 ∓ tan a.tan b Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 12 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM VD 19. Giải: VD 20. Giải: sin 3 x sin 3x + cos 3 x cos 3x 1 =− ⋅ 8  π  π tan  x −  tan  x +  6 3   Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π 6 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). sin 4 2x + cos 4 2x = cos 4 4x π  π  tan  − x  tan  + x  4  4  ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). 2 Bài tập rèn luyện tương tự  π   π    BT 35. Giải: sin 4 x + cos 4 x = cot  x +  cot  − x  ⋅ 8 3 6 ĐS: x = π kπ + , (k ∈ ℤ). 12 2  π  π BT 36. Giải: tan  x +  tan  x −  sin 3x = sin x + sin 2x 3 6    ĐS: x = kπ 2π , x=± + k2π , (k ∈ ℤ). 2 3 7 ► Đặt số đo cung bởi ẩn phụ chung: Đặt ẩn phụ t bởi cung phức tạp để bài toán đơn giản hơn.  π VD 21. Giải: tan 3  x −  = tan x − 1 4    3π x  1  π 3x  VD 22. Giải: sin  −  = sin  +  10 2 2    10 2  ĐS: x = π + kπ, x = kπ , (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = 3π − kπ , ( k ∈ ℤ ) . 5 Bài tập rèn luyện tương tự  π  π BT 37. Giải: sin  3x −  = sin 2x sin  x +  ⋅ 4 4    π BT 38. Giải: 8 cos 3  x +  = cos 3x. 3   π 2 sin 3  x +  = 2 sin x. 4   π BT 40. Giải: sin 3  x −  = 2 sin x. 4  BT 39. Giải: ĐS: x = π kπ + , (k ∈ ℤ). 4 2 ĐS: x = π + kπ, x = kπ , (k ∈ ℤ). 2 ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = 3π + kπ, (k ∈ ℤ). 4  π  3 BT 41. Giải: cos x − 2 cos 3x = 1 + 3 sin x. ĐS: x ∈ − + k2π 2 π k2 π  ;− +  , k ∈ ℤ \{0} . 3 15 5  II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển) – Dạng của phương trình: a sin x + b cos x = c (∗) , ( a, b ∈ ℝ \{0}) ⋅ – Phương pháp giải: + Kiểm tra điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 (nên nháp trước khi giải) + Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 ≠ 0 được: a b c (∗) ⇔ ⋅ sin x + ⋅ cos x = ⋅ (i) 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a b , sin α = , ( α ∈  0; 2π ) . Khi đó: + Giả sử: cos α = 2 2 2 a +b a + b2 c c (i) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(a + b) = ⋅ 2 2 2 a +b a + b2 sin a cos b ± cosa sin b = sin(a ± b)
Lưu ý. Hai công thức sử dụng nhiều là:  cosa cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b) ⋅ π 3 VD 23. Giải: cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x ĐS: x = kπ , x = − + kπ, (k ∈ ℤ). VD 24. Giải: cos x sin 3x − 3 cos 2x = 3 + cos 3x sin x ĐS: x = Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái π π + kπ , x = + kπ , (k ∈ ℤ). 3 2 DeThiThuDaiHoc.com Page - 13 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM VD 25. Giải: 3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1 (A, A1 – 2012)  5π  VD 26. Giải: cos x − 2 cos 2x = 2 sin x.cos  2x −  6    π VD 27. Giải: 2 sin  2x +  + 4 sin x = 1 6  Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán ĐS: x = π 2π + kπ, x = k2π , x = + k2 π. 2 3 ĐS: x = π kπ π + , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 2 3 ĐS: x = kπ , x =  π  6 5π + kπ, (k ∈ ℤ). 