Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
ÑAÏI SOÁ
Chuyeân ñeà 3:
PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
Vaán ñeà 1:
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
B 0
AB
2n
A B
1.
2n
2.
2n
3.
2n 1
4.
5.
A
2n
A
B 0 (hayA 0)
B
A B
2n 1
A B
B AB
A 0
C B 0
A B
A 0
B 0
A B C C 0
A B
2
2
(vôùi n
*
(vôùi n
*
)
(vôùi n
*
)
)
C
C2
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3x (x R).
Giaûi
Ñieàu kieän: –2 x 2.
Ñaët t = 3 2 x 6 2 x
t2 = 9(2 + x) – 36
2 x 2 x
+ 36(2 – x) = 9(10 – 3x – 4 4 x2 )
t2
= 0 t = 0 hoaëc t = 9.
9
Vôùi t = 0: 3 2 x 6 2 x 0 3 2 x 6 2 x
6
9((2 + x) = 36(2 – x) x (Thoûa ñieàu kieän–2 x 2) .
5
Vôùi t = 9: 3 2 x 6 2 x 9 3 2 x 6 2 x 9 (*).
3 2 x 6
Do –2 x 2 neân
. Suy ra phöông trình (*) voâ nghieäm.
6 2 x 9 9
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t –
97
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù moät nghieäm x
6
.
5
Caùch khaùc:
Ñaët u =
2 x vaø v =
2 x (u 0, v 0) thì :
u.v = 4 x2
u2 2 x
u2 + 4v2 = 10 – 3x vaø u2 + v2 = 4
2
v 2 x
3u 6v 4uv u2 4v2
Do ñoù phöông trình ñaõ cho trôû thaønh
2
2
u v 4
2
2
(1)
(2)
2
(1) 3u – 6v = u + 4v – 4uv 3(u – 2v) = (u – 2v)
u – 2v = 0 hoaëc 3 = u – 2v
2
4
4
2
ª Vôùi u = 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc v
v
u
5
5
5
4
16
2x 5
2 x 5
6
Suy ra:
x
5
2x 2
2 x 4
5
5
Vôùi u = 3 + 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc (3 + 2v)2 + v2 = 4 5v2 +12v +5 = 0
Phöông trình naøy voâ nghieäm vì v 0 .
ª
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Giaûi phöông trình
3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 (x
).
Giaûi
1
x 6
3
1
Vôùi ñieàu kieän x 6, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
3
Ñieàu kieän:
3x 1 4 1 6 x 3x2 14x 5 0
3x 15
3x 1 4
x – 5 = 0 hay
x5
1 6 x
3
(x 5)(3x 1) 0
3x 1 4
1
1 6 x
(3x 1) 0
1
neân 3x + 1 0
3
3
1
(3x 1) 0 voâ nghieäm
3x 1 4 1 6 x
Nhaän xeùt: x
Do ñoù
Vaäy phöông trình ñaõ cho chæ coù moät nghieäm x = 5.
98
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: 23 3x 2 3 6 5x 8 0 x
.
Giaûi
6
Ñieàu kieän x . Khi ñoù ñaët u 3 3x 2 vaø v 6 5x, v 0 (*)
5
u3 3x 2
Ta coù
5u3 3v2 8
2
v 6 5x
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh heä:
8 2u
8 2u
v 3
2u 3v 8
v
3
3
2
2
5u 3v 8
15u3 4u2 32u 40 0
5u3 3 8 2u 8
3
8 2u
v 3
u = 2 vaø v = 4 (nhaän)
u 2 15u2 26u 20 0
Theá u = 2 vaø v = 4 vaøo (*), ta ñöôïc:
3
3x 2 8
3x 2 2
x = 2 (nhaän)
6
5x
16
6
5x
4
Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 2
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI D NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 3 x2 5x 10 5x x2
Giaûi
Ñaët t =
x2 5x 10 (vôùi t 0 ) suy ra t2 = x2 – 5x + 10 5x – x2 = 10 t2
t 5 loaï i
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 3t = 10 t2
t 2
Vaäy
x 3
.
x2 5x 10 = 2 x2 5x + 10 = 4
x 2
Baøi 5: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007
Giaûi phöông trình:
3x 7 x 1 = 2.
