BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
Mã số :………………..
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG BÀI TẬP
LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục :
Phương pháp dạy học bộ môn :……………
Phương pháp giáo dục :
Lĩnh vực khác :…………………………… .
Có đính kèm :
Mô hình
Phần mềm
Phim ảnh
1
Hiện vật khác
BM02-LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :
1.
Họ và tên :
NGUYỄN THỊ THANH
2.
Ngày tháng năm sinh :
3.
Nam, nữ : NỮ
4.
Địa chỉ : Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai
5.
Điện thoại : 0906992829
6.
Fax :
7.
Chức vụ : Giáo viên
8.
nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11C7. 11C11.
9.
Đơn vị công tác :
20 - 04 - 1987
- E-mail :
Trường THPT Xuân Hưng
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :
-
Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
-
Năm nhận bằng :
-
Chuyên ngành đào tạo : Toán học
2010
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC :
-
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán.
-
Số năm có kinh nghiệm :
05 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Các dạng bài tập viết
phương trình đường thẳng
2
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Trong năm học vừa qua tôi được phân công giảng dạy lớp 12. Đa số học sinh
còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh
nắm được bài tốt hơn.
- Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã
được tiếp cận với các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số. Tuy nhiên, trong
chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương I, phần bài
tập đưa ra sau bài học rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình
cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra
nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh. Trong khi
đó, trong thực tế các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất phong phú và
đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ
gặp một lớp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà chỉ có số ít các em
biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa.
- Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12 có
thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao
đẳng –THCN.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI:
1. Thuận lợi:
Học sinh được truyền thụ các kiến thức cơ bản về các vấn đề liên quan đến
khảo sát hàm số.
Được sự hỗ trợ của các giáo viên trong tổ.
2. Khó khăn:
Học sinh chưa có thói quen tìm tòi phương pháp giải khi gặp các bài toán tổng
quát.
Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh.
3. Số liệu thống kê:
3
Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi.
III.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lí luận:
- Nhiệm vụ trung tâm của trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa
phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy
logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán một
cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài
tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Trong SGK giải tích 12 chỉ nêu một số bài tập liên quan đến khảo sát hàm số
đơn giản chưa tạo sự hứng thú, tìm tòi sáng tạo của học sinh. Vì vậy khi gặp
các bài toán phức tạo hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) này với mục
đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các
bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
- Trong giới hạn SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán liên
quan đến khảo sát hàm số thường gặp.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Đưa ra một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và đề ra phương pháp
giải.
A. LÝ THUYẾT
1. Dấu của tam thức bậc 2:
a) Dấu của tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c(a 0) :
+ Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
4
+ Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x
b
2a
+ Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x x1 hoặc x2 x trái dấu với a khi
x1 x x2 , trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của f(x), x1 x 2 .
a 0
2
+ ax bx c 0
0
a 0
2
+ ax bx c 0
0
b) So sánh hai nghiệm của tam thức với số
:
f ( x) ax 2 bx c(a 0) có hai nghiệm x1 , x2 và số R , ta có:
+ x1 x 2 a. f ( ) 0
0
+ x1 x2 a. f ( ) 0
S
2
0
+ x1 x2 a. f ( ) 0
S
2
2. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K.
+ f(x) đồng biến trên K f ( x) 0, x K
+ f(x) nghịch biến trên K f ( x) 0, x K
( f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K )
3. Cực trị của hàm số:
5
a) Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K ( x0 h; x0 h) và
có đạo hàm trên K hoặc K \ x0 , với h > 0.
+ Nếu f ( x) 0 trên ( x0 h; x0 ) và f ( x) 0 trên ( x0 ; x0 h) thì x0 là điểm
cực đại.
+ Nếu f ( x) 0 trên ( x0 h; x0 ) và f ( x) 0 trên ( x0 ; x0 h) thì x0 là điểm
cực tiểu.
b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên ( x0 h; x0 h) ,
với h > 0. Khi đó:
+ Nếu f ( x0 ) 0 và f ( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực đại.
+ Nếu f ( x0 ) 0 và f ( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
c) x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì y( x0 ) 0 .
4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)hàm số y = f(x) tại
M ( x0 ; y0 ) (C ) là y f ( x0 )( x x0 ) y0 :
Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong (C1 ) : y f ( x ) và (C 2 ) : y g ( x)
(C1 )
f ( x ) g ( x)
có nghiệm.
f ( x) g ( x)
tiếp xúc (C2 )
5. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng : ax by c 0(a 2 b 2 0) là
d (M , )
ax0 by 0 c
a2 b2
Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) là
AB ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2
6
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f (x )
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) (C )
Tính
f ( x )
và f ( x0 )
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) là: y f ( x0 )( x x0 ) y0
Ví dụ1 : Cho hàm số y x 3 x 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm M(1; 5).
