Trên đây là tập hợp 189 bài tập hình học không gian về hai vấn đề thường xuất hiện trong đề thi là hình chóp và khoảng cách, giúp cho học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán hình học không gian. Với lời giải chi tiết tương đối đầy đủ, súc tích, dễ hiểu, đầy đủ dạng toán.
Hi vọng đây là tài liệu hỗ trợ các bạn học sinh hoàn thành tốt kì thi tuyển sinh đại học!
̉
̉
́
́
THÊ TÍ CH CHOP VÀ KHOANG CACH
Câu 1. (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a , góc BAD bằng 60 . Gọi
H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
bằng 45 . Tính thể tích của khối chóp S.AHCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
A. VS . AHCD
39 3
39
a ; d ( A, ( SCD))
a.
32
79
B. VS . AHCD
39 3
39
a ; d ( A, ( SCD))
a.
32
79
C. VS . AHCD
39 3
39
a ; d ( A, ( SCD ))
a.
32
79
D. VS . AHCD
39 3
39
a ; d ( A, ( SCD)) a.
32
79
Hướng dẫn giải
S
K
C
B
H
E
I
A
•
D
Ta có: SH ( ABCD) HC là hình chiếu vuông góc của SC trên
( ABCD) (SC,( ABCD)) SCH 45
Theo giả thiết BAD 60 BAD đều BD a; HD
AC 2 AI a 3
Xét SHC vuông cân tại H , theo định lý Pitago ta có:
2
2
13
a a 3
SH HC IC HI
2 4 a .
4
2
2
1
3
a 3
a; AI
và
4
2
1
1
1
39 3
SH .S AHCD SH . AC.HD
a
3
3
2
32
Trong ( ABCD) kẻ HE CD và trong (SHE) HK SE (1). Ta có:
Vậy VS . AHCD
•
CD HE
CD ( SHE ) CD HK (2)
CD SH ( SH ( ABCD))
Từ (1) và (2) suy ra HK (SCD) d ( H ,(SCD)) HK
Xét HED vuông tại E, ta có HE HD.sin 60
Xét SHE vuông tại H , ta có HK
Mà
3 3
a.
8
SH .HE
SH 2 HE 2
3 39
a.
4 79
d ( B, ( SCD)) BD 4
4
4
39
d ( B, ( SCD)) d ( H , ( SCD)) HK
a
d ( H , ( SCD)) HD 3
3
3
79
Do:
AB / /( SCD) dA, ( SCD)) d ( B, ( SCD))
Kết luận: VS . AHCD
39
a.
79
39 3
39
a ; d ( A, ( SCD))
a.
32
79
Câu 2. (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 1) – KHÁNH HÒA).
Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30 . M là trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM.
A. VS . ABC
a3 3
a 13
; d ( SB; AM )
24
13
B. VS . ABC
a3
a
; d ( SB; AM )
8
13
C. VS . ABC
a3 3
a 13
; d ( SB; AM )
8
13
D. VS . ABC
a3 3
a
; d ( SB; AM )
24
13
Hướng dẫn giải
2
S
K
C
A
F
x
J
M
I
B
( SAC ) ( ABC )
SH ( BAC )
( SAC ) ( ABC ) AC
Gọi H là trung điểm cạnh AC , ta có:
Theo đề bài: (SB,( ABC)) SBH 30 ;
BH
a 3
a 3 1
a
SH BH .tan 30
.
2
2
3 2
S ABC
a2 3
(đvdt).
4
1
1 a a 2 3 a3 3
VS . ABC SH .SABC . .
(đvtt).
3
3 2 4
24
Kẻ tia Bx song song với AM
(SBx) / / AM d (SB;( ABM )) d ( AM ;(SBx))
Kẻ HI Bx; HI AM {J};(SHI) (SBx),(SHI ) ( HBx) SI .
Kẻ HI SI , suy ra d ( H ;(SBx)) HK .
