ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
MỤC LỤC
PHẦN I – ĐỀ BÀI ............................................................................................................................... 4
GIỚI HẠN DÃY SỐ ........................................................................................................................... 4
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ............................................................................................. 4
B – BÀI TẬP ....................................................................................................................................... 4
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ........................................................................ 4
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ
BẢN ................................................................................................................................................ 7
GIỚI HẠN HÀM SỐ ......................................................................................................................... 15
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................ 15
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 15
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ................... 15
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
........................................................................ 18
0
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
....................................................................... 23
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC........................................... 27
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ........................................................................................... 29
HÀM SỐ LIÊN TỤC ......................................................................................................................... 32
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ........................................................................................... 32
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 32
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ...................................................... 32
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ........................................... 37
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................... 41
ÔN TẬP CHƯƠNG IV...................................................................................................................... 42
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI........................................................................................................ 50
GIỚI HẠN DÃY SỐ ......................................................................................................................... 50
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ........................................................................................... 50
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 50
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ...................................................................... 50
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ
BẢN .............................................................................................................................................. 55
GIỚI HẠN HÀM SỐ ......................................................................................................................... 78
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................ 78
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 78
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ................... 78
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
........................................................................ 85
0
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
....................................................................... 95
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ......................................... 106
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ......................................................................................... 110
HÀM SỐ LIÊN TỤC ....................................................................................................................... 118
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP .......................................................................................... 118
B – BÀI TẬP ................................................................................................................................... 118
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM .................................................... 118
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ......................................... 126
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................. 135
ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ..................................................................................................... 136
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
PHẦN I – ĐỀ BÀI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim
0 (k )
lim 0 ;
k
n n
n n
lim q n 0 ( q 1) ;
n
lim C C
n
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
u
a
lim n
(nếu b 0)
vn b
b) Nếu un 0, n và lim un= a
thì a 0 và lim
un a
c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q 1
1 q
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n
lim n k (k )
lim qn (q 1)
2. Định lí:
a) Nếu lim un thì lim
1
0
un
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim
un
vn
=0
c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
u
neáu a.vn 0
thì lim n =
neáu a.vn 0
vn
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
neáu a 0
thì lim(un.vn) =
neáu a 0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0
định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử
0
dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
cho un a n na .
Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un l ) 0 .
Để chứng minh lim un ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
nM sao cho un M n nM .
Để chứng minh lim un ta chứng minh lim(un ) .
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un , thì lim un .
C. Nếu lim un 0 , thì lim un 0 .
B. Nếu lim un , thì lim un .
D. Nếu lim un a , thì lim un a .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1
bằng:
n 1
A. 0
B. 1
1
Câu 3. Giá trị của lim k ( k *) bằng:
n
A. 0
B. 2
2
sin n
Câu 4. Giá trị của lim
bằng:
n2
A. 0
B. 3
Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng:
A.
B.
2
1 n
Câu 6. Giá trị của lim
bằng:
n
A.
B.
2
Câu 7. Giá trị của lim
bằng:
n 1
A.
B.
cos n sin n
Câu 8. Giá trị của lim
bằng:
n2 1
A.
B.
n 1
Câu 9. Giá trị của lim
bằng:
n2
A.
B.
3
3n n
Câu 10. Giá trị của lim
bằng:
n2
A.
B.
2n
Câu 11. Giá trị của lim
bằng:
n 1
A.
B.
2n 1
Câu 12. Giá trị của A lim
bằng:
n2
A.
B.
2n 3
Câu 13. Giá trị của B lim 2
bằng:
n 1
A.
B.
Giới hạn – ĐS> 11
Câu 2. Giá trị của lim
n2 1
bằng:
n 1
A.
B.
n2 n
Câu 15. Giá trị của A lim
bằng:
2n
C. 2
D. 3
C. 4
D. 5
C. 5
D. 8
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 2
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
1
2
D. 1
Câu 14. Giá trị của C lim
A.
B.
n sin n 3n 2
Câu 16. Giá trị của B lim
bằng:
n2
A.
B.
C.
C. 3
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1
bằng:
n 2 n 7
A.
B.
4n 1
Câu 18. Giá trị của D lim
bằng:
n 2 3n 2
A.
B.
n
a
Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng:
n!
A.
B.
n
Câu 20. Giá trị của lim a với a 0 bằng:
A.
B.
