Tài liệu Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN KIM PHỤNG BAO HÀM THỨC TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người thầy đã định hướng cho tôi chọn đề tài và đã nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Nguyễn Kim Phụng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tác giả đã kế thừa những kết quả của những nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Nguyễn Kim Phụng MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 3 5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 3 6. Những đóng góp mới của đề tài................................................................. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 4 1.1. Các không gian thường dùng .................................................................. 4 1.2. Nón và các khái niệm liên quan............................................................ 11 1.3. Ánh xạ đa trị ......................................................................................... 14 1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị .............................................................. 15 1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị ...................................................................... 17 1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị ........................................................... 18 Chương 2. BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I ......... 20 2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I ............................................. 21 2.2 Sự tồn tại nghiệm ................................................................................... 22 Chương 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ................................................ 29 3.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu ........29 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối vectơ ......................................... 29 3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu .................................. 34 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu véctơ được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật. Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học. Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá. Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Nash (1951), Arrow-Debreu (1954), sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau thành một dạng chung. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm x  K sao cho f ( x , x)  0 với mọi x  K , trong đó K là tập con cho trước của một không gian, f : K  K  R là hàm số thực thoả mãn f ( x, x)  0. i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho X * là không gian đối ngẫu của không gian X : Cho ánh xạ T : D  X * : Tìm x  D sao cho T ( x ), x - y  0 với mọi y  D. ii) Bài toán cân bằng Nash: cho Di  X , i  I là các tập con khác rỗng D  trong  iI X ; I là tập Di ; fi : D   : hữu hạn Với mỗi các phần tử. Đặt x  ( xi )iI  D , đặt xi  ( x j ) jI , j  i . Tìm x  D sao cho fi ( x )  fi ( xi ; y i ) với mọi yi  Di . Điểm x được gọi là điểm cân bằng Nash. 2 Do nhu cầu phát triển của Toán học, bài toán cân bằng và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng. Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Xuất phát từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà toán học đã mô hình hóa những vấn đề đó thành bài toán cân bằng tổng quát loại I như sau: Cho các không gian X , Y ,W ; D  X ; K  W là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S : D  K  2D ; T : D  K  2K , F : K  D  D  D  2D . Bài toán tìm (x ; y )  D  K sao cho 1) x  S ( x ; y ); 2) y  T ( x ; y ) 3) 0  F ( y ; x ; x ; t ) với mọi t  S ( x , y ) . được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. Các ánh xạ S ,T được gọi là ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục tiêu, F có thể là đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới loại I được phát biểu như sau : tìm ( x , y )  D  K sao cho 1) x  S ( x , y ); 2) y  T ( x , y ); 3) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0 với mọi x  S ( x , y ) . Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn tôi đã chọn đề tài “Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan” để làm luận văn . 