Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Trung học phổ thông Lớp 10 Chuyên đề toán lớp 10 (lí thuyết trọng tâm, phương pháp giải các dạng bài tập) ...

Tài liệu Chuyên đề toán lớp 10 (lí thuyết trọng tâm, phương pháp giải các dạng bài tập) 6 chuyên đề ĐS - GT - chuyên sư phạm Hà Nội

.PDF
207
309
63

Mô tả:

Chuyên đề toán lớp 10 (lí thuyết trọng tâm, phương pháp giải các dạng bài tập) 6 chuyên đề ĐS - GT - chuyên sư phạm Hà Nội
CHUYÊN ĐỀ I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP Mệnh đề Hôm nay trời đẹp quá! 72 là một số vô tỉ BÀI 1. MỆNH ĐỀ Mệnh đề là một khẳng định chỉ có tính đúng hoặc (không là một mệnh đề) (là một mệnh đề) Mục tiêu sai.  Kiến thức Tính đúng sai của một mệnh đề. + Nắm vững các khái niệm mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương + Chú ý: Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đương, các điều kiện cần và đủ đúng. Biết khái niệm mệnh đề chứa biến Một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.  Kĩ năng Mệnh đề chứa biến + Xác định được mệnh đề đúng, mệnh đề sai Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định + Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề tương đương, mệnh đề kéo theo được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến + Lập mệnh đề phủ định, sử dụng các kí hiệu trong suy luận toán học sẽ cho ta một mệnh đề. Kí hiệu ∀ - Đọc là “với mọi”. Chú ý: Mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề. Ví dụ: “Mọi học sinh lớp 8A đều nặng hơn 45 kg ”. “ ∀x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 > 0 ” - “Với mọi x thuộc X, P ( x ) đúng” được kí hiệu là Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Mọi số thực X thì 2x2 +1 > 0 ”. “ ∀x ∈ X , P ( x ) ”. Kí hiệu ∃ Đọc là “tồn tại” hoặc “có ít nhất một”. “Tồn tại x thuộc X để P ( x ) đúng” được viết dưới dạng kí hiệu là “ ∃x ∈ X , P ( x ) ”. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P. Ví dụ: “Tồn tại một học sinh lớp 8A nhẹ hơn 45 kg”. " ∃x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 < 0 ". Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Tồn tại số thực x để 2 x 2 + 1 < 0 Ví dụ: “Tứ giác ABCD là hình vuông” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tứ giác ABCD không phải là hình vuông”. Kí hiệu P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Mệnh đề đảo Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q . Mệnh đề tương đương Trang 1 Trang 2 Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta mệnh đề chứa biến). nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ví dụ 2. Câu nào sau đây là mệnh đề? Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. 1) Hồ Gươm thật đẹp! Kí hiệu: P ⇔ Q . 2) Phương trình x 2 − 3x + 6 = 0 vô nghiệm. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 3) 16 không là số chính phương. Dạng 1:Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề 4) Hai phương trình x 2 − x + 3 = 0 và x 2 − 1 = 0 có nghiệm chung. Bài toán 1. Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai 5) Số π có lớn hơn 3 hay không? Phương pháp giải Ví dụ 1: Bước 1. Kiểm tra câu đã cho có là một câu khẳng • 6) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chu vi bằng nhau. 7) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm “Thành phố Buôn Ma Thuột ở Đắk Lắk” là định. mệnh đề đúng. Bước 2. Xét khẳng định đó có chắc chắn đúng hoặc • “2012 là số lẻ” là mệnh đề sai. Hướng dẫn giải chắc chắn sai (khách quan) hay không? • “Hôm qua có mưa không?” không phải là Câu (1) là câu cảm thán và câu ( 5) là câu hỏi nên câu (1) và câu ( 5) không phải là một mệnh đề. mệnh đề. Câu ( 2 ) và câu ( 7 ) là mệnh đề đúng vì Bước 3. Kết luận là mệnh đề hay không? Và là mỗi đường. mệnh đề đúng hay mệnh đề sai. + Một khẳng định đúng là mệnh đề đúng. Một khẳng x 2 − 3x + 6 = 0 có ∆ = −15 < 0 nên phương trình vô nghiệm. + Dấu hiệu nhận biết hình thoi. định sai là mệnh đề sai. Câu ( 3) , câu ( 4 ) và câu ( 6 ) là mệnh đề sai. Ví dụ mẫu Bài toán 2. Mệnh đề chứa biến Ví dụ 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? Phương pháp giải Ví dụ 1: Mệnh đề “x là số tự nhiên chẵn” là mệnh a) Buôn Ma Thuột là một thành phố của Việt Nam. Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định đề chứa biến. b) Sông Sêrêpôk chảy ngang qua thành phố Buôn Ma Thuột. được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến Với x = 2 , đây là mệnh đề đúng. c) Hãy trả lời câu hỏi này! sẽ cho ta một mệnh đề. d) −24 + 5 + 19 Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) :" x > x3 " . e) 6 + 16 = 25 Mệnh đề P ( 2 ) : "2 > 23 " là một mệnh đề sai. f) Bạn có rảnh tối nay không? 3 Mệnh đề P ( −2 ) :"− 2 > ( −2 ) " là một mệnh đề g) x + 22 = 111 A. 1 Với x = 2019 , đây là mệnh đề sai. B. 2 C. 3 D. 4 đúng Hướng dẫn giải Ví dụ mẫu Chọn C. Câu a là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề. Ví dụ 1. Câu nào sau đây là mệnh đề chứa biến? Câu b là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai). (1) Phương trình 3 x + 4 = 0 vô nghiệm. ( 2) Chu vi của hình vuông có độ dài cạnh là a là 4a. Câu e là câu khẳng định nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai). ( 3) "2 y+ 3 > x " Câu f là câu hỏi, không phải là mệnh đề. ( 4) “n chia hết cho 5”. Câu c không phải là câu khẳng định (câu mệnh lệnh) nên không là mệnh đề. Câu d là một phép tính, không là khẳng định nên không là mệnh đề. Câu g là một khẳng định những chưa xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề (đây chỉ là Trang 3 Trang 4 Hướng dẫn giải (1) là một mệnh đề (mệnh đề sai). ( 2) là một mệnh đề (mệnh đề đúng). Mặc dù chứa biến nhưng câu đã c) ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4. khẳng định rõ tính chất đúng sai d) ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0 thì nó không là mệnh đề chứa e) ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương. biến mà là một mệnh đề. ( 3) và ( 4 ) là một mệnh đề chứa biến vì chưa rõ tính đúng sai tuy Hướng dẫn giải 3 Ví dụ 2. Cho các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai. a) P ( x ) :" x ∈ ℝ, x 2 + 3x ≥ 0" b) Q ( n ) : “ n chia hết cho 5 , với n ∈ ℕ ”. c) Để chứng minh mệnh đề chứa a) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x3 + x 2 + 1 > 0 sai vì khi x = −2 ta có nhiên khi thay các giá trị cụ thể của biến thì được một mệnh đề ( −2 ) + ( −2 ) 2 + 1 = −3 < 0 4 2 với mọi " ∀x ∈ X , P ( x ) " là sai ta chỉ ra một giá trị x0 ∈ X ( = (x 3 )( 3 x + 1)( x 2 ) 3 x + 1) b) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3x + 1 x − 3x + 1 đúng mà P ( x ) sai. 2 vì x 4 − x 2 + 1 = ( x 2 + 1) − 3x 2 2 R ( x ) :"− 4 x + 4 x − 1 ≤ 0 với x ∈ ℝ ” 3 + 2 − c) Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4” đúng vì với n = 1 thì Hướng dẫn giải n 2 + 3 = 4⋮ 4 . a) Với x = 2 thì ta có mệnh đề "22 + 3.2 ≥ 0" là mệnh đề đúng. Với x = −2 thì ta có mệnh đề " ( −2 ) + 3. ( −2 ) ≥ 0" là mệnh đề sai. 2q 2 − 1 = 0 ⇔ q 2 = b) Với n = 10 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề đúng. Với