Câu 17. Giá trị của C lim
Giới hạn – ĐS> 11
2
C. 0
D. 1
C. 0
D. 4
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
f (n )
Khi tìm lim
ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
g ( n)
mẫu.
Khi tìm lim k f (n) m g (n) trong đó lim f ( n) lim g ( n) ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
a b a b a b;
3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b
Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử
và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số un với un
1
.
2
n cos 2n
Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2
là:
n 1
A.
1
.
4
n
u
1
và n 1 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
n
4
un
2
B.
Câu 3. Giá trị của. A lim
D.
B.
1
.
4
C.
2
3
D. 1
4n 2 3n 1
bằng:
(3n 1)2
A.
Câu 5. Kết quả đúng của lim
A.
C. –4.
2n 1
bằng:
1 3n
A.
Câu 4. Giá trị của. B lim
D. 1 .
B. 5.
A. 4.
C. 0 .
3
.
3
Câu 6. Giới hạn dãy số un
B.
C.
4
9
D. 1
n 2 2n 1
là
3n 4 2
2
B. .
3
3n n 4
với un
là:
4n 5
1
C. .
2
D.
1
.
2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. .
B. .
C.
n3 2n 5
Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim
:
3 5n
2
A. 5 .
B. .
5
2
2n 3n 1
Câu 8. Giá trị của A lim 2
bằng:
3n n 2
B.
A.
Câu 9. Giá trị của B lim
n 3n2 1
A.
A.
2
Câu 11. Giá trị của D lim
A.
3
3
bằng:
2n 4 n 2 n
C.
Câu 15. Giá trị của. D lim
A.
1 3 3
4
2 1
D. 1
3n3 1 n
bằng:
2n 4 3n 1 n
A.
B.
(n 2)7 (2n 1)3
Câu 13. Giá trị của. F lim
bằng:
(n 2 2)5
A.
B.
n3 1
Câu 14. Giá trị của. C lim
bằng:
n(2n 1) 2
A.
D. 1
bằng:
B.
Câu 12. Giá trị của C lim
1
1 3
D.
9
n 1 3n 2
4
D. 1
C. 16
4
n17 1
B.
4
D. .
C. 0
1 n 2
2
2
3
D. 0 .
bằng:
B.
2n
Câu 10. Giá trị của C lim
C. .
C.
n 2 2n
3
.
4
Giới hạn – ĐS> 11
C. 0
D. 1
C. 8
D. 1
B.
C.
1
4
D. 1
n3 3n 2 2
bằng:
n 4 4n3 1
B.
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
3
Câu 16. Giá trị của. E lim
A.
n 2n 1
bằng:
n2
B.
4
Câu 17. Giá trị của. F lim
A.
4
n 2n 1 2n
3
3n3 n n
B.
bằng:
C.
3
3
3 1
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 18. Cho dãy số un với un n 1
A. .
Câu 19. lim
B. 0 .
10
n4 n2 1
2n 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n n2 1
C. 1 .
D. .
4
bằng :
C. 0 .
B. 0 .
A. 1 .
A. 0 .
1 3 5 .... 2n 1
3n2 4
1
B. .
3
Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3
A. 4 .
Câu 23. Giá trị của D lim
1
D. .
2
2
C. .
3
D. 1 .
C. 2 .
D.
n2 1 1
.
3 n2 2n
B. 3 .
1
.
2
ak n k ... a1n a0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak b p 0 ).
bp n p ... b1n b0
bằng:
A.
B.
2 5n 2
Câu 24. Kết quả đúng của lim n
là:
3 2.5n
5
1
A. .
B. .
2
50
n
n 1
3 4.2 3
Câu 25. lim
bằng:
3.2n 4n
A. .
B. .
3.2 n 3n
Câu 26. Giá trị của C lim n 1 n 1 bằng:
2 3
A.
D. .
C. 1
B. 10 .
n 1 4
Câu 20. Tính giới hạn: lim
n 1 n
A. .
Câu 21. Tính giới hạn: lim
Giới hạn – ĐS> 11
B.
C. Đáp án khác
D. 1
5
.
2
D.
C. 0 .
D. 1 .
1
3
D. 1
C.
C.
25
.
2
Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là:
A. .
B. .
3.2n 3n
Câu 28. Giá trị của. K lim n 1 n 1 bằng:
2 3
1
A.
B.