Giaûi
Ñieàu kieän: x 1
Vôùi ñieàu kieän x 1, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
99
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
3x 7 x 1 + 2 3x + 7 = x + 5 + 4 x 1
x 1
x + 1 = 2 x 1 (x + 1)2 = 4(x + 1)
(thoûa x 1)
x 3
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:
2x 1 x2 3x 1 0 (x
).
Giaûi
Ñaët t =
2x 1
(t 0) t 2 = 2x 1 x =
t2 1
.
2
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: t 4 4t 2 4t 1 0
(t 1)2 (t 2 2t 1) 0
t 1,
Vôùi t = 1 ta coù x = 1. Vôùi t =
t 2 1 (nhaän)
2 1 , ta coù x = 2
Vaäy phöông trình coù nghieäm: x = 1; x = 2
2
2
Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:
3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x 2
(1)
Giaûi
Ñaët t =
3x 2 x 1
t 0 suy ra
t 2 4x 3 2 3x2 5x 2 4x 2 3x2 5x 2 t 2 3. Khi ñoù:
t 2 loaï i
(1) trôû thaønh: t = t2 – 6 t2 – t – 6 = 0
t 3 nhaä n
Khi ñoù: (1)
3x 2 x 1 3 (*)
3x 2 0
Ñieàu kieän:
x 1 (a)
x 1 0
Vôùi ñieàu kieän x 1, phöông trình (*) töông ñöông:
3x – 2 + x – 1 + 2 3x 2 x 1 9 3x 2 x 1 6 2x
6 2x 0
x 3
2 2
x 19x 34 0
3x 2 x 1 6 2x
x 3
x 2 x 2 thoaû ñieàu kieän (a)
x 17
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 2.
100
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: x + 2 7 x = 2 x 1 x2 8x 7 1 (x
)
Giaûi
7 x 0
Ñieàu kieän x 1 0
1x7
2
x 8x 7 0
Vôùi ñieàu kieän 1 x 7, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
x 1 7 x
x – 1 – 2 x 1 2 7 x
x 1
x 1 2 7 x
x 1 2
=0
x 1 2 = 0
x 1 7 x = 0
x 1 2
x 5
x 4
x 1 7 x
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Giaûi phöông trình sau: 2 x 2 2 x 1 x 1 4
Giaûi
Ñieàu kieän: x 1
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
2
x 1 1
2
x 1 4 2
x 1 1 x 1 4
x 1 2 x 3 nhaä n
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
Giaûi phöông trình:
3x 3 5 x 2x 4 . (1)
Giaûi
3x 3 0
Ñieàu kieän: 5 x 0 2 x 5
2x 4 0
(a)
Vôùi ñieàu kieän 2 x 5, phöông trình (1) töông ñöông:
3x 3 2x 4 5 x
3x 3 2x 4 5 x 2 (2x 4)(5 x)
(2x 4)(5 x) x 2 (2x 4)(5 x) (x 2)2
(x 2) 2(5 x) (x 2) 0
x 2 x 4 thoû a ñieà u kieä n (a)
101
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 11:
Chöùng minh raèng phöông trình sau coù ñuùng moät nghieäm: x5 x2 2x 1 = 0.
Giaûi
Ta coù x5 x2 2x 1 = 0
(1)
(1) x5 = (x + 1)2 ñieàu kieän x 0
Vôùi 0 x < 1 thì VT < 1 vaø VP 1 (1) voâ nghieäm
Do ñoù chæ xeùt x 1
Xeùt f(x) = x5 x2 2x 1,
x 1
4
f'(x) = 5x 2x 2 = 2x (x3 1) + 2(x4 1) + x4 > 0, x 1
Do ñoù f(x) taêng treân [1; +), f lieân tuïc
Vaø f(1); f(2) < 0 neân f(x) = 0 luoân coù nghieäm duy nhaát.
Baøi 12:
Giaûi phöông trình:
x 4 x 4 2x 12 2 x2 16 .