6 7π π  + k2 π; − + k2 π; π + k2 π  6 3  VD 28. Giải: 1 + sin 2x + 2 3 sin 2 x + ( 3 + 2) sin x + cos x = 0 ĐS:  − + k2 π; VD 29. Giải: 2 sin 2 x + sin 2x − 3 sin x + cos x − 2 = 0 ĐS: x = − + k2π, x = VD 30. Giải: 2(cos 4 x − sin 4 x) + 1 = 3 cos x + sin x  x π 2 cos  −  2 3 π 7π + k2 π, (k ∈ ℤ). 6 6 2π π k4 π ĐS: x = + kπ, x = −π + k4 π, x = + ⋅ 3 9 3 Bài tập rèn luyện tương tự BT 42. Giải: cos x sin 3x − 3 cos 2x = 3 + cos 3x sin x. BT 43. Giải:  π 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin  2x −  = 2 2. 6  BT 46. BT 47. BT 48. BT 49. BT 50. π π + kπ , x = + kπ , (k ∈ ℤ). 3 2 ĐS: x = 5π + kπ, (k ∈ ℤ). 24 π 5π + kπ , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 24 24 π kπ π kπ Giải: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3. ĐS: x = − + , x= + , (k ∈ ℤ). 24 2 8 2 kπ π kπ 4(cos 3x cos 3 x + sin 3x sin 3 x) + 3 sin 6x = 1 + 3(cos 4 x − sin 4 x). ĐS: x = + , x= , (k ∈ ℤ). 9 3 3 π π Giải: 2 cos 2 x − 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x − 3 sin x. ĐS: x = + kπ, x = k2π , x = − + k2π. 3 3 x π 2 (2 − 3) cos x − 2 sin x  −  4π  2 4  = 1. Giải: ĐS: x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 2 cos x − 1 3 π 3 − 2 cos 2 x(sin 2x − cos 2x tan x) = 3(cos 4 x − sin 4 x). ĐS: x = kπ , x = + kπ , (k ∈ ℤ). 6 π 5π π 7π  + kπ; + kπ; + kπ  ⋅ 8(sin 6 x + cos 6 x) − 3 3 cos 2x = 11 − 3 3 sin 4x − 9 sin 2x. ĐS: x ∈  + kπ; 12 12 4 12   BT 44. Giải: cos 2x( 3 + tan x) = 2 − tan x. BT 45. ĐS: x = BT 51. Giải: 2 sin x − 1  1  + 3  2 cos x −  = 0. sin x cos x  BT 52. Giải: 2 sin 2 x + 3 sin 2x + 1 = 3 sin x + cos x. ĐS: x = − ĐS: x = π kπ π + , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 4 2 6 π 6 ĐS: x = − + kπ, x = k2π , x = 1 8  π 1 BT 53. 2 cos x + cos2 ( x + π ) = + sin 2x + 3cos  x +  + sin 2 x. 3 3 2 3  ĐS: x = 2π + k2 π. 3 π + k2 π , (k ∈ ℤ). 2 2 cos 2 x + 2 cos x − 3 π π + 4 3 sin x = 0. ĐS: x = − + kπ , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). x 6 3 sin 2 2 x π  x π   x 2π   3x π   5π 5π 5π  2 cos  −  − 6 sin  −  = 2 sin  +  − 2 sin  +  ⋅ ĐS: x ∈  ; − ; − + k5π  ⋅ 12 3  5 12   5 12  5 3   5 6  4  BT 54. Giải: BT 55. BT 56. Giải: 3 sin 2x(2 cos x + 1) + 2 = cos 3x + cos 2x − 3 cos x. BT 57. Giải: 3 sin 2x − cos 2x − 5 sin x + (2 − 3) cos x + 3 + 3 2 cos x + 3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ĐS: x = ± = 1. 2π π + k2 π, x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 6 ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). 