3
5n 1
Câu 29. lim n
bằng :
3 1
A. .
B. 1 .
C. 2 .
D. 2 .
C. 2
D. 1
C. 0
D. .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 9
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 30. lim 4
Giới hạn – ĐS> 11
4n 2n 1
bằng :
3n 4 n 2
1
B. .
2
3.3n 4n
Câu 31. Giá trị của. C lim n 1 n 1 bằng:
3 4
1
A.
B.
2
1
C. .
4
D. .
C. 0
A. 0 .
D. 1
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn I lim
1 a a 2 ... a n
.
1 b b 2 ... b n
1 b
1 a
k
k 1
a .n a n ... a1n a0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim k p k 1 p 1
với ak b p
bp .n b p 1n ... b1n b0
A.
B.
C. Đáp án khác
n
Câu 34. lim n 2 sin
2n3 bằng:
5
A. .
B. 0 .
C. 2 .
B.
A.
Câu 35. Giá trị của. M lim
Câu 36. Giá trị của. H lim
Câu 38. Giá trị đúng của lim
Câu 40. Giá trị của B lim
A.
D. 1
C. 0
D. 1
1
2
D. 1
n 1 n bằng:
C.
n 2 1 3n 2 2 là:
C. 0 .
D. 1 .
C. 3
D. 1
C. 0
D. 3
n 2 6n n bằng:
3
n3 9n 2 n bằng:
B.
A.
Câu 41. Giá trị của D lim
2
B.
1
2
C.
2n 2 1 n bằng:
A.
D. 1
B. .
A. .
D. .
n n 1 n bằng:
B.
A.
D. 1
C. 3
2
B.
Bài 40. Giá trị của K lim n
.:
A.
0
B.
A.
Câu 39. Giá trị của A lim
D. 1
n 2 6n n bằng:
B.
A.
Câu 37. Giá trị của B lim
C.
2
3
3
n 2n n 2n
B.
2
bằng:
C.
1
3
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 10
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 42. Giá trị của. M lim
A.
1
12
3
1 n 2 8n3 2n bằng:
B.
Câu 43. Giá trị của. N lim
C. 0
Câu 44. Giá trị của. K lim
4n 2 1 3 8n3 n bằng:
C. 0
Câu 45. Giá trị của. N lim
D. 1
3
n3 n 2 1 3 4n 2 n 1 5n bằng:
B.
A.
D. 1
B.
A.
C.
5
12
n3 3n 2 1 n bằng:
B.
C. 0
Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
Câu 47. Giá trị của. H lim n
Câu 48. Giá trị của A lim
3
D. 1
D. .
8n3 n 4n 2 3 bằng:
B.
C.
2
3
n 2 2n 2 n bằng:
B.
C. 2
Câu 49. lim 5 200 3n5 2n 2 bằng :
A. 0 .
B. 1 .
C. .
3
2n sin 2n 1
Câu 50. Giá trị của. A lim
bằng:
n3 1
A.
B.
C. 2
n
n!
Câu 51. Giá trị của. B lim
bằng:
3
n 2n
A.
B.
C. 0
n 1
Câu 52. Giá trị của. D lim
bằng:
2
2
n ( 3n 2 3n 2 1)
2
A.
B.
C.
3
Câu 53. Giá trị của. E lim( n 2 n 1 2n) bằng:
A.
B.
Câu 54. Giá trị của. F lim
A.
D. 1
A.
D. 1
3
A.
A.
Giới hạn – ĐS> 11
D. 1
D. .
D. 1
D. 1
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
n 1 n bằng:
B.
k
2
p
2
Câu 55. Giá trị của. H lim( n 1 n 1) bằng:
A.
B.
C. Đáp án khác
D. 1
1
1
1
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un
:
...
2 1 2 3 2 2 3
( n 1) n n n 1
A.
B.
C. 0
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 11
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
(n 1) 13 23 ... n3
:
3n3 n 2
1
C.
D. 1
9
n(n 1)
1
1
1
.:
(1 )(1 )...(1 ) trong đó Tn
2
T1
T2
Tn
1
C.
D. 1
3
23 1 33 1 n 3 1
.:
3 . 3 .... 3
2 1 3 1 n 1
2
C.
D. 1
3
n
2k 1
k .:
2
k 1
C. 3
D. 1
2
n
.:
q 2 q ... nq với q 1
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số u n
A.
B.
C.
q
1 q
D.
2
q
1 q
2
n
n
k 1 n k
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un
A.