Giaûi
x 4 0
Ñieàu kieän:
x4
x 4 0
x 4 x 4 t 0 t2 = 2x + 2 x2 16
Ñaët t =
t 4
Phöông trình (1) trôû thaønh: t2 – t – 12 = 0
t 3 (loaï i)
x 4 x 4 4 2x + 2 x2 16 16 vaø x 4
4 x 8
4 x 8
x 5.
x2 16 8 x vaø x 4 2
2
x 5
x 16 8 x
Vôùi t = 4:
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
Vaán ñeà 2:
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
102
1.
B 0
A B A 0
2
A B
2.
B 0
B 0
A B
hay
2
A 0
A B
3.
A
B 0
B
A B
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
Giaûi baát phöông trình:
x x
1 2(x2 x 1)
1
Giaûi
Ñieàu kieän x 0. Khi ñoù:
x x
1 2(x2 x 1)
1
x x 1 2(x2 x 1)
1 2(x2 x 1)
0 (*)
Nhaän xeùt:
2
1 3
3
Maãu soá: 1 2(x2 x 1) 1 2 x 1
0
2 4
2
Do ñoù baát phöông trình (*) trôû thaønh:
x x 1 2(x2 x 1) ≤ 0
2(x2 x 1) x x 1
x x 1 0
2(x2 x 1) x x 1
2
x x 1 0
2
2
2(x x 1) x x 1 2x x 2x 2 x
x x 1 0
x x 1 0
2
2
x x 1 2x x 2 x 0
(x 1) 2 x(x 1) x 0
x x 1 0
x x 1 0
2
(x 1 x) 0
x 1 x 0
0 x 1
x (1 x) 1 0
2
x (1 x)
x 1 x
0 x 1
0 x 1
2
3 5
x
x 3x 1 0
2
x
3 5
2
Caùch khaùc:
Ñieàu kieän: x 0. Vì 1 2(x2 x 1) 0 neân
103
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
x x
1 2(x x 1)
2
1 x x 1 2(x2 x 1)
(1)
• x = 0: (1) khoâng thoûa.
• x > 0: Chia hai veá cuûa baát phöông trình (1) cho
(1) x 1
Ñaët t
1
x
1
1
1
1
2 x 1 2 x 1
x 1
x
x
x
x
x
(1) trôû thaønh:
x ta ñöôïc
1
x t2 2
x
t 1
2(t 2 1) t 1 2
2
2t 2 t 2t 1 (*)
t 1
t 1
(*) 2
t=1
2
t 2t 1 0 t 1 0
Do ñoù:
1
x
x 1 x x 1 0
1 5
x
62 5 3 5
2
.
x
4
2
1 5
(loaï i)
x
2
Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Giaûi baát phöông trình:
x 1 2 x 2 5x 1 x
Giaûi
x 1 2 x 2 5x 1
x 2
x 2
x 2
2
2 x 3.
2 x 3
x 1 x 2 2
x x 6 0
Baøi 3: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007
Giaûi baát phöông trình:
5x2 10x 1 7 2x x2 . (1)
Giaûi
5x2 10x 1 7 2x x2
Ñieàu kieän ñeå caên baäc hai coù nghóa laø:
5x2 + 10x + 1 0 x
Vôùi ñieàu kieän ñoù ta coù: (1)
104
5 2 5
5 2 5
(*)
hoaë c x
5
5
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
5 5x2 10x 1 36 5x2 10x 1 (*)
Ñaët t 5x2 10x 1, t 0
(*) trôû thaønh t2 + 5t – 36 0 t 4 (nhaän) t 9 (loaïi)
Vôùi t 4, ta coù:
5x2 10x 1 4 x2 + 2x – 3 0
x 3 x 1 (nhöõng giaù trò naøy ñeàu thoûa ñieàu kieän (*)).
