Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
Buæi 1 : h»ng ®¼ng thøc
a. môc tiªu:
* Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc
* TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc
* T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n
b. ho¹t ®éng d¹y häc:
I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc:
1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
II. Bµi tËp ¸p dông:
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS
HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm
1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc
HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4)
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 +
Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän
2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
= …= x7 + x2 + 1
2
2
c) (3x + 1) – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
= [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x –
5)2
= (- 4)2 = 16
Bµi 2: T×m x biÕt:
2
2
3(x + 2) + (2x – 1) – 7(x + 3)(x - 3) =
HS ghi ®Ò bµi
172
gi¶i theo nhãm Ýt phót
¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3)
¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i
3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) =
BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i
172
� 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 –
9) = 172 � …. � 8x = 96 � x = 12
Bµi 3:
Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu
HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i
thøc sau theo a vµ b:
2
2
4
4
Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
x +y; x +y
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2
= (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2
Bµi 4: chøng minh r»ng
3
2
2
3
4
4
a) (x + y)(x – x y + xy – y ) = x – y
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV
a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3)
= x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4
2
2
2
= x4 – y4 = VP (®pcm)
b) NÕu: (a + b) = 2(a + b ) th×: a = b
2
2
2
b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
Tõ (a + b) = 2(a + b ) suy ra ®iÒu g×?
a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 � a2 - 2ab + b2 = 0
� (a – b)2 = 0 � a – b = 0 � a = b
c) NÕu: x + y + z = 0 vµ
(®pcm)
xy + yz + zx = 0 th× x = y = z
c) Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 = 0
Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 =?
� x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
Tõ ®o ta cã ®iÒu g×?
� x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0)
d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2
� x=y=z
c/m: a4 + b4 + c4 = 2
d) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0
HD c¸ch gi¶i t¬ng tù
1
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
� a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
� ab + bc + ca = -1 (1)
Bµi 5:
So s¸nh:
a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982
b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1)
vµ B = 3128 - 1
TÝnh 4 theo 32 – 1?
Khi ®ã A = ?
¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so
s¸nh A vµ B
Ta l¹i cã:
(a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 +
c2a2) = 4 (2)
Tõ (1) � (ab + bc + ca)2 = 1
� a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2
a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1)
= 19982 – 1 < 19982 � A < B
2
b) V× 4 = 3 1 nªn
2
A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
= 3 1 (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1
2
1
= (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1 16
= (3 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1
= (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1
1
1
= (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B
2
2
2
= (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
Bµi 6:
a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1)
b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0)
Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng
VËy: A < B
b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n
ch÷ sè 5)
Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6
Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng
= 9(1…1) + 6 = 9a + 6
� ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1
= (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng
Ta viÕt:
=
Un =
n sè 1
n sè 5
+
n sèn 1+ 5.n 11
sè …
0 1 n sè 5
= 11…1.10
§Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n
Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1:
cho x + y = 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1
Bµi 2:
Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2
Bµi 3:
Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
NÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n vµ n2 cñng lµ tæng cña hai sè chÝnh
ph¬ng
2
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
Bµi 5: So s¸nh:
xy
x2 y2
A=
víi B = 2
(Víi 0 < y < x )
xy
x y2
Buæi 2 : h»ng ®¼ng thøc ( TiÕp)
a. môc tiªu:
* Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc
* TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ h»ng ®¼ng thøc
* T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n
b. ho¹t ®éng d¹y häc:
I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc:
Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
LËp ph¬ng mét tæng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4)
LËp ph¬ng mét hiÖu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5)
Tæng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6)
HiÖu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7)
B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC)
II. Bµi tËp ¸p dông:
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc:
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
1HS lªn gi¶i
Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo?
= ...= 5x - 8
HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i
3
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo?
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4)
= (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64
Bµi 2: T×m x biÕt
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
§Ó t×m x ta lµm thÕ nµo?
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i
1HS lªn b¶ng gi¶i
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
� x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1
� x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1
� x3 - 27 - x3 + 4x = 1 � 4x = 28 � x = 7
Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng
cña ba b×nh ph¬ng:
A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i
NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý:
H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba
tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2
Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt
kh¸c
a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ
cña Bt A = x3 + y3
Cho HS gi¶i
ViÕt A thµnh tÝch
§Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy.
TÝnh xy nh thÕ nµo?
Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch
tÝnh xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1
TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ?
§Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo?
HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i
§¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc
th× theo Hd cña GV)
NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×?
§Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×?
Khi ®ã ab + bc + ca = ?
a2b2 + b2c2 + c2a2 = ?
Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt
B
Bµi 5:
{ ; b = 1....1
{ vµ c = 6....6
{
Cho a = 1....1
2n
n 1
n
Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ
mét sè chÝnh ph¬ng
§Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh
ph¬ng, ta cÇn c/m g×?
A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2
= (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2)
= (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2
HS gi¶i
A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1)
HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy
Tõ x + y = 2 � x2 + y2 + 2xy = 4 � xy = - 3 (2)
Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26
HS ghi ®Ò
B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1
� a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1)
TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca)
Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
1
1
� (ab + bc + ca)2 =
2
4
1
� a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc =
4
1
� a2b2 + b2c2 + c2a2 =
(2)
4
� ab + bc + ca =
Thay (2) vµo (1) ta cã:
B = 1 - 2.
1
1
1
=1- =
4
2
2
HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i
§Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph4
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè
{ + 1....1
{ + 6....6
{ +8
A = 1....1
A=a+b+c+8=?
9
9
Ta cã: 11...1
. ViÕt thµnh luü
{ (11...1)
{
thõa 10?
n
n
n 1
2n
9 1....1
9 {
{ )+8
( { ) + (1....1
) + 6( 1....1
2n
n
1
n
9
9
2n
n 1
n
= 10 1 + 10 1 + 6. 10 1 + 8
9
9
9
2n
n 1
n
2n
n
= 10 10 10 64 = 10 16.10 64
9
9
=
2
Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z
tho· m·n ®¼ng thøc:
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng
tæng c¸c b×nh ph¬ng?
Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc?
Ta cã kÕt luËn g×?
Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc
A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã
gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y =
n
2
2
�
� n
� 100...08 � �
= �10 8 � �
33...36
�
�
� �
1
2
3
� 3 � � 3 � � n 1 �
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
� (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0
� (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0
Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d¬ng
víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0
VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng
thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
1
vµ
2
z=4
Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc:
a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9)
b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6)
Bµi 2:
a) Cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy
b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . TÝnh x3 + y3 theo a vµ b
Bµi 3: Chøng minh r»ng
NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3 abc
5
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
Buæi 3 : ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, h×nh thang
a. môc tiªu:
- Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h×nh thang, ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, ®êng trung
b×nh cña h×nh thang
- TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS
A
- t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS trong khi häc n©ng cao
b. ho¹t ®éng d¹y häc:
E
I. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc:
F
1. §êng trung b×nh cña tam gi¸c
* §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c
gäi lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c
B
C
- E lµ trung ®iÓm AB, F lµ trung ®iÓm AC thi EF lµ ®êng trung
b×nh cña ABC
- NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung
®iÓm AC
- EF lµ ®êng trung b×nh cña ABC th× EF // BC vµ EF
=
1
BC
2
4. §êng trung b×nh cña h×nh thang:
* §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh
thang gäi lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang
+ H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm
AD, N lµ trung ®iÓm BC th× MN lµ ®êng trung b×nh cña
h×nh thang ABCD
+ NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC
+ MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD
th× MN // AB // CD vµ MN =
II. Bµi tËp ¸p dông:
1
(AB + CD)
2
6
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
Bµi 1:
Cho ABC ®Òu c¹nh a. Gäi M, N theo
thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC
a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao?
b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a
Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót
Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM?
§Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n
ta cÇn c/m g×?
V× sao MN // BC
�=C
�?
V× sao B
Tõ ®ã ta cã KL g×?
A
HS ghi ®Ò bµi
ViÕt GT, KL, vÏ
h×nh
M
HS suy nghÜ, t×m lêi
gi¶i
HS dù ®o¸n
c/m: MN // BC vµ
�=C
�
B
N
B
C
Tõ GT � MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC
1
� MN // BC (1) vµ MN =
BC (2)
2
0
�
�
ABC ®Òu nªn B = C 60 (3)
Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ
nµo?
H·y tÝnh c¹nh BM, NC theo a
BC = ? v× sao?
VËy: chu vi h×nh thang c©n BCNM tinh
theo a lµ bao nhiªu?
Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh
thang c©n
Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ
PBCNM = BC +BM + MN + NC (4)
1
1
1
AB = BC = a
2
2
2
1
1
BC = a, MN = BC = a
2
2
BM = NC =
VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC
=a+
Bµi 2:
Cho ABC cã ba gãc ®Òu nhän; AB > AC VÏ h×nh
Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB,
AC, BC. VÏ ®êng cao AH
a) C/m: MP = NH
b) Gi¶ sö: MH PN.
M
C/m: MN + PH = AH
§Ó C/m MP = NH ta cÇn C/m g×?
Tõ GT suy ra MP cã tÝnh chÊt g×?
