TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TRONG
KHÔNG GIAN METRIC VÀ ỨNG DỤNG
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên (TN)
SƠN LA – THÁNG 5 NĂM 2017
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TRONG
KHÔNG GIAN METRIC VÀ ỨNG DỤNG
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên (TN)
Sinh viên thực hiện: Hoàng Tùng Lâm
Hoàng Việt Anh
Nguyễn Bích Ngọc
Đinh Thị Thu Uyên
Nam, Nữ: Nữ
Nam, Nữ: Nam
Nam, Nữ: Nữ
Nam, Nữ: Nữ
Dân tộc: Kinh
Dân tộc: Kinh
Dân tộc: Kinh
Dân tộc: Kinh
Lớp: K55 ĐHSP Toán
Khoa: Toán – Lý - Tin
Năm thứ: 3/Số năm đào tạo: 4
Ngành: ĐHSP Toán
Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài: Hoàng Tùng Lâm
Người hướng dẫn: TS. Vũ Việt Hùng
Sơn La, tháng 5 năm 2017
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành đề tài, chúng tôi đã nhận được sự tạo
điều kiện và động viên của nhiều thầy cô, bạn bè. Nhân dịp này, lời đầu tiên chúng
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Phòng
KHCN & HTQT, các thầy cô trong tổ Bộ môn Giải tích, các bạn sinh viên lớp K55
ĐHSP Toán, đặc biệt là TS. Vũ Việt Hùng, người thầy đã định hướng nghiên
cứu, hướng dẫn chúng tôi thực hiện đề tài này.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành đề tài. Nhân dịp này chúng tôi xin được bày
tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2017
Sinh viên thực hiện
Hoàng Tùng Lâm
Nguyễn Bích Ngọc
Hoàng Việt Anh
Đinh Thị Thu Uyên
1
Mục lục
Lời cảm ơn
1
Mở đầu
4
1 Kiến thức chuẩn bị
7
1.1
Định nghĩa không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Lân cận của một điểm. Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Không gian metric đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
Ánh xạ trù mật và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7
Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . . . .
13
1.7.1
Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7.2
Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . .
15
2 Điểm bất động trong không gian metric
3
17
2.1
Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric . . . . . . .
17
2.2
Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric . . . . .
20
2.3
Một số mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric .
26
Điểm bất động xấp xỉ trong không gian metric
34
3.1
Điểm bất động xấp xỉ của ánh xạ trong không gian metric . . . . .
34
3.2
Một số kết quả về điểm bất động xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1
Điểm bất động xấp xỉ của một số toán tử thông dụng . . . .
35
3.2.2
Tính chất của tập ε-điểm bất động xấp xỉ của một số toán tử
40
2
4 Ứng dụng của điểm bất động và điểm bất động xấp xỉ trong không
gian metric
4.1
45
Một số phương pháp ứng dụng Nguyên lý ánh xạ co vào giải phương
trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
45
Ứng dụng Nguyên lý ánh xạ co vào nghiên cứu sự hội tụ của một số
dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.1
Ứng dụng vào nghiên cứu sự hội tụ của một số dãy số thực .
53
4.2.2
Xây dựng một số dãy xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.3
Đánh giá sai số xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Kết luận và Kiến nghị
63
Tài liệu tham khảo
65
3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động được hình thành từ những công trình đầu tiên của
Brouwer và Banach, cụ thể là Brouwer với công trình điểm bất động cho ánh xạ
đơn trị liên tục năm 1912 và Banach nghiên cứu điểm bất động cho ánh xạ co năm
1922. Hai công trình này khởi đầu cho hai hướng khác nhau, vạch ra hướng phát
triển cho lý thuyết quan trọng này và trở thành công cụ ứng dụng trong các ngành
khoa học khác nhau.
Có thể nói, từ khi ra đời, lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên
cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan
tâm của rất nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế. Các kết quả nghiên cứu về
lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động “. Sự phát triển của “
Lý thuyết điểm bất động “ gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế
giới: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani,... Một trong những định lý
nổi tiếng trong lý thuyết này, như chúng ta đã biết đó là Định lý “ Điểm bất động
Banach” ( Hay “ Nguyên lý ánh xạ co Banach “ ).