Baøi 4: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN NAÊM 2007
Giaûi baát phöông trình:
x2 4x > x – 3. (1)
Giaûi
2
Ñieàu kieän: x – 4x 0 x 0 x 4
Tröôøng hôïp 1: x – 3 < 0 x < 3: (1) ñuùng so saùnh vôùi ñieàu kieän ñöôïc x 0
Tröôøng hôïp 2: x 3
(1) x2 – 4x > x2 – 6x + 9 x >
So vôùi ñieàu kieän x 3 ta nhaän x >
Keát luaän: nghieäm x 0; x >
9
2
9
2
9
2
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
Giaûi baát phöông trình:
5x 1 x 1 2x 4
Giaûi
5x 1 0
Ñieàu kieän: x 1 0 x 2
2x 4 0
Khi ñoù baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)
x+2>
(2x 4)(x 1) x2 4x 4 2x2 6x 4
x2 10x 0 0 x 10
Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù:
2 x < 10 laø nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho.
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Giaûi baát phöông trình:
8x2 6x 1 4x 1 0
Giaûi
8x2 6x 1 4x 1 0 8x2 6x 1 4x 1
105
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
1
1
x 4 x 2
1
x
4
2
8x 2x 0
8x2 6x 1 0
4x 1 0
2
2
8x 6x 1 (4x 1)
1
1
x 4 x 2
1
1
x x .
1
4
2
x 0 x
4
Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi baát phöông trình:
2x 7 5 x 3x 2 (1)
Giaûi
2x 7 0
2
Ñieàu kieän 5 x 0 x 5 (a)
3
3x 2 0
(1)
2x 7 3x 2 5 x
2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x
3x 2 5 x 2 (3x – 2)(5 – x) 4
14
3x2 – 17x + 14 0 x 1 x
3
2
14
So vôùi ñieàu kieän (a) ta coù nghieäm x 1 hay
x5
3
3
Baøi 8:
Giaûi baát phöông trình:
2 x2 16
x3
x3
7x
x3
Giaûi
x 3
x 3 0
x 4
Ñieàu kieän 2
x 16 0
x 4
x4
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
2 x2 16 x 3 7 x
10 2x 0
10 2x 0
V
2
2
2 x2 16 10 2x
x 16 0
106
2 x2 16 10 2x
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
x 5
4 x 5
x 10 34
10 34 x 10 34
Baøi 9:
Giaûi baát phöông trình x2 3x
2x2 3x 2 0
Giaûi
x2 3x
2x2 3x 2 0
2
2x 3x 2 0
2x2 3x 2 0
2
x 3x 0
1
1
x < V x > 2
x x=2
2
2
x
0
x 3
x
1
x 3 x = 2.
2
Baøi 10: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM
Giaûi baát phöông trình:
x 1 x 1 4
Giaûi
x 1
x 1
x 1 x 1 4
2
2
2x 2 x 1 16
x 1 8 x
x 1
1 x 8
65
8 x 0
65 1 x
16
x
2
2
16
x 1 x 16x 64
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Vaán ñeà 3:
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
A x B1y C1
Daïng 1: 1
, Vôù i A12 A22 B12 B22 0
A
x
B
y
C
2
2
2
Laäp: D
A1 B1
A2 B2
Dx
C1 B1
C2 B2
A1B2 A2 B1
C1B2 C2 B1 ;
Dy
A1 C1
A2 C2
A1C2 A2 C1
107
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
x
Neáu D 0: heä coù duy nhaát nghieäm:
y
Dx
D
Dy
D
D 0
Neáu
: heä voâ nghieäm.
Dx 0 (hoaë c Dy 0)
Neáu: D = Dx = Dy = 0: heä coù voâ soá nghieäm
f(x, y) 0
f(x, y) f(y, x)
Daïng 2: Ñoái xöùng loaïi 1:
vôù i
g(x, y) 0
g(x, y) g(y, x)
S x y
Ñaët:
(ñieà u kieä n S2 4P)
P x.y
F(S, P) 0
Ta ñöôïc heä:
ta tìm ñöôï c S, P
E(S, P) 0
Khi ñoù x,y laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 SX P 0
f(x, y) 0
Daïng 3: Ñoái xöùng loaïi 2:
f(y, x) 0
(1)
(2)
y x
Laáy (1) tröø (2) veá theo veá ta ñöôïc : (y x). h(x, y) = 0
h(x, y) 0
(a)
(b)
(a) vaø (1)
Keát hôïp:
(b) vaø (1)
Daïng 4: Heä toång quaùt: Thöôøng bieán ñoåi ñeå nhaän ra aån soá phuï, sau ñoù duøng
phöông phaùp theá ñeå giaûi tieáp.