B
A
N
P
H
C
Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m:
MP vµ NH cïng b»ng mét ®o¹n nµo ®ã
MP lµ ®êng Tb cña ABC nªn MP // AC vµ
MP =
Ta cÇn C/m g×?
Gäi I = MN �AH th× ta cã ®iÒu g×? V×
sao?
Hoµn thµnh lêi gi¶i?
1
1
1
5
a+ a+ a= a
2
2
2
2
1
AC
2
Ta cÇn C/m NH =
1
AC
2
M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( do MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC) nªn I lµ trung ®iÓm
AH vµ AI MN (Do AH BC )
� ANH c©n t¹i N � NH = NA =
Khi MH PN th× MH AB? V× sao?
AMH lµ tam gi¸c g×? v× sao?
VËy: MP = NH
7
1
AC
2
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a
Khi MH PN th× MH AB v× NP // AB
ABH lµ tam gi¸c g×? v× sao?
AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã
�
AMH
900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ
Tõ ®ã suy ra ®iÒu g×?
�
�
®êng cao � MAH
= AHM
450
�
�
ABH cã AHB
900 mµ AHM
450 nªn
Bµi 3:
0 �
�
ABH vu«ng c©n t¹i H.
Cho ABC. Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c tia HBM 45
Suy ra BH = AH
ph©n gi¸c trong. kÎ IM AB; IN BC
Mµ BH = BP + PH = MN + PH
vµ IK AC. Qua A vÏ ®êng th¼ng a //
MN; ®êng th¼ng b // NK. A c¾t NK t¹i E, VËy: MN + PH = AH
b c¾t NM t¹i D, ED lÇn lît c¾t AC, AB t¹i
HS ghi ®Ò, VÏ h×nh,
P, Q. Cmr: PQ // BC
A
D
Gäi giao ®iÓm cña BC vµ AD lµ L, cña BC
vµ AE lµ H
§Ó c/m: AM = AK ta c/m g×?,
T¬ng tù h·y c/m: BN = BM, CN = CK
Y MNHA lµ h×nh g×? V× sao
Ta suy ra ®iÒu g×?
Y KNLA lµ h×nh g×? V× sao? Tõ ®ã ta cã
®iÒu g×?
Ta cã thÓ KL g× vÒ Mqh gi÷a ND, NE
trong ALH
DE cã tÝnh chÊt g×?
Bµi 4:
Cho ABC cã AB = c, BC = a, AC = b
Qua A vÏ ®êng th¼ng song song víi BC
c¾t c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C
t¹i D vµ E. Tõ A vÏ AP BD; AQ CE.
PQ lÇn lît c¾t BE, CD t¹i M vµ N
TÝnh MN, PQ theo a, b, c
Q
P
E
M
K
I
B
L
C
N
H
AMI = AKI (C. huyÒn – g. nhän)
� AM = AK (1)
BMI = BNI (C. huyÒn – g. nhän)
� BM = BN (2)
CNI = CKI (C. huyÒn – g. nhän)
� CN = CK (3)
Y MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH,
�
� = NHA
�
�
)
MAH
= BMN
= BNM
� NH = AM (4)
Y KNLA lµ h×nh thang c©n � NL = AK (5)
Tõ (1), (4), (5) � NL = NH (6)
NE, ND lµ ®êng trung b×nh cña ALH nªn:
EA = EH (7) vµ DA = DL (8)
Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®êng trung b×nh
cña ALH � DE // LH � PQ // BC
HS vÏ h×nh
E
A
Dù ®o¸n xem MN cã tÝnh chÊt g×?
H·y C/m BCDE lµ h×nh thang
D
1
1
M
1
Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×?
Q
P
Dù ®o¸n vµ c/m d¹ng cña BAD
B
N
1
2
2
C
Dù ®o¸n: MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh
8
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
PQ cã tÝnh chÊt g×?
Suy ra tÝnh chÊt cña MN
H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c
thang BCDE
Tõ gt � BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC
� =B
� mµ B
� =D
� (so le trong – do BC //
B
1
2
2
1
�
�
DE) � B1 = D1 � BAD c©n t¹i A.
mµ AP BD � PB = PD; AB = AD = c
T¬ng tù CAE c©n t¹i A Vµ AQ CE
� QC = QE vµ AC = AE = b
PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®êng
chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB
� MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang
BCDE nªn:
BC + DE BC + AE + AD a + b + c
=
2
2
2
BC + DE
PQ = MN–(MQ + NP) =
- BC
2
AD + AE - BC
b+c-a
=
2
2
MN =
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1:
1
� = 900); AB = CD = AB
Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A
2
kÎ CH AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F
a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×?
b) C/m : AC BC
c) EF =
1
1
DC = AB
2
4
Bµi 2:
Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song
song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y
Buæi 4 – ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a. môc tiªu:
* Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
* HS sö dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
9
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
* VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña
biÓu thøc, cña biÕn
b. ho¹t ®éng d¹y häc:
I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc:
C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
* Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch
* Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n
tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc
* Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö :
Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau:
ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b.