6 DeThiThuDaiHoc.com Page - 14 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 58. Giải: (2 cos 2x − 1) cos x − sin x = 2(sin x + cos x) sin 3x. BT 59. Giải: 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3(4 sin x − 1). BT 60. Giải: tan x − sin 2x − cos 2x = 2 − 4 cos x. cos x π π k2 π 3π + ,x = + k2π. 4 20 5 4 ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). ĐS: x = − + kπ, x = ĐS: x = sin 3 x cos 3 x + = cos 2x + 2 cos x. 1 + cos x 1 + sin x sin 5x 2 sin 3x 2 cos 3x BT 62. Giải: + + = 5. sin x sin x cos x π kπ + , (k ∈ ℤ). 4 2 π π 7π + kπ, x = − + k2 π, x = + k2 π. 4 6 6 π ĐS: x = ± + kπ, (k ∈ ℤ). 6 BT 61. Giải: 1 + ĐS: x = Một số dạng thường gặp có cách giải tương tự phương trình cổ điển ► Dạng: • a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(βx + γ ) PP , (a 2 + b 2 ≠ 0)  → Chia hai vế cho a 2 + b2 ≠ 0. • a sin x + b cos x = a 2 + b 2 cos(βx + γ ) VD 31. Giải: (sin x − 3 cos 2x)(2 cos 2x + 1) = sin 2x + sin x (2 cos x − 1)2 VD 32. Giải: 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 VD 33. Giải: 3 sin 2x + 2 sin 2 x = 4 sin 3x cos x + 2 VD 34. Giải: 3 sin 7x − 2 sin 4x sin 3x − cos x = 0 ĐS: x = ± 2π 2π k2 π + k2π, x = + , (k ∈ ℤ). 3 9 3 π kπ π kπ , x=− + , (k ∈ ℤ). + 18 3 6 2 π π 7 π kπ ĐS: x = + kπ, x = − + kπ , x = + ⋅ 2 12 24 2 π kπ π kπ ĐS: x = + , x= + , (k ∈ ℤ). 24 4 18 3 ĐS: x = π  π   π  2π  π k2 π 4 sin x.sin  + x  sin  − x  − 4 3 cos x cos  x +  cos  x + , (k ∈ ℤ). +  = 2 ĐS: x = 3 3  18 3 3  3    π π kπ π kπ VD 36. Giải: 2 cos 6x + 2 cos 4x − 3 cos 2x = sin 2x + 3 ĐS: x = + kπ, x = − + , x= + ⋅ 2 24 2 36 3  π π kπ VD 37. Giải: 2 sin 2 x + sin 2x = 2 2 sin x sin  3x +  ĐS: x = kπ , x = + , (k ∈ ℤ). 4 8 2  VD 35. VD 38. Giải: 2 sin x(cos 2 x − sin 2 x) = sin x + 3 cos 3x ĐS: x = π π kπ + kπ , x = + , (k ∈ ℤ). 6 3 2 x  3π  + 3 cos 2x = 1 + 2 sin 2  x −  2 4   ĐS: x = 5π k2 π 7π + , x=− + k2 π, (k ∈ ℤ). 18 3 6 ĐS: x = π + kπ , (k ∈ ℤ). 2 VD 39. Giải: 4 cos2 VD 40. Giải: 3 sin 2x − 2 cos 2 x = 2 2 + 2 cos 2x Bài tập rèn luyện tương tự 5 π kπ 5 π kπ + , x=− + , k ∈ ℤ. 48 4 24 2 π π 4 π k2π BT 64. Giải: tan x − 3 cot x = 4.(sin x + 3 cos x). ĐS: x = − + kπ, x = − + k2 π, x = + ⋅ 3 3 9 3 5π 7 π k2π BT 65. Giải: ( 3 − 1) sin x + ( 3 + 1) cos x = 2 2 sin 2x. ĐS: x = + k2 π, x = + , (k ∈ ℤ). 12 36 3 π 5 π kπ BT 66. Giải: 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4x( 3 − 1 − tan 2x tan x) = 3. ĐS: x = − + kπ, x = + , (k ∈ ℤ). 12 36 3 BT 63. Giải: 2 − 3 cos 2x + sin 2x = 4 cos 2 3x. BT 67. Giải: 8 sin x = 3 1 + ⋅  5π  sin( π − x) sin  − x   2  ĐS: x = ĐS: x = π π kπ + kπ , x = − + , (k ∈ ℤ). 6 12 2 ĐS: x = 3π k2 π + , (k ≠ 7m − 3, m ∈ ℤ). 28 7 2 BT 68. Giải: 2 ( sin x − cos x ) ( 1 + 2 sin 2x ) sin 3x + sin 5x = 1 − tan x. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 15 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 69. Giải: sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin 3 x). Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π 6 ĐS: x = − + k2 π, x = π k2 π + , (k ∈ ℤ). 42 7 π   π 5π π k2 π  BT 70. Giải: 8 sin  + x  + tan x + cot x = 4 cot 2x. ĐS: x ∈ − + kπ; − + k2 π; − + ⋅ 6 18 3  6   6 π  kπ π π kπ BT 71. 2 cos2 2x − 2 cos 2x + 4 cos 6x + sin  − 4x  = 1 + 4 3 sin 3x cos x. ĐS: x = , x = − + kπ , x = + ⋅ 2 3 12 24 2    3π  BT 72. Giải: (cot x − 1)(1 − 2 cos 4x) = 2 sin  2x −  ⋅ 2   ĐS: x = BT 73. cos x + 3 ( sin 2x + sin x ) − 4 cos 2x cos x − 2 cos 2 x + 2 = 0. ĐS: x = π π π kπ + kπ , x = + kπ , x = − + ⋅ 4 8 24 3 2π π π k2 π + k2π , x = − + k2 π, x = + ⋅ 3 3 9 3  7π  x + 2 cos 2  − x  − 3 cos(2x − 3π) − 3 2 4 5π k2 π   BT 74. Giải: + = 0. ĐS: x = , (k ∈ ℤ). 1 − 2 sin x 18 3  π 2 sin 3 x + 2 3 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x + cos  2x +  3 5π 5π k2 π  BT 75. Giải: = 0. ĐS: x = + k2 π, x = − + ⋅ 6 18 3 2 cos x − 3 4 cos 2  π  π  π π π k2 π  BT 76. ( 3 sin x + cos x)(sin x + cos x) = 4 2 sin 2  x +  cos  x +  ⋅ ĐS: x ∈ − + kπ; − + k2π; + ⋅ 4 4 4 3 9 3        x π   3π  5π 5π k2 π BT 77. Giải: 4 sin 2  π −  − 3 sin  − 2x  = 1 + 2 cos2  x −  ⋅ ĐS: x = + k2 π, x = + , (k ∈ ℤ). 2 4  6 18 3  2   ► Dạng: a sin(mx) + b cos(mx) = c sin(nx) + d cos(nx) , a 2 + b 2 = c 2 + d 2  → Chia hai vế cho a 2 + b 2 ≠ 0.  π π kπ π VD 41. Giải: 2 cos 3x cos x + 3(1 + sin 2x) = 2 3 cos2  2x +  ĐS: x = − + , x = + kπ, (k ∈ ℤ). 4 18 3 2  VD 42. Giải: (2 cos x − 1)(sin x + cos x) = 1 VD 43. Giải: VD 44. BT 78. BT 79. BT 80. BT 81. 1 − 2 sin x 1 − sin x = 1 + 2 sin x 3 cos x π 6 ĐS: x = k2π , x = − + ĐS: x = k2π , (k ∈ ℤ). 3 π k2 π + , (k ∈ ℤ). 18 3 x π π x  π k2π 4π  4 sin  +  sin  −  = 3 sin x(cos 2x + cos x)(1 + cot 2 x) ĐS:  + ;− + k2 π  ,(k ≠ 3m + 1). 3 3 3  2 6 6 2 Bài tập rèn luyện tương tự π k2π sin x − sin 2x Giải: ĐS: x = − + = 3. , (k ∈ ℤ). cos x − cos 2x 9 3 π cos x − sin 2x Giải: ĐS: x = − + k2π , (k ∈ ℤ). = 3. 2 6 2 cos x − sin x − 1 π π 2 2 Giải: 3 cos x + 2 sin x cos x − 3 sin x − 1 = 0. ĐS: x = + kπ , x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 12  π  π π kπ 5π Giải: 4 sin 2  x +  = 4 cos 2x cos  2x −  + 1. ĐS: x = + , x= + kπ , (k ∈ ℤ). 6 3 6 3 6   BT 82. Giải: 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1. BT 83. Giải: (1 − 2 sin x) cos x = 3. (1 + 2 sin x)(1 − sin x) π    2π kπ + kπ , x = , (k ∈ ℤ). 3 3 π l2 π ĐS: x = − + , (k ∈ ℤ). 18 3 ĐS: x = π 3 BT 84. sin x sin 4x = 2 2 cos  − x  − 4 3 sin x cos 2 x cos 2x 6 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). BT 85. Giải: 4 sin 2 x + tan x + 2(1 + tan x).sin 3x = 1 ĐS: x = Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái π k2 π 3π π + ,x = + k2π , x = − + kπ. 20 5 4 4 DeThiThuDaiHoc.com Page - 16 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán ► Dạng: m.sin 2x + n.cos 2x + p.sin x + q.cos x + r = 0 (∗)  2 cos 2 x − 1  PP  → Ta luôn viết: sin 2x = 2 sin x cos x, còn cos2x có 3 phương án: cos 2x = 1 − 2 sin 2 x  cos 2 x − sin 2 x  (1) (2) (3) • Nếu theo (1) thì (∗) ⇔ sin x.