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
5x2 y 4xy2 3y3 2 x y 0
Giaûi heä phöông trình:
2
xy x2 y2 2 x y
2
Ta coù : (2) xy x y
2
2x
(1)
(2)
Giaûi
2
y2 2xy
xy 1 x2 y2 2 0 xy 1 x2 y2 2 .
x2 y2 xy 1 2 xy 1 0
2
2
3
5x y 4xy 3y 2 x y 0
Tröôøng hôïp 1:
xy 1
108
(1)
(3)
(x, y R).
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Ta coù: (3) y
1
(Vì x = 0 khoâng laø nghieäm) theá vaøo (1) ta ñöôïc:
x
2
3
1
1
1
1
(1) 5x2 4x 3 2 x 0
x
x
x
x
4 3
2
6 3
5x 3 2x 0 3x 3 0 3x4 6x2 3 0
x x
x
x x
2
x
1
y
1
3 x2 1 0
.
x 1 y 1
2
2
3
5x y 4xy 3y 2 x y 0
Tröôøng hôïp 2:
2
2
x y 2
Theá (4) vaøo (1) ta ñöôïc:
(1)
(4)
(1) 5x2 y 4xy2 3y3 x2 y2 x y 0
4x2 y 5xy2 2y3 x3 0
2
3
x
x
x
4 5 2 0 (*) (Chia hai veá cho y3 0)
y
y
y
x
Ñaët t = . Phöông trình (*) trôû thaønh:
y
2
4t 2 5t 2 t3 0 t3 4t 2 5t 2 0 t 1
t 2 0
t = 1 hay t = 2.
x
x
Vaäy (*)
= 1 hay
=2
y
y
Vôùi
x
= 1 ñaõ xeùt ôû tröôøng hôïp 1.
y
Vôùi
x
= 2 x = 2y theá vaøo x2 y2 2 ta ñöôïc:
y
10
2 10
x
y
2
5
2y y2 2 y2 5 5
10
2 10
x
y
5
5
Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm:
2 10
2 10
x
x
x
1
x
1
5
5
.
y
1
y
1
10
10
y 5
y 5
2
109
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
2
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)
Giaûi heä phöông trình:
(x, y
2
2
(2)
4x y 2 3 4x 7
).
Giaûi
Ñieàu kieän: x
3
. Ñaët u = 2x; v 5 2y
4
Phöông trình (1) trôû thaønh
u(u2 + 1) = v(v2 +1) (u v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 u = v
3
0 x 4
Nghóa laø: 2x 5 2y
2
y 5 4x
2
Phöông trình (2) trôû thaønh
25
6x2 4x4 2 3 4x 7 (*)
4
Xeùt haøm soá f(x) 4x4 6x2
f '(x) 4x(4x2 3)
4
3x 4
25
3
2 3 4x treân 0;
4
4
<0
1
1
Maët khaùc: f 7 neân (*) coù nghieäm duy nhaát x =
vaø y = 2.
2
2
Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát x =
1
vaø y = 2.
2
Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010
2 2x y 3 2x y
Giaûi heä phöông trình:
(x, y
2
2
x
2xy
y
2
).
Giaûi
2 2x y 3 2x y (1)
. Ñieàu kieän : 2x + y 0 (*)
2
2
(2)
x 2xy y 2
(1) (2x y) 2 2x y 3 0
2x y 1 hay
2x y 3 (loaïi)
2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)
Thay (3) vaøo (2) ta coù: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = 2
x2 + 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = –3
Khi x = 1 thì y = –1 thoûa maõn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thoûa maõn (*))
110
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
x 1
x 3
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø
hay
y 1
y 7
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
xy x 1 7y
Giaûi heä phöông trình: 2 2
x, y
2
x y xy 1 13y
.
Giaûi
Vì y = 0 khoâng thoûa maõn heä ñaõ cho, neân
x 1
x y y 7
Heä ñaõ cho töông ñöông:
x2 x 1 13
y y2
Ñaët a = x
(chia 2 veá cho y)
(chia 2 veá cho y2 )
1
x
; b=
y
y
Ta coù a = x
1
1
x
1
a2 x2 2 2 x2 2 a2 2b
y
y
y
y
a b 7
a b 7
a b 7
Heä trôû thaønh 2
2
2
a b 13
a a 20 0
a 2b b 13
a 5
a 4
hay
.
b 12
b 3
1
1
x y 4
x y 5
Vaäy
hay
x 3
x 12
y
y
x2 4x 3 0
x2 5x 12 0
hay
(VN)
x 3y
x 12y
x 1
x 3
1 hay
y 1
y 3
1
Heä coù 2 nghieäm (x; y) = (1; ) ; (x; y) = (3; 1).
3
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
x x y 1 3 0
Giaûi heä phöông trình
x, y
5
2
x y 2 1 0
x
.
111
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Giaûi
Ñieàu kieän x 0
x(x y) x 3
Heä ñaõ cho töông ñöông: 2
2
2
x (x y) x 5
(*)
Ñaët t = x(x + y). Heä (*) trôû thaønh:
tx3
tx3
x2
x 1
tx3
2
2
2
t 1
t x 5
t 2
tx 2
(t x) 2tx 5
x2
x2
x 1
x 1
Vaäy
3
y
x(x y) 1
x(x y) 2
y 1
2
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
Giaûi heä phöông trình:
x 4 y2 xy(1 2x) 5
4
Giaûi
5
2
2
x y xy(x y) xy 4
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi :
(x2 y)2 xy 5
4
5
u u.v v
4
Ñaët u = x2 + y, v = xy ta coù heä:
5
u2 v
4
Laáy (2) tröø (1) veá theo veá ta ñöôïc:
u 0
u2 – u – uv = 0 u(u – 1 – v) = 0
v u 1
5
Tröôøng hôïp 1: u = 0 thay vaøo (2) v
4
5
x2 y 0
y x2
x 3
4
Vaäy
5 3 5
xy
x
y 3 25
4
4
16
Tröôøng hôïp 2: v = u – 1 thay vaøo (2) ta ñöôïc:
5
1
3
u2 u 1 u v
4
2
2
112
(1)
(2)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
1
1
2
2 3
x
x 1
x y 2
2x
2
Vaäy:
3
xy 3
y 3
y 2
2
2x
5
25
3
Heä phöông trình coù 2 nghieäm laø: 3 ; 3
vaø 1; .
2
4
16
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
4
3
2 2
x 2x y x y 2x 9
Giaûi heä phöông trình:
2
x 2xy 6x 6
(x, y )
Giaûi
x4 2x3y x2 y2 2x 9
Giaûi heä phöông trình:
2
x 2xy 6x 6
(x, y )
(x2 xy)2 2x 9
2
2
x2
x 3x 3 2x 9
x2
3
xy 3x 3
2
x 0
x4 + 12x2 +48x2 + 64x = 0 x(x + 4)3 = 0
x 4
x = 0 khoâng thoûa maõn heä phöông trình
17
x = 4 y
4
17
Nghieäm cuûa heä phöông trình laø: 4; .
4
Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
2
2
xy x y x 2y
Giaûi heä phöông trình:
x 2y y x 1 2x 2y
(x, y )
Giaûi
2
2
xy x y x 2y
Heä phöông trình:
x 2y y x 1 2x 2y
(1)
(2)
(x,y )
x 1
Ñieàu kieän:
y 0
(1) xy + y2 + x + y – (x2 – y2) = 0
y(x + y) + x + y – (x + y)(x – y) = 0
113
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
y x
(x + y)(2y – x + 1) = 0
x 2y 1
* Tröôøng hôïp 1: y = x. Do ñieàu kieän y 0 x 0 loaïi
* Tröôøng hôïp 2: Thay x = 2y + 1 vaøo (2) ta ñöôïc:
(2y 1) 2y y 2y 2y 2 (y 1)
y 1
2y 2 0 y 2 y 2
y 0
Vaäy heä coù nghieäm x = 5; y = 2.