T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2
Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) =
* Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ
ph©n tÝch h¬n
* Ph¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt
hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc
* Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch
II. Bµi tËp vËn dông:
Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn
Ho¹t ®éng cña häc sinh
HS:
¸p
dông
PP dïng H®t
Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
4
4
2
2
25x – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2
a) 25x – 10x y + y
¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a = (5x2 – y)2
thøc nµy
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
= (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3
= (2m + 3n)3
2
2
2
2
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
c) (4x – 3x -18) – (4x + 3x)
= [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18)
+ (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18)
= 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)]
= -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3)
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) x4 + 2x3 – 4x - 4
Ta ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ¸p dông ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö
a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x)
= (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2)
= (x2 – 2)(x2 + 2x + 2)
b) x3 +2x2y – x – 2y
b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y)
2
2
3
c) ac x – adx – bc x + cdx +bdx – c x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1)
c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x
= (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x)
= dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c)
= x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)]
= x(b + c – a) (d - c2)
3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
2
a) x – 6x + 8
HS ghi ®Ò
¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch?
C¸ch 1:
Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo?
V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4)
t¸ch nh thÕ nµo?
Cã thÓ t¸ch nh thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt nªn ta cã: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8)
= x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4)
hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n
C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …?
tÝch
C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…?
C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..?
T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch
10
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch
h¹ng tö
b) a4 + a2 + 1
H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch
c) x3 – 19x – 30
H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch
Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) a4 + 64
D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö
nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc
b) x5 – x4 - 1
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c
h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc
H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö
Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
Ta sö dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch
b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a
Bµi 6:
a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng:
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Tõ a + b + c = 0 � ?
b) cho xy �0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2
C/m:
a b
x y
HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c
b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2
= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)
c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30)
= x(x2 – 9) – 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x –
10)
= (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)]
= (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)]
= (x + 3)(x – 5)(x + 2)
thªm vµ bít 2ab ta cã;
a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2
= (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8)
b) x5 – x4 – 1
= (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1)
= x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x - 1)
HS suy nghÜ, tr¶ lêi
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc)
= (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc)
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*)
§Æt (x2 + x ) = y ta cã
(*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16
= (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2)
= (x2 + x +6 )(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)]
= (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)]
= (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2)
b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8
ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
= y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1
= (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
a) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0
� a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
� (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2
� a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)
� a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0
� a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
� (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0
� a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2
11
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
= 0 � a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0
� (ay – bx)2 = 0 � ay – bx = 0
� ay = bx �
a b
(®pcm)
x y
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) 25x2 – 20xy + 4y2
b) x3 – 4x2 – 9x + 36
2
2
c) x – 7xy + 10y
d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Bµi 2: Chøng minh r»ng
a) HiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8
b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi n �N
bµi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt
A. MUÏC TIEÂU:
* Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät
* Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn
* HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp
B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC:
I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc:
Kieán
Hình bình haønh
Hình chöõ nhaät
thöùc
�=B
�=C
�=D
� 900
AB // CD
�
1. Ñònh
ABCD laø Hcn � A
�
�
ABCD laø Hbh
AD // BC
�
nghóa
2. Tính
ABCD laø Hbh , AC �BD = O
ABCD laø Hcn , AC �BD = O
AB = CD, AD = BC
AB = CD, AD = BC
�
�
chaát
�� � � �
A=C,B=D
�
��
OA = OC, OD = OB
�
�
AC = BD
�
�� � � �
��
A=C,B=D
�
OA = OC, OD = OB
�
3. Daáu
hieäu
nhaän
bieát
AB // CD, AD // BC �
AB = CD, AD = BC �
�
�
�
�
�
�
A=B,C=D
��
OA = OC, OB = OD �
�
( O = AC � BD) �
�
+
+ ABCD coù AB // CD
Vaø
+ ABCD laø Hbh coù:
- AC = BD
ABCD
laø Hbh
II. Baøi taäp vaän duïng:
Hoaït ñoäng cuûa GV
1. Baøi 1:
� = 1200 . Ñöôøng
Cho Hbh ABCD coù A
Hoaït ñoäng cuûa HS
HS ghi ñeà, veõ hình
12
�
ABCD
Laø hcn
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm
cuûa AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD.