2
B.
C. 3
3
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B lim
A.
B.
Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C lim
A.
A.
B.
6
D. 1
4
n n 1 4 n 2n 1
(2n 3)2
.:
C. 3
D.
D.
3
4
.:
C. 3
B.
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D lim
.:
4n 2 n 1 2n
n 2 n 1 2 3 n3 n 2 1 n
C.
1
6
1
2
Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 , xn 1 xn xn ,n 1
2
1
1
1
Đặt S n
. Tính lim Sn .
x1 1 x2 1
xn 1
A.
B.
C. 2
1 2
k
Câu 67. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk ...
2! 3!
( k 1)!
1
4
.:
D. 1
D. 1
n
n
Tìm lim un với un n x1n x2 ... x2011 .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 12
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
B.
C. 1
Giới hạn – ĐS> 11
1
2012!
D. 1
u0 2011
u3
Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi:
. Tìm lim n .
1
n
un1 un u 2
n
A.
B.
C. 3
x 1 1
Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: f ( x)
. Tìm 0; .
x
A.
B.
C. 2010
n. 1 3 5 ... (2n 1)
Câu 70. Tìm lim un biết un
2n 2 1
1
A.
B.
C.
2
3
x 2 2x 1
khi x 1
Câu 71. Tìm lim un biết f ( x )
x 1
3m 2
khi x 1
D. 1
D. 1
D. 1
3
A.
B.
1
2012!
C. 2
D.
x 1 1
khi x 0
Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)
x
2 x 2 3m 1 khi x 0
A.
B.
C. 2
2x 4 3
khi x 2
Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)
trong đó x 1 .
x 1
khi x 2
2
x 2mx 3m 2
1
A.
B.
C.
3
n
1
Câu 74. Tìm lim un biết un
k 1
n2 k
A.
B.
C. 3
6
2
D. 1
D. 1
D. 1
Câu 75. Tìm lim un biết un 2 2... 2
n dau can
A.
B.
C. 2
Câu 76. Gọi g ( x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f ( x) lim
x 2
A.
B.
C.
2
4
3
x2
D. 1
2x 4 3 3 .
D. 1
2
1
1
1
2
2
Câu 77. Cho dãy số A x12 x1 x2 x1 x2 x2 x12 x2 3 0 được xác định như sau
2
4
2
x1 x2 .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 13
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đặt x
Giới hạn – ĐS> 11
3
. Tìm x3 2 x 3 3 2 x 4 0 .
2
1
D. 1
2
Câu 78. Cho a, b , (a, b) 1; n ab 1, ab 2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v) sao cho
B.
A.
n au bv . Tìm lim
n
A.
C.
rn
1
.
n ab
B.
C.
1
ab
D. ab 1
1
u1 2
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
. Tìm kết quả đúng của lim un .
1
un 1
, n 1
2 un
1
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D.
2
1
1 1 1
Câu 80. Tìm giá trị đúng của S 2 1 ... n ....... .
2
2 4 8
1
A. 2 1 .
B. 2 .
C. 2 2 .
D. .
2
1
1
1
Câu 81. Tính giới hạn: lim
....
n n 1
1.2 2.3
A. 0
B. 1 .
3
C. .
2
D. Không có giới
2
C. .
3
D. 2 .
hạn.
1
1
1
Câu 82. Tính giới hạn: lim
....
n 2 n 1
1.3 3.5
A. 1 .
B. 0 .
1
1
1
Câu 83. Tính giới hạn: lim
....
n n 2
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
C. 0 .
4
1
1
1
Câu 84. Tính giới hạn: lim
.
...
n(n 3)
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
C. 1 .
18
1
1
1
Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 ... 1 2 .
2 3 n
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4
2
D. .
3
D.
3
.
2
D.
3
.