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007
3
x 2y x 2
Giaûi heä phöông trình:
3
y 2x y 2
Giaûi
3
x 2y x 2
x3 2y x 2
3
x y x2 xy y2 x y
y 2x y 2
x3 2y x 2
x y
3
x 2y x 2
2
2
x xy y 1
I
II
x 1 x 2
(I)
; (II) x2 + xy + y2 + 1 = 0
y
1
y
2
Do y2 4(y2 + 1) < 0 neân (II) voâ nghieäm.
Vaäy heä coù nghieäm (1; 1); (2; 2)
Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
x y xy 3
Giaûi heä phöông trình:
x 1 y 1 4
(x, y )
Giaûi
Ñieàu kieän: x 1, y 1, xy 0. Ñaë t t = xy (t 0).
Töø phöông trình thöù nhaát cuûa heä suy ra: x + y = 3 + t.
Bình phöông hai veá cuûa phöông trình thöù hai ta ñöôïc:
x y 2 2 xy x y 1 16
(1)
2
Thay xy = t , x + y = 3 + t vaøo (1) ta ñöôïc:
3 t 2 2 t 2 3 t 1 16 2 t 2 t 4 11 t
114
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
0 t 11
0 t 11
2
2
t 3
2
4(t t 4) (11 t)
3t 26t 105 0
Vôùi t = 3 ta coù x + y = 6, xy = 9.
Suy ra nghieäm cuûa heä laø: (x; y) = (3; 3).
Baøi 11: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
2
x 1 y(y x) 4y
Giaûi heä phöông trình:
(x, y
2
(x 1)(y x 2) y
).
Giaûi
2
x 1 0
Xeùt y = 0 heä phöông trình trôû thaønh
voâ nghieäm
2
(x 1)(x 2) 0
Xeùt y 0. Chia 2 veá cuûa hai phöông trình trong heä cho y ta ñöôïc:
x2 1
yx4
y
(*)
2
x 1
y (y x 2) 1
Ñaët: u
u v 2
u 1
x2 1
vaø v = y + x – 2 thì (*) trôû thaønh:
y
u.v 1
v 1
x2 1
x2 1 y
1
x 1
x 2
x2 1 3 x
Vaäy: y
.
hay
y 2
y 5
y x 2 1
y 3 x
y 3 x
Baøi 12: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
2
2
(x y)(x y ) 13
Giaûi heä phöông trình:
2
2
(x y)(x y ) 25
(x, y
)
Giaûi
2
2
2
2
(x y)(x y ) 13
(x y)(x y ) 13 (1)
2
2
2
(x y)(x y ) 25
(x y)(x y) 25 (2)
3
x y 1
(x y) 1
2
x y 5
(x y) 25
(3; 2) hoaëc (2; 3)
Baøi 13: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
2
2
x xy y 3(x y)
Giaûi heä phöông trình:
2
2
2
x xy y 7(x y)
(x, y
).
115
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Giaûi
Ñaët u = x y, v = xy
2
u 0
u 1
u 3u v 0
Ta coù:
2
v 0
v 2
v 2u
u 0
x 0
v 0
y 0
u 1
x 2
x 1
hoaë c
v 1
y 1
y 2
Baøi 14: DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
x2 y2 x y 4
Giaûi heä phöông trình:
x x y 1 y y 1 2
Giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông
2
2
x2 y2 x y 4 0
x y x y 4 0
(I)
2
2
xy 2
x y x y xy 2
Ñaët S = x + y, P = x.y
P 2
S 2P S 4 0
S 0
(I)
P 2
P 2
S 1
2
thoûa maõn S2 4P
thoûa maõn S2 4P
Vôùi S = 0, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 – SX + P = 0
X1 2
X2 – 2 = 0
.
X2 2
x 2
x 2
Vaäy nghieäm cuûa heä
y 2
y 2
Vôùi S = 1, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 – SX + P = 0
X 1
X2 + X – 2 = 0 1
X2 2
x 1
x 2
Vaäy nghieäm cuûa heä
y 2 y 1
Toùm laïi: Heä coù 4 caëp nghieäm ( 2; 2), ( 2; 2), (1; 2), (2; 1) .
116
- Xem thêm -
.PDF 
27 
48666 
79 