Tam giác vuông SHI :
1
1
1
1
1
52
3a
2
2 HK
.
2
2
2
2
HK
HI
HS
9a
52
3a a
4 2
3
Vì HK
3
2
a
a 13
IJ d ( SB; AM ) d ( J ;( SBx)) IJ HK
.
2
3
13
13
Câu 3. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG)
Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với
đáy ABCD. Cạnh bên SC tạo với đáy ABCD một góc
và tan
2
. Gọi M là trung điểm BC, N là
5
giao điểm của DM với AC, H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích hình chóp S.ABMN và
khoảng cách từ điểm H với mặt phẳng (SDM).
A. VS . ABMN
C. VS . ABMN
5a 3 2
a
; d ( H ;( SDM ))
18
3
3
B. VS . ABMN a 2; d ( H ;( SDM ))
a3 2
a
; d ( H ;( SDM ))
18
3
D. VS . ABMN
a 3
3
a3 3
; d ( H ;( SDM )) a
18
Hướng dẫn giải
S
K
H
D
A
N
B
C
M
E
Vì A là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) là
(SC; CA) SCA .
Tam giác ADC vuông tại D : AC
AD 2 CD 2 a 5
Tam giác SAC vuông tại A : SA AC.tan a 2
4
ABM và MCD vuông cân nên MA MD a 2
Theo định lý Pitago đảo, ta có AMD vuông tại M .
Vì MC / / AD nên
MN MC 1
1
a 2
MN MD
ND AD 2
3
3
Ta có: SBMN SABM SAMN
1
1
5a 2
AB.BM AM .MN
2
2
6
1
1
5a 2 5a 3 2
VS . ABMN SA.S ABMN a 2.
Tính thể tích khối chóp:
3
3
6
18
Vẽ AK SM tại K . Vì DM AM , DM SA nên DM (SAM ) DM AK
Suy ra AK (SDM )
Hai tam giác vuông AHS và AHB đồng dạng (g.g) nên
2
SH HA SA
HS HA SA
HS
2
.
2 HS SB
HA HB AB
HA HB AB
HB
3
Mà S (SDM ) nên d d ( H ;( SDM ))
2
d ( B;( SDM ))
3
Gọi giao AD và DM là E . Vì BM / / AD nên
Mà E (SDM ) nên d ( B;( SDM ))
Tam giá SAM vuông tại A nên
EB BM 1
EA AD 2
1
1
1
d ( A;( SDM )) d d ( A;( SDM )) AK
2
3
3
1
1
1
2
AK a .
2
AK
SA
AM 2
Vậy khoảng cách từ H đến (SDM ) là
a
3
Câu 4. (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A trong đó AB = AC = a , BAC = 120 ; mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
5
A. VS . ABC
a3
a 39
; R
8
6
a3 3
a
; R
8
6
B. VS . ABC
C. VS . ABC a ; R a 39
3
D. VS . ABC
a3
; Ra
8
Hướng dẫn giải
S
O
D
I
C
B
H
A
Gọi H là trung điểm của AB thì H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp. Ta có:
1
1 a 3 1
a3
VS . ABC SH .S ABC .
. .a.a.sin120
3
3 2 2
8
Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có
tam giác DAB đều và do đó DH AB . Suy ra DH (SAB) .
Từ D , dựng đường thẳng song song với đường thẳng SH thì là trục của đường tròn ngoại tiếp
đáy. Gọi I Là tâm tam giác đều SAB và trong mặt phẳng (SHD) , dựng đường thẳng d đi qua I
và song song với DH thì d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt cầu ( SAB) . Gọi O d thì O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . Ta có:
2
1 a 3
a 39
2
R OC OC DC .
.
a
3 2
6
2
2
Câu 5. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (LẦN 1) – ĐÀ NẴNG)
6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 . Gọi H là trung điểm
cạnh AB; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng CH và SD.