(2m.cos x + p) + (2n.cos 2 x + q.cos x + r − n) = 0 và theo (2) thì PT   (i) 2 (∗) ⇔ cos x(2m.sin x + q) + ( −2n.sin x + p.sin x + r + n) = 0. Ta sẽ phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa   (ii) 2 vào tam thức bậc hai: f(t) = at + bt + c = a.(t − t 1 )(t − t 2 ) với t1 , t 2 là hai nghiệm của phương trình f(t) = 0 để xác định lượng nhân tử chung. • Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos 2x theo công thức (3) và lúc này thường sẽ đưa được về dạng: A 2 = B2 ⇔ (A − B)(A + B) = 0 bằng việc thêm bớt hằng đẳng thức: a 2 ± 2.a.b + b 2 = (a ± b)2 . VD 45. Giải: cos 2x + 3 cos x − sin x + 2 = 0 VD 46. Giải: 5 + cos 2x = 2 cos x 3 + 2 tan x VD 47. Giải: 3 sin x − cos x + 2 − cos 2x − sin 2x = 0 ĐS: x = π + k2π , x = π + k2π, (k ∈ ℤ). 2 ĐS: x = k2π , (k ∈ ℤ).  π  6 ĐS: x ∈  − + k2π; 7π 3π  + k2π; k2 π; + k2 π  6 2   π π VD 48. Giải: 5 cos x + sin x − 3 = 2 sin  2x +  ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 3  Bài tập rèn luyện tương tự π 5π + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 π x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π 5π x = + k2 π, x = + k2π, (k ∈ ℤ). 6 6 π 5π x = + k2π , x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 6 6 π π x = ± + k2π , x = k2 π, x = + k2 π. 3 2 BT 86. Giải: sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. ĐS: x = BT 87. Giải: sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x − 4 cos x. ĐS: BT 88. Giải: 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4. ĐS: BT 89. Giải: 2 2 sin 2x − cos 2x − 7 sin x − 2 2 cos x + 4 = 0. ĐS: BT 90. Giải: sin 2x + cos 2x − 3 cos x − sin x + 2 = 0. ĐS:  π  π 1 BT 91. Giải: 2 sin  x +  − sin  2x −  = ⋅ 3 6 2     π BT 92. Giải: 2 sin  2x +  = sin x + 3 cos x − 2. 4  BT 93. Giải: sin 2x − 3 cos 2x + 3(sin x − 3) = 7 cos x.  π sin 2x − cos 2x + 4 2 sin  x +  − 3 cos x 4  BT 94. Giải: = 1. cos x − 1 2 − tan x 1 − tan x = BT 95. Giải:  π 2 sin x cos  5x −  4  BT 96. Giải: (2 sin 5x − 1)(2 cos 2x − 1) = 2 sin x. BT 97. Giải: 3(sin 2x − 3 sin x) = 2 cos 2 x + 3 cos x − 5 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái π 3 ĐS: x = − + kπ, x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 2 π 2 ĐS: x = − + k2π, x = π + k2π, (k ∈ ℤ). ĐS: x = ± 5π + k2π , (k ∈ ℤ). 6 ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). π 8 ĐS: x = − + kπ π 5π , x= + kπ , x = + kπ. 2 12 12 π k2 π π k2 π + , x= − , (k ∈ ℤ). 