Lý thuyết về điểm bất động là một công cụ quan trọng trong lý thuyết về không
gian metric và để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến; nó đảm bảo sự tồn tại và
tính duy nhất của các điểm bất động của một số ánh xạ không gian metric. Chính
vì lẽ đó, lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
của Toán học như: sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân, hệ
phương trình tuyến tính, phương trình hàm,... Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng
trong các ngành khoa học khác: khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, vật lý
toán, sinh học, kinh tế,...
Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động và được tiếp cận với
những kết quả mới trong lĩnh vực này cùng với sự định hướng của giảng viên hướng
dẫn, chúng tôi chọn đề tài “ Điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric và
ứng dụng " để tìm hiểu và nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu một số tính chất của điểm bất động trong không gian metric và ứng
dụng của nó.
- Tìm hiểu những vấn đề lý luận, định nghĩa liên quan.
4
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các tính chất cơ bản của điểm bất động của ánh xạ trong
không gian metric và ứng dụng của nó.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của điểm bất
động của ánh xạ trong không gian metric và ứng dụng của nó.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như Seminar với tổ
bộ môn, giáo viên hướng dẫn và nhóm thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học. Từ
đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế
hoạch và hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Góp phần tìm hiểu các vấn đề thuộc về lý luận và các khái niệm, tính chất cơ bản
của điểm bất động trong không giam metric, qua đó hình thành kiến thức một cách
có hệ thống để thuận lợi cho việc nghiên cứu tiếp cận về sau. Hơn nữa, từ lý luận
tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng các công thức phần mềm công nghệ trong
khoa học máy tính, điều khiển,... ứng dụng vào các lĩnh vực khoa học khác.
7. Đóng góp của đề tài
Đề tài trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động
của ánh xạ trong không gian metric. Từ đó đóng góp một phương pháp về ứng dụng
của vấn đề nghiên cứu vào việc giải quyết một số vấn đề đặt ra trong lý thuyết và
thực tiễn học tập của sinh viên, đặc biệt, kết quả của đề tài cho một phương pháp
mới thông qua ứng dụng nguyên lý ánh xạ co vào nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá
sự hội tụ của một số loại dãy số thực.
8. Cấu trúc của đề tài
Với mục đích như vậy đề tài này được chia thành 4 chương với những nội dung
chính sau đây:
Chương 1: Trong chương này chúng ta trình bày một số kiến thức ban đầu về
giải tích hiện đại như định nghĩa về không gian metric, khoảng cách, tập mở, đóng,
tập compact, ánh xạ liên tục, ánh xạ co trong không gian metric, không gian metric
5
đầy...
Chương 2: Trong chương này chúng ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ
bản nhất của điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric. Đó là định nghĩa
về ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co, định lý cơ bản của Banach về điểm bất
động của ánh xạ co, một số định lý mở rộng về điểm bất động của ánh xạ co, co
yếu, không gian, ánh xạ compact và một số ánh xạ thường gặp khác.
Chương 3: Trong chương này chúng ta trình bày định nghĩa và các tính chất
cơ bản nhất của điểm bất động xấp xỉ của ánh xạ trong không gian metric, một số
kết quả đủ để tồn tại điểm bất động xấp xỉ cho một vài lớp các ánh xạ thường gặp
trong không gian metric. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả về đánh
giá tập điểm bất động xấp xỉ của một số lớp ánh xạ cơ bản.
Chương 4: Trong chương này chúng ta trình bày một số ứng dụng của nguyên
lý ánh xạ co để đưa ra một số phương pháp khác nhau áp dụng vào việc chứng minh
sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân cấp một. Cuối cùng,
chúng tôi đưa ra và trình bày một kết quả về việc nghiên cứu sự hội tụ của một số
dãy số thực thông qua nguyên lý ánh xạ co đã nghiên cứu trước đó.
Cuối cùng, trong phần Kết luận, chúng tôi điểm lại các kết quả nghiên cứu chính
trình bày trong đề tài. Đồng thời, chúng tôi cũng mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng
nghiên cứu tiếp theo phát triển đề tài của đề tài này. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận
được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của các thầy cô, bạn bè và những người quan
tâm tới chủ đề này giúp hoàn thiện các kết quả của đề tài.