C/m ADF ñeàu, AFC caân
c) C/m AC AD
Giaûi
Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB.
Ta coù ADE laø tam giaùc gì? Vì sao?
Haõy C/m ñieàu ñoù
Haõy C/m ADF caân taïi A coù moät goùc
600
Haõy C/m AFC caân taïi F
Töø AFC caân taïi F ta suy ra ñieàu gì?
Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa
AFC
�
=?
DAC
2. Baøi 2:
Cho ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn
trong cuûa tam giaùc ñoù. Goïi D, E, F laàn
löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CA vaø L,
M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, OB,
OC
Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng EL,
FM, DN ñoàng quy
Giaûi
Ñeå C/m ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN
ñoàng quy ta C/m gì?
Ta C/m caùc ñoaïn thaúng ñoù laø ñöôøng
cheùo cuûa hai hbh coù chung moät ñöôøng
E
A
B
C
F
D
a) ADE laø tam giaùc caân
� = 1200 , maø ABCD laø Hbh neân
Ta coù A
� = 600 � ADE
� = AED
� = 300 � ADE caân taïi A
D
� AD = AE maø AB = 2 AE
Neân AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD laø Hbh)
1
1
maø DF = 2 CD, AD = 2 AB. Suy ra
� = 600
AD = DF � ADF caân traïi D coù D
vaäy: ADF laø tam giaùc ñeàu
Ta coù AF = DF (do ADF ñeàu)
Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC)
Suy ra AF = FC � AFC caân taïi F
� = 2FAC
�
c) AFC caân taïi F � DFA
(Goùc ngoaøi
taïi ñænh cuûa tam giaùc caân)
� = 600 (do ADF ñeàu). Suy ra
Maø FDA
� = 300 � DAC
� = 900 hay AC AD
FAC
HS ghi ñeà, veõ hình
A
L
D
F
O
M
B
N
E
C
HS suy nghó , phaùt bieåu
HS ghi nhôù phöông phaùp c/m
E, F laø trung ñieåm cuûa BC, CA � EF laø ñöôøng
13
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
cheùo
trung bình cuûa ABC suy ra
Ñeå C/m töù giaùc EFLM laø Hbh ta c/m nhö EF // AB, EF = 1 AB (1)
2
theá naøo?
Töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø hình gì? Töông töï LM laø ñöôøng trung bình cuûa OAB
1
suy ra LM // AB, LM = AB (2)
2
Hai Hbh naøy coù chung ñöôøng cheùo naøo?
Töø (1) vaø (2) suy ra töù giaùc EFLM laø Hbh
Töø ñoù ta coù keát luaän gì?
C/m töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø Hbh
Nhöõng Hbh naøo coù taâm truøng nhau?
(Vì coù NE //= LD)
Hai Hbh EFLM vaø NLDE coù chung ñöôøng
cheùo LE hay ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng
quy taïi trung ñieåm cuûa LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm
3. Baøi 3:
truøng nhau
Cho hìn chöõ nhaät ABCD; keû BH AC.
F
D
C
Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AH, HS ghi ñeà, veõ
H
CD. Chöùng minh BE EF
hình
Giaûi
E
I
Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu
gì? Vì sao?
Goïi K laø trung
A
K
B
ñieåm cuûa AB ta
coù EK // HB (Vì EK laø ñöôøng trung bình cuûa
AHB) maø BH AC � EK AC suy ra
Töù giaùc BCFK laø hình gì? Vì sao?
� = 900
CEK
� CEK vuoâng taïi E
EI coù tính chaát gì? Vì sao?
Töù giaùc BCFK coù BK //= CF vaø coù
� = 900 neân laø hình chöõ nhaät neân hai ñöôøng
B
cheùo BF vaø CK caét nhau taïi I vaø BF = CK
� I laø trung ñieåm cuûa BF , CK � EI laø trung
tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa CEK
BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao?
4. Baøi 4:
Cho ABC caân taïi A. Töø ñieåm D treân
BC keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC caét AB,
AC laàn löôït taïi E, F. Döïng caùc hình chöõ
nhaät BDEH vaø CDFK
a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng
� EI =
1
1
CK = BF
2
2
BFE coù trung tuyeán EI =
1
BF neân laø tam
2
giaùc vuoâng taïi E � BE EF
14
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK
c) Goi I, J theo thöù töï laø taâm cuûa caùc
hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK. Tìm taäp
hôïp trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng IJ khi
D di ñoäng treân BC
Ñeå C/m A, H, K thaúng haøng ta c/m gì?
Haõy C/m AH, AK cuøng song song vôùi
moät ñöôøng thaúng naøo ?