A. VS . ABCD
C. VS . ABCD
a3
a 26
; d (CH ; SD)
3
13
B. VS . ABCD
a 3 13
a 26
; d (CH ; SD)
3
13
D. VS . ABCD
a3
a 26
; d (CH ; SD)
3
26
a3 3
a
; d (CH ; SD)
3
13
Hướng dẫn giải
S
E
D
A
H
K
C
B
Vì H là trung điểm cạnh đáy AB của tam giác cân SAB trên SH AB . Mà (SAB) ( ABCD) nên
SH ( ABCD) .
Vẽ HK AC tại K . Vì AC HK , AC SH nên AC (SHK ) .
Suy ra AC SK
Vì AC (SAC ) ( ABCD) và AC SK , AC HK nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và ( ABCD)
là (SK ; HK ) SKH 60
H là trung điểm AB nên AH
AB a
2
2
7
ABCD là hình chữ nhật nên AC BD
Có AHK ~ ACB (g.g)
AB 2 AD 2 a 3
KH AH
BC AC
Tam giác SHK vuông tại H :
SH HK .tan 60
a
2
Thể tích khối chóp: VS . ABCD
1
1
a3
SH .S ABCD SH . AB. AD
(đvtt)
2
3
3
Gọi E là điểm đối xứng với H qua A . Vẽ HF DE tại F , HI SF tại I .
Vì DE HD, DE SH nên DE (SHF ) DE HI . Mà HI SF nên HI (SED)
Vì HE CD a, HE / /CD nên HEDC là hình bình hành.
Suy ra DE / /CH CH / /(SDE) . Mà SD (SDE ) nên khoảng cách giữa CH và SD bằng
d (CH ; SD) d (CH ;(SDE)) d ( H ;(SDE)) HI .
Tam giác DEA vuông tại A nên DE
Ta có: HFE
DAE (g,g)
3a
2
HD HE
HE.DA a 2
HF
DA DE
DE
3
Tam giác SHF vuông tại H nên:
Vậy d (CH ; SD )
AE 2 AD 2
1
1
1
a 26
HI
2
2
2
HI
HS
HF
13
a 26
13
Câu 6. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
SC hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc
4
5
với tan , AB = 3a và BC = 4a . Tính thể tích của
khối chóp S. ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
A. VS . ABCD 16a 3 ; d ( D;( SBC ))
12a
5
B. VS . ABCD 8a 3 ; d ( D;( SBC ))
8
6a
5
C. VS . ABCD 2a 3 ; d ( D;( SBC ))
2a
5
D. VS . ABCD 32a 3 ; d ( D;( SBC ))
24a
5
Hướng dẫn giải
S
H
D
A
3a
B
•
C
4a
Vì SA là đường cao của hình chóp S. ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng
( ABCD) . Suy ra góc giữa SC và ( ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SC và AC và bằng
góc SCA .
Xét ABD vuông tại B , ta có: AC
AB 2 BC 2 (3a)2 (4a)2 5a .
Xét SAC vuông tại A , ta có: SA AC.tan 5a.
4
4a .
5
1
1
3
3
Ta có AD / / BC nên AD / /(SBC) . Suy ra d ( D;(SBC)) d ( A;(SBC)) .
Vậy VS . ABCD .SA.S ABCD .4a.3a.4a 16a 3 (đvtt).
•
BC AB
BC ( SAB) . Lại có BC (SBC) (SBC) (SAB) .
BC SA
Ta có:
(SBC ) (SAB) SB . Từ A kẻ AH SB . Khi đó d ( D;(SBC)) d ( A;(SBC)) AH .
1
1
1
1
1
25
12a
2
AH
.
2
2
2
2
2
AH
AB SA (3a) (4a) 144a
5
12a
Vậy d ( D;( SBC )) d ( A;( SBC )) AH
.
5
Xét SAB vuông tại A , ta có:
Câu 7. (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 2))
9
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a , AC = 2a
và ASC = ABC = 90 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SBC).