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta trình bày một số kiến thức ban đầu về giải tích
hiện đại như định nghĩa về không gian metric, khoảng cách, tập mở, tập đóng, tập
compact, giới hạn trong không gian metric, ánh xạ liên tục ánh xạ co trong không
gian metric, không gian metric đầy, một số khái niệm cần thiết về không gian định
chuẩn,... Đây là những khái niệm cơ bản cần thiết dùng cho các chương sau của đề
tài.
1.1
Định nghĩa không gian metric
Định nghĩa 1.1. Cho tập X 6= ∅. Ta gọi hàm số thực:
ρ : X × X → R+
(x, y) 7→ ρ(x, y)
là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ρ(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X,
3. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X , được gọi là một không gian metric.
Nhận xét 1.2. 1. Với mọi hệ n phần tử x1 , x2 , . . . , xn ∈ X ta đều có:
ρ(x1 , xn ) 6 ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , x3 ) + · · · + ρ(xn−1 , xn )
2. Với mọi x, y, a, b ∈ X ta đều có:
|ρ(x, y) − ρ(a, b)| 6 ρ(x, a) + ρ(y, b)
7
3. Nếu A là tập con khác rỗng của không gian metric (X, ρ) thì bản thân tập A
cùng với metric ρA cảm sinh bởi metric ρ trên X :
ρA (x, y) := ρ(x, y) với mọi x, y ∈ A,
cũng là một không gian metric, gọi là không gian con của không gian metric (X, ρ).
Định nghĩa 1.3. Cho tập X 6= ∅ và ρ1 , ρ2 là các khoảng cách đã cho trên X . Ta
nói khoảng cách ρ1 tương đương với khoảng cách ρ2 , kí hiệu là ρ1 ∼ ρ2 , nếu tồn tại
các số dương m, M sao cho:
mρ1 (x, y) 6 ρ2 (x, y) 6 M ρ1 (x, y) với mọi x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.4. Cho (X, ρ) là một không gian metric. Ta nói dãy
(xn )n∈N∗ ∈ X hội tụ tới phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy (xn )n∈N∗ ) nếu:
lim ρ(xn , x) = 0.
n→∞
Kí hiệu: xn → x khi n → ∞ hoặc lim xn = x.
n→∞
Như vậy lim xn = x khi và chỉ khi
n→∞
(∀ε > 0)(∃N = N (ε) > 0) : (∀n ∈ N∗ )(n > N ⇒ ρ(xn , x) < ε).
Định lý 1.5. Mọi dãy phần tử trong không gian metric có không quá một giới hạn.
Chứng minh. Giả sử (xn )n∈N∗ ⊂ X . Nếu xn → x, xn → y thì với mọi n ∈ N∗ ta
có:
0 6 ρ(x, y) 6 ρ(xn , x) + ρ(xn , y) → 0 khi n → ∞.
Suy ra ρ(x, y) = 0 và do đó x = y .
Định lý 1.6. Hàm khoảng cách ρ(x, y) là hàm liên tục theo các biến x, y theo nghĩa:
Nếu xn → x, yn → y khi n → ∞ thì ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) khi n → ∞.
Chứng minh. Cho (x, y) ∈ X × X. Giả sử (xn , yn )n∈N∗ ⊂ X × X thỏa mãn
xn → x, yn → y khi n → ∞. Khi đó, với mọi n ∈ N∗ ta có:
|ρ(xn , yn ) − ρ(x, y)| 6 ρ(xn , x) + ρ(yn , y) → 0 khi n → ∞.
Suy ra: lim ρ(xn , yn ) = ρ(x, y).
n→∞
8
Định lý 1.7. Trong không gian metric, mọi dãy con của một dãy hội tụ cũng hội
tụ và có cùng giới hạn với dãy đó.
Chứng minh. Giả sử (xkn )n∈N∗ là dãy con bất kì của dãy (xn )n∈N∗
và ρ(xn , x) → 0 nên lim ρ(xkn , x) = lim ρ(xn , x) = 0.
n→∞
n→∞
Suy ra xkn → x khi n → ∞.