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 Tìm hiểu các tài liệu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan đã được công bố trên các tạp chí quốc tế. Tìm những ứng dụng của bài toán này trong kinh tế và các ngành khoa học khác. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu một số vấn đề của giải tích đa trị dể sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong lý thuyết tối ưu. 5. Phương pháp nghiên cứu Ta sử dụng các công cụ của giải tích đa trị để giải quyết các vấn đề liên quan tới các bài toán đặt ra trong lý thuyết tối ưu đa trị. Cụ thể, ta sử dụng các định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan- Browder, bổ đề Fan-KKM để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán nay. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng về sự tồn tại nghiêm của một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này ta nêu lại một số không gian thường dùng, một số tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff khác được sắp xếp thứ tự từng phần bởi nón. Trong suốt bản luận văn các tính chất của nón đóng vai trò quan trọng nó giúp cho việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau. 1.1. Các không gian thường dùng Nhiều bài toán quan trọng của giải tích chỉ dựa trên các tính chất của khoảng cách mà không liên quan tới các tính chất khác của đường thẳng, mặt phẳng hoặc không gian ba chiều thông thường. Vì vậy muốn bản chất của các sự kiện đó người ta trừu tượng hóa các khái niệm khoảng cách để đi đến khái niệm không gian metric. Đó là một tập trong đó xác định “khoảng cách” giữa từng cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học. Định nghĩa 1.1.1. Tập M khác rỗng cùng với ánh xạ d : M  M   là một không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn: i) (x, y  M ) d ( x, y )  0, d ( x, y)  0  x  y; ii) (x, y  M )d ( x, y )  d ( y, x); iii) (x, y, z  M ) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( y, z ). Không gian metric kí hiệu là  M , d  ,(hoặc viết tắt là M ). Ánh xạ d được gọi là metric trên M ; d  x, y  được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. 5 Ví dụ i) Một tập con M bất kỳ của tập số thức  ,với khoảng cách d ( x, y)  x  y , thì M là một không gian metric. ii) Tổng quát hơn, trong không gian n ta có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm x  ( x1 ,..., xn ) và y  ( y1 ,..., yn ) như sau: d ( x, y )  n (x i 1 i  yi ) 2 . Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau để có những không gian metric khác nhau. Định nghĩa 1.1.2. Không gian metric  M , d  được gọi là không gian con của không gian mêtric  X , d  ; d được gọi là mêtric cảm sinh bởi d trên M . Định nghĩa 1.1.3. Ta nói rằng dãy điểm xn  của không gian M hội tụ tới điểm x0 của M nếu (  0) , n0  N * sao cho d ( xn , x0 )   ta kí hiệu lim xn  x0 hay xn  x0 (n  ). x  Ví dụ: i) Sự hội tụ trên đường thẳng là sự hội tụ của một dãy theo nghĩa thông thường. ii) Sự hội tụ trong không gian  k là sự hội tụ của dãy xn  ( x1n ,..., xkn ) tới x  ( x1 ,..., xk ) có nghĩa là xin  xi ,  i  1,..., k  . Sự hội tụ trong không gian  k là hội tụ theo tọa độ. Điều hiển nhiên rằng nếu một dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ. Ta có hai tính chất quan trọng sau: i) Nếu xn  x1 và xn  x2 thì x1  x2 (tính duy nhất của giới hạn). ii) Nếu xn  x1 và yn  y1 thì d ( xn , yn )  d ( x1 , y1 ). (khoảng cách d là một hàm liên tục đối với x và y ). 6 Định nghĩa 1.1.4. Giả sử  M , d  là không gian mêtric, a  M , r  0 , ta gọi: a) Tập S  a, r   x  M : d  x, a   r được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính r. b) Tập S  a, r   x  M : d  x, a   r được gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric  M , d  tập con V  X được gọi là lân cận của điểm x0 nếu tồn tại số r  0 sao cho: S ( x0 , r )  V . Cho không gian metric  M , d  , A là tập con của M , x  M người ta phân loại các điểm trong không gian metric như sau: i) Điểm x gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại lân cận của điểm x bao hàm tập A . ii) Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại lân cận của điểm x không chứa điểm nào của tập A . iii) Điểm x gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của x đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A . Tập tất cả điểm biên của tập A ký hiệu là A . iv) Điểm x được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A nếu mọi lân cận của điểm x chứa ít nhất một điểm của tập A khác x . Tập tất cả các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và được ký hiệu là A '. v) Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A nếu x thuộc A và x không là điểm giới hạn của tập A. Định nghĩa 1.1.6. Tập G được gọi là mở nếu mọi điểm của G đều là điểm trong của nó. Tập A được gọi là đóng nếu M \ A mở. 7 Ví dụ 1.1.7. Trong không gian metric hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng là tập đóng. Định lý 1.1.8. Cho không gian metric  M , d  , tập A  M , A   tâp A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm xn   A hội tụ tới x thì x A. Định nghĩa 1.1.9. Cho không gian metric  M , d  và tập A  M : Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A và ký hiệu là A0 hay int A . Giao của tất cả các tập đóng chứa A là bao đóng của A ký hiệu là A hay  A . Định lý 1.1.10. Cho không gian metric  M , d  và tập A  M phần trong A0 của tập A là tập tất cả các điểm trong của tập A , còn bao đóng A của A là tập tất cả các điểm giới hạn của tập A . Từ khái niệm không gian metric người ta đưa khái niệm không gian tôpô tổng quát hơn như sau: Định nghĩa 1.1.11. Cho tập M bất kỳ, ta nói rằng họ  những tập con của M là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên M nếu: i) Hai tập  và X đều thuộc họ  . ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ  thì cũng thuộc họ đó. iii) Hợp của một số vô hạn tập bất kỳ thuộc họ  thì cũng thuộc họ đó. Một tập M cùng với một tôpô  trên M gọi là không gian tôpô  M ,  . Mỗi tập của họ này được gọi là tập mở, sau đó ta đưa ra các khái niệm tập đóng, lân cận, sự hội tụ như trong không gian metric. Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên không gian metric cho ta cùng một tôpô. 8 Định lý 1.1.12. Trong không gian metric  M , d  họ các tập mở trong M lập thành một tôpô trên M . Định lý 1.1.13. Trong không gian metric  M , d  tôpô  sinh bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đếm được. Định nghĩa 1.1.14. Trong không gian metric  M , d  , dãy  xn  được gọi là ( xn , xm )  0 , tức là   0, n0  N * sao cho dãy cơ bản nếu nlim , m  n, m  n0 thì d ( xn , xm )   . Ta thấy rằng mọi dãy ( xn )  M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.15. Không gian metric  M , d  gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của không gian này đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.17. Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính trên trường số thực  , các phần tử x, y  M được gọi là các véc tơ nếu trên M xác định hai phép toán    : M  M  M : ( x, y)  x  y; . :   M  M : (, x)   x; M được gọi là không gian tuyến tính trên trường số thực  nếu hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề sau: i) x  y  y  x; ii)  x  y   z  x   y  z  ; iii) 0  M : 0  x  x  0; iv) ( x)  M : x  ( x)  0; v)  ( x  y )   x   y; vi) (   ) x   x   x; vii)  (  x)  ( ) x; 9 viii) 1 M :1x  x. x, y, z  M ,  ,  . Ví dụ 1.1.18. Tập  n với phép cộng và phép nhân thông thường là một không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.19. Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp (M , . ) , trong đó M là một không gian tuyến tính còn . là một ánh xạ M   thỏa mãn: i) x  0, x  M , x  0  x  0 ; ii)  x   . x iii) x  y  x  y Số x được gọi là chuẩn của x . Ví dụ 1.1.20. Không gian tuyến tính định chuẩn Ca ,b (không gian các hàm bị chặn trên đoạn  a, b ) với chuẩn x  max x(t ) . a t b Dễ thấy mọi không gian chuẩn đều là không gian metric với d ( x, y)  x  y . Do đó trên không gian định chuẩn ta có đầy đủ các khái niệm như trong không gian metric. Định nghĩa 1.1.21. Cho M là không gian tuyến tính trên trường số thực  , hàm .,. : M  M   được gọi là tích vô hướng trên M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) y, x  x, y ; ii) x  y, z  x,z  y,z ; iii)  x, y   x, y  x,  y ; iv) x, x  0, x, x  0  x  0, x, y, z  M ,  ,   . 10 Định nghĩa 1.1.22. Không gian tuyến tính M được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. n Ví dụ 1.1.23. Không gian  với tích vô hướng  x, y   xi yi là các n i 1 không gian Hilbert. Trên không gian tiền Hilbert . :M   với x  x, x . Thấy rằng (M , . ) là không gian định chuẩn. Trên M có cả hai cấu trúc tôpô và đại số. Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép tính đại số liên tục trong tôpô. x  y, x  y thì ( M ,  ) là không Nếu ta định nghĩa  ( x, y )  x  y  gian metric. Nếu ( M ,  ) là không gian metric đầy đủ thì (M , . ) được gọi là không gian Banach. Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric và trên M có cả hai cấu trúc: tôpô và đại số. Ví dụ 1.1.24. Cho không gian véctơ thực k chiều  k trong đó x   x1 , x2 ,..., xn  với xn   , mọi n  1, k . i) Đối với x  ( xn )  ta đặt: x  k k x n 1 n 2 . (1.1) Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là  k . Dễ thấy  k là không gian Banach. ii) Với mọi x  ( xn ) k , mọi y  ( yn ) k ta đặt: k x , y   xn y n (1.2) n 1 Dễ thấy hệ (1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.2) 11 x  x, x  k x n 1 2 n , x  ( xn ) k . Trùng với chuẩn (1.1). Nên không gian véc tơ thực  k cùng với tích vô hướng (1.2) là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.25. Cho M là không gian tuyến tính thực đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô  và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và phép nhân một số với một phần tử). Nếu hai phép toán cộng và phép nhân liên tục trong  thì M được là không gian tôpô tuyến tính. Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì M được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. Nếu M là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương thỏa mãn: với x, y  M , x  y thì tồn tại lân cận U x của x và U y của y để U x U y   thì M được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Ví dụ 1.1.26. Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. 1.2. Nón và các khái niệm liên quan Ta đã biết trong trường số thực  , hai số bất kỳ đều có thể so sánh được với nhau thông qua quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian khác ta không có tính chất đó. Tuy nhiên bằng cách sử dụng các khái niệm Nón trong không gian tuyến tính, người ta vẫn có thể đưa ra một thứ tự từng phần để so sánh hai phần tử với nhau. Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y . C gọi là nón trong Y nếu tc  C , t  0. i) Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. 12 ii) Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu: clC , int C , convC tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C , l (c)  C  C. iii) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. iv) Nón C gọi là nón nhọn nếu l (C )  0 . Ta có một số ví dụ về nón. Ví dụ 1.2.2 i) Tập 0 và Y là nón trong không gian Y . Ta gọi chúng là các nón tầm thường. ii) Cho  n là không gian Euclide n chiều, tập C   n   x   x1 , x2 ,..., xn    n | x j  0, j  1,.., n là nón lồi, đóng, nhọn. Cho x   x1 , x2 ,..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn  thuộc  n thì x  y nếu x j  y j với mọi j  1, 2,..., n . Nón này được gọi là nón orthant dương trong  n .    iii) Cho y  Lp   x1 , x2 ,... |  xi   với 1  p   lấy i 1 C  x  Lp | xi  0, i  1,2... thì C là nón lồi, nhọn. Định nghĩa 1.2.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y , B  Y được gọi là nón sinh bởi tập B, ký hiệu C  cone( B) nếu C  tb | b  B, t  0. Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi c  C , C  0 đều tồn tại duy nhất b  B, c  tb thì B được gọi là cơ sở của nón C . Định nghĩa 1.2.4 Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần trên Y như sau: x, y  Y , x  Cy nếu x  y  C. 13 Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản x  y. Cho x, y  Y ta ký hiệu x  y, nếu x  y  C \ l (C ) và x  y, nếu x  y  int C. Ta thấy quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu C là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y . Định nghĩa 1.2.5. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón lồi C . A là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng: i) Điểm x  A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y  x  C với mọi y  A . Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là IMin( A / C ) hoặc IMinA. ii) Điểm x  A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại y  A để x  y  C | l (C ) . Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là PMin( A / C ) . iii) Điểm A là điểm hữu hiệu yếu (khi int C  0 và C  Y ) của A đối với nón C , nếu x  Min  A / 0  int C . Tức là x là điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh bởi nón C0  0  int C. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C được kí hiệu là WMin( A / C ) hoặc WMinA. iv) Điểm x  A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu tồn tại nón lồi C khác Y và chứa C \ clC trong phần trong của nó để x  PMin( A / C ) . Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là PrMin(A/ C) hoặc PrMinA. . 14 1.3. Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2 X là tập gồm các tập con của X . Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ký hiệu F : X  2Y . Nếu với mọi x  X tập F  x  chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó thay cho ký hiệu F : X  2Y ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X  Y . Ví dụ 1.3.2. Xét phương trình đa thức xn  a1xn1  ...  an1  an  0, ở đó n là số nguyên dương và ai    i  1,2,..., n  là các hệ số thực. Quy tắc cho tương ứng mỗi véc tơ a  (a1, a2 ,..., an ) n là tập nghiệm của phương trình trên cho ta một ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.3.3. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ đa trị X  2Y tương ứng được xác định bằng công thức: gphF   x, y   X  Y : y  F ( x) domF  x  X : F ( x)   rgeF   y Y : x  X sao cho y  F ( x). và Định nghĩa 1.3.4. Cho F : X  2Y , ánh xạ F 1 : Y  2 X được xác định bởi: F 1 ( y)  x  X : y  F ( x) được gọi là ánh xạ ngược của F . Như vậy khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập F 1 ( y) mở với mọi y  Y thì F được gọi là có nghịch ảnh mở. Tương tự như ánh xạ đơn trị ta có các phép toán về ánh xạ đa trị như sau: Định nghĩa 1.3.5. Cho F1 , F2 : X  2Y là các ánh xạ đa trị, ta có các phép tính như sau: i) ( F1  F2 )( x)  F1 ( x)  F2 ( x). 15 ii) ( F1  F2 )( x)  F1 ( x)  F2 ( x); iii) ( F1c )( x)  Y / F1 ( x); iv) ( F1  F2 )( x)  F1 ( x) F2 ( x); v) ( F1  F2 )( x)  F1 ( x)  F2 ( x); vi)  F  ( x)   ( F ( x)) 1 1 vii) Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X  2Y , các ánh xạ bao 0 đóng ( F ), phần trong ( F ) của ánh xạ F được xác định là: 0 0 F ( x)  F ( x) và ( F )( x)  ( F ( x)) . viii) Nếu X , Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của F được xác định lần lượt là: (coF)( x)  coF( x) và (coF )( x)  coF ( x). 1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị Trong phần này ta trình bày tinh nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị. Cho X , Y là hai không gian vectơ tôpô lồi địa phương, ánh xạ đơn trị f : X  Y được gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi tập mở V chứa f  x0  tồn tại tập mở U chứa x0 sao cho f (U ) V . Định nghĩa 1.4.1. Ta nói F là nửa liên tục trên tại x  domF nếu với mọi tập mở V  Y thỏa mãn F ( x ) V tồn tại lân cận mở U của x sao cho F ( x)  V , x U . Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , F thì được gọi là nửa liên tục trên ở trong X . 16 Định nghĩa 1.4.2. Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x  domF nếu với mọi tập mở V  Y thỏa mãn F ( x )  V   tồn tại lân cận mở U của x sao cho F ( x)  V  , x V  domF . Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là nửa liên tục dưới ở trong X . Định nghĩa 1.4.3. Ta nói F là liên tục tại x  domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x . Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên tục ở trên X . Định nghĩa 1.4.4. Cho X , Y là các không gian tôpô, F : X  2Y là ánh xạ đa trị. F được gọi ánh xạ đóng nếu đồ thị gphF của F là một tập đóng trong không gian X  Y . Nếu F ( x) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact. Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Mệnh đề 1.4.5. Cho F : D  2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại nếu F là ánh xạ đóng và F ( D) là compact thì F là ánh xạ nửa liên tục trên. Mệnh đề 1.4.6. a) Cho F : D  2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x  domF khi và chỉ khi với bất kỳ y  F ( x ) và với bất kỳ dãy suy rộng x    I  D, x  x , tồn tại dãy  y  , y   F ( x )   I   sao cho y  y trong đó I là các chỉ số. b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì coF cũng có nghịch ảnh mở. c) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới. Định nghĩa 1.4.7. Cho F : D  2Y là ánh xạ đa trị;