Tài liệu Tổng hợp kiến thức đại số 9

1 PhÇn I / c¨n thøc bËc 2. I/§Þnh nghÜa – TÝnh chÊt: 1. C¨n bËc hai sè häc : * §N: C¨n bËc 2 sè häc cña 1 sè a kh«ng ©m lµ sè x sao cho x2 = a. - Sè d-¬ng a cã ®óng 2 CBH lµ 2 sè ®èi nhau : a vµ - a . - Sè 0 cã ®óng 1 CBH , chÝnh lµ 0 : a = 0. * Chó ý : Víi a  0 ta cã x = a  x  0 vµ x2 = a * §Þnh lÝ : Víi a , b  0 ta cã a < b  a < b 2. C¨n thøc bËc 2: - Víi A lµ 1 biÓu thøc ®¹i sè , ta gäi A lµ c¨n thøc bËc 2 cña A , cßn A lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc d-íi dÊu c¨n. - §KX§ cña A lµ A  0 . 3. H»ng ®¼ng thøc : - Víi a  R ta cã a 2  a . *   A, KhiA  0 A2  A     A, KhiA  0 * Chó ý :  A   A 2  A nÕu A  0. 4. C¨n bËc 3: C¨n bËc 3 cña 1 sè lµ sè x sao cho x3 = a . . Mçi sè a cã duy nhÊt 1 c¨n bËc 3 lµ 3 a . . §KX§ cña 3 a lµ x  R . * Chó ý : C¨n bËc 3 cña 1 sè d-¬ng ( hay 1 sè ©m ) lµ 1 sè d-¬ng ( hay 1 sè ©m ) II/ C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n bËc hai : 1. A.B  A B ( A; B  0 ). A AB 5.  ; ( A.B  0, B 2  0) . 2 B B 2. A. B  A B ( B  0 ). 2 A  B 3. A B ( A  0 ; B > 0 ).  A 2 B , ( A  0; B  0) 4. A B    A 2 B ( A  0; B  0) 6. a, b, c, A B n a  b n n a b 8. n a mn  a m m 9. n a   n a m A. B ; ( B  0) B C AB C  A B III/ Mét sè tÝnh chÊt më réng vÒ c¨n thøc : 1. Víi A; B  0 ta cã : A = B  A  B A 1  1 < A < A 4. n a  x  a  0; x  0 ; xn = a ( n ch½n) 5. x  n a  xn = a ( n lÎ ). 6. n abc  n a .n b .n c 7.  C ( A  B) ; ( A  0; B 2  A) 2 A B  C   A B ; ( A, B  0; A  B) A B 2 10. m n a  mn a ( m; n  N; m; n  2 ) 11. n a m  nk a mk ( k  0 ). 12. n a m  a m / n * a  b  a  b  a; b  0  . DÊu “ = ” x¶y ra khi a = 0 hoÆc b = 0 * a  b  a  b  a  b  0  . DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b hoÆc b = 0 a b  ab DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b 2 1 1 * (a>0;b>0)  ab a  b * a  b  a b DÊu “ = ” x¶y ra khi a b  0 * * a  b  a b DÊu “ = ” x¶y ra khi a  b  0 HoÆc a  b  0. * + Víi n lµ sè tù nhiªn : + n 1  n  + n  n ( n  1) 1 n 1  n  1 1 1  1  1 1  n        n  n  1  n  1   n n 1   n  n Chó ý : - Mäi sè thùc a ®Òu cã c¨n bËc lÎ. - Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n. * C«ng thøc c¨n phøc t¹p : * M 2 N  A B , Trong ®ã a, b lµ nghiÖm cña PT : t2 – Mt + N = 0 Hay a+ b = M , ab = N. * A B  A  A2  B  A  A2  B ( Víi A; B > 0 ; A2 > B ) 2 N  2 ta lµm xuÊt hiÖn hÖ sè 2 ë ®ã. * Chó ý: NÕu hÖ sè cña IV/ Mét sè bµi to¸n vÒ c¨n bËc 2: 1/ Bµi to¸n 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh :  D¹ng tÝnh 1 : Thùc hiÖn tÝnh khai c¨n bËc 2 nhê ph©n tÝch 2ab trong H§T( a + b )2 : Khi gÆp c¨n thøc d¹ng P = M  E N ta cã thÓ nghÜ ®Õn viÖc ph©n tÝch E N vÒ d¹ng E N = 2.a.b vµ ph©n tÝch M = a2 + b2 --> kq.  D¹ng tÝnh 2 : Th.hiÖn tÝnh khai c¨n bËc 2 nhê xhiÖn b×nh ph-¬ng khi dïng H§T a2 - b2 Trong 1 tÝch , nÕu xuÊt hiÖn thõa sè cã d¹ng M - N ( HoÆc M + N ) th× ta cã thÓ lµ xuÊt hiÖn thõa sè d¹ng M + N ( HoÆc M - N ).  D¹ng tÝnh 3 : TÝnh GTBT T,tr-íc hÕt tÝnh T2 råi xÐt dÊu cña T ®Ó cã k qu¶ cña biÓu thøcT.  D¹ng tÝnh 4: Khi gÆp mÉu cña biÓu thøc chøa c¨n ta nghÜ ®Õn viÖc trôc c¨n thøc ë mÉu HoÆc quy ®ång mÉu HoÆc ®-a thõa sè vµo trong c¨n , ra ngoµi c¨n råi nhãm.  D¹ng tÝnh 5 : BiÓu diÔn luü thõa bËc cao qua luü thõa bËc 1. VD : TÝnh GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - 1 víi x = 1 - 2 3 G : V× x = 1 - 2 nªn ta cã : * x2 = (1 - 2 )2 = 3 - 2 2 = 1 + 2(1 - 2 ) = 1 + 2x * x3 = x2x =...= x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2 * x5 = x3x2 = ...= 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12 --> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – 1 = 58x + 22 = ... E = 80 - 58 2 ./ 2. Bµi to¸n 2 : Chøng minh ®¼ng thøc A = B: C1 : Dùa vµo ®Þnh nghÜa: A = B  A – B = 0. - LËp hiÖu sè A – B --> biÕn ®æi A – B --> Chøng tá A – B = 0 --> KLuËn. C2: BiÕn ®æi trùc tiÕp : BiÕn ®æi tõ vÕ phøc t¹p vÒ vÕ ®¬n gi¶n: A --> B HoÆc B --> A. C3 : BiÕn ®æi song song 2 vÕ cña ®¼ng thøc ®· cho. C4 : Víi bµi to¸n chøng minh cã §K ta cã thÓ : - Dïng c¸c §K ®Ó biÕn ®æi sao cho --> cã mèi liªn hÖ víi biÓu thøc ®· cho. - HoÆc: NiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho sao cho --> cã mèi liªn hÖ víi §K. C5 : Dïng