Định lý 1.8. Nếu ρ1 và ρ2 là hai khoảng cách tương đương trong không gian metric
X , thì mọi dãy hội tụ theo khoảng cách ρ1 cũng hội tụ theo khoảng cách ρ2 đến cùng
một giới hạn.
ρ1
Chứng minh. Giả sử (xn )x∈N∗ ⊂ X, xn −
→ x. Do ρ1 ∼ ρ2 nên với mọi n ∈ N∗ ta
có:
mρ1 (xn , x) 6 ρ2 (xn , x) 6 M ρ1 (xn , x).
Do ρ1 (xn , x) → 0 khi n → ∞, suy ra ρ2 (xn , x) → 0 khi n → ∞
ρ2
tức là: xn −
→ x.
1.2
Lân cận của một điểm. Tập mở, tập đóng
Định nghĩa 1.9. Cho (X, ρ) là không gian metric, x0 ∈ X, 0 < r ∈ R. Ta gọi:
a) Tập hợp B(x0 , r) = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) < r} là hình cầu mở tâm x0 bán kính r.
b) Tập hợp B[x0 , r] = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) 6 r} là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r.
c) Tập hợp Ω(x0 , r) = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) = r} là mặt cầu tâm x0 bán kính r.
Định nghĩa 1.10. Cho tập A ⊂ X và điểm x0 ∈ X . Ta nói:
1. Điểm x0 là điểm trong của tập A khi và chỉ khi
∃r > 0|B(x0 , r) ⊂ A.
Tập hợp tất cả các điểm trong của tập A gọi là phần trong của tập A và kí hiệu là
o
IntA hoặc A.
2. Điểm x0 là điểm dính của tập A khi và chỉ khi
(∀r > 0)B(x0 , r) ∩ A 6= ∅.
Tập hợp tất cả các điểm dính của tập A gọi là bao đóng của tập A và kí hiệu là
Ā.
9
3. Điểm x0 là điểm tụ của A khi và chỉ khi
(∀r > 0)(B(x0 , r) ∩ A)\{x0 } =
6 ∅.
Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập A gọi là tập dẫn xuất của A và kí hiệu là A0 .
4. Điểm x0 là điểm biên của tập A khi và chỉ khi
(∀r > 0)B(x0 , r) ∩ A 6= ∅, B(x0 , r) ∩ (X\A) 6= ∅.
Tập hợp tất cả các điểm biên của tập A gọi là biên của A và kí hiệu là ∂A.
5. Điểm x0 là điểm cô lập của A khi và chỉ khi
(∃r > 0)|B(x0 , r) ∩ A = {x0 }.
6. Điểm x0 là điểm ngoài của A khi và chỉ khi
(∃r > 0)|B(x0 , r) ⊂ (X\A).
Định nghĩa 1.11. Ta gọi tập A ⊂ X là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm
trong của A, nghĩa là int A = A.
Định lý 1.12. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric (X, ρ) có các tính
chất sau:
1) Tập ∅ và tập X là các tập mở: ∅ ∈ τ, X ∈ τ,
2) Hợp của họ tùy ý các tập mở là tập mở:
(Gi )i∈I ⊂ τ ⇒
[
Gi ∈ τ,
i∈I
3) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:
G1 , . . . , G n ∈ τ ⇒
n
\
Gi ∈ τ.
i=1
Họ τ các tập mở ở trên được gọi là tôpô xác định bởi khoảng cách của không gian
metric X .
Chứng minh. 1) Theo định nghĩa tập mở.
2) Giả sử điểm x bất kì x ∈
S
Gi khi đó ∃i0 ∈ I sao cho x ∈ Gi0 mà mọi tập
i∈I
Gi0 đều là tập mở suy ra x là điểm trong của Gi0 , khi đó x cũng là điểm trong của
S
Gi .
i∈I
S
suy ra
là tập mở.
i∈I
3) Tương tự 2).
10
Định nghĩa 1.13. Ta gọi tập A ⊂ X là tập đóng nếu CA = X\A là tập mở trong
X.
