Mô tả:
Gia sƣ Thành Đƣợc
www.daythem.edu.vn
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
1. Phƣơng trình bậc bậc hai, bậc ba, trùng phƣơng đối với một hàm số lƣợng giác
asin2x + bsinx + c = 0, acos2x + bcosx + c = 0, atan2x + btanx + c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải: đặt ẩn phụ đƣa về dạng phƣơng trình bậc hai at2 + bt + c = 0 rồi giải.
asin3x + bsin2x + csinx + d = 0, acos3x + bcos2x + ccosx + d = 0, atan3x + btan2x + ctanx + d = 0 (a ≠ 0)
Cách giải: đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình bậc 3 có dạng at3x + bt2x + ct + d = 0, đoán nghiệm và phân tích
thành nhân tử đƣa về phƣơng trình tích.
asin4x + bsin2x + c = 0, acos4x + bcos2x + c = 0, atan4x + btan2x + c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải: tƣơng tự nhƣ phƣơng trình bậc hai.
2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sin và cos của cùng một cung lƣợng giác: a.sinx + b.cosx = c (ab ≠ 0)
a
b
Cách giải: chia hai vế cho a 2 b 2 rồi đặt cos
ta đƣợc phƣơng trình sau
;sin
2
2
2
a b
a b2
c
c
sin x cos cos x sin
sin(x )
a 2 b2
a 2 b2
3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d
Cách giải 1: Xét cosx = 0 rồi giải, sau đó xét cosx ≠ 0 và chia 2 vế phƣơng trình cho cos2x để đƣa phƣơng
trình về dạng phƣơng trình bậc hai đối với tanx.
Cách giải 2: Hạ bậc đƣa về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c hoặc a(sinx – cosx) +
bsinxcosx = c
Cách giải: đặt ẩn phụ t = sinx + cosx hoặc t = sinx – cosx, tính sinxcosx theo t rồi thay vào phƣơng trình ta
đƣợc phƣơng trình bậc hai.
5. Phƣơng trình đối xứng đối với tanx và cotx: atanx + bcotx + a2tan2x + b2cot2x = c
Cách giải: đặt ẩn phụ t = atanx + bcotx suy ra a2tan2x + b2cot2x = t2 – 2ab rồi đƣa về phƣơng trình bậc hai
6. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác:
Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác và phƣơng pháp phân tích thành nhân tử đƣa về phƣơng
trình dạng tích. Nếu có thể thì đoán nghiệm trƣớc khi dùng để đƣa về dạng tích dễ dàng hơn. Các nhân tử
nếu có thƣờng là một hàm lƣợng giác hoặc đa thức bậc nhất nhƣ asinx + b, acosx + b, atanx + b, asinx +
bcosx + c, ...
Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số rồi giải hoặc dùng phối hợp
phƣơng pháp khác.
Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng cách đánh giá,
so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Thƣờng trƣờng trƣờng hợp này phƣơng trình lƣợng giác có nghiệm và đƣợc
chứng minh không còn nghiệm khác. Hoặc chứng minh nghiệm của phƣơng trình là trƣờng hợp dấu bằng
xảy ra khi so sánh hay sử dụng bất đẳng thức. Cách so sánh có thể dùng tính đơn điệu của hàm số và đôi khi
cần đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm số.
Lƣu ý: Các phƣơng pháp thƣờng đƣợc dùng kết hợp một cách linh hoạt và cần có kinh nghiệm giải để có
cách đánh giá tốt nhất khi sử dụng phƣơng pháp đặt trƣng. Phƣơng trình thƣờng không có dạng đặc trƣng
ngay từ đầu, khi đó phƣơng trình cần có một số bƣớc biến đổi đơn giản nhƣ quy đồng mẫu số, rút gọn, hạ
bậc, chuyển vế, nhóm hạng tử, đồng nhất cung lƣợng giác, ...
Bài tập vận dụng
1. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0
2. tanxsin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)
Gợi ý: chia hai vế cho cos2x
3. 2sin3x – (1/sinx) = 2cos3x + (1/cosx)
sin 2x
cos 2x 2 cos x 1 0
4.