PP quy n¹p nÕu ®¼ng thøc ®· cho phô thuéc vµo sè nguyªn n . C6 : Dïng biÓu thøc phô : - §Æt y =A , y ph¶i tho¶ m·n §K (*) nµo ®ã. - B×nh ph-¬ng 2 vÕ ta cã : y2 = A2 = A1 = ... = B2 - Suy ra y = B hoÆc y = - B . - §èi chiÕu víi §K (*) suy ra B. --> KL. 3. Bµi to¸n 3: Rót gän biÓu thøc : * C¸c b-íc thùc hiÖn: - Quy ®ång mÉu ( Ph©n tÝch nh©n tö NÕu cã – NÕu cÇn ) - §-a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n HoÆc vµo trong dÊu c¨n ( NÕu cÇn ) - Trôc c¨n thøc ë mÉu ( NÕu cã ) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : Luü thõa , khai c¨n , nh©n,chia , ... - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. 4. Bµi to¸n 4: Gi¶i PT chøa c¨n thøc. ( Xem C§ PT V« TØ ). ------------------------------------------------@@@---------------------------------------------- PhÇn II / Hµm sè bËc nhÊt: y = ax + b ( a  0 ) Hµm sè : y = a (a  0) x Hµm sè bËc hai : y = ax2 ; y = ax2 + bx + c ( a  0 ). A/ Hµm sè - §å thÞ hµm sè bËc nhÊt. I/ §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc nhÊt : 1. §Þnh nghÜa hµm sè: NÕu ®¹i l-îng y phô thuéc vµo ®¹i l-îng x thay ®æi sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x 4 ta lu«n x¸c ®Þnh ®-îc chØ 1 gi¸ trÞ t-¬ng øng cña y th× y ®-îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®-îc gäi lµ biÕn sè. 2. §Þnh nghÜa hµm sè bËc nhÊt: Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®-îc cho bëi c«ng thøc y = ax hay y = ax + b, trong ®ã a, b  R, a  0. 3. TÝnh chÊt : - HSè bËc nhÊt x¸c ®Þnh víi  x  R . - Trªn tËp hîp sè thùc R , hµm sè bËc nhÊt ®ång biÕn khi a > 0, nghÞch biÕn khi a < 0. II/ §å thÞ hµm sè y = ax vµ y = ax + b. 1. §å thÞ hµm sè y = ax (a  0) lµ 1 ®-êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é. * C¸ch vÏ : - T×m thªm 1 ®iÓm M(x0 , y0 ) b»ng c¸ch cho x = x0  y0 = ax0 - Dùng ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. - VÏ ®-êng th¼ng ®i qua M(x0 , y0 ) vµ O( 0;0 ). 2. §å thÞ hµm sè y = ax + b lµ ®-êng th¼ng song song víi ®-êng th¼ng y = ax ; c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b ( nÕu b  0 ). * C¸ch vÏ 1 : - X¸c ®Þnh 2 ®iÓm A, B bÊt k× cña ®å thÞ: . Cho x = 1  y = a + b, ta cã A(1; a + b) . Cho x = - 1  y = - a + b, ta cã B(1; - a + b) - Dùng 2 ®iÓm A , B trªn Oxy. - VÏ ®-êng th¼ng AB ta ®-îc ®å thÞ hs. * C¸ch vÏ 2 : - X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®å thÞ víi 2 trôc to¹ ®é: . Cho x = 0  y = b , ta cã A( 0; b) . Cho y = 0  x = - b/ a , ta cã B(-b/ a ; 0 ) - Dùng 2 ®iÓm A , B trªn Oxy. - VÏ ®-êng th¼ng AB ta ®-îc ®å thÞ hs. III/ HÖ sè gãc cña ®-êng th¼ng y = ax vµ y = ax + b §-êng th¼ng y = ax (d ) §-êng th¼ng y = ax + b (d) y Gãc hîp bëi ®-êng th¼ng víi tia Ox O y = ax x Gãc  t¹o bëi ®gt (d)vµ tia Ox ®ã lµ gãc hîp bëi tia Ox vµ nöa ®gt n»m trong nöa mf bê lµ trôc hoµnh vµ chøa tia Oy. HÖ sè gãc . a > 0   nhän. a cña a cµng lín th×  cµng lín (< 90o). ®-êng . a < 0   tï. y y O O x y = ax + b (a<0) x y = ax + b (a>0) Gãc  t¹o bëi ®gt (d) vµ tia Ox ®ã lµ gãc hîp bëi tia Ax vµ AB trong ®ã AB lµ phÇn ®gt (d) n»m trong nöa mf bê lµ trôc hoµnh vµ chøa tia Oy. . a > 0   nhän. a cµng lín th×  cµng lín (< 90o). . a < 0   tï. 5 th¼ng a cµng lín th×  cµng lín (<180o). a cµng lín th×  cµng lín (<180o). B/ Hµm sè bËc hai - §å thÞ hµm sè bËc hai. I/ §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc hai : 1. §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc 2 lµ hµm sè ®-îc cho bëi c«ng thøc y = ax2 (a  0), trong ®ã a,b  R, a  0. 2. TÝnh chÊt: - NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 , hµm sè ®ång biÕn khi x > 0. - NÕu a < 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x > 0 , hµm sè ®ång biÕn khi x < 0. ( Hµm sè §ång biÕn khi a vµ x cïng dÊu ; NghÞch biÕn khi a vµ x tr¸i dÊu )  NhËn xÐt : - NÕu a > 0 th× y > 0 víi x  0 ; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cña hµm sè . - NÕu a < 0 th× y < 0 víi x  0 ; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTLN cña hµm sè . II/ §å thÞ hµm sè y = ax2 (a  0). * TÝnh chÊt cña ®å thÞ: - §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a  0) lµ 1 Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O , nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng, O lµ ®Ønh cña Parabol. - NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ. B/ Hµm sè bËc hai - §å thÞ hµm sè bËc hai. I/ §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc hai : 2. §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc 2 lµ hµm sè ®-îc cho bëi c«ng thøc y = ax2 (a  0), trong ®ã a,b  R, a  0. 