Định lý 1.14. Họ F tất cả các tập đóng trong không gian metric (X, ρ) có các tính
chất sau:
1. ∅ ∈ F, X ∈ F - Tập ∅ và tập X là các tập đóng;
2. (Fi )i∈I ⊂ F ⇒
T
Fi ∈ F - Giao của họ tùy ý các tập đóng là tập đóng;
i∈I
3. F1 , . . . , Fn ∈ F ⇒
n
S
Fi - Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
i=1
Chứng minh. 1. Do ∅, X là các tập mở nên X = C∅, ∅ = CX là các tập đóng.
2. Do (Fi )i∈I ⊂ F nên (CFi )i∈I là họ các tập mở, vì vậy X\
T
i∈I
tập mở trong X , nên
3. Ta có X\
n
S
Fi =
i∈I
1.3
T
i∈I
n
T
Fi =
S
CFi là
i∈I
Fi là tập đóng trong X .
CFi là tập đóng trong X .
i∈I
Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric
Định nghĩa 1.15. Cho X, Y các không gian metric và f : A → Y là một ánh xạ
từ tập con A của X đến Y . Ta nói:
1) f liên tục tại x0 ∈ A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(x0 , ε) > 0) sao cho
(∀x ∈ A)(ρ(x, x0 ) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε);
2) f liên tục trên A nếu và chỉ nếu f liên tục tại mọi điểm của A.
3) f liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu:
(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)|(∀(x0 , x00 ) ∈ A × A)
(ρ(x0 , x00 ) < δ ⇒ ρ(f (x0 ), f (x00 )) < ε).
Định nghĩa 1.16. Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric X vào không gian
metric Y được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu thỏa mãn điều kiện:
(∀x, y ∈ X)ρ(f (x), f (y)) = ρ(x, y)
Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ X lên Y thì không gian metric X và Y được gọi là
đẳng cự với nhau.
11
Định nghĩa 1.17. Ta gọi ánh xạ f : X → Y là phép đồng phôi từ không gian
metric X lên không gian metric Y nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1
liên tục.
Hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép
đồng phôi từ X lên Y .
1.4
Không gian metric đầy
Định nghĩa 1.18. Dãy phần tử (xn )n∈N∗ trong không gian metric X được gọi là
dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu và chỉ nếu:
(∀ε > 0), (∃nε ∈ N∗ )|
(∀m, n ∈ N∗ ), (m, n > nε ⇒ ρ(xn , xm ) < ε).
Định nghĩa 1.19. Không gian metric X được gọi là không gian metric đầy nếu
mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ tới một phần tử thuộc nó.
1.5
Tập compact
Định nghĩa 1.20. Giả sử A là tập con trong không gian metric X . Khi đó ta nói:
1) A là tập compact trong X nếu và chỉ nếu:
∀(xn )n∈N∗ ⊂ A đều ∃(xkn ) ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ A;
2) A là tập compact tương đối trong X nếu và chỉ nếu
∀(xkn )n∈N∗ ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ X;
3) A là tập hoàn toàn bị chặn trong X nếu
∀ε > 0, ∃H = {x1 ; . . . ; xn } ⊂ X sao cho A ⊂
n
[
B(xi , ε).
i=1
Trong trường hợp này tập hữu hạn H ở trên được gọi là một ε- lưới hữu hạn của
A.
4) A là tập bị chặn trong X nếu tồn tại hình cầu B(x0 , r) ⊂ X sao cho A ⊂
B(x0 , r).
12
Định lý 1.21. Cho f : A → Y là một ánh xạ liên tục từ tập A trong không gian
metric X đến không gian metric Y . Khi đó, nếu A là tập compact trong X thì f (A)
là tập compact trong Y .
Chứng minh. Lấy dãy phần tử tùy ý (yn )n∈N∗ ⊂ f (A), khi đó tồn tại dãy (xn )n∈N∗ ⊂
A sao cho f (xn ) = yn , (∀n ∈ N∗ ). Vì A là tập compact nên tồn tại dãy con
(xkn )n∈N∗ sao cho xkn → x ∈ A. Do f liên tục tại x ∈ A nên ykn = f (xkn ) →
f (x) = y ∈ f (A). Như vậy, dãy (yn ) có dãy con {ykn } hội tụ trong f (A), chứng
tỏ f (A) là tập compact trong Y .