n = 12 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề sai. tồn tại đúng ta chỉ cần nêu ra một giá trị x0 ∈ X mà P ( x ) đúng. d) Mệnh đề ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0 sai vì 2 Để chứng minh mệnh đề chứa 1 1 ⇔q=± ∉ℚ 2 2 e) Mệnh đề ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương” đúng vì với 2 c) Ta có −4 x 2 + 4 x − 1 = − ( 2 x − 1) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ nên mọi giá trị x ∈ ℝ thì mệnh đề là mệnh đề R ( x ) đúng. n = 0 thì n ( n + 1) = 0 là một số chính phương. Ví dụ 3. Xét tính đúng (sai) của hai mệnh đề sau và đưa ra nhận xét. Bài toán 3. Viết lại mệnh đề toán học chứa kí hiệu ∀ , ∃ 1) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 = 0" Ví dụ mẫu 2) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 ≠ 0" Ví dụ 1. Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau. Hướng dẫn giải a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. 2 b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó. Mệnh đề (1) đúng vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0 c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. Mệnh đề ( 2 ) sai vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0 2 d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó. Nhận xét: hai mệnh đề trên khẳng định hai điều trái ngược nhau. Hướng dẫn giải Bài tập tự luyện dạng 1 a) " ∃n ∈ ℤ : n ⋮ n " Bài tập cơ bản b) " ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x " Câu 1: Có bao nhiêu câu là mệnh đề? c) 1 ∃∈ ℚ : x < x d) ∀x ∈ ℕ : n > − n a) 7 + 1 + 4 = 15 b) Hôm nay trời đẹp quá! c) Năm 2019 là nám nhuận. Ví dụ 2. Xét tính đúng (sai) của mỗi mệnh đề sau. d) Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền. a) ∀x ∈ ℝ, x 3 + x 2 + 1 > 0 4 2 ( A. 4 2 )( 2 ) B. 3 C. 2 D. 1 Câu 2: Cho các câu sau đây: b) ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3 x + 1 x − 3 x + 1 a) Ở đây đẹp quá! Trang 5 Trang 6 Câu 9: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng? b) Phương trình x 2 − 9 x + 2 = 0 vô nghiệm A. π là một số hữu tỉ. c) 16 không là số nguyên tố. B. Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba. 2 d) Hai phương trình x − 3x + 2 = 0 và x − 9 x + 2 = 0 có nghiệm chung. C. Bạn có chăm học không? e) Số π có lớn hơn 3 hay không? D. Con thì thấp hơn cha. f) 2 x 2 − 1 ≤ 0 Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến P ( n ) : “ n 2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề Có bao nhiêu câu là mệnh đề, bao nhiêu câu là mệnh đề chứa biến? A. 4; 1 B. 3; 0 C. 4; 0 D. 3; 1 P ( 5 ) và P ( 2 ) đúng hay sai? Câu 3: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. 11 là số hữu tỉ. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song. D. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) đúng. B. x = 10 , y = 0 C. x = 8 , y = 1 Câu 4: Trong các câu sau D. x = 4 , y = 6 2 Câu 12: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x + 15 ≤ x " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng? II. 4 + x = 3 III. x + y > 1 IV. 2 − 5 < 0 C. III, IV D. I, III A. P ( 0 ) Câu nào là mệnh đề chứa biến? A. II, III C. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) sai. A. x = 0 , y = 10 3 ∈ℕ 5 I. 3 + 2 = 7 B. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) sai. Câu 11: Cặp giá trị x, y nào dưới đây để mệnh đề P : " x + y = 10" là mệnh đề sai? C. Các bạn hãy học bài đi! D. A. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) đúng. B. I, II nó”. B. ∀x ∈ ℝ, x.1 = x C. ∃x ∈ ