Tài liệu Tài liệu học tập Toán 10 - Đại số Chương 4

Gv: Trần Quốc Nghĩa 1 Phần 1 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT  Phần 1. BẤT ĐẲNG THỨC. GTLT - GTNN ............................................. 1 Chủ đề 1. BẤT ĐẲNG THỨC ..................................................................... 2 Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ................ 5 Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .............. 10 Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ................ 17 Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S.................................... 19 Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ ................................ 21 Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ........................................... 23 Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội .............................................. 25 Dạng 8. Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT .................................... 28 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức ......................................... 30 Chủ đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ..................... 35 - Biểu thức có thể có cả hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. ........................ 35 Dạng 1. Dùng tam thức bậc hai............................................................. 35 Dạng 2. Dùng BĐT Cauchy ................................................................... 37 Dạng 3. Dùng BĐT C.B.S ....................................................................... 41 Dạng 4. Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối ..................................... 43 Dạng 5. Dùng tọa độ vectơ .................................................................... 44 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN ......................................... 45 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 ................................................................. 49 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 ......................................................... 55 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình Chủ đề 1 2 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC Tóm tắt lí thuyết 1. Tính chất: Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số bất kì a0 a < b  ac < bc (3a) c<0 a < b  ac > bc (3b) Nhân hai vế Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều Nhân 2 vế BĐT khi biết nó dương: a > 0, c > 0 Nâng lên lũy thừa với n  a  b  ac bd c  d 0  a  b   ac  bd 0  c  d (4) (5) Mũ lẻ a  b  a 2n1  b2n1 (6a) Mũ chẵn 0  a  b  a 2 n  b2 n (6b) a0 ab a  b (7a) a bất kỳ ab 3 a  3 b (7b)  Lấy căn hai vế Nghịch đảo a, b cùng dấu a, b khác dấu 1 1  a b 1 1 ab  a b ab (8a) (8b)  Lưu ý:  Không có qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.  Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.  Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi. 2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác: Gv: Trần Quốc Nghĩa 3 Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:  a b  c  a b  a, b, c  0   bc  a  bc ca b  ca 3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:   x  x  x , với mọi số thực x  x  0; x  x; x   x , với mọi số thực x  x  a  a  x  a với a  0 x  a  x  a hoặc x  a với a  0   Định lí:  a, b ta có: a  b  ab  a  b . 4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cô-si hay AM-GM)  Định lí: Với hai số không âm a, b ta có:  ab    ab  2  2 ab  ab hay a  b  2 ab hay 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.  Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Tức là với hai số dương a, b có a + b = S không đổi thì: S2 S2  (ab) Max  , đạt được khi a = b 4 4 Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. 2 ab  S  ab   Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Tức là với hai số dương a, b có a. b = P không đổi thì: a  b  2 P  (a  b) M in  2 P , đạt được khi a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 4  Mở rộng: ① Với các số a, b, c không âm, ta có:  abc     abc 3 abc 3 3   abc hay a  b  c  3 abc hay  3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 3 ② Với n số a1, a2, a3, …, an không âm, ta có: a1  a2  a3  ...  an n  a1a2 a3 ...an n Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an. 5. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước khi dùng)  Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:  Dạng 1: (a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) a a1 a2   ...  n bn . Dấu “=” xảy ra  b1 b2  Dạng 2: a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) a a1 a2   ...  n bn . Dấu “=” xảy ra  b1 b2  Dạng 3: a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) a a1 a2   ...  n  0 bn Dấu “=” xảy ra  b1 b2 .  Hệ quả: a x  a x  ...  an xn  c  Nếu 1 1 2 2 là hằng số thì: Gv: Trần Quốc Nghĩa 5 min( x12  x22  ...  xn2 )  x x x c2  1  2  ...  n 2 2 2 a1  a2  ...  an a1 a2 an 2 2 2 2  Nếu x1  x1  ...  xn  c là hằng số thì: max(a1 x1  a2 x2  ...  an xn )  c a12  a22  ...  an2  x x1 x2   ...  n  0 a1 a2 an max(a1 x1  a2 x2  ...  an xn )   c a12  a22  ...  an2  x x1 x2   ...  n  0 a1 a2 an  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y là những số thực, ta có:  Dạng 1: (ax  by)2  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) . a b  Dấu “=” x y .  Dạng 2: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) . a b  Dấu “=” x y .  Dạng 3: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) . a b  0 x y Dấu “=” . Phương pháp giải toán Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh A  B bằng định nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau: Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 6 Hướng 1. Chứng minh A – B  0 Hướng 2. Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất đẳng thức đúng. Hướng 3. Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng. Hướng 4. Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại. Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 công việc thường là biến đổi A – B thành tổng các đại lượng không âm. Và với các bất đẳng thức A – B  0 chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ? B. BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a 2  b2  2ab ③ a2  b2  c2  ab  bc  ca ② a2  b2  1  ab  a  b a ac a ④ Nếu  1 thì  b bc b ⑤ a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b) ⑥ a 2  x2  b2  y 2  (a  b)2  ( x  y)2 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Gv: Trần Quốc Nghĩa 7 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a 2  b2  c2  3  2(a  b  c) ② a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca) a2  b2  c 2  ab  ac  2bc ③ 4 ④ a4  b4  c2  1  2a(a 2b  a  c  1) ⑤ a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a 2 )  6abc ⑥ a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e) 1 1 1 1 1 1   ⑦    , với a, b, c  0 a b c ab bc ca Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 8 ⑧ a  b  c  ab  bc  ca , với a, b, c  0 1.2 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 3  b3  a  b    , với a, b  0 2  2  3 ① ② a4  b4  a3b  ab3 ③ a 4  3  4a2 ④ a3  b3  c3  abc , với a,b,c  0 a 6 b6 a2  3 ⑤ a  b  2  2 , với a, b  0 ⑥ 2 b a a2  2 1 1 2 ⑦ , với a, b  1   2 2 1  a 1  b 1  ab ⑧ (a5  b5 )(a  b)  (a 4  b4 )(a 2  b2 ) , với ab  0 4 1.3 4 Cho a, b, c, d , e . Chứng minh a 2  b2  2ab (1). Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① (a 2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc ② (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d 2  4)  256abcd ③ a4  b4  c4  d 4  4abcd 1.4 Cho a, b, c  . Chứng minh a 2  b2  c 2  ab  bc  ca (2). Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① (a  b  c)  3(a 2  b2  c 2 ) ② a 4  b4  c4  abc(a  b  c) ③ (a  b  c)  3(ab  bc  ca) a 2  b2  c 2  a  b  c   ④  3 3   2 ⑤ abc ab  bc  ca  , với a, b, c  0 3 3 ⑥ a4  b4  c4  abc , với a  b  c  1 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa 9 a ac a (3).  