A. VS . ABC
a3
105
; cos
4
35
B. VS . ABC
3a 3
105
; cos
4
5
C. VS . ABC
a3
105
; cos
3
7
D. VS . ABC
a3
105
; cos
2
35
Hướng dẫn giải
S
M
A
C
H
D
•
Kẻ SH vuông góc với AC( H AC) SH ( ABC)
SC BC a 3, SH
•
a 3
a2 3
, S ABC
2
2
1
a3
VS . ABC SABC .SH
3
4
Gọi M là trung điểm của SB và là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBC ) .
Ta có: SA AB a, SC BC a 3 .
AM SB và CM SB
cos cos AMC
•
SAC BAC SH BH
a 3
a 6
SB
2
2
2
AM là trung tuyến SAB nên: AM
2 AS 2 2 AB 2 SB 2 10a 2
a 10
AM
4
16
4
10
Tương tự: CM
Vậy: cos
a 42
AM 2 CM 2 AC 2
105
cos AMC
4
2. AM .CM
35
105
35
Câu 8. (THPT CHUYÊN PHÚ YÊN (LẦN 1) – PHÚ YÊN)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy, cạnh SC tạo với đáy góc 30 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SD. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AK, SC.
A. VS . ABCD
a3 2
a 3
; d ( AK , SC )
3
6
B. VS . ABCD
2a 3
a 3
; d ( AK , SC )
3
3
C. VS . ABCD
a3 3
a 6
; d ( AK , SC )
2
3
D. VS . ABCD
a3
2a
; d ( AK , SC )
3
3
Hướng dẫn giải
S
K
I
D
A
C
B
•
Tính thể tích:
Vì SA vuông góc với đáy nên góc giữa SC và ( ABCD) là SCA 30
ABCD là hình chữ nhật, tam giác ABD vuông tại A nên:
AC BD
AB 2 AD 2 a 3
Tam giác SAC vuông tại A : SA AC.tan 30 .
VS . ABCD
•
1
1
a3 2
.SA.S ABCD a.a.a 2
(đvtt)
3
3
3
Tính khoảng cách:
11
Vẽ AI SC tại I .
Vì SA CD, AD CD nên (SAD) CD
Suy ra AK CD . Mà AK SD nên AK (SCD)
Suy ra AK IK và AK SC .
AK SC, AI SC nên ( AKI ) SC SC IK .
IK là đoạn vuông góc chung của AK và SC d ( AK , SC) IK .
1
1
1
2a
Tac giác SAD vuông tại A :
2
AK 2
2
2
AK
SA
AD
3
Tam giác SAC vuông tại A :
1
1
1
3a 2
2
AI 2
AI 2 SA AC 2
4
Tam giác AIK vuông tại K : IK
Vậy d ( AK , SC )
AI 2 AK 2
a 3
6
a 3
.
6
Câu 9. (THPT CHUYÊN SƠN LA – SƠN LA (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , BC = 2a . H là trung điểm cạnh AB,
a 5
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách
2
SH vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SA =
giữa hai đường thẳng HC và SD.
A. VS . ABCD
2a 3
4a 33
; d ( HC , SD)
3
33
B. VS . ABCD
C. VS . ABCD 2a ; d ( HC , SD) 4a 33
3
D. VS . ABCD
2a 3
4a 32
; d ( HC , SD)
5
32
Hướng dẫn giải
S
B
C
K
H
E
D
A
x
I
12
4a 3
; d ( HC , SD) 4a
3
SH ( ABCD) . Tam giác SHA vuông tại H .
SH SA2 HA2 a
1
2a 3
VS . ABCD SSABC .SH
(đvtt).