1.6
Ánh xạ trù mật và ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.22. Trong không gian metric X , ánh xạ liên tục f đi từ nó vào
chính nó được gọi là trù mật nếu với mọi tập bị chặn A của X với α(A) > 0, ta có
α(f (A)) < α(A) (α(A) là đường kính của A).
Định nghĩa 1.23. Ánh xạ Γ : X → Y với mỗi phần tử x của X có một tập con
Γ(x) của tập Y , nếu với mỗi x ∈ X tập Γ(x) gồm có một phần tử, khi đó ánh xạ
Γ được gọi là đơn trị. Một ánh xạ đa trị Γ có thể được coi như là ánh xạ đơn trị
của X vào 2Y , nghĩa là, vào tập tất cả tập con của Y .
1.7
Không gian định chuẩn và không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết nhất về không
gian định chuẩn và không gian Banach làm kiến thức chuẩn bị cho chương sau.
1.7.1
Chuẩn trên không gian vector
Định nghĩa 1.24. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn
trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau:
1) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0;
2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ;
3) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E .
Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’)
ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E , thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E .
Khi ρ là một chuẩn, thì số kxk := ρ(x) được gọi là chuẩn của vector x.
13
Nhận xét 1.25. Giả sử k.k là một chuẩn trên E . Khi đó:
1. Công thức: d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E xác định một khoảng cách trên E , gọi
là khoảng cách sinh bởi chuẩn.
2. Ta có kxk − kyk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ E , thật vậy cho x, y ∈ E từ điều
kiện 3) ta có:
kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk
Suy ra kxk − kyk ≤ kx − yk và kyk − kxk ≤ kx − yk.
Chứng tỏ kxk − kyk ≤ kx − yk.
Cuối cùng, nếu E là không gian vector và a, b ∈ E , tổng quát về đoạn thẳng
trong R, ta sẽ gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b:
[a; b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}.
Định nghĩa 1.26. Tập con X trong không gian vector E được gọi là:
1. Tập lồi nếu [a; b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X ;
2. Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ 1;
3. Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi λ ∈ K
mà |λ| ≤ ε.
Mệnh đề 1.27. Cho k.k là một chuẩn trên không gian vector E , khi đó các tập
hợp:
B(0; 1) = {x ∈ E : kxk < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : kxk ≤ 1},
là lồi, cân, hút.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh B(0; 1) là tập lồi, cân và hút.
Cho a, b ∈ B(0; 1)và 0 ≤ t ≤ 1 ta có:
k(ta + (1 − t)bk ≤ ktak + k(1 − t)bk = tkak + (1 − t)kbk < t + 1 − t = 1.
Mặt khác kλxk = |λ|kxk ≤ kxk < 1. Suy ra B(0; 1) là lồi và cân.
Cuối cùng nếu x ∈ E thì do λx ∈ B(0; 1), ∀λ : |λ| <
1
kxk+1
nên B(0; 1) là tập
hút.
Việc chứng minh B[0; 1] là tập lồi, cân, hút là hoàn toàn tương tự.
14
1.7.2
Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.28. Không gian vector E cùng với một chuẩn k.k đã cho trên E
được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn hay thường gọi là không gian
định chuẩn.
Chú ý rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với khoảng cách
sinh bởi chuẩn:
d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.29. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian
Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian mêtric đầy.
Mệnh đề 1.30. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → kxk là liên
tục đều trên E .
Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh
xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε > 0 bất kỳ, chọn δ = ε . Khi đó
theo phần b) nhận xét 1 với mọi x, y ∈ E
nếu
d(x, y) = kx − yk < δ thì
kxk − kyk ≤ kx − yk = d(x, y) = δ = ε.
Điều này chứng tỏ hàm k.k : E → R liên tục đều trên E .
Mệnh đề 1.31. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vector trong E
là liên tục. Nghĩa là nếu x → x0 , y → y0 và λ → λ0 , (λ ∈ K) thì
x + y → x0 + y0 ,
λx → λ0 x0 .
Chứng minh. Thật vậy, phép chứng minh được suy ra nhờ các đánh giá dưới đây
k(x + y) − (x0 + y0 )k ≤ kx − x0 k + ky − y0 k
kλx − λ0 x0 k ≤ |λ|kx − x0 k + |λ − λ0 |kx0 k.