1 thì  b bc b Áp dụng bất đẳng thức (3) để chứng minh các bất đẳng thức sau: a b c ①   2 ab bc ca a b c d ② 1    2 a bc bcd cd a d a b ab bc cd d a ③ 2    2 abc bcd cd a d a b 1.5 Cho a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng: nếu 1.6 Cho a, b, c  . Chứng minh a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b) (4). Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh các bất đẳng thức sau: a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3    2(a  b  c) ab bc ca 1 1 1 1 ② 3 3 , a, b, c  0  3 3  3  3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 1 1 ③ 3 3  3 3  3  1 , với abc  1 a  b  1 b  c  1 c  a3  1 1 1 1 ④    1 , với a, b, c  0 và abc  1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 ① ⑤ 1.7 3 4  a3  b3   3 4  b3  c3   3 4  c3  a3   2(a  b  c) , a, b, c  0 Cho a, b, x, y  xki): . Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp- a 2  x 2  b2  y 2  (a  b)2  ( x  y)2 (5). Áp dụng (5): ① Cho a, b  0 thỏa a  b  1. Chứng minh: 1  a 2  1  b2  5 ② Tìm GTNN của P  a 2  1 1  b 2  2 , với a, b  0 2 b a ③ Cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  1 . Chứng minh: x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 10 Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):   x  y  2 xy ①  Với x, y  0 thì  . Dấu “=” xảy ra khi x  y . 2 2   x  y  2 xy ②  Với x, y   x  y 2  xy ③  thì  2  .Dấu “=” xảy ra khi x  y .  2 ( x  y )  4 xy ④  x  y  z  3 3 xyz ⑤   Với x, y, z  0 thì  x  y  z 3 . Dấu “=” khi x  y  z  xyz ⑥   3   B. BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① (a  b)2  4ab 1 1 4 ③   a b ab ② 2(a 2  b2 )  (a  b)2 1 1 1 9 ④    a b c abc ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Gv: Trần Quốc Nghĩa 11 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a b   2  a, b  0  b a x 2 ③   3  x  2  2 x2 ① x 18   6  x  0  2 x 1 10 ④ a   a  3 a 3 ② ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình Dạng 1: 12 1 1 1 1 4    4 hay   (1) x y x y x y  x  y Dấu “=” xảy ra khi x = y Dạng 2: 1 1 1 1 1 1 9     9 hay    (2) x y z x yz x y z  x  y  z Dấu “=” xảy ra khi x = y = z VD 1.4 Cho a, b  0 . Chứng minh 1 1 4 (1). Áp dụng bất đẳng   a b ab thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 1 1   1   ①    2   a, b, c  0  a b c  a b bc ca  1 1 1 1 1 1      2   ②  ab bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   a, b, c  0 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Gv: Trần Quốc Nghĩa 13 Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho a, b, c  0 . Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau: a b c 3    bc ca a b 2 b  c  x  HD: Đặt c  a  y a  b  z  ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại: 1.8 Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a 2  b2  2ab 1 1 1 ③ ( a  b  c)      9 a b c ② (a  b)(1  ab)  4ab 1 1 ④ ( a  b)     4 a b Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình  a  b  c  ⑤ 1  1  1    8  b  c  a  ⑥ ⑦ (1  a  b)(a  b  ab)  9ab ⑧ ⑨ 3a3  7b3  9ab2 ⑪ 1.9  a b  2 14 1 1 1 1 16     a b c d a bcd  a b  8  64ab(a  b)2 ⑩ (a  b)(b  c)(c  a)  8abc a4  2, a  3 a3 ⑫  2 2(a  b) ab Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a  b  c  ab  bc  ca ② ab  bc  ca  abc ③  a b c ab bc ac    abc c a b ⑤ ab  a b   a  b 1 b a  ④ a b c 1 1 1      bc ca ab a b c ⑥ a 3 b3 c 3    ab  bc  ca b c a 1.10 Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 3 b3 c 3    abc b2 c 2 a 2 ① a 2 b2 c 2    abc b c a ③ a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3         abc ④ b2 c 2 a 2 b c a bc ca ab ⑤ a 3 b3 c 3    ab  bc  ca b c a ② ⑥ a 5 b5 c 5  3  3  a 2  b2  c 2 3 b c a Loại 2: Tách cặp nghịch đảo 1.