3
3
Kẻ đường thẳng Dx / / HC , kẻ HI ID ( I thuộc Dx ),
Kẻ HK SI ( K SI ). Khi đó HK (SID), HC / /(SID) .
d ( HC, SD) d ( HC,(SID)) d ( H ,(SID)) HK
HI d ( D, HC ) 2d ( B, HC ) 2 BE
Trong tac giác vuông SHI có HK
4a
. ( BE HC tại E )
17
4a 33
33
Câu 10. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH (LẦN 3))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B, AB = BC = a , AD = 2a , SA
vuông góc với đáy, SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. Chứng minh tứ giác BCNM là
hình chữ nhật. Tính thể tích hình chóp S.BCNM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM
và CD.
a3
a 3
; d ( BM , CD)
3
3
A. VS .BCNM
a3
a
; d ( BM , CD)
3
3
B. VS . BCNM
C. VS .BCNM
2a 3
2a
; d ( BM , CD)
3
3
D. VS .BCNM a 3 ; d ( BM , CD)
Hướng dẫn giải
13
4a
5
S
E
N
M
D
A
B
C
Ta có MN là đường trung bình của SAD nên MN / / AD và MN a
Mà AD / / BC (do ABCD là hình thang) nên MN / / BC và MN BC a .
Suy ra BCNM là hình bình hành.
Mặt khác BC AB, BC SA (do SA ( ABCD)) nên BC (SAB) . Suy ra BC BM
Suy ra BCNM là hình chữ nhật.
Vẽ CK AD tại K thì ABCK là hình vuông, suy ra CK a .
1
1
a3
VS . ABC SA.S ABC SA. AC.BC
Ta có:
3
6
3
1
1
2a 3
VS . ACD SA.S ACD SA. AD.CK
3
6
3
Theo định lý tỷ lệ thể tích:
VS .MBC SM 1 VS .MCN SM SN 1
;
.
VS . ABC
SA 2 VS . ACD
SA SA 4
1
2
1
4
Do đó thể tích khối chóp: VS . BCNM VS .MBC VS .MCN VS . ABC VS . ACD
Kẻ ME SC ( E SC )
Vì BCNM là hình chữ nhật nên BM / / NC
BM / / mp(SC) d ( BM , CD) d ( BM ,(SCD)) d (M , SCD))
Vì SA vuông góc với đáy nên SA CD
14
a3
3
Mặt khác AC CD (do tam giác ACD vuông cân ở C ) nên CD (SAC )
ME CD
ME mp( SCD)
ME SC
Vì
d (M , mp(SCD)) ME
Có SME ∽ SCA (g.g)
d ( BM , CD)
ME SM
AC.SM
2a.a
2a 2
a
ME
2
2
2
2
AC SC
SC
3
SA AC
4a 2a
a
3
Câu 11. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 2))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên (SAB) nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn
AB sao cho BH = 2 AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
A. VS . ABCD
64 13
; d ( H , ( SCD)) 13
3 3
B. VS . ABCD
63 13
; d ( H , ( SCD)) 13
3 3
C. VS . ABCD
64 13
; d ( H , ( SCD)) 3 13
3 3
D. VS . ABCD
13
; d ( H , ( SCD)) 6 13
3
Hướng dẫn giải
15
F
A
D
Ta có: HB
H
E
B
C
8
64 4 13
4 13
4 13
HC 42
SH
.tan 60
3
9
3
3
3
1
1
4 13 64 13
VS . ABCD .S ABCD .SH .42.
3
3
3
3 3
Kẻ HK song song với AD ( K CD) DC (SHK ) mp(SCD) mp( SHK )
Kẻ HI vuông góc với SK HI mp(SCD) d ( H ,(SCD)) HI
Trong SHK ta có:
1
1
1
3
1
16
2 2
HI 13
2
2
2
HI
SH
HK
4 .13 4 13.42
d ( H , ( SCD)) 13 .
Câu 12. (THPT CHUYÊN HẠ LONG (LẦN 2))
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
60 . M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM, AC.