Haõy c/m töù giaùc AIDJ laø Hbh? Nhö theá
naøo?
Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät
BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa
IJ ta suy ra ñieàu gì?
Töø MI // AH vaø MJ // AK ta suy ra ñieàu
gì
Coù caùch C/m naøo khaùc?
Ta ñaõ coù A, H, K thaúng haøng neân ñeå c/m
A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì?
Haõy C/m AB // DK vaø keát hôïp vôùi I laø
trung ñieåm cuûa DH ñeå � AH = AK
Keû MN BC vaø ñöôøng cao AG thì MN
coù tính chaát gì?
M caùch BC moät khoaûng khoâng ñoåi thì m
naèm treân ñöôøng naøo?
HS ghi ñeà , veõ
hình
H
F
A
I
P
E
M
K
Q
J
B
G N D
C
HS phaùt bieåu
C/m AH, AK cuøng song song vôùi IJ
HS neâu caùch c/m
Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH
vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra
MI vaø MJ laàn löôït laø ñöôøng trung bình cuûa
caùc tam giaùc AHD vaø AKD
Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK
cuøng song song vôùi IJ neân A, H, K thaúng
haøng (theo tieân ñeà Ôclít)
HS neâu caùch C/m khaùc
� = ACB
�
ABC caân taïi A neân ABC
(1)
I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy ra BID caân
� = DBI
� hay ABD
� = BDI
� (2)
taïi I � BDI
Töø (1) vaø (2) suy ra AB // DK maø IH = ID
neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A
laø trung ñieåm cuûa HK
c) Keû MN BC (N � BC); ñöôøng cao AG ta
coù MN =
1
AH (vì MN laø ñöôøng trung bình
2
cuûa ADG )khoâng ñoåi, neân M naèm treân
ñöôøng thaúng song song vôùi BC vaø caùch BC
1
AH khoâng ñoåi chính laø
2
ñöôøng trung bình PQ cuûa ABC (PQ // BC)
moät khoaûng baèng
III. Baøi taäp veà nhaø:
1. Cho hình chöõ nhaät ABCD. Keû BH vuoâng goùc vôùi AC. Goïi M, K theo thöù töï laø trung
ñieåm cuûa AH vaø CD. Chöùng minh BM vuoâng goùc vôùi MK
2. cho hình bình haønh ABCD. Veõ ra phía ngoaøi hình bình haønh caùc tam giaùc ñeàu ABM,
AND. Goïi E, F, Q theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa BD, AN, AM
15
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao?
�
b) Tính FEQ
BUOÅI 6 – PHEÙP CHIA ÑA THÖÙC
A. MUÏC TIEÂU:
* Cuûng coá vaø naâng cao veà pheùp chia ña thöùc
* Tieáp tuïc reøn luyeän, naâng cao kyõ naêng vaän duïng pheùp chia ña thöùc vaøo caùc baøi toaùn
khaùc
* Taïo höùng thuù cho HS trong quaù trình hoïc taäp vaø vaän duïng vaøo thöïc tieã
B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC:
I. Nhaéc laïi moät soá kieán thöùc:
1. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi luyõ thöøa cuûa bieán trong A chia heát cho luyõ thöøa
cuøng bieán ñoù trong B
2. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi: A = B.Q
3. Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B khi R = 0 ; A khoâng chia heát cho b khi R � 0
II. Xaùc ñònh heä soá ñeå ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B:
1. Phöông phaùp:
1.1- Caùch 1: + Chia A cho B ñöôïc thöông laø Q, dö laø R
+ Cho R = 0, tìm heä soá töông öùng baèng ñoàng nhaát thöùc
2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh
Ña thöùc bò chia coù baäc laø m, ña thöùc chia coù baäc laø n thìo thöông coù baäc laø m – n
Neáu goïi thöông laø xm – n + C (C laø moät ña thöùc chöa xaùc ñònh) Thì A = (xm – n + C ). B
A chia heát cho B khi heä soá cuûa cuøng moät luyõ thöøa ôû hai veá phaûi baèng nhau
3.1 - Caùch 3: duøng giaù trò rieâng (chæ aùp duïng khi ña thöùc bò chia coù nghieäm)
Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C
Tìm moät giaù trò cuûa bieán ñeå C = 0 roài duøng heä soá baát ñònh ñeå xaùc ñònh heä soá
III. Baøi taäp aùp duïng:
Hoaït ñoäng cuûa GV
Hoaït ñoäng cuûa HS
16
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
III.1 - Daïng 1:
Baøi 1: xaùc ñònh a, b ñeå A(x) = x3 + ax + b
chia heát cho B(x) = x2 + x – 2
Haõy thöïc hieän pheùp chia A(x) cho B(x)
HS ghi ñeà , tìm caùch giaûi
HS thöïc hieän pheùp chia:
x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b
-2
Ñeå A(x) MB(x) � (a + 3)x + b - 2 = 0
Ñeå A(x) chia heát cho B(x) thì phaûi coù Ñk gì
Haõy duøng heä soá baát dònh ñeå tìm a vaø b
a+3=0
a=-3
�
�
��
��
b-2=0
b= 2
�
�
Thöû laïi xem coù ñuùng khoâng
Baøi 2: Tìm a, b � Q ñeå A = x4 + ax + b chia
heát cho B = x2 – 4
Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc naøo?
