TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
TỔ : TOÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số y x 2 2 x 2 có đồ thị (P)
a) Lập bảng biến thiên và vẽ (P).
b)Tìm m để đường thẳng (d) có phương trình y x m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho OA2 OB 2 82 .
Câu 2. (7,5 điểm)
3 2 x 2 3x 2
1.
1 2 x2 x 1
b) Giải phương trình 2 3 x 7 5 3 x 6 4 .
a) Giải bất phương trình
c) Giải hệ phương trình
xy y 2 2 y x 1 y 1 x
3. 6 y 3. 2 x 3 y 7 2 x 7
.
Câu 3. (4,5 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
3x 1 x 1 0
2
2
2
( x 2) m x x 4 1
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử
5
H 1;3 , phương trình đường thẳng AE : 4 x y 3 0 và C ; 4 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B
2
và D của hình thang ABCD.
Câu 4. (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
1
3
4.
0
sin10 cos100
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
1 . Chứng minh rằng:
a b c
a2
b2
c2
abc
.
a bc b ca c ab
4
-----------------Hết-----------------
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
TỔ: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Câu
Hướng dẫn chấm
1.a Ks và vẽ (P) đúng
1.b
Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:
x 2 2 x 2 x m x 2 3 x 2 m 0 (1)
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt
9 4(2 m) 0 4m 1 0 m 1/ 4 (*)
Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là A( x1 ; x1 m), B( x2 ; x2 m) , trong đó x1 , x2 là các nghiệm
Điểm
2,0
2,0
0,25
1,0
của (1). Theo định lý Viet ta có: x1 x2 3, x1 x2 2 m .
Ta có: OA2 OB 2 82
2
x12 x1 m x2 x2 m 82
2
2
2 x12 x2 2m x1 x2 2m 2 82
2
x1 x2
2
2 x1 x2 m x1 x2 m 2 41
m 4
9 2(2 m) 3m m 2 41 m2 5m 36 0
m 9
Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm.
2.a
2
ĐKXĐ: x x
0,5
0,25
2,0
1
Ta có: 1 2 x 2 x 1 1 (2 x 1) 2 3 1 3 0 với mọi x �, nên
1,0
BPT 3 2 x 2 3 x 2 1 2 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x 2 3 x 2
x 2 x 1 2 x 2 x 1 1 x 2 3x 2
x2 x 1 1 2x
x 0
x 0
x 0
1 13
2
2
1 13
1 13 x
2
2
x
x x 1 4x
3x x 1 0
x
2
2
1 13
;
Vậy BPT có tập nghiệm S
2
2.b
ĐKXĐ: x 7 / 3
Đặt: 3 x 6 t x t 3 6
t 4 / 5
PT trở thành: 2 3(t 3 6) 7 5t 4
3
2
4(3t 25) (5 t 4)
1,0s
2,0
1,0
t 4 / 5
t 4 / 5
3
2
2
(t 2)(12t t 42) 0
12t 25t 40t 84 0
t 2
t 4 / 5
1 2017 1 2017
t
t 2 t
24
24
Với t 2 x 14
1,0
3
1 2017
1 2017
x 6
Với t
24
24
3
1 2017
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S 14; 6
24
2,0
2.c
1 y 6
Điều kiện: x 0
2 x 3 y 7 0
(*)
Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên
1,0
y x 1
(x y 1) y 1
y 1 x
pt 1 y x y 1 y x 1
0
y 1 x
1
x y 1 0 y x 1 (do điều kiện (*))
Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7 (3) ĐK:
4
x 5
5
3 1 3 1
(3) (7 x) 3 5 x 3(x 5x 4 ) 0 S ; , ;
2 2 2 2
1
3
(4 5x+x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
1,0
x 1 y 2
x 2 5x+ 4 0
x 4 y 5
Đối chiếu với ĐK thấy hệ phương trình có nghiệm:
x; y (4;5),(1;2)
2,0
3.a
ĐK:
1
x . Khi đó bpt:
3
(1) 1 x 1
� 3 x
3x 1 ( x 1) 2
x2
x 0
0 x 1
1,0
BPT (2) ( x 2 2) 2 m x x 2 4 1 x 2 ( x 2 4) x x 2 4 3 m (3)
Đặt
t x x 2 4 t 0; 5 Ta được bpt: t 2 t 3 m (4).
t 0; 5
2
Xét hàm số f (t ) t t 3 trên đoạn 0; 5 . Để bpt (1) có nghiệm thì
Bài toán trở thành tìm m để (4) có nghiệm
maxf (t )۳ m 8
m
0; 5
5
m
5 8
1,0
3.b
2,0
1,0
3
Do đó: CE AE CE: 2x - 8y + 27 = 0. Mà E AE CE E ;3 , mặt khác E là trung
2
điểm của HD nên D 2;3 . Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1).
Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3).
KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3)
Lưu ý:Nếu học không chứng minh mà thừa nhận CE AE thì cho 1,0 điểm.
1,0
C
B
H
I
4
K
E
2,0
A
D
1
3
2 cos100
sin10 0
0
0
cos10 3 sin10
2
2
Ta có: P
0
0
sin10 cos10
1
0
sin 20
2
2sin(300 100 ) 4sin 200
4
1
sin 200
0
sin 20
2
D
Đặt P
1
3
0
sin10 cos100
1,0
1,0
2,0
5
Với các số thực dương a, b, c từ giả thiết ta có: abc ab bc ca
Khi đó:
a2
a3
a3
a3
2
2
a bc a abc a ab bc ca (a c )(a b)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (côsi) ta có:
a3
a c a b 3a
(a c)(a b )
8
8
4
Tương tự:
a3
(a c)( a b)
4a b c
a2
8
a bc
1,0
4a b c (1)
8
b2
4b a c
c2
4c a b
(2);
(3)1,0
b ac
8
c ab
8
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c .
3
a2
b2
c2
abc
(đpcm)
a bc b ac c ab
4
- Xem thêm -