2. TÝnh chÊt: - NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 , hµm sè ®ång biÕn khi x > 0. - NÕu a < 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x > 0 , hµm sè ®ång biÕn khi x < 0. ( Hµm sè §ång biÕn khi a vµ x cïng dÊu ; NghÞch biÕn khi a vµ x tr¸i dÊu )  NhËn xÐt : - NÕu a > 0 th× y > 0 víi x  0 ; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cña hµm sè . - NÕu a < 0 th× y < 0 víi x  0 ; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTLN cña hµm sè . II/ §å thÞ hµm sè y = ax2 (a  0). * TÝnh chÊt cña ®å thÞ: - §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a  0) lµ 1 Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O , nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng, O lµ ®Ønh cña Parabol. - NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ. y = ax2( a > 0 ) y = ax2 ( a < 0 ) * C¸ch vÏ : - LËp b¶ng gi¸ trÞ t-¬ng cña x vµ y: x x,2 x,1 0 x1 x 6 2 y,2 y y,1 , 1 0 y1 y 2 , 1 ( Chó ý: x1 vµ x ®èi nhau ; y1 vµ y ®èi nhau) - BiÓu diÔn c¸c ®iÓm cã to¹ ®é (xi ; yi ). - VÏ ®-êng cong (P) ®i qua O( 0; 0 ) vµ c¸c ®iÓm (xi ; yi ). III/ Më réng: 1/ Hµm sè y  a x §å thÞ cña hµm sè y = a/ x ( a  0 ) lµ ®-êng cong Hypebol gåm 2 nh¸nh. y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 ) 2/ Hµm sè y = / x / §å thÞ cña hµm sè cã dÊu GTT§ bËc nhÊt lµ 1 h×nh bao gåm c¸c tia hoÆc c¸c tia vµ ®o¹n th¼ng liªn tiÕp nhau.  y  x, khix  0 VD : y = / x /    y   x, khix  0 3/ Hµm sè y = ax2 + bx + c ( a  0 ): a/ XÐt hµm sè y = ax2 + bx + c ( a  0 ):  b b b2  b2 b     c   a x    2  2 a  a a 4a 4a  4a     b  x0 ;  y 0 ta cã y = a( x – x0)2 + y0. §Æt 2a 4a Ta cã y  a x 2  x   c  a x 2  x  2 - Nh- vËy ®Ó vÏ Parabol (P) ta tÞnh tiÕn theo tr hoµnh x0 ®¬n vÞ råi tÞnh tiÕn theo tr tung y0 ®¬n vÞ. Cô thÓ: . §Ønh (P) lµ ®iÓm D( b   ; ) 2a 4 a . Giao ®iÓm cña (P) víi trôc tung lµ C(0; c) . §iÓm thø 2 cña (P) cã tung ®é b»ng c lµ C,( -b/a ; c ), ®iÓm nµy ®èi xøng víi C qua ®-êng th¼ng x = -b/2a .Giao ®iÓm cña (P) víi trôc hoµnh ( nÕu cã) , hoµnh ®é c¸c ®iÓm nµy lµ nghiÖm cña PT ax2 + bx + c = 0. b/ NhËn xÐt : - Hµm sè y = f(x) = ax2 + bx + c (a  0).  b víi x0 = 4a 2a  b . NÕu a < 0 Th× Max f(x) = víi x0 = 4a 2a . NÕu a > 0 Th× Min f(x) = - Trong 1sè tr. hîp, x kh«ng nhËn gi¸ trÞ thuéc R mµ chØ thuéc 1 tËp con cña R . Ch¼ng h¹n, x   ;   hoÆc n»m ngoµi kho¶ng  ;   . - Trong tr-êng hîp x0 = b kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt cña x ta còng t×m ®-îc 2a GTLN , GTNN cña f(x) c¨n cø vµo ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ xÐt c¸c gi¸ trÞ f(  ) ; f(  )./. C/ Mét sè d¹ng bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè . 7 Bµi to¸n1. LËp PT ®-êng th¼ng y = ax + b tho¶ m·n ®.kiÖn cho tr-íc (Tøc lµ t×m a, b). 1/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k: - B1: X¸c ®Þnh a: Theo ®Ò bµi ta cã a = k. - B2: X¸c ®Þnh b : §-êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã yA = kxA + b  b - KL: Thay a, b t×m ®-îc vµo c«ng thøc ta ®-îc PT cÇn t×m. 2/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ B(xB , yB )  y A  ax A  b - B1: §-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ B(xB , yB ) nªn ta cã :     y B  axB  b a ; b. 3/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ cã tung ®é gèc lµ h: - B1: X¸c ®Þnh b: Theo ®Ò bµi ta cã b = h. - B2: X¸c ®Þnh a : §-êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã yA = kxA + h  a 4/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ // trôc hoµnh Ox (HoÆc trôc tung Oy) - §-êng th¼ng song song víi trôc hoµnh th× x = xA  y = b = yA ( NÕu ®gt // trôc tung Oy th× y = yA  x = xA = b ) 5/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ vu«ng gãc víi ®gt d, cã PT y = a,x + b, §-êng th¼ng d  d, nªn a.a, = - 1 .Tõ ®ã suy ra a. Thay to¹ ®é cña A vµo PT trªn