UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: Toán 7
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,5 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
1 7 5
15 6 48
a) .
4 33 3 12 11 49
2. Tìm x, biết: 2x
3 3
3
b) P 7 29 53
5 5
5
7 29 53
1 1 1 1
2 3 4 5
7 7 7 7
2 3 4 5
1 3
3
5
2 7
7
Bài 2. (2,25 điểm )
1. Cho biết: M 2x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 1 3x 3 3x 2 y 3xy 2 xy .
a) Tìm đa thức M.
b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn x 10 0
2
2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh tỉ lệ thức:
2
a a 2013b
2
c b 2013c
Bài 3. (2,5 điểm )
Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA OB).
Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và
OF = OA.
a) Chứng minh AB = EF và AF // BE.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh MON cân tại O.
Bài 4. (1,75 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ
ABC
. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại D. Qua C
tia Bx, sao cho ABx
vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E. Chứng minh rằng AD = AE.
Bài 5. (1,0 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x 2 12 y 2 1.
==========Hết==========
UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: TOÁN 7
Bài 1. (2,5 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
1 7 5
15 6 48
a) .
4
33 3 12 11 49
2. Tìm x, biết: 2x
3 3
3
b) P 7 29 53
5 5
5
7 29 53
1 3
3
5
2 7
7
Câu
Đáp án
Điểm
1a
48
1
1 5 5 6 7 48
1 2
.
49
49
4 4 3 11 33 49
1b
3 3
3
P 7 29 53
5 5
5
7 29 53
2
1 1 1 1
2 3 4 5
7 7 7 7
2 3 4 5
0,75
1 1 1 1 3 1 1 1
1 1 1 1
2 3 4 5 7 29 53 2 3 4 5
7 7 7 7
1
1 1
1 1 1 1
5
7
2 3 4 5
7 29 53
2 3 4 5
0,5
0,25
3 1 16
5 7 35
1 3
3
1
5 2x 5
2 7
7
2
0,5
TH1. 2x
1
11
5 x
2
4
0,25
TH2. 2x
1
9
5 x
2
4
0,25
2x
Bài 2. (2,25 điểm )
1. Cho biết: M 2x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 1 3x 3 3x 2 y 3xy 2 xy .
a) Tìm đa thức M.
b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn x 10 0
2
2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh tỉ lệ thức:
a a 2013b
2
c b 2013c
2
Câu
1
Đáp án
Điểm
M 2x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 1 3x 3 3x 2 y 3xy 2 xy
0,25
M 3x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 2x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 1
0,25
3x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 2x 3 3x 2 y 3xy 2 xy 1
0,25
x3 1
0,25
Với x 10 0 x 10 0 x 10
2
Khi x = 10 ta được: M = 10 3 + 1 = 1001
2a
Ta có b2 = ac
Đặt
0,25
b a
(do a,b,c 0)
c b
a b
k a kb ; b kc
b c
0,25
Do đó ta có:
a bk ck 2
k2
c c
c
a 2013b
b 2013c
2
2
(1)
bk 2013b
ck 2013c
2
2
b 2 k 2013
c k 2013
2
a a 2013b
Từ (1) và (2) suy ra
2
c b 2013c
2
2
c2k 2
2 k2
c
(2)
0,25
0,25
2
0,25
Bài 3. (2,5 điểm )
Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA OB).
Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và
OF = OA.
a) Chứng minh AB = EF và AF // BE.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh MON cân tại O.
Câu
Đáp án
Hình vẽ đúng cả bài
Điểm
0,25
y
B
NM
E
O
x
A
N
F
3a
3b
Chứng minh được AOB = FOE (c.g.c)
AB = EF (hai cạnh tương ứng)
0,75
450
Chứng minh AOF vuông cân tại O OAF
0,25
450
Tương tự chứng minh được OEB
0,25
OEB
450 AF // BE
Do đó : OAF
0,25
Vì AB = EF (cmt) nên AB : 2 = EF : 2 hay BM = EN.
0,25
Chứng minh: OMB = ONE (c.g.c)
OM = ON (hai cạnh tương ứng)
0,25
OMN cân tại O.
0,25
Bài 4. (1,75 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa
ABC
. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại
điểm A vẽ tia Bx, sao cho ABx
D. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E. Chứng minh rằng AD = AE.
Câu
Đáp án
Điểm
Hình vẽ đúng
0,25
E
d
A
D
B
H
C
Vẽ AH BC tại H.
0,25
Chứng minh ADB = AHB (cạnh huyền – góc nhọn)
0,25
AD = AH (hai cạnh tương ứng)
(1)
EAC
Lập luận được HAC
0,25
0,25
Từ đó chứng minh được AHC = AEC (cạnh huyền – góc nhọn)
AE = AH (hai cạnh tương ứng)
(1)
0,25
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: AD = AE.
Bài 5. (1,0 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x 2 12 y 2 1.
Câu
1
Đáp án
x 2 12 y 2 1 x 2 1 12 y 2 ( x 1)( x 1) 12 y 2 .
Điểm
0,25
Do 12 y 2 ( x 1)( x 1) 2.
2
Mà x – 1 + x + 1 = 2x x - 1 và x + 1 có cùng tính chẵn lẻ.
x – 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp.
Suy ra: ( x 1)( x 1)8 12 y 2 8 3 y 2 2 y 2 2 y 2.
Mà y là nguyên tố, nên y = 2 x = 7.
Vậy x = 7 và y = 2 .
* Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
0,25
0,25
0,25
- Xem thêm -