Giải:
Ta có: y 3x 2 1 , y (1) 4
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 5) là:
y f ( x0 )( x x0 ) y0 y 4( x 1) 5
y 4x 1
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0
Tính y0 f ( x0 )
Tính f ( x ) và f ( x0 )
Phương trình tiếp tuyến là: y f ( x0 )( x x0 ) y0
Ví dụ 2: Cho hàm số y
2x 1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
x 1
(C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có x0 2 y0 5
y
3
y (2) 3
( x 1) 2
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; 5) là: y 3( x 2) 5 y 3x 11
7
Ví dụ 3: Cho hàm số y x 3 2 x 2 2 x 4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Tại điểm x0 là nghiệm của phương trình y ( x0 ) 0 .
Giải:
a) Gọi A( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có A (C ) Ox nên y0 0 và x0 là nghiệm
của phương trình x 3 2 x 2 2 x 4 0 x 2 . Vậy A(2; 0)
Ta có y 3x 2 4 x 2 y(2) 6
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 6( x 2) 0 y 6 x 12
b) Gọi B( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì B (C ) Oy nên x0 0 y0 y (0) 4
y (0) 2
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm B(0; -4) là: y 2 x 4 .
c) Ta có: y 6 x 4
Gọi C ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.
2
3
Ta có: 6 x0 4 0 x0 y0
88
2 2
, y( )
27
3 3
2 88
) là:
3 27
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm C ( ;
2
2 88
2
100
y (x )
y x
3
3 27
3
27
Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0
Ta có y0 f ( x0 ) x0
Tính
f ( x )
và f ( x0 )
Phương trình tiếp tuyến là: y f ( x0 )( x x0 ) y0
8
1
4
Ví dụ 4: Cho hàm số y x 4 2 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm có tung độ bằng
9
4
Giải:
Ta có y x 3 4 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
x02 1
9
1 4
9
2
4
2
Ta có y0 x0 2 x0 x0 8 x0 9 0 2
x0 3
4
4
4
x0 9
9
4
9
4
+ Với x0 3, y0 , y (3) 15 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1 (3; ) là:
y 15( x 3)
9
171
15x
4
4
9
4
+ Với x0 3, y0 , y (3) 15 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm
9
9
171
M 2 (3; ) là: y 15( x 3) 15x
4
4
4
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu: y 15x
171
171
và y 15x
.
4
4
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến có hệ số góc k
Cách 1:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có f ( x0 ) k x0
x0 y0 f ( x0 )
Phương trình tiếp tuyến là: y k ( x x0 ) y0
Cách 2:
Tiếp tuyến có phương trình dạng: y kx b
f ( x) kx b
Điều kiện tiếp xúc: hệ
f ( x) k
Kết luận
9
có nghiệm b
Chú ý:
+ Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y ax b thì f ( x0 ) a
1
+ Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y ax b thì f ( x0 ) a
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
3x 1
biết tiếp
x2
tuyến có hệ số góc bằng 7.
Giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.
Ta có y
Theo đề bài ta có: y ( x0 ) 7
7
( x 2) 2
x0 3
7
7 ( x0 2) 2 1
2
( x0 2)
x0 1
+ Với x0 3 y0 10 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1 (3;10) là:
y 7( x 3) 10 7 x 31
+ Với x0 1 y0 4 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 2 ( 1;4) là:
y 7 ( x 1) 4 7 x 3
1
3
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 x 2 1 , biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y x 5
Giải:
Gọi N ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có: y x 2 2 x .
Vì tiếp tuyến song song với d : y x 5 nên
2
y( x0 ) 1 x0 2 x0 1 0 x0 1 y0
1
3
1
3
1
3
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N (1; ) là: y ( x 1) x
4
3
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 1 , biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x 8 y 1 0
Giải:
Gọi P( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có: y 4 x 3 4 x .
10
1
8
Vì tiếp tuyến vuông góc với d : x 8 y 1 0 y x
y ( x0 )
1
nên
8
1
3
y ( x0 ) 8 4 x0 4 x0 8 0 x0 1 y 0 4
1
8
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm P (1;4) là: y 8( x 1) 4 8 x 4
Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A( x A ; y A ) (C )
Cách 1:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, gọi là tiếp tuyến
Phương trình dạng: y f ( x0 )( x x0 ) y0
đi qua A( x A ; y A ) ta có:
y A f ( x0 )( x A x0 ) y0 x0
Tính y0 , f ( x0 )
Vậy phương trình tiép tuyến là: y f ( x0 )( x x0 ) y0
Cách 2:
Gọi là tiếp tuyến cần tìm.
đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k có phương trình dạng:
y k (x xA ) yA
f ( x) k ( x x A ) y A
Điều kiện tiếp xúc hệ
f ( x) k
có nghiệm k
Kết luận
Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3 3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
Cách 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, gọi là tiếp tuyến
Ta có y 3 x 2 3, y ( x0 ) 3x02 3
Phương trình dạng:
y f ( x0 )( x x0 ) y 0 y (3 x02 3)( x x0 ) ( x03 3 x0 1)
1 (3 x02 3)( 2 x0 ) ( x03 3 x0 1)
đi qua A(-2; -1) nên ta có:
11
x0 1
x03 3x02 4 0 x0 1 x02 4 x0 4 0
x0 2
+ Với x0 1 y0 1, y(1) 0 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M 1 (1;1) là:
y 1
+ Với x0 2 y0 1, y(2) 9 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại
M 2 ( 2;1) là: y 9( x 2) 1 9 x 17
Cách 2: Gọi là tiếp tuyến.
đi qua A(-2; -1) và có hệ số góc k là: y k ( x 2) 1 kx 2k 1
x 3 3x 1 kx 2k 1
có nghiệm
tiếp xúc (C) 2
3x 3 k
x 1
x 2
Thay (2) vào (1) ta được: x 3 3x 2 4 0 x 1x 2 4 x 4 0
+ Với x 1 k 0 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 1
+ Với x0 2 k 9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là:
y 9( x 2) 1 9 x 17
Vấn đề 2: Các dạng bài tập về đồng biến, nghịch biến
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f (x)
Tìm tập xác định
Tính f (x) . Tìm các điểm xi (i 1;2;...; n) tại đó f (x) bằng 0 hoặc f (x)
không xác định
Lập bảng biến thiên.
Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ 1: Xét tính đơn diệu của các hàm số sau:
1
3
a) y x 3 2 x 2 3x 1
b) y
Giải:
a) TXĐ: D = R
12
x 1
x 1
x 1
y x 2 4 x 3 , y 0 x 2 4 x 3 0
x 3
Bảng biến thiên:
x
-3
y
+
y
0
-1
-
0
-1
+
7
3
Hàm số đông biến trên ( ; -3), (-1; ), nghịch biến trên (-3; -1)
b) TXĐ: D R \ 1
Ta có y
2
0, x 1
( x 1) 2
Vậy hàm số đồng biên trên mỗi khoảng ( ; -1), (-1; )
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y f ( x, m ) đồng biến, nghịch biến trên
khoảng (a;b)
Boài toán 1: Tìm m để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d (a 0) đồng biến
hoặc nghịch biến trên miền xác định của nó.
TXĐ: D = R
Tính y 3ax 2 2bx c
a 0
0
+ Hàm số đồng biến trên R y 0, x R
a 0
0
+ Hàm số nghịch biến trên R y 0, x R
x3
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y (m 1) x 2 4 x 5 đồng biến trên miền xác
3
định của nó.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có y x 2 2(m 1) x 4
13
Hàm số đồng biến trên R y 0, x R 0 (vì a = 1 > 0 )
2
2
m 1 4 0 m 1 4 3 m 1
Bài tán 2: Tìm m để hàn số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d (a 0) đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng ( a; b).
TXĐ
Tính y
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên tìm m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y x 3 mx 2 m đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ).
Giải:
TXĐ: D = R
x 0
Ta có y 3x 2mx , y 0 3 x 2mx 0 2m
x
3
2
2
+ TH1: m = 0
Ta có y 3x 2 0, x R suy ra hàm số nghịch biến trên R
Nên m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
+ TH2: m 0
Bảng biến thiên
* m>0
x
y
2m
3
0
-
0
+
0
-
y
Hàm số đồng biến trên (1; 2) 2
14
2m
3 m
3
* m<0
x
2m
3
y
-
0
0
+
0
-
y
Hàm số nghịch biến trên (0;)
Nên hàm số không đồng biến trên (1; 2)
Kết luận: 3 m thì hàm số đồng biến trên (1; 2)
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y x 3 3(2m 1) x 2 (12m 5) x 2 nghịch biến trên
( ;2) .
Giải: TXĐ: D = R
Ta có y 3x 2 6(2m 1) x (12m 5)
9(2m 1) 2 3(12m 5) 36m 2 6 , 0 m
x
+
+ TH1:
1
6
0
1
6
1
6
-
0
+
1
1
m
6
6
Ta có 0 và a = -3 <0 nên y 0, x R suy ra hàm số nghịch biến trên R.
Suy ra hàm số nghịch biến trên (;2) .