Với chú ý rằng E × E hay K × E được xét là không gian tích hữu hạn không gian
mêtric (khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn, khoảng cách trên K là
khoảng cách Euclide thông thường).
Nhận xét 1.32. Như vậy mọi không gian định chuẩn đều là một không gian metric.
Trong không gian định chuẩn chúng ta có các khái niệm về giới hạn của dãy điểm
15
dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, tập compact, tập bị chặn, tập hoàn toàn bị chặn,
về giới hạn của các không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác chính là
những khái niệm tương ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn
của không gian. Tóm lại các khái niệm và những tính chất cơ bản của không gian
metric được chuyển một cách cơ học sang cho không gian định chuẩn nói chung. Vì
vậy chúng ta sẽ không nhắc lại những đơn vị kiến thức này từ không gian metric và
coi đó là hệ quả trực tiếp.
16
Chương 2
Điểm bất động trong không gian
metric
Trong chương này chúng ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản nhất
của điểm bất động của ánh xạ, đặc biệt là ánh xạ co, ánh xạ co yếu và ánh xạ không
giãn trong không gian metric.
2.1
Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric
Trong mục này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co,
định lí cơ bản của Banach về điểm bất động của ánh xạ co.
Định nghĩa 2.1. Cho (M, ρ) là không gian metric với ρ là một metric trên M .
Khi đó T : M → M được gọi là ánh xạ Lipchitz nếu tồn tại một số k ≥ 0 sao cho
với mọi x, y ∈ M ,
ρ(T x, T y) ≤ kρ(x, y).
(2.1)
Số k nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xa T .
Ta gọi hằng số k(T ) và k(S) là hằng số Lipschitz của ánh xạ T và S tương ứng.
Đồng thời nếu cần thì kρ (T ) được gọi là hằng số Lipchitz của T theo metric ρ. Khi
đó
k(T ◦ S) ≤ k(T ).k(S).
Từ đó ta suy ra được
k(T n ) ≤ k n (T ),
∀n = 1, 2, . . .
Nếu T, S : M → M ở đó M là không gian tuyến tính định chuẩn thì
k(T + S) ≤ k(T ) + k(S),
17
và với α ≥ 0 thì
k(αT ) = αk(T ).
Ánh xạ T : M → M được gọi là ánh xạ co nếu k(T ) < 1. Chính xác hơn T là ánh
xạ co đối với metric ρ nếu kρ (T ) ≤ k < 1. Cụ thể, ta có định nghĩa ánh xạ co và
điểm bất động của ánh xạ co như sau.
Định nghĩa 2.2. Ánh xạ f : X → X từ không gian metric (X, ρ) vào chính nó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số θ : 0 6 θ < 1 sao cho
ρ(f (x), f (y)) 6 θρ(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Ánh xạ f gọi là không giãn trên X nếu
ρ(f (x), f (y)) 6 ρ(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Định nghĩa 2.3. Giả sử ánh xạ f : X → X từ không gian metric (X, ρ) vào
chính nó là ánh xạ co. Khi đó điểm x0 ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ
f : X → X nếu f (x0 ) = x0 .
Định lí cơ bản sau đây của Banach về điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric đầy.
Định lý 2.4. (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy vào chính nó
có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy và f : X → X là một
ánh xạ co. Lấy điểm tùy ý x0 ∈ X và đặt:
x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ..., (n = 0, 1, 2, ...),
Ta được dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X . Ta có:
ρ(x1 , x2 ) = ρ(f (x0 ), f (x1 )) 6 θρ(x0 , x1 )
ρ(x2 , x3 ) = ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 θ2 ρ(x0 , x1 )...
Bằng quy nạp ta có (∀n ∈ N∗ ), ρ(xn , xn+1 ) 6 θn ρ(x0 , x1 ). Từ đó, với mọi n, p ∈
N∗ ta có
0 6 ρ(xn , xn+p ) 6 ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + ... + ρ(xn+p−1 , xn+p )
6 (θn + θn+1 + ... + θn+p−1 )ρ(x0 , x1 )
18
(2.2)
- Xem thêm -