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a ③ 1 9  a2 4 x 8 6 x 1  a  2   x  1 a2  2  2  a   a2  1 1  3  a  b  0  ④ a a ( a  b) ② Gv: Trần Quốc Nghĩa 15 Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1.12 Cho a, b  0 . Chứng minh 1 1 4 (1). Áp dụng bất đẳng   a b ab thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c  0 : ① 1 1 1 1 1   1    2    a b c  ab bc ca  ② 1 1 1 1 1 1      2    ab bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b  ③ 1 1 1 1 1 1    1 với    4 2a  b  c a  2b  c a  b  2c a b c ④ ab bc ca a bc    ab bc ca 2 1.13 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1    2    p a p b p c a b c 1.14 Cho a, b, c  0 . Chứng minh 1 1 1 9 (2). Áp dụng    a b c a bc bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① 2 2 2 9     a, b, c  0  a b bc c a a bc 1 1  3  1   ②  a 2  b2  c 2     (a  b  c)  a, b, c  0   ab bc ca  2 x y z 3     x  y  z  0; x  y  z  1 ③ x 1 y 1 z 1 4 1 1 1  2  2  9  a, b, c  0  a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 1 1     30  a, b, c  0  ⑤ 2 2 2 a  b  c ab bc ca ④ 2 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: 1.15 Cho x  2014 . Chứng minh bất đẳng thức sau: x  2013 x  2014 1 1    x2 x 2 2015 2 2014  a  x  2013  0 HD: Đặt   b  x  2014  0 1.16 Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z 3    2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4 a  2 x  y  z  0  HD: Đặt b  x  2 y  z  0 c  x  y  2 z  0  16 Gv: Trần Quốc Nghĩa 17 Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacôpski mà ở đây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số. 1. Cho a, b  và x, y  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ hai  a b  số:  ; ,  x y      x , y ta được: Bunhiacôpski    a 2 b2  a b a 2 b 2 (a  b) 2  x  y  . x  . y           x  y x y x y y  x   (1) 2. Cho a, b, c  và x, y, z  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ  a b c  ba số:  ; , ,  x y z      x , y , z ta được: Bunhiacôpski    a 2 b2 c 2  a b c . x . y . z      x  y  z     y z  y z  x  x  a 2 b 2 c 2 (a  b  c) 2 (2)     x y z x yz B. BÀI TẬP MẪU a2 b2 c2 abc    VD 1.6 Chứng minh: , với a, b, c  0 bc ca a b 2 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 18 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.17 Chứng minh: a b c ①    1 , với a, b, c  0 b  2c c  2a a  2b a b c 3 ②    , với a, b, c  0 bc ca a b 2 a3 b3 c3 a 2  b2  c 2 , với a, b, c     bc c a a b 2 a b c 9    ④ , với a, b, c  0 2 2 2 (b  c) (c  a) (a  c) 4(a  b  c) ③ ⑤ a2 b2 c2    1 , với a, b, c  0 và a  b  c  3 . a  2b2 b  2c 2 c  2a 2 1.18 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ① a2 b2 c2    abc bc a c  a b a bc ② a3 b3 c3    a 2  b2  c 2 bc a c  a b a b c 1.19 Với a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh rằng: a b c   1 a  2bc b  2ac c  2ab a b c   1 ② 2a  bc 2b  ac 2c  ab ① Gv: Trần Quốc Nghĩa 19 Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho a, b, c, x, y, z  Cho a, b, x, y  ① (ax  by)  (a  b )( x  y ) ❶ (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y 2  z 2 ) a b  a b c Dấu “=”xảy ra khi x y   Dấu “=”xảy ra khi x y z 2 ② 2 2 2 2 ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) ❷ ax  by  cz  (a 2  b2  c2 )( x2  y 2  z 2 ) a b  x y Dấu “=”xảy ra khi ③ a b c   Dấu “=”xảy ra khi x y z ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) ❸ ax  by  cz  (a 2  b2  c2 )( x 2  y 2  z 2 ) a b  0 a b c Dấu “=” xảy ra khi x y   0 x y z Dấu “=” xảy ra khi B. BÀI TẬP MẪU VD 1.7 Chứng minh rằng nếu x  y  1 thì 3x  4 y  5 2 2 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 20 ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.20 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① Nếu x2  y 2  1 thì 3x  4 y  5 ② Nếu x2  2 y 2  8 thì 2 x  3 y  2 17 ③ Nếu x 2  4 y 2  1 thì x  y  5 2 ④ Nếu 36 x 2  16 y 2  9 thì y  2 x  5 4 1.21 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① Nếu x [1; 3] thì A  6 x 1  8 3  x  10 2 ② Nếu x [1; 5] thì B  3 x  1  4 5  x  10 ③ Nếu x [  2; 1] thì C  1  x  2  x  6 ④ Nếu x [4; 13] thì D  2 x  4  13  x  3 5 1.22 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① Nếu x2  y 2  1 thì x  2 y  5 ② Nếu 3x  4 y  1 thì x 2  y 2  1 25 ③ Nếu 4 x  3 y  15 thì x2  y 2  9