Tài liệu Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (11)

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Lý thuyết: Các phương pháp giải 1. Phương pháp thế - B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất) - B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn - B3: Giải Pt thu được - B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận 2. PP cộng đại số - B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau - B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ(nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để được 1 pt 1 ẩn - B3: Giải Pt thu được - B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận 3. Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phu 4. Dùng BĐT: Dùng BĐT để lâ pâ luâ nâ trường hợp xảy ra dấu bằng - BĐT Côsi: a+b  2 ab ; a1  a 2  ...  a n  n n a1.a 2 ...a n ( Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau) - BĐT Bunhiacopxki: (a1.x1  a 2 .x 2  ...  a n .x n ) 2  (a 12  a 22  ...  a n2 ).(x12  x 22  ...  x n2 ) Dấu bằng xảy ra khi 2 bô â số tương ứng tỉ lê â B – Bài tập: (Riêng hê ê vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ) I- Dạng 1. Hê ê bâ cê nhất. Bài 1. Giải các hệ phương trình a.  3x  4 y  1 b.  2 x  3 y  2 x  y  z  1  d.  2x  3y  2z  4   x  2y  2z  5   x  2 y  3z  9  e. 2 x  5 y  z  10 3x  3 y  2 z  2  3 x  y  11 7 x  4 y  29 g. ( x  20)( y  1)  xy  ( x  10)( y  1)  xy 5 x 3  y  2 2   x 6  y 2  2 Bài 2: Giải các hệ phương trình h.  x  y  z  11  c. 3x  2 y  z  24 2 x  y  z  5   x  y  16  f.  x  z  22  y  z  28  y  27  2 y  5x  5   2x  3 4   x  1  y  6 y  5x  3 7 i.  x  2y 7  5x  6z  9   3y  4z 8  a.   x  2y 7  x  y  z  128    x 2  y 2  4  2xy b.:   x  2y  5  x  y  z  15  x  y  t  16  e.   x  z  t  18  y  z  t  20 x  y  z  1  y  z  x  5 x  z  y  3  Bài 3: GHPT 1 1 1  x  y  12  a.   8  15  1  x y 1  x  y  1  1  c.  y   1 z  1  z  x  1  1  2   x  2 y y  2x  3  b.   4  3 1  x  2 y y  2 x  x 2  y 2  13 d.  3x 2  2 y 2  6 d. x y z    f.  3 5 4 3x  5 y  6 z  16 2  3x  x 1 y  4  4  c.   2x  5  9  x  1 y  4 3 x  2 y  16 e.  2 x  3 y  11  x  4 y  18 f.  3 x  y  10 2( x 2  2 x)  y  1  0 g.  3( x 2  2 x)  2 y  1  7 5 x  1  3 y  2  7  2 4 x 2  8 x  4  5 y 2  4 y  4  13 h. HD: Đă ât ẩn phu II - Dạng 2: Hê ê bâ cê cao 1. Hê ê đối xứng loại 1 -Nhânâ dạng: Là hê â pt mà nếu mỗi că âp số (x; y) là 1 nghiê âm thì (y; x) cũng là nghiê âm ( vai trò x và y là như nhau ở các PT) - PP giải: Đă ât x+y = S; xy = P. Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT: X2 – S.X + P =0 Chú ý: Với hê â giả đối xứng loại 1 thì đă ât x-y = S; -xy = P. Khi đó nghiê âm của Pt là x và -y Bài 4: GHPT  x 2  y 2 - 2x - 2y = 6 a.   x  y  xy  5 c.  x 2  xy  y 2  19( x  y) 2 d.   x 2  xy  y 2  7( x  y) 5( x  y)  2 y  19   x  y  3xy  35 x  y  4 e.  2 2 3 3 ( x  y )( x  y )  280   x 2  y 2  xy  13 f.   x  y  xy  5  x 2  4y 2  6xy  19  2y  6y  x 2  y 2  3xy  4 g.  h.  2 (HD: Đăăt 2y+1=a)  x  4y2  1  4y  3x  xy  3y  6 2. Hê ê đối xứng loại 2 - Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa 2 phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I. + Một cách nhận dạng khác nữa là cho x=y thì 2 phương trình của hệ như nhau. Hay nói cách khác x=y chính là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này. - Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x=y, và 1 số nghiệm khác. Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y). *Chú ý: Hê â giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại Bài 5: GHPT 2  x  2y  5x  4 a.  2  y  2x  5y  4  x 1  y 2  1 / 4   y 1  x 2  1 / 4 g. 2 x  y  4 y  5 2 y  x 2  4 x  5 2 b.  | x | 1  y 2 e.  | y | 1  x 2  1 y2 x   1 y2  2 y  1 x  1  x 2  5x  y 2  3y  3 i.  2  5y  x  3x  3 3. Hê ê đẳng cấp f. h. (giả đx ) 1  2 2 x  y   y c.  2 y 2  x  1  x  x 3  3x  8 y 3  y  3 y  8x  2y x  1  y 2   y  2x  1  x 2  x 2  2y 2  2x  y k.  2 (giả đx) 2  y  2x  2y  x d. - Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bâ âc bằng nhau - Phương pháp: Đă ât x = ty (hoă âc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta được 1 pt ẩn t. Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y. Bài 6: GHPT xy  4  8  y 2 a.  xy  2  x 2  x 2  4 xy  2 y 2  3 b.  2 x 2  xy  3 y 2  4  x 2  2 xy  3 y 2  9 c.   x 2  4 xy  5 y 2  5 4. Mô êt số dạng khác Bài 7: GHPT  x 2  5 xy  6 y 2  0 a.  2 ( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)  4 x  2 xy  6 y  27  0  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx b.  2003 (HD: Từ PT 1 dùng BĐT phu để suy ra x=y=z)  x  y 2003  z 2003  3 2004 x 5  y 5  1 c.  (HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại) 9 9 4 4 x  y  x  y x 3  y 3  1 d.  ;(HD:Nhân chéo vế) 5 5 2 2 x  y  x  y  x 3  2 y  1 e.  3 (HD: Hê â đx loại 2 - trừ từng vế)  y  2 x  1  x  xy  y  1  f.  y  yz  z  4  z  zx  x  9  trong đó x, y, z  0 (HD: cô âng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)  x 2  x  5  y 2  y g.  3  x  y 3  x 2 y  xy 2  6 (HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dung pp thế)  x 3  x 3 y 3  y 3  17 h.  (HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dung pp thế)  x  xy  y  5 Bài 8: Giải các hệ phương trình (PP dùng BĐT) x  y  z  1 a.   x  y  z  xyz 4 4 4 ( HD: Dùng BĐT phu a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca(*) cho PT (2) )  x 2  y 2  1(1) b. 1999 1999 y   x   2000  y  2000 x .(x  y  xy  2001)(2) (HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y) 2 4 c.  x  32  x  y  3 4  x  32  x  24  6 y Giải: ĐK: 0  x  32 Hệ đã cho tương đương với ( x  32  x )  ( 4 x  4 32  x )  y 2  6 y  21   x  4 32  x  y 2  3 Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có ( x  32  x ) 2  (12  12 )( x  32  x )  64  x  32  x  8  4  x  4 32  x 4   2( 4  2 x  32  x )  256 x  4 32  x  4 Suy ra ( x  32  x )  ( 4 x  4 32  x )  12 Mặt khác y 2  6 y  21   y  3 2  12  12 Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m) Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3) III- Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:  Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x  Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)  Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ + Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b  0 thì hệ vô nghiệm + Nếu a  0 thì (1)  x = b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương a trình có nghiệm duy nhất. mx  y  2m(1) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:  4 x  my  m  6(2) Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) +) Nếu m2 – 4  0 hay m   2 thì x = Khi đó y = - ( 2m  3)(m  2) 2m  3  2 m2 m 4 m 2m  3 m . Hệ có nghiệm duy nhất: ( ;) m2 m2 m2 +) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x  R +) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m   2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( 2m  3 m ;) m2 m2 - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx  y  3m  1 a)   x  my  m  1 mx  4 y  10  m b)  x  my  4 R (m  1) x  my  3m  1 ) 2 x  y  m  5 IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước *Phương pháp giải:  Giải hệ phương trình theo tham số  Viết x, y của hệ về dạng: n + k f (m) với n, k nguyên  Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: mx  2 y  m  1  2 x  my  2m  1 HD Giải: mx  2 y  m  1 2mx  4 y  2m  2   2 2 2 x  my  2m  1 2mx  m y  2m  m (m 2  4) y  2m 2  3m  2  (m  2)(2m  1)  2 x  my  2m  1 để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4  0 hay m   2 Vậy với m   2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3  (m  2)(2m  1) 2m  1 y    2   m2 m2 m2  4  x  m  1  1  3  m  2 m2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + 2 =  1,  3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 10: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: (m  1) x  2 y  m  1  2 2 m x  y  m  2m Bài 11 a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) 2mx  (m  1) y  m  n  (m  2) x  3ny  2m  3 (HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n) b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 (HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 (HD:Dùng định lí bơzu cho f(x)) d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 Bài 12: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) Bài 13: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 2 b) mx + y = m + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 15: Cho hệ phương trình: mx  4 y  9   x  my  8 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 2 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m   2 - Giải hệ phương trình theo m  8m  9 (m  4) y  8m  9  y  m 2  4 mx  4 y  9 mx  4 y  9     2  x  9m  32  x  my  8 mx  m y  8m  x  my  8  m 2  4 2 - Thay x = 9m  32 8m  9 ;y= 2 vào hệ thức đã cho ta được: 2 m 4 m 4 9m  32 8m  9 38 2. 2 + 2 + 2 =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12  3m2 – 26m + 23 = 0  m1 = 1 ; m2 = Vậy m = 1 ; m = 23 3 23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) 3