suy ra b. 6/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) // (d,) : y = a,x + b, vµ ®i qua A(xA , yA ) . Khi b  b, : - X¸c ®Þnh a: Theo ®Ò bµi ta cã a = a, . - X¸c ®Þnh b : §-êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã yA = a, xA + b  b. - KL: Thay a, b t×m ®-îc vµo c«ng thøc ta ®-îc PT cÇn t×m. 7/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A(xA , 0 ) vµ c¾t trôc Oy t¹i B( 0, yB ). - B1: X¸c ®Þnh b: (d) c¾t Oy t¹i B( 0, yB ) nªn b = yB - B2: X¸c ®Þnh a : (d) c¾t Ox t¹i A(xA , 0 ) nªn a = b/ xA 8/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc b»ng k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (P): y = f(x). - B1: X¸c ®Þnh a : Theo ®Ò bµi ta cã a = k . PT cã d¹ng y = kx + b (*) - B2: X¸c ®Þnh b : PT hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d) vµ (P) lµ f(x) = kx + b. V× (d) tiÕp xóc víi (P) nªn PT (*) cã nghiÖm kÐp (  = 0)  b. 9/ LËp PT ®-êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (P): y = f(x). - PT hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d) vµ (P ) lµ f(x) = ax + b. (*) - §-êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P)  PT (*) cã nghiÖm kÐp . Tõ §K nµy ta t×m ®-îc 1 hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b . Ta ®-îc (**) - §-êng th¼ng (d) ®i qua A nªn ta cã yA = axA + b (***) - Tõ (**) vµ (***) suy ra a vµ b. 10/ LËp PT ®gt (d) cã hÖ sè gãc b»ng k vµ c¾t ®cong (P): y = f(x) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. - Theo ®Ò bµi ta cã a = k . PT cã d¹ng y = kx + b - PT hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ f(x) = kx + b.(*) - §-êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt khi PT (*) cã  > 0  b. 11/ LËp PT ®gt (d) cã hÖ sè gãc b»ng k vµ c¾t ®cong (P): y = f(x) t¹i A cã hoµnh ®é xA: - Theo ®Ò bµi ta cã a = k . PT cã d¹ng y = kx + b - PT hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d) vµ (P) lµ f(x) = kx + b.(*) - §-êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i ®iÓm A cã hoµnh ®é xA khi xA lµ nghiÖm cña PT (*). Khi ®ã ta cã f(xA ) = kxA + b  b. * Chó ý : 8 1. Bµi to¸n lËp PT ®-êng cong y = ax2 ®i qua ®iÓm A(xA, yA ) tøc lµ x¸c ®Þnh hÖ sè a. Gi¶i t-¬ng tù bµi to¸n lËp PT ®gt. 2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®-êng cong y = ax2 (P) vµ ®gt y = mx+ n (d) lµ nghiÖm cña PT ax2 = mx +n (1) NÕu PT (1) v« nghiÖm th× (d) kh«ng giao víi (P) NÕu PT (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. NÕu PT (1) cã nghiÖm kÐp th× (d) tiÕp xóc víi (P). 3. Bµi to¸n víi hµm sè y = ax2 + bx + c gi¶i t-¬ng tù bµi to¸n víi hµm sè y = ax2 ( Theo c¸c bµi to¸n 1 --> 5 ) 4. Khi vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b trong ®ã a, b lµ sè v« tØ a = m , b = n ta cÇn sö dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c vu«ng. Bµi to¸n 2 .X¸c ®Þnh vÞ trÝ t-¬ng ®èi gi÷a: §-êng th¼ng-®-êng th¼ng; §-êng th¼ng – Parbol. 1. X¸c ®inh vÞ trÝ t-¬ng ®èi cña 2 ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a,x + b, (d,) * d // d,  a = a, vµ b  b, * d  d,  a = a, vµ b = b, * d  d ,  a  a, * d  d,  a.a, = 1 2. X¸c ®inh vÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) PT hoµnh ®é giao ®iÓm chung nÕu cã cña (d) vµ (P) lµ ax + b = ax2 (1) * (d)  (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt  PT(1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt (  > 0 ) * (d) vµ (P) chØ cã 1 ®iÓm chung  PT (1) cã nghiÖm kÐp (   0 ) * (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung  PT (1) v« nghiÖm (  < 0 ). Bµi to¸n 3. Bµi to¸n chøng minh: a. Chøng minh ®-êng th¼ng (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. - Gäi C(x0 , y0 ) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña ®-êng th¼ng (d) - §K cÇn vµ ®ñ ®Ó ®-êng th¼ng lu«n ®i qua C(x0 , y0 ) víi mäi tham sè m lµ : Am =B ( BiÕn ®æi PT ®gt khi C(x0,y0)  (d) ) Trong ®ã : A lµ biÓu thøc chøa x0, y0 hoÆc x0 hoÆc y0 . B lµ biÓu thøc chøa x0 hoÆc y0 hoÆc x0 ; y0 . - GPT A = 0 ; B = 0 víi tham sè m  x0 ; y0  C(x0; y0 ) . 1 lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m? 2 G: Gäi C(x0; y0 ) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña (d)  C  (d) víi mäi m 1  Ta cã y0 = mx0 +  2y0 - 1= 2mx0 , víi mäi m  2y0 - 1= 2x0 m, víi 2 mäi m  2y0 – 1 = 0 vµ 2x0 = 0  x0 = 0 ; y0 = 0. 