22 11 10 5 π 2π ĐS: x = k2π , x = + k2π , x = + k2 π. 3 3 ĐS: x = DeThiThuDaiHoc.com Page - 17 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán III. Phương trình lượng giác đối xứng  Dạng 1. a(sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0 (dạng tổng/hiệu – tích) PP  → t = sin x + cos x, t ≤ 2 và bình phương để suy ra: sin x cos x . Lưu ý, khi đặt t = sin x ± cos x thì điều kiện là: 0 ≤ t ≤ 2 .  Dạng 2. a(tan 2 x + cot 2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0 PP  → t = tan x ± cot x, t ≥ 2 và bình phương để suy ra: tan 2 x + cot 2 x và lúc này thường sử dụng: tan x.cot x = 1; tan x + cot x = 2 ⋅ sin 2x Một số dạng gần đối xứng hay nửa đối xứng thường gặp ► Dạng: a 2 tan x + b 2 cot x = c(a sin x ± b cos x) , ab ≠ 0 PP  → Biến đổi về tích số dựa vào hằng đẳng thức số ba, cụ thể: a 2 sin 2 x − b 2 cos 2 x a 2 sin x b 2 cos x = c(a sin x ± b cos x) (tích số). + = c(a sin x ± b cos x) ⇔ sin x.cos x cos x sin x ⇔ (a sin x − b cos x)(a sin x + b cos x) = c(a sin x ± b cos x) sin x.cos x ⇔ ► Dạng: a(tan x ± sin x) + b(cot x ± cos x) ± (a + b) = 0 a b ⋅ (sin x ± sin x cos x + cos x) + ⋅ (sin x ± sin x cos x + cos x) = 0 cos x sin x  a b  ⇔ +  ⋅ (sin x ± sin x.cos x + cos x) = 0 là phương trình tích số giải được. cos x sin x  ⇔ 1 2 1 PP ► Dạng: a(sin 4 x + cos 4 x) + b cos 2x + c = 0  → t = cos 2x, t ≤ 1 ⇒ sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2x. 2 1− t 1+ t PP 2 2 4 4 ► Dạng: a sin x + b cos x + c.cos 2x + d = 0 → t = cos 2x, t ≤ 1 ⇒ sin x = ; cos x = ⋅ 2 2 PP ► Dạng: a(sin 4 x + cos 4 x) + b sin 2x + c = 0  → t = sin 2x, t ≤ 1 ⇒ sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2x. 3 4 3 6 6 PP 6 6 ► Dạng: a(sin x + cos x) + b cos 2x + c = 0 → t = cos 2x, t ≤ 1 ⇒ sin x + cos x = 1 − sin 2 2x. 4 PP ► Dạng: a(sin 6 x + cos 6 x) + b sin 2x + c = 0  → t = sin 2x, t ≤ 1 ⇒ sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2x.  ► Dạng: a f 2 (x) +  f(x) = sin x,cos x PP  k k2  k  → t = f(x) + ,  + b  f(x) ±  + c = 0 , k ≥ 1 f(x) f(x) f (x)     2 VD 49. Giải: 2 sin 3 x − cos 2x + cos x = 0 VD 50. Giải: sin 3 x − cos 3 x = 1 − sin 2x VD 51. Giải: (cos x + 1)(sin 2x − sin x − cos x − 2) =1 sin x(1 − 2 cos x) VD 52. Giải: (3 − cos 4x)(sin x − cos x) = 2 VD 53. Giải: 3 tan 3 x − tan x + VD 54. Giải: 3(1 + sin x) π x − 8 cos2  −  = 0 2 cos x 4 2 2 + 2 tan 2 x + 5(tan x + cot x) + 4 = 0 sin 2 x Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái ( t ≥ 2 k ). π ĐS: x = k2π , x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 π π ĐS: x = + kπ, x = + k2 π, x = π + k2π. 4 2 π ĐS: x = − + k2π , (k ∈ ℤ). 2 π ĐS: x = + k2π , x = π + k2π, (k ∈ ℤ). 