Vậy
1
1
thỏa yêu cầu bài toán. (1)
m
6
6
+ TH2: m
1
1
m
6
6
Ta có 0 nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 x2 )
Bảng biến thiên:
15
x
x1
y
-
x2
0
+
0
-
y
Hàm số nghịch biến trên (;2) 2 x1 x2
1
1
1
1
1
1
m 6 m 6
m
m
m
m
6
6
6
6
29
3. y (2) 0
36m 29 0
m
36
2 2m 1
S
3
2
2
m 2
29
1
1
(2)
m
m
36
6
6
Từ (1) và (2) ta có m
29
thỏa yêu cầu bài toán.
36
Bài toán 3: Tìm m để hàm số y
ax b
đồng biến hoặc nghịch biến trên từng
cx d
khoảng xác định của nó.
d
TXĐ: D R \
c
Tính y
ad bc
(cx d ) 2
+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
y 0, x D ad bc 0, x D m
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
y 0, x D ad bc 0, x D m
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y
2x m 1
đồng biến trên từng khoảng xác định
x2
của nó.
Giải:
16
TXĐ: D R \ 2. Ta có y
m 3
( x 2) 2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
y 0, x 2 m 3 0 m 3 .
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y
mx m 1
nghịch biến trên từng khoảng xác
x2
định của nó
Giải:
TXĐ: D R \ 2.
+ TH1: m = 0
Ta có y
1
1
, y
0, x 2
x2
( x 2) 2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (;2), (2;)
Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán. (1)
+ TH2: m 0
Ta có y
3m 1
( x 2) 2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 3m 1 0, x 2 m
Từ (1) và (2) ta có m
1
(2)
3
1
thỏa yêu cầu.
3
Vấn đề 3: Các dạng bài tập về cực trị
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Cách 1:
Tìm tập xác định.
Tính f (x) . Tìm các điểm tại đó f (x ) bằng 0 hoặc f (x) không xác định.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
17
Tìm tập xác định.
Tính f (x ) . Giải phương trình f ( x) 0 tìm các nghiệm xi (i 1;2;...; n) .
Tính f (x) và f ( xi ) .
Dựa vào dấu của f ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi .
Chú ý: Cách 1 dùng cho các hàm tính đạo hàm cấp hai phức tạp.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số
a) y x 3 2 x 2 x 1
b) y
x2 2x 3
x 1
Giải:
a) Cách 1: TXĐ: D = R
x 1
Ta có y 3x 4 x 1 , y 0 3 x 4 x 1 0 1
x
3
2
x
1
3
y
2
+
y
0
1
-
0
+
23
27
-1
1
3
Vậy hàm số đạt cực đại tại x , yCĐ
23
27
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 , yCT 1
Cách 2: TXĐ: D = R
x 1
x 1
3
Ta có y 3x 2 4 x 1 , y 0 3 x 2 4 x 1 0
y 6 x 4
1
1
y (1) 6.1 4 2 0 , y( ) 6. 4 2 0
3
3
18
1
3
Vậy hàm số đạt cực đại tại x , yCĐ
23
27
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 , yCT 1
b) TXĐ: D R \ 1
Ta có y
x 1 6
x 2 2x 5
2
y
0
x
2
x
5
0
,
( x 1) 2
x 1 6
Bảng biến thiên:
x
y
+
y
1
1 6
0
-
||
-
0
42 6
1 6
||
+
42 6
Hàm số đạt cực đại tại x 1 6 , hàm số đạt cực tiểu tại x 1 6
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y f ( x, m) có cực trị
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số bậc 3 y ax 3 bx 2 cx d có một cực
đại, một cực tiểu.
Tìm tập xác định
Tính y
Hàm số có một cực đại, một cực tiểu thì phương trình y 0 có hai
a 0
m
y 0
nghiệm phân biệt
Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc 3 y ax 3 bx 2 cx d không có cực
trị.
Tìm tập xác định
Tính y
19
Hàm số không có cực trị thì phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có
a 0
m
y 0
nghiệm kép
Chú ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm m để hàm số có cực trị mà hệ số a có
chứa tham số thì phải xét hai trường hợp a 0 và a 0
1
3
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y x 3 2 x 2 (m 3) x 2m có cực đại và cực tiểu.
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y x 2 4 x (m 3)
Hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình x 2 4 x (m 3) 0 có hai
nghiệm phân biệt 0 4 (m 3) 0 m 7
Vậy m < 7
1
3
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y mx3 (m 1) x 2 3(m 2) x
Giải:
TXĐ: D = R
+ TH1: m = 0: thì y x 2 6 x
1
3
Ta có: y 2 x 6 , y 0 2 x 6 0 x 3
Bảng biến thiên:
x
y
y
3
-
0
+
26
3
x = 3 là điểm cực tiểu
vậy m = 0 thỏa yêu cầu.
+ TH2: m 0
Ta có y mx 2 2(m 1) x 3(m 2)
20
1
có cực trị.
3
- Xem thêm -