2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 14
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x x0 ;
lim c c
x x0
x x0
(c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu lim f ( x ) L và lim g( x ) M
x x0
x x0
thì: lim f ( x ) g( x ) L M
x x0
lim f ( x ) g( x ) L M
x x0
lim f ( x ).g( x ) L.M
x x0
f ( x) L
(nếu M 0)
x x0 g( x )
M
b) Nếu f(x) 0 và lim f ( x ) L
lim
x x0
thì L 0 và lim
x x0
f (x) L
c) Nếu lim f ( x ) L thì lim f ( x ) L
x x0
x x0
3. Giới hạn một bên:
lim f ( x ) L
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) L
x x0
x x0
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
neáu k chaün
lim x k ; lim x k
x
x
neáu k leû
c
lim c c ;
lim
0
x
x x k
1
1
lim ;
lim
x 0 x
x 0 x
1
1
lim lim
x0 x
x 0 x
2. Định lí:
Nếu lim f ( x ) L 0 và lim g( x ) thì:
x x0
x x0
neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu
x x0
lim f ( x )g( x )
neáu L vaø lim g( x ) traùi daáu
x x0
x x0
0 neáu lim g( x )
x x0
f (x)
neáu lim g( x ) 0 vaø L .g( x ) 0
lim
x x0 g( x )
x x0
neáu xlim g( x ) 0 vaø L .g( x ) 0
x0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
,
0
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT
ĐIỂM
Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 )
+ Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).
x3 2 x 2 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
là:
x 1
2 x5 1
1
1
A. 2 .
B. .
C. .
D. 2 .
2
2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 15
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
4 x3 1
bằng:
x 2 3 x 2 x 2
Câu 2. lim
11
11
..
C. . .
4
4
x 1
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1 x 2
A.
B.
C. 2
3
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x 1 bằng định nghĩa.
A . .
B.
D. .
D. 1
x2
B.
C. 9
x3 2
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
A.
B.
C. 2
x3
bằng định nghĩa.
x2
A.
B.
C. 2
2
2x x 1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x
x2
A.
B.
C. 2
3x 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1 2 x 1
A.
B.
C. 5
D. 1
D.
1
4
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim
x
D. 1
D. 1
D. 1
2
Câu 9. Cho hàm số f ( x)
5
.
9
4 x 3x
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) :
x 2
2 x 1 x3 2
5
5
.
C.
.
3
9
x4 2
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 0
2x
1
A.
B.
C. 2
8
4x 3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1 x 1
A.
B.
C. 2
3x 1
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 2 x 2
A.
B.
C. 2
2x2 x 3
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
B. 5
C. 2
x 1
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
4
x2
2 x
A.
A.
B.
B.
C. 2
D.
2
.
9
D. 1
D. 1
D. 1
D. 1
D. 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 16
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giới hạn – ĐS> 11
3x 2
bằng định nghĩa.
x 2 x 2 1
3
A.
B.
C.
2
2
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x x 1 bằng định nghĩa.
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim
x
A.
D. 1
B.
C. 2
D. 1
2
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim
x 2
A.
x 4
x
4
B.
1 2 x
bằng định nghĩa.
C. 0
D. 1
2
x 3x 2
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
B.
C. 2
2
x x 1
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
1
A.
B.
C.
2
2 tan x 1
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩa.
sin x 1
x
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim
D. 1
D. 1
6
A.
B.
C.
4 36
9
D. 1
3
x 2 x 1
bằng định nghĩa.
x 0
3x 1
A.
B.
C. 3 2 1
3
7x 1 1
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim
bằng định nghĩa.
x 1
x2
A.
B.
C. 2
x 1
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim 2
bằng định nghĩa.
x 2 x x 4
1
A.
B.
C.
6
2
sin 2x 3cos x
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩa.
tan x
x
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim
D. 1
D. 3
D. 1
6
A.
B.
C.
3 3 9
4
2
2x2 x 1 3 2x 3
bằng định nghĩa.
x 1
3x 2 2
3 3 9
A.
B.
C.
4
2
3x 1 2
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim 3
bằng định nghĩa.
x 1
3x 1 2
D. 1
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim
D.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
235
Trang 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
B.
C.
1
6
Giới hạn – ĐS> 11
D. 0
x 2 3 khi x 2
Câu 27. Cho hàm số f x
. Chọn kết quả đúng của lim f x :
x2
x 1 khi x 2
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
D. Không tồn tại.
2
x ax 1 khi x 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f ( x) 2
.
2 x x 1 khi x 2
1
A.
B.
C.
D. 1
2
5ax 2 3 x 2a 1
khi x 0
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 f ( x)
.
2
1 x x x 2 khi x 0
A.
B.
2
2
khi x 0
C.
5ax 2 3 x 2a 1
Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x)
2
1 x x x 2
A.
B.
D. 1
có giới hạn tại x 0
khi x 0
2
2
C.
D. 1
x 2 ax 1 khi x 1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x) 2
có giới hạn khi x 1 .