1 VËy (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh C( 0; ) . 2 VD: CMR ®-êng th¼ng (d) cã PT y = mx + b. Chøng minh (d) lu«n tiÕp xóc (hoÆc kh«ng c¾t hoÆc c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm p.biÖt) : §-êng th¼ng (d) lu«n tiÕp xóc ( kh«ng c¾t hoÆc c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm p.biÖt)  PT h®é g®iÓm ax + b = ax2 cã N0 kÐp ( hoÆc v« nghiÖm hoÆc cã 2 nghiÖm ph©n biÖt). VD: CMR víi mäi m th× ®gt (d) cã PT y = mx + t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt ? 1 1 vµ (P) y = x2 lu«n c¾t nhau 2 2 9 G : PT hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ mx + 1 1 = x2  ...  x2 – 2mx – 1 2 2 =0 cã  , = m2 + 1 > 0 víi mäi m. VËy víi mäi m (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. Bµi to¸n 4. X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm 2 ®-êng th¼ng trªn cïng 1 hÖ trôc to¹ ®é. Gi¶ sö ®iÓm M(x0 , y0 ) lµ giao ®iÓm 2 ®-êng th¼ng (d) : y = ax + b vµ y = a,x + b, (d, ) B1: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm x0 tho¶ m·n nghiÖm ®óng PT ax + b = a,x + b, . B2: T×m tung ®é giao ®iÓm y0 b»ng c¸ch thay x0 vµo 1 trong 2 hµm sè ®· cho. Bµi to¸n 5. X¸c ®Þnh ®iÓm M( xM, yM ) cho tr-íc cã thuéc ®å thÞ cña HSè cho hay kh«ng.  C¸ch gi¶i : §å thÞ cña hµm sè ®i qua M khi to¹ ®é cña M tho¶ m·n nghiÖm ®óng PT cña (d) : M  (d)  yM = f(xM) Do ®ã tÝnh f(xM) : NÕu f(xM) = yM Th× (d) ®i qua M NÕu f(xM)  yM Th× (d) kh«ng ®i qua M --------------------------------------------------@@@------------------------------------------------ PhÇn III / HÖ ph-¬ng tr×nh 1)Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Định nghĩa : Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.  ax  by  c(d ) (I) ' a ' x  b ' y  c '(d ) Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  - Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x 0;y0) thì nó được gọi là nghiệm của hệ (I) - Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm. 2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm - Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất - Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vô nghiệm. - Nếu (d) trùng (d’) thì hệ vô số nghiệm 3)Hệ phương trình tương đương: Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 4) Một số PP giải HPT: * Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. + Từ 1 PT của hệ đã cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới (chỉ có1 ẩn) + Dùng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyên PT kia ) * Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. + Nhân 2 vế của mỗi PT với 1 số thích hợp (nếu cần ) sao cho các hệ số của 1 ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau. + Dùng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đó có 1 PT bậc nhất 1 ẩn. + Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ. * Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ. * Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị 10 Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’) 5/ Biện luận và Giải hệ phương trình : B1. Dùng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*) B2. Xét các trường hợp: + Nếu M ¹ 0 thì (*) trở thành x = N thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tìm M được y. Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y). + Nếu M = 0 thì: +(*) vô nghiệm khi N ¹ 0,Do đó hệ vô nghiệm. + (*) có vô số nghiệm khi N = 0. ìï x Î R ï Nghiệm TQ ïí Hoặc x;y Î R Hoặc x = 0; y Î R Hoặc y = 0 ïï y = - a x + c ïî b b xÎ R B3. Kết Luận 6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số: Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước 1/ Nghiệm thoả mãn các ĐK về số nghiệm : Có nghiệm duy nhất- Vô số nghiệm - Vô nghiệm. PP: Nếu PP: a b ¹ ' thì (**) có nghiệm duy nhất. ' a b ìï a b ïï ' = ' ìïï ab ' = ba ' Nếu í Hoặc ïí a b thì (**) có vô số nghiệm. ïïî bc ' = cb ' ïï b c ïï ' = ' c ïî b ìï a b ïï ' = ' ìï ab ' = ba ' Nếu ïí Hoặc ïí a b thì (**) vô số nghiệm. ïïî bc ' ¹ cb ' ïï b c ïï ' ¹ ' c ïî b Nếu ab’ – ba’ ¹ 0 Hay 2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các