2 π 6 ĐS: x = ± + kπ , x = π ± α + k2π. 4 π 4 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). DeThiThuDaiHoc.com Page - 18 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM VD 55. Giải: Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán π 4 π 4π ĐS: x = − + kπ, x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 3 π π 1 ĐS: x = + kπ, x = ± α + k2π ,cos α = 1 − 3 4 2 3 + 3 cot 2 x + 4(tan x + cot x) − 1 = 0 cos 2 x ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). VD 56. Giải: tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x) VD 57. Giải: tan x − 3 cot x − sin x + 3 cos x + 1 − 3 = 0 1 − (sin 4 x + cos 4 x) π π = cos x ĐS: x = + kπ , x = + kπ , (k ∈ ℤ). 2 4 sin x Bài tập rèn luyện tương tự π BT 98. Giải: 2 cos 2x + sin 2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x). ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 3 π π BT 99. Giải: cos2 2x + 2(sin x + cos x)3 − 3 sin 2x = 3. ĐS: x = + kπ, x = k2 π, x = + k2 π. 4 2 π 2 3 4 2 3 4 BT 100. Giải: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x. ĐS: x = − + k2π , x = π + k2π. 2 π BT 101. Giải: 2 sin 3 x − cos 2x + cos x = 0. ĐS: x = k2π , x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 4 π π BT 102. Giải: 2 cos 3 x + cos 2x + sin x = 0. ĐS: x = + k2π, x = − + kπ, (k ∈ ℤ). 2 4 π 3 2 BT 103. Giải: cos x + cos x + 2 sin x − 2 = 0. ĐS: x = + k2π, x = kπ , (k ∈ ℤ). 2 π π BT 104. Giải: 2 sin 3 x − sin x = 2 cos 3 x − cos x + cos 2x. ĐS: x = ± + kπ, x = − + k2 π, x = π + k2 π. 4 2 π π BT 105. Giải: tan 2 x(1 − sin 3 x) + cos3 x − 1 = 0. ĐS: x = k2π , x = + kπ , x = ± α + k2π. 4 4 π BT 106. Giải: cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x). ĐS: x = + k2π , x = π + k2π, (k ∈ ℤ). 2 1 sin 2x  π π π k2π ⋅ cot x + = 2 sin  x +  ⋅ BT 107. Giải: ĐS: x = + kπ, x = + , (k ∈ ℤ). sin x + cos x 2 2 4 3 2  VD 58. Giải: BT 108. Giải: 2(1 + cos x)(cot 2 x + 1) = BT 109. Giải: π 2 sin x − 1 ⋅ cos x + sin x ĐS: x = − + k2π , (k ∈ ℤ). 3 π  x π x + sin  − x  = 4 cos sin  +  − sin x. 2 2 3  3 2 ĐS: x = π + k2 π, x =  π BT 110. Giải: 2 sin 2  x −  = 2 sin 2 x − tan x. 4  2 cos x(cos x − 1) BT 111. Giải: = 2(1 + sin x). sin x + cos x BT 112. 2 + sin x cos x + sin x + cos x = ĐS: x = 6 ⋅ sin 2x + 2 sin x + cos x 2 3 1 + sin x cos x. 3  1 1  + + tan x + cot x  = 0. BT 114. Giải: 2 + (2 + sin 2x)  sin x cos x   BT 113. Giải: sin x + cos x = BT 115. Giải: π  π  + cot x + cot  − x  = cot x ⋅ cot  − x  ⋅ 3 6  6  1 4π + k2 π, (k ∈ ℤ). 3 π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 π ĐS: x = − + k2π, x = π + k2π, (k ∈ ℤ). 2 π kπ ĐS: x = + , (k ∈ ℤ). 4 2 ĐS: x = π + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 π ĐS: x = − + kπ, (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = π π + kπ, x = − + kπ, (k ∈ ℤ). 2 3 π kπ 1 1 kπ , x = arc cot + ⋅ 8 2 2 2 2 π 5π ĐS: x = + kπ, x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 12 12 BT 116. tan 3 x − cot 3 x − 3(tan 2 x + cot 2 x) + 10 = 3(tan x − cot x). ĐS: x = − + BT 117. Giải: tan 3 x + cot 3 x + cot 2 2x = 55. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 19 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM BT 118. Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 1 1 1 1  π (sin x + cos x) + 1 +  tan x + cot x + +  = 0. ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ℤ). 2 2 sin x cos x  4  5π  BT 119. Giải: sin 4x + 4 sin  + 2x  = 4(sin x + cos x).  2  3 1 − cos x BT 120. Giải: tan 2 x = ⋅ 1 − sin 3 x ĐS: x = ĐS: x = k2π , x = BT 121. sin 2x − cos 2x + sin x cos x (1 − 2 cos x ) = sin x + cos x.  π  π    x x BT 123. Giải: sin 4 + cos 4 = 1 − 2 sin x. 2 2 1 BT 124. Giải: sin 4 x + cos 4 x − cos 2x + sin 2 2x − 2 = 0. 4  BT 122. Giải: sin 3 x − cos 3 x = cos 2x ⋅ tan  x +  ⋅ tan  x −  ⋅ 4 4 sin 4 x + cos 4 x 1 1 = cot 2x − ⋅ 5sin 2x 2 8 sin 2x sin 6 x + cos6 x 1 BT 127. Giải: = tan 2x. cos2 x − sin 2 x 4 π  π 3  BT 128. Giải: cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3x −  − = 0. 4 4 2   ( 3 sin 4 x + cos 4 x − 1 6 6 sin x + cos x − 1 1  1  BT 130. Giải: cos 2 x + − 2  cos x +  + 2 = 0. 2 cos x  cos x  1 1 = sin 2 x − ⋅ sin x sin 2 x  1   1  BT 132. Giải: 4  sin 2 x +  + 4  sin x +  − 7 = 0. 2 sin x sin x    BT 131. Giải: sin x − π π + k2 π , x = π + k2 π , x = ± + k2 π. 2 3 3π 5π ĐS: x = − + k2 π, x = + k2 π, (k ∈ ℤ). 4 4 ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 2 π kπ kπ ĐS: x = , x=− + , (k ∈ ℤ). 4 8 2 π ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). 6 ĐS: x = BT 126. Giải: 1 2 π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). BT 125. Giải: 4 sin 5 x cos x − 4 cos 5 x sin x = sin 2 4x. BT 129. 3 sin 2 x + sin 2x + 2 cos 2 x = π + k2π , x = −π + k2π , (k ∈ ℤ). 2 )⋅ ĐS: x ∈ ∅. ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ℤ). 4 ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ). π 2 π 7π ĐS: x = − + k2 π, x = + k2π , (k ∈ ℤ). 6 6 ĐS: x = ± + k2 π, (k ∈ ℤ). IV. Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn,…) PP Dạng: a.sin 2 X + b.sin X cos X + c.cos 2 X = d (1) ∀a, b, c, d ∈ ℝ  → chia cho: cos 2 X ≠ 0 (hay sin 2 X). – Bước 1. Kiểm tra xem X = – Bước 2. Khi X ≠ π cos X = 0 có phải là nghiệm hay không ? + kπ, (k ∈ ℤ) ⇔  2 2 sin x = 1 cos X ≠ 0 π + kπ, (k ∈ ℤ) ⇔  2 . Chia hai vế (1) cho cos2 X : 2 sin X ≠ 1 sin 2 X sin X cos X cos 2 X d + b⋅ +c⋅ = ⇔ a tan 2 X + b tan X + c = d(1 + tan 2 X) 2 2 2 2 cos X cos X cos X cos X – Bước 3. Đặt t = tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải. (1) ⇔ a ⋅ Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cos (tanx, cot xem là bậc 0)
Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn: a sin 3 X + b sin 2 X cos X + c sin X cos 2 X + d cos 3 X = 0 ⋅  4 3 2 2 3 4 a sin X + b sin X cos X + c sin X cos X + d sin X cos X + e cos X = 0 PP  → Kiểm tra và chia hai vế cho cos 3 X ≠ 0 (hay cos 4 X). Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái DeThiThuDaiHoc.com Page - 20 -