2 x x 3a khi x 1
A.
B.
C.
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
1
6
D. 1
0
0
P ( x)
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Q( x )
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai ax 2 bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích
1. L = lim
x x0
ax 2 bx c a ( x x1 )( x x2 ) .
+ an bn (a b)(a n1 a n2b ... abn 2 bn1 )
P ( x)
2. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x x0 Q ( x )
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ ( a b )( a b ) a b
3 2
3 2
3
3
3
+ ( a b )( a ab b ) a b
+ ( n a n b )( n a n 1 n a n 2b ... n b n 1 ) a b
P ( x)
3. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
x x0 Q ( x )
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Giả sử: P(x) =
m
u ( x) n v ( x) vôùi
m
Giới hạn – ĐS> 11
u ( x0 ) n v ( x0 ) a .
Ta phân tích P(x) = m u ( x ) a a n v ( x) .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như
sau: n u ( x) m v ( x ) ( n u ( x ) m( x)) ( m v ( x ) m( x)) , trong đó m( x) c .
x2 2x 1
là:
x 1 2 x 3 2
1
C. .
2
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A. .
B. 0 .
Câu 2. Tìm giới hạn A lim
x 1
x 3 3x 2 2
:
x2 4 x 3
B.
A.
Câu 3. Tìm giới hạn B lim
x2
C.
3
2
D. 1
x 4 5x 2 4
:
x3 8
B.
A.
D. .
C.
1
6
D. 1
C.
1
6
D. 25
(1 3x) 3 (1 4 x ) 4
:
x 0
x
Câu 4. Tìm giới hạn C lim
A.
B.
x 3
. Giá trị đúng của lim f x là:
x3
x2 9
A. . .
B. 0. .
C. 6. .
(1 x)(1 2 x)(1 3x ) 1
Câu 6. Tìm giới hạn D lim
:
x 0
x
1
A.
B.
C.
6
n
x 1
Câu 7. Tìm giới hạn A lim m
( m, n *) :
x 0 x 1
n
A.
B.
C.
m
n
1 ax 1
Câu 8. Tìm giới hạn B lim
( n *, a 0) :
x 0
x
a
A.
B.
C.
n
n
1 ax 1
Câu 8. Tìm giới hạn A lim m
với ab 0 :
x 0 1 bx 1
am
A.
B.
C.
bn
3 1 x 4 1 x 1
1 x
Câu 9. Tìm giới hạn B lim
với 0 . :
x 0
x
Câu 5. Cho hàm số f x
D. .
D. 6
D. m n
D. 1
n
a
D. 1
am
bn
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
B.
C. B
Giới hạn – ĐS> 11
4 3 2
D. B
4 3 2
2 x 2 5x 2
:
x 2 x 3 3x 2
Câu 10. Tìm giới hạn A lim
A.
Câu 11. Tìm giới hạn B lim
x 1
A.
1
5
D. 1
2x 3 x
:
x2 4 x 3
B.
3
Câu 13. Tìm giới hạn D lim
x0 4
C.
3
x 7
1
3
D. 1
x 1 1
:
2x 1 1
C.
2
3
D. 1
C.
B.
Câu 14. Tìm giới hạn E lim
A.
D. 1
C.
B.
x 3
A.
1
3
x 4 3x 2
:
x3 2 x 3
Câu 12. Tìm giới hạn C lim
A.
C.
B.
8
27
D. 1
4 x 1 x 2
:
4
2x 2 2
B.
(2 x 1)(3 x 1)(4 x 1) 1
:
x
9
A.
B.
C.
2
3
1 4x 1 6x
Câu 16. Tìm giới hạn M lim
:
x 0
x2
1
A.
B.
C.
3
m
n
1 ax 1 bx
Câu 17. Tìm giới hạn N lim
:
x 0
x
a b
A.
B.
C.
m n
m
n
1 ax 1 bx 1
Câu 18. Tìm giới hạn G lim
:
x 0
x
a b
A.
B.
C.
m n
Câu 15. Tìm giới hạn F lim
x 0
n
Câu 19.
A.
1 mx 1 nx
Tìm giới hạn V lim
x 0
B.
x2
D. 1
D. 0
D.
a b
m n
D.
a b
m n
D.
mn n m
2
m
:
C.
mn n m
2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 20
.PDF 
136 
2412 
130 