giá trị của nghiệm. + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm. + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) + B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm từ đó tìm được giá trị của tham số. + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời. 3/ Nghiệm của hệ là số nguyên. + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm. + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) + B3: Xét các giá trị của nghiệm thoả mãn là số nguyên + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời. 4/ Tìm GTLN – GTNN của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm. + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm. + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) + B3: Xét các giá trị của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm. + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời. 11 --------------------------------------------------@@@-----------------------------------------------PhÇn IV / ph-¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 )(1) 1. C«ng thøc nghiÖm cña PT bËc 2:   b 2  4ac - NÕu  < 0 Th× PT v« nghiÖm. - NÕu  = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =  b 2a 2 ,  b ,  ac - NÕu  ' < 0 Th× PT v« nghiÖm. - NÕu  ' = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =  - NÕu  > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt : x1, 2  b  2a b 2a - NÕu  ' > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt : x1, 2   b ,  , a  NhËn xÐt :  x1  1 *NÕu a + b + c = 0 th× :  c  x 2  a  x1  1 *NÕu a - b + c = 0 th× :  c  x 2  a * NÕu c = 0 th× :  x1  0   b  x 2  a *NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña (1) th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) 2. HÖ thøc Vi-Et: b  S  x1  x 2   a *ThuËn : Ph-¬ng tr×nh bËc2 NÕu cã nghiÖm Th× :   P  x .x  c 1 2  a b  S  x1  x 2   a *§¶o: NÕu 2 sè x1, x2 tho¶ m·n  ( Víi S2 – 4P  0)  P  x .x  c 1 2  a Th× x1 ,x2 lµ 2 nghiÖm cña PT x2 - Sx + P = 0 II/ Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn PT bËc 2: Bµi to¸n 1: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña PT B2 - XÐt hÖ sè a. Cã thÓ cã 2 tr-êng hîp x¶y ra: *Tr-êng hîp a = 0 víi 1 vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã (1) trë thµnh pt b1: bx + c = 0 (2) -NÕu b  0 ( víi m = m0 ), pt (2) cã 1 nghiÖm lµ x  c (còng lµ nghiÖm b cña(1)) -NÕu b = 0 vµ c =0 ( víi m = m0 ), pt (2) v« ®Þnh  pt (1) v« nghiÖm. -NÕu b = 0 vµ c  0 ( víi m = m0 ), pt (2) v« ®Þnh  pt (1) nghiÖm *Tr-êng hîp a  0: b  2a b - NÕu  = 0 : pt (1) cã 2 nghiÖm kÐp : x1 = x2 =  2a - NÕu  < 0 : pt (1) v« nghiÖm / R . - NÕu  > 0 : pt (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x1, 2  12 - KÕt luËn : Tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 2: §iÒu kiÖn cã nghiÖm cña PT bËc 2. 2.a, PT cã nghiÖm: C1, a= 0 , b  0 C2, HoÆc a  0 ,   0. C3, T×m sè  sao cho a.f(  ) < 0 C4, T×m 2 sè  ,  sao cho f(  ).f(  ) < 0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m ph¶i t×m lµ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ a) hoÆc b) a  0   0 2.b, PTcã 2 nghiÖm ph©n biÖt:  2.c, PT cã 1 nghiÖm: a  0  b  0 hoÆc a.c < 0 a  0   0 HoÆc  Bµi to¸n 3: DÊu cña nghiÖm sè cña PT bËc 2 (T×m §K cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh (1) t/m·n) a  0;   0 P  0 3.a, Cã 2 nghiÖm cïng dÊu :   P  x1.x2  0 3.b, Cã 2 nghiÖm d-¬ng: 3.d, Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu :  a.c  0 HoÆc a.f(0) < 0 a  0;   0  c b   P  a  0; S  a  0 3.e, Cã 1 nghiÖm ©m, 1 nghiÖm kh«ng ©m : ( HoÆc cã Ýt nhÊt 1N0 kh«ng ©m ) a  0;   0 3.c, Cã 2 nghiÖm ©m :  c b  P  a  0; S  a  0 a  b  c  0 HoÆc  a.c  0 a  0;   0  b c   S  a  0; P  a  0 3.g, Cã Ýt nhÊt 1nghiÖm  0 : a  0;   0  . b  S   0  a Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT (1) cã 1 nghiÖm x1 t×m nghiÖm kia a, T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT cã 1 nghiÖm x1 t×m nghiÖm kia:  T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr-íc cã hai c¸ch lµm +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm:   0 (*) - Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®-îc gi¸ trÞ cña tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®-îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn +) C¸ch 2: - Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®-îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®-îc cña tham sè vµo PT vµ gpt HoÆcTÝnh x2 nhê Vi-et x2 = S – x1 Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo PT ®· cho mµ PT bËc hai nµy cã  < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr-íc. b, T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT (1) cã nghiÖm nµy b»ng k lÇn nghiÖm kia: - B1: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm a  0;   0 - B2: NghiÖm nµy b»ng k lÇn nghiÖm kia nªn:  x1  kx2  x1  kx2  0  x  kx    x  kx  0  (x1 – kx2). (x2 – kx1) = 0. 1 1  2  2 -B3 : BiÕn ®æi ®¼ng thøc trªn vÒ tæng ; tÝch sau ®ã dïng ®Þnh lÝ Vi-et. Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó Pt (1) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc : 13 (C¸c hÖ thøc lµ biÓu thøc ®èi xøng ( HoÆc kh«ng ®èi xøng ) gi÷a c¸c nghiÖm) 1, Ph-¬ng ph¸p chung: B1: - §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm a  0;   0 (*) - TÝnh gi¸ trÞ cña S , P theo m : Víi ®k (*) pt cã 2 nghiÖm t/m : b  S  x1  x 2   a   P  x .x  c (2) 1 2  a B2: BiÕn ®æi hÖ thøc ®· cho sao cho cã d¹ng chøa S vµ P. ( HoÆc rót x1 hay x2 tõ ®k ®Ò bµi – nÕu bthøc cho kh«ng ®èi xøng). B3: Thay c¸c gi¸ trÞ cña S , P tÝnh ®-îc ë B1 ta tÝnh ®-îc m. B4: Chän c¸c gi¸ trÞ cña m t/m ®k (*). 2, C¸c hÖ thøc ®èi xøng th-êng g¨p vµ c¸ch biÕn ®æi:: *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = m *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p = n *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp = k *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x  x 2  2a 1 1 S  2a   1  =k x1  a x 2  a ( x1  a)( x 2  a) p  aS  a 2 *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = h *) x  x2 1 1 S   1 = =m p x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1  x 2 S2  2p *) = =n   p x 2 x1 x1 x 2 2 2 (C¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tr-íc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) ) Bµi to¸n 6:LËp PT BËc hai. A/ Bµi to¸n ThiÕt lËp PT bËc 2 nhê hÖ thøc Vi-et : 1,C¬ së ®Ó thiÕt lËp PT B2 lµ nhê hÖ thøc Vi-et: b  S  x1  x 2   a NÕu  Th× x1,x2 lµ 2 nghiÖm cña PT X2 - S X+ P = 0,Víi  = S2 – c  P  x .x  1 2  a 4SP  0 2 , Ph-¬ng ph¸p : G/sö PT B2 cÇn t×m cã d¹ng X2 - S X + P = 0 (1) mµ c¸c nghiÖm cña (1) t/m ®k cho tr-íc lµ 1 biÓu thøc (*) liªn hÖ gi÷a nghiÖm cña (1) víi nghiÖm cña PT B2 cho tr-íc ax2 + bx + c = o (2), ta lµm nh- sau: - Tõ PT (2) ta tÝnh ®-îc S vµ P (3) - BiÕn ®æi bthøc (*) liªn hÖ gi÷a N0 cña (1) víi nghiÖm cña PT (2) råi thay gi¸ trÞ cña S,P ë (3) vµo ta tÝnh ®-îc hÖ sè cña X trong PT cÇn t×m. B/ Bµi to¸n lËp PT bËc 2 nhê sù t-¬ng giao gi÷a ®å thÞ cña hµm sè bËc 1, bËc 2 vµ trôc to¹ ®é (Hay x¸c ®Þnh parabol y =ax2 + bx + c (P) ): ( Xem phÇn hµm sè) 14 Bµi to¸n 7: Quan hÖ nghiÖm cña 2 PT B2 : a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ( a1  0 ) (1) a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ( a2  0 ) (2) 7.a :X¸c ®Þnh c¸c tham sè ®Ó 2PT cã nghiÖm chung a x  b x  c  0  §K cÇn : Gi¶ sö 2 pt cã nghiÖm chung x0 , khi ®ã ta cã hÖ :  1 0 2 1 0 1 2 a 2 x0  b2 x0  c 2  0 Tõ hÖ ta x¸c ®Þnh ®-îc tham sè.  §K ®ñ : Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®-îc ë trªn vµo 2 pt cho ®Ó t×m nghiÖm chung./. 7.b :§Þnh c¸c t/ sè ®Ó 2PT cã nghiÖm sao cho 1 nghiÖm cña PT1 = k lÇn 1 nghiÖm cña PT2. B1: Gäi x0 lµ 1 nghÖm cña (2) th× kx0 ( k  0 ) lµ 1 nghiÖm cña (1). 