HS thöû laïi:
HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi
Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc
x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )
� x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c
Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân
Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân ta coù ñieàu
gì?
Haõy tìm a, b, c töông öùng
a0
a0
�
�
�
�
c40� �
c4
�
�
�
b 4c
b 16
�
�
III.2 – Daïng 2: Caùc baøi toaùn chöùng minh
1. Baøi 1: Chöùng minh ñònh lí Bô-du
“ Soá dö trong pheùp chia f(x) cho nhò thöùc
x – a baèng giaù trò ña thöùc aáy taïi x = a”
Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ?
Khi x = a thì f(x) = ?
HS tieáp caän yeâu caàu
Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r
Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r
� f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a))
2. Baøi 2: chöùng minh raèng:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1
Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì?
HS tieáp caän ñeà baøi
Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2
= (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du)
f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0
� (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1
3. Baøi 3: Chöùng minh raèng
Vôùi m, n �Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia
HS tieáp caän ñeà baøi
heát cho B = x2 + x + 1
Ñeå C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia heát
HS phaùt bieåu:
cho B = x2 + x + 1 ta C/m A M(x3 – 1)
Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M(x2 + x +
Vì sao? Ñeå C/m ñieàu naøy ta laøm theá naøo?
1)
17
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) coù
chia heát cho x3 – 1?
A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x +
1)
= x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1)
x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1)
chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho
x2 + x + 1 � x(x3m – 1) Mx2 + x + 1 (1)
Töông töï: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2)
Vaø x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3)
Töø (1), (2), (3) suy ra ñpcm
Töông töï ta coù keát luaän gì?
III. 3- Daïng 3: Caùc baøi toaùn khaùc
1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia
A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho
B(x) = x2 – 1
Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ?
Khi ñoù A(x) =?
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân ta coù ñieàu gì?
Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta
coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân x2 – 1 = 0
� x = 1 hoaëc x = -1
A(1) = a + b
51 a + b
�
�
�a = 25
��
��
�
A(-1) = - a + b
�
�1 = - a + b
�b = 26
Vaäy R(x) = 25x + 26
2. Baøi 2: Tìm ña thöùc f(x) bieát raèng f(x) chia
x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho
x2 + x – 12 ñöôïc thöông laø x2 + 3 coøn dö
* So saùnh x2 + x – 12 vôùi (x + 3)(x + 4) ?
Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b
Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn
löôït laø p(x), q(x) ta coù ñieàu gì?
HS ghi ñeà baøi
x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phaùt bieåu
�
f(x) = (x - 3).p(x) + 2
(1)
�
f(x) = (x + 4).q(x) + 9
(2)
�
�
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3)
�
Töø (1) � f(3) = 2 ; töø (3) � f(3) = 3a + b
� 3a + b = 2 (4)
Töø (2) vaø (3) sy ra : -4a + b = 9 (5)
Töø (4) vaø (5) suy ra: a = -1; b = 5
Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5
= x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31
Töø (1) vaø (3) suy ra ñieàu gì?
Töø (2) vaø (3) suy ra ñieàu gì?
Töø (4) vaø (5) ta coù a =?; b = ?
Vaäy ña thöùc caàn tìm laø ña thöùc naøo?
III. Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: Xaùc ñònh a; b ñeå
a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + 1
b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 coù dö laø R = 2x – 3
c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dö - 6 vaø chia R = x – 2 dö 21
18
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
Baøi 2: Chöng minh raèng
a) mn(m2 – n2) chia heát cho 6 vôùi moïi soá nguyeân m, n
b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia heát cho 24 vôùi moïi soá nguyeân n
Baøi 3:
a)Tìm soá dö trong pheùp chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11
b) Tìm soá nguyeân x ñeå giaù trò bieåu thöùc A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia heát cho giaù trò bieåu
thöùc B = x2 + x + 1
BUOÅI 7 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ HÌNH THOI, HÌNH VUOÂNG
Ngaøy soaïn: 28 – 11 - 2010
Ngaøy daïy:
- 11 - 2010
A. MUÏC TIEÂU:
* Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình thoi, hình vuoâng: tính chaát vaø daáu hieäu nhaän
bieát
* Vaän duïng tính chaát cuûa hình thoi vaø hình vuoâng vaøo caùc baøi toaùn chöùng minh caùc
ñoaïn thaúng, goùc baèng nhau, ñöôøng thaúng vuoâng goùc, song song,…
* Naâng cao kyõ naêng chöùng minh hình hoïc cho HS
B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC:
I. Heä thoáng kieán thöùc:
Hình thoi
Hình vuoâng
Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø 4 goùc
Ñònh Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau
baèng nhau
nghóa
- Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau
- caùc goùc ñoái baèng nhau
- caùc goùc ñoái baèng nhau
Tính - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo baèng nhau, vuoâng goùc
chaát taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø truïc ñoùi vôùi nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø
xöùng cuûa hình thoi
truïc ñoùi xöùng cuûa hình vuoâng
- moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa
- moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa hai
hai goùc ñoái nhau
goùc ñoái nhau
- Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai
- Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng
ñöôøng cheùo
cheùo
- Ñöôøng trung bình laø truïc ñoái xöùng
- Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau
- Töù giaùc coù 4 caïnh vaø 4 goùc baèng nhau
- Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau
- hình thoi coù 1 goùc vuoâng
Daáu - Hbh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi - hình thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau
- hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau
hieäu nhau
nhaän - hbh coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc - hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng
cuûa 1 goùc
goùc vôùi nhau
bieát
19
Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn
- Hình chöõ nhaät coù ñöôøng cheùo laø tia
phaân giaùc cuûa 1 goùc
II. Heä thoáng Baøi taäp
Baøi 1:
Cho hình thang caân ABCD AB // CD,
AB < CD. Goïi M, N, P , Q laàn löôït laø
trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA
�
a) C/m: NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ
b) Tính soá ño caùc goùc cuûa töù giaùc
MPNQ bieát caùc goùc nhoïn cuûa hình
�=D
� = 500
thang ABCD laø C
c) Hình thang ABCD thoaõ maõn ñieàu
kieän gì thì töù giaùc MPNQ laø hình
vuoâng?
* Ñeå C/m MN laø tia phaân giaùc cuûa
�
PNQ
Ta caàn C/m gì?
Ñeå C/m MPNQ laø hình thoi ta C/m nhö
theá naøo?
Haõy C/m MPNQ laø Hình bình haønh
Baèng caùch C/m coù hai caïnh ñoái vöøa
song song vöøa baèng nhau, ñoù laø hai
caïnh naøo?
Haõy C/m NP //= MQ ?
HS ghi ñeà vaø veõ hình
A
/
N
Q
P
D
//
B
/
M
//
C
Ta C/m töù giaùc MPNQ laø hình thoi
C/m MPNQ laø hình bình haønh coù hai caïnh keà
baèng nhau
Töø GT � NP laø ñöôøng trung bình cuûa ADE
1
AD (1)
2
MQ laø ñöôøng trung bình cuûa ADC neân
1
MQ // AD vaø MQ = AD (2)
2
�
Töø (1) vaø (2)
NP // MQ vaø NP = MQ suy ra
neân NP // AD vaø NP =
töù giaùc MPNQ laø H.b.h
C/m MP = MQ ñeå suy ra H.b.h MPNQ
laø hình thoi
MPNQ laø hình thoi ta suy ra ñieàu gì ?
�
CMQ
baèng goùc naøo? Vì sao?
�
PMD baèng goùc naøo? Vì sao?
�
� = ? � PNQ
�
=?
CMQ
+ PMD
� = MQN
�
MPN
=?
Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng khi
naøo?
Maët khaùc MP =
1
1
CB = AD (Vì AD = CB).
2
2
Suy ra MP = MQ � MPNQ laø hình thoi (H.b.h
coù 2 caïnh keà baèng nhau) � NM laø tia phaân
�
giaùc cuûa PNQ
� = CMQ
�
= 500 (3)
b) MQ // AD � ADC
� = PMD
� = 500 (4)
MP // CE � ECD
�
� = 1000
+ PMD
Töø (3) vaø (4) � CMQ
� = 800 � PNQ
� = 800 � MPN
�
�
� PMQ
= MQN
= 1000
c) Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng
� = 900 � CMQ
�
� = 900
� PMQ
+ PMD
�+D
� = 900 � C
�=D
� = 45 0
� C
20
- Xem thêm -