A. V
a3 3
3a 13
, d ( AM , SC )
8
26
B. V
16
a3 3
a 13
, d ( AM , SC )
8
26
C. V
a3 3
3a 13
, d ( AM , SC )
2
2
D. V
a3 3
a 13
, d ( AM , SC )
3
6
Hướng dẫn giải
S
C
B
M
I
A
•
Gọi I là trung điểm của AC . Vì tam giác SAC cân tại S nên SI AC,(SAC ) nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên SI là đường cao của hình chóp.
Ta có BI là hình chiếu của SB trên ( ABC ) , do đó góc giữa SB và ( ABC ) bằng góc giữa SB
và BI và bằng SBI 60 .
Xét tam giác vuông SIB vuông tại I , ta có: SI BI .tan 60
a 3
3a
. 3 .
2
2
1
1 3a a 2 3 a 3 3
VS . ABC .SI .S ABC . .
(đvtt).
3
3 2
4
8
•
V
a3 3
3a 13
, d ( AM , SC )
8
26
Câu 13. (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 2))
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 2a ; AD = a . Trên cạnh AB
lấy điểm M sao cho AM =
a
, cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
2
SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a .
17
A. VSHCD
4a 3
2a
; d ( SD; AC )
15
3
B. VSHCD
4a 3
a
; d ( SD; AC )
15
3
C. VSHCD
a3
2a
; d ( SD; AC )
15
3
D. VSHCD
2a 3
4a
; d ( SD; AC )
3
15
Hướng dẫn giải
VSHCD
4a 3
2a
; d ( SD; AC )
15
3
Câu 14. (THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH – YÊN BÁI)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a , ABC = 30 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của
tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a .
a3
a 3
, d (G, ( SBC ))
A. V
8
12
C. V
a3
a 3
, d (G, ( SBC ))
B. V
4
4
a3
a 3
, d (G, ( SBC ))
3
3
D. V
a3
a 3
, d (G, ( SBC ))
12
8
Hướng dẫn giải
a3
a 3
V , d (G, ( SBC ))
8
12
BÀI 15 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 1)).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích
khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a .
a3 2
27
; S a2
A. V
6
8
C. V
a3 2
27
; S a2
B. V
3
4
a3
2 2 2
;S
a
6
8
D. V
Hướng dẫn giải
18
a3 2
1
; S a2
2
8
S
M
I
C
A
H
B
+) Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều cạnh a và SH ( ABC) với H là tâm của tam giác đều
ABC AH
a 3
và SH là đường cao của hình chóp S. ABC
3
Từ giả thiết SA a 3 trong tam giác vuông SAH vuông tại H có
SH SA2 AH 2
2 6a
.
3
+) Diện tích tam giác ABC bằng: S ABC
a2 3
1
a3 2
VS . ABC S ABC .SH
4
3
6
+) SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trong mặt phẳng (SAH ) kẻ đường trung
trực của cạnh SA cắt SH tại I I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC có bán kính
R IS . Hai tam giác vuông SMI và SHA đồng dạng SI
+) Diện tích mặt cầu là: S 4 R 2
SM .SA 3 6
a
SH
8
27 2
a .
8
Câu 16. (THPT BÌNH PHƯỚC – BÌNH PHƯỚC (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a . Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm
của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD)
bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC.
19
A.
3a3 a
;
9
2 2
B.
3a 3 a
;
9
3 2
C.
3a3 a
;
9
4 2
D.
3a3 a
;
9
5 2
Hướng dẫn giải
S
F
A
D
K
P
M
I
E
H
B
C
Ta có: VS . ABCD
Do
1
SH .S ABCD , trong đó S ABCD a 2
3
(SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH ( ABCD)
Dựng
HE AB (SHE) AB , suy ra
SEH là góc giữa
(SAB) và ( ABCD) SEH 60
Ta có SH HE.tan 60 3HE
HE HI 1
a
HE
CB IC 3
3
SH
a 3
3
Suy ra VS . ABCD
1
1 a 3 2
3a 3
SH .S ABCD .
.a
3
3 3
9
Gọi P là trung điểm của CD , suy ra AP song song với CI
20
- Xem thêm -