2  a 2 x0  b2 x0  c2  0 Khi ®ã , x0 lµ nghiÖm cña hÖ:  2  a1 (kx0 )  b1 (kx0 )  c1  0 B2: Gi¶i hÖ trªn t×m x0 . Suy ra m. B3: LÊy gi¸ trÞ cña m thÕ vµo (1) vµ (2) ®Ó kiÓm tra. 7.c: Bµi to¸n më réng : 1, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiÖm chung : - Chøng minh ®¼ng thøc , b®t gi÷a c¸c hÖ sè, .... - NghiÖm cßn l¹i cña 2 pt cho lµ nghiÖm cña pt thø 3. - 2 nghiÖm cßn l¹i cña 2 pt lµ 2 nghiÖm h÷u tØ ph©n biÖt. 2, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiÖm chung: T×m GTLN _ GTNN cña biÓu thøc cho. Bµi to¸n 8: TÝnh GTLN _ GTNN cña biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm cña PT B2 ( Më réng víi HPT ®èi xøng ) - §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm a  0;   0 (*) ( Víi hÖ PT bËc nh©t 2 Èn: x, y lµ nghiÖm cña PT X 2+ SX+P=0.Tøc lµ §K tån t¹i x,y lµ  X  0 ) - §-a biÓu thøc vÒ d¹ng biÓu thøc cã chøa c¸c §T§XCB - XÐt miÒn gi¸ trÞ cña biÓu thøc ta t×m ®-îc GTLN – GTNN cña bthøc. (Dïng §K cã nghiÖm cña PTB2,T/C B§T, Cosi, Bunhiacopki ...) Bµi to¸n 9: TÝnh GT cña biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm cña PT mµ kh«ng GPT. - §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm a  0;   0 (*) - Sö dông hÖ thøc Vi-et : S , P. (*) - BiÕn ®æi BT ®· cho vÒ d¹ng §T§XCB. - Thay gi¸ trÞ ë (*) vµo ta t×m ®-îc GTBT. Bµi to¸n 10: VÒ nghiÖmnguyªn – nghiÖm h÷u tØ cña PT B2. a/ T×m nghiÖm nguyªn cña PT: b/ T×m nghiÖm h÷u tØ cña PT : ( Sö dông nghiÖm cña ®a thøc) - NghiÖm nguyªn cña ®a thøc nÕu cã ph¶i lµ ¦(c). - NÕu a lµ nghiÖm nguyªn cña f(x) vµ f(1), f(-1)  0 Th× f(1)/ (a - 1)vµ f(-1)/(a + 1)  Z. - §thøc cã hÖ sè  Z ,N0 h.tØ (nÕu cã) p¶i cã d¹ng p/q trong ®ã p  ¦(c),q ¦(a). c/ T×m m ®Ó PT cã nghiÖm h÷u tØ: - XÐt a = 0. PT trë thµnh PT B1, ta ®-îc nghiÖm h÷u tØ. - XÐt a  0 .TÝnh  . PT cã nghiÖm h÷u tØ khi  lµ sè chÝnh ph-¬ng. Bµi to¸n 11: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm PT mµ kh«ng phô thuéc tham sè m: - §iÒu kiÖn ®Ó PT cã nghiÖm : a  0 ;   0 - LËp S vµ P ( Phô thuéc theo m). 15 - Khö m ®Ó lËp 1 hÖ thøc gi÷a P vµ S: B»ng c¸c phÐp b®æi (Ch¼ng h¹n S – 2P hay 2S + P,...) - Thay S = x1 + x2 vµ P = x1.x2ta ®-îc hÖ thøc cÇn t×m.  Chó ý:NÕu S hay P lµ h»ng sè th× ta cã ngay hÖ thøc cÇn t×m. Bµi to¸n 12 : So s¸nh sè nghiÖm cña PT B2 víi 1 sè thùc  ,  cho tr-íc ( ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o vÒ tam thøc bËc 2 ) Tam thøc bËc 2 f(x) = ax2 + bx + c ( a  0 ) , (1)  lµ sè thùc  x  x1  (1) cã nghiÖm víi  x ( x1 < x2 ) :   > 0  x  x2 a > 0  * HoÆc ( 1 ) cã nghiÖm víi mäi x  R   < 0 b * HoÆc ( 1 ) cã nghiÖm víi mäi x    =0 2a a < 0  (1) v« nghiÖm víi  x   > 0 a > 0  (1) cã nghiÖm víi  x   > 0 ( x1 < x < x2 ) n»m trong kho¶ng 2 nghiÖm : x1 <  < x2 : a.f(  ) < 0 . *f(x) < 0, a < 0 *f(x) > 0 , *f(x) > 0 , *f(x) < 0 , 12.a, §K ®Ó  ,  12.b , §K ®Ó  n»m ngoµi kho¶ng 2 nghiÖm : * x1< x2 *  < x1 < x2   0 a. f ( )  0    a. f (  )  0     b    2a    0   a. f ( )  0  b    2a    0  <   a. f ( )  0  b    2a *  < x1 < x2 < 12.c, §K ®Ó  ,  n»m ngoµi kho¶ng 2 nghiÖm :    0   < x1 < x2 <   a. f ( )  0; a. f (  )  0  b    2a  12. d, §K ®Ó f cã 2 nghiÖm trong ®ã c¸c nghiÖm xen kÏ víi  vµ  : a. f (  )  0 a. f ( )  0 *  < x1 <  < x2   a. f (  )  0 a. f ( )  0 a.f(  ) = 0 * x1 <  < x2 <    12.e , §K ®Ó f cã 2 nghiÖm mµ 1 trong 2 nghiÖm b»ng  : --------------------------------------------------@@@-----------------------------------------------PhÇn V / gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp pT – Hpt. I/ Phương pháp chung : Bước 1: Lập PT -HPT * Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn * Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết * Lập PT - Hệ phương trình Bước 2: Giải PT - HPT 16 Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không( Loại bỏ giá trị không thích hợp) rồi kết luận và trả lời. II/ Một số chú ý. Khi lập các PT ta thường phải vận dụng các kiến thức về các tương quan tỉ lệ,đặc biệt là tương quan tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch( Các quy tắc tam suất). Cụ thể: 1- Sự liên hệ giữa các đại lượng trong toán chuyển động: S = v.t 2- Sự liên hệ giữa số và chữ số: abc  100a  10b  c ;với a,b,c  N; 1  a  9, 0  b, c  9 3- Sự liên hệ giữa lượng riêng (d);K.lượng (m);Thể tích (V) trong vật lý 4- Sự liên hệ giữa số tiền phải trả (P). Số đơn vị mua (x), giá tiền mỗi đơn vị hàng hóa (y): P = xy 5- Sự liên hệ giữa khối lượng công việc,thời gian hoàn thành, số người, năng suất lao động của mỗi người,,hoặc khối lượng nước và công suất của các vòi nước,… NS  CV ; TG + Sau khi chọn ẩn và đặt ĐK ta cần lưu ý biểu thị đầy đủ các đại lượng bài toán ra và dựa vào sự tương quan giữa các đại lượng lập PT,HPT. --------------------------------------------------@@@------------------------------------------------