1 2sin x
5. 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)
6. sinx – 4sin3x + cosx = 0
1
Gia sƣ Thành Đƣợc
www.daythem.edu.vn
7. sin 3x sin 2x sin x
4
4
3
3
8. sin x.cos3x + cos x.sin3x = sin34x (1)
Gợi ý: sin3x = (3sinx – sin3x)/4, cos3x = (3cosx + cos3x)/4
1
Nên (1) (3sin x cos 3x sin 3x cos 3x 3cos x sin 3x cos 3x sin 3x) sin 3 4x
4
3sin 4x 4sin 3 4x
1
1
7
9.
4sin
x
sin x sin(x 3 / 2)
4
3
3
2
10. sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin 2 x cos x
11. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
12. sin2x + cos2x = 1 + sinx – 3cosx
13. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
14. 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0
1
2(cos x sin x)
15.
tan x cot 2x
cot x 1
4
4
sin x cos x 1
(tan x cot x)
16.
sin 2x
2
17. 2sin 2 x 2sin 2 x tan x
4
18. sin 2x(cos x 3) 2 3 cos3 x 3 3 cos 2x 8( 3 cos x sin x) 3 3 0
Gợi ý: phân tích thành nhân tử trong đó 3 cosx – sinx là một nhân tử
19. cos x 8sin 3 x
6
20. cos2x + 5 = 2(2 – cosx)(sinx – cosx)
21. 2cos3x 3 sin x cos x 0
22. cos 3x cos3 x sin 3x sin 3 x
23.
23 2
8
25 4x 2 3sin 2x 8sin x 0
5
7
24. sin 2x 3cos x 1 2sin x
2
2
3
3
5
25. sin x + cos x = 2(sin x + cos5x)
sin x sin 2x sin 3x
3
26.
cos x cos 2x cos 3x
1 cos x
27. tan 2 x
1 sin x
28. tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x
4x
cos 2 x
29. cos
3
1
1
30. 2 2 sin x
4 sin x cos x
2
31. 2 tan x cot 2x 3
sin 2x
32. cosxcot3x = cos5xcotx
2
Gia sƣ Thành Đƣợc
www.daythem.edu.vn
33. sin2x + sin22x + sin23x = 2
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
cos 3x sin 3x
1. Tìm nghiệm thuộc (0, 2π) của phƣơng trình: 5 sin x
cos 2x 3 (A2002)
1 2sin 2x
2. Giải phƣơng trình: sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (B2002)
3. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0, 14] của phƣơng trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (D2002)
cos 2x
1
sin 2 x sin 2x (A2003)
4. Giải phƣơng trình: cot x 1
1 tan x
2
2
5. Giải phƣơng trình: cot x tan x 4sin 2x
(B2003)
sin 2x
x
x
6. Giải phƣơng trình: sin 2 tan 2 x cos 2 0 (D2003)
2
2 4
7. Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A 2 2 cos 2B 2 2 cos 2C 3. Tính ba góc của
tam giác ABC. (A2004)
8. Giải phƣơng trình: 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x (B2004)
9. Giải phƣơng trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (D2004)
10. Tìm nghiệm thuộc (0, π) của phƣơng trình:
x
3
4sin 2 3 cos 2x 1 2cos 2 x (Dự bị 1A 2005)
2
4
11. Giải phƣơng trình: 2 2 cos3 x 3cos x sin x 0 (Dự bị 2A 2005)
4
12. Giải phƣơng trình: sinxcos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0 (Dự bị 1B 2005)
cos 2x 1
13. Giải phƣơng trình: tan x 3tan 2 x
(Dự bị 2B 2005)
cos 2 x
2
sin x
3
14. Giải phƣơng trình: tan x
2 (Dự bị 1D 2005)
2
1 cos x
15. Giải phƣơng trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 (Dự bị 2D 2005)
16. Giải phƣơng trình: cos23xcos2x – cos2x = 0. (A2005)
17. Giải phƣơng trình: 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. (B2005)
3
18. Giải phƣơng trình: cos 4 x sin 4 x cos x sin 3x 0. (D2005)
4
4 2
6
6
2(cos x sin x) sin x cos x
0 (A2006)
19. Giải phƣơng trình:
2 2sin x
x
20. Giải phƣơng trình: cot x sin x 1 tan x tan 4 (B2006)
2
21. Giải phƣơng trình: cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0. (D2006)
22. Giải phƣơng trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1. (Dự bị 1D 2006)
23. Giải phƣơng trình: 4x – 2x+1 + 2(2x – 1)sin(2x + y – 1) + 2 = 0. (Dự bị 2D 2006)
24. Giải phƣơng trình: (2sin2x – 1)tan2x + 3(cos2x – 1) = 0 (Dự bị 1B 2006)
25. Giải phƣơng trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 (Dự bị 2B 2006)
26. Giải phƣơng trình: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0. (Dự bị 3D 2006)
23 2
27. Giải phƣơng trình: cos 3x cos3 x sin 3x sin 3 x
(Dự bị 1A 2006)
8
28. Giải phƣơng trình: 2sin 2x 4sin x 1 0 (Dự bị 2A 2006)
6
3
Gia sƣ Thành Đƣợc
www.daythem.edu.vn
29. Giải phƣơng trình: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx (B2007)
2
x
x
30. Giải phƣơng trình: sin cos 3 cos x 2 (D2007)
2
2
2
31. Giải phƣơng trình: (1 + sin x)cosx + (1 + cosx2x)sinx = 1 + sin2x (A2007)
3x
5x
x
32. Giải phƣơng trình: sin cos 2 cos
(Dự bị B 2007)
2
2 4
2 4
33. Giải phƣơng trình: 2cos2 x 2 3 cos x sin x 1 3(sin x 3 cos x) (Dự bị 1A 2007)
1
1
2 cot 2x (Dự bị 2A 2007)
34. Giải phƣơng trình: sin 2x sin x
2sin x sin 2x
35. Giải phƣơng trình: sin 3x 3 cos x 2sin 2x. (CĐ 2008)
36. Giải phƣơng trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + cos2x (D2008)
37. Giải phƣơng trình: sin 3 x 3 cos3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x (B2008)
1
1
7
38. Giải phƣơng trình:
4sin
x (A2008)
sin x sin(x 3 / 2)
4
(1 2sin x) cos x
3 (A2009)
39. Giải phƣơng trình:
(1 2sin x)(1 sin x)
40. Giải phƣơng trình: sin x sin 2x cos x 3 cos3x 2(cos 4x sin 3 x) (B2009)
41. Giải phƣơng trình: 3 cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 (D2009)
42. Giải phƣơng trình: (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx (CĐ 2009)
(1 sin x cos 2x)sin(x / 4)
2
43. Giải phƣơng trình:
cos x (A2010)
1 tan x
2
44. Giải phƣơng trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B2010)
45. Giải phƣơng trình: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (D2010)
1 sin 2x cos 2x
2 sin x sin 2x (A2011)
46. Giải phƣơng trình:
1 cot 2 x
47. Giải phƣơng trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx (B2011)
sin 2x 2 cos x sin x 1
0 (D2011)
48. Giải phƣơng trình:
tan x 3
49. Giải phƣơng trình: cos4x + 12sin2x – 1 = 0 (CĐ 2011)
5x
3x
50. Giải phƣơng trình: 4 cos cos 2(8sin x 1) cos x 5 (CĐ 2010)
2
2
51. Giải phƣơng trình: 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1 (AA1 2012)
52. Giải phƣơng trình: 2(cos x 3 sin x)cos x cos x 3 sin x 1 (B 2012)
53. Giải phƣơng trình: sin 3x cos 3x sin x cos x 2 cos 2x (D 2012)
54. Giải phƣơng trình: 1 + tan x = 2 2 sin(x ) (AA1 2013)
4
55. Giải phƣơng trình: sin 5x + 2cos² x = 1 (B 2013)
56. Giải phƣơng trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0 (D 2013)
57. Giải phƣơng trình: cos (π/2 – x) + sin 2x = 0 (CĐ 2013)
4
- Xem thêm -
.PDF 
4 
725 
130 
