Trêng THCS Yªn L¹c
§Ò Thi m«n: To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: TrÞnh V¨n Hïng
C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò : TrÞnh V¨n B»ng , TrÇn ThÞ TuyÕt Anh, Lu H÷u
ThuÊn
§Ò thi:
Câu 1 : 3,5điểm
1/ Tính : A = 4
10 2 5
4
10 2 5
a b c b c a c a b
c
a
b
b c a
Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1
a b c
2/ Cho a, b, c thoả mãn:
Câu 2: 3,5điểm
2
x2 y 2 z 2 x y z
1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng
3
3
1 1 1
1 1 1
2/ Chứng minh rằng nếu 2 và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 2
a b c
a b c
Câu 3: 4điểm
1/ / Giải phương trình :
36
x 2
4
y 1
28 4 x 2
mx y 2
3x my 5
2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình
x y 1
y 1
có nghiệm thoả mãn hệ thức :
m2
m2 3
Câu 4: 5điểm
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức:
2
1
1
AD AB AC
b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường
phân giác ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2
5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 5: 2điểm
Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
A
Chứng minh rằng: sin 2
a
2 bc
Câu 6: 2điểm
Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x2 + 1
= y2
------------------------------------Hết-----------------------------------------
Câu
Đáp án
1. (2điểm)
Vì 4 10 2
A2 =
Câu 1
3,5điể
m
4
5
> 0;
4
10 2 5 2 ( 4
= 8 2 16 10 2 5
= 8 2 5 2 5 1 = 8 2
= 82 5 1
= 8+2 5 2
= ( 5 1) 2
Từ (1) và (2) suy ra: A =
10 2 5
>0 A>0
10 2 5 )( 4
Điể
m
(1)
10 2 5 ) 4
10 2 5
( 5 1) 2
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
(2)
5 1
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
2. (1,5điểm)
0,25
đ
0,25
đ
a b c
b c a
ca b
2
2
2
c
a
b
a b c b c a c a b
suy ra
c
a
b
Từ gt ta có
Xét hai trường hợp
* Nếu a + b + c = 0 a + b = -c
b+c=-a
c + a = -b
( c) ( a ) ( b )
abc
b c a
a b b c c a
P = 1 1 1 =
.
.
=
=
=
a
b
c
abc
a b c
a b c
-1
* Nếu a + b + c 0 a = b = c
P = 2.2.2 = 8
1. (1,5điểm)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
x2 + y2 2xy (1)
y2 + z2 2yz (2)
z2 + x2 2zx (3)
0,25
đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
Câu 2
3,5điể
m
2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
chia hai vế cho 9 ta được
x 2 y 2 z 2 ( x y z )2
3
9
hay
2
2
2
x y z
xyz
3
9
0,25
đ
2
0,25
đ
2. (2điểm)
0,25
đ
2
1 1 1
1 1 1
Từ 2 4
a b c
a b c
1 1 1
1 1
1
2 2 2 2
4
a b c
ab bc ca
0,50
đ
1 1 1
a b c
2 2 2
4
2
a b c
abc
0,25
đ
0,25
đ
mà a + b + c = abc
a b c
1
abc
0,25
đ
0,25
đ
1 1 1
2 4
a 2 b2 c2
1 1 1
2 2 2 2
a b c
0,25
đ
1. (2,5điểm)
Phương trình
36
x 2
4
y 1
28 4 x 2
y 1
(1) có ĐKXĐ là : x > 2, y >
1
0,25
đ
* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :
+ Phương trình (1)
36 4( x 2 ) 2
x 2
(6 2 x 2 ) 2
x 2
4 ( y 1) 2
(2
y 1
y 1) 2
y 1
28 0
0
(2)
0,25
đ
( 6
+ Với x > 2, y > 1
2
( 2
x
y
x
y
2
1
2
1)
)
2
2
0
0
0
0
(3)
6
2
Câu 3
4,0điể
m
2
Từ (2) và (3)
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình
( 6
( 2
2
x
2)
y 1)
2
6 2
2
x
y
0
0,25
đ
0
1 0
x
y
2
2
0
2
1
11
x
y 5
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,50
đ
0,25
đ
2. (1,5điểm)
mx y 2
3x my 5
Hệ phương trình
Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:
(m2 + 3)x = 2m + 5. Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có
2m 5
,
m2 3
5m 6
y 2
m 3
2m 5 5m 6
m2
1 2
Theo đề bài ta lại có : 2 2
(*)
m 3 m 3
m 3
4
Giải phương trình này ta được m =
7
x
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,50
đ
1. (3,0điểm)
A
E
B
D
C
a. (2,0điểm)
Câu 4
5,0điể
m
a. Đặt AC = b; AB = c
Ta có SABC =
1
bc
2
bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC
= AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450
= ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450
Suy ra
bc = ( b + c )AD.
AD
2
= ( b + c ).
2
2
AD
bc
=
2
bc
bc 1 1
2
=
bc
c b
AD
Vậy
2
1
1
(đpcm)
AD AB AC
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
b. (1,0điểm)
Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450
= ( b – c )AE.
2
2
bc = ( b – c )AE.
= ( b – c ) AE.
2
2
2
2
b c 1 1
2
=
bc
c b
AE
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
Vậy
2
1
1
2
1
1
hay
AD
AC
AB
AE AC AB
2. (2,0điểm)
0,25
đ
A
M
H
I
CB
C
B
Kẻ AM AC, M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2 5
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
(2 5 )2 = x.(2x + 3)
2x2 + 3x – 30 = 0
( 2x – 5)(x + 4) = 0
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5 )2 = 64 – 20 = 44
AC = 44 = 2 11 cm AB = 2 11 cm
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
Hình vẽ
A
M
B
D
N
C
x
Câu 5
2,0điể
m
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
A
BM
A
BM = c.sin
=
2
AB
2
A
CN
A
CN = b. sin
sinNAC = sin
=
2
AC
2
A
Do đó BM + CN = sin ( b + c)
2
Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a
A
A
Vì thế sin ( b + c ) a ( vì sin < 1)
2
2
1
1
Do b + c 2 bc nên b c
2 bc
a
A
hay sin
(đpcm)
2 bc
2
0,25
đ
sinMAB = sin
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
y2 1
3
Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 x2 =
y 2
y2
y2
vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3)
Câu 6
2,0điể
m
0,25
đ
suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3
Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5
do x2 0 nên (y2 -1)(y+2) 0 ,
0,25
đ
y 2
2 y 1 hoặc y 1
do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0
Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = (0, 1);(0,1)
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
CHÚ Ý :
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó
----------------------------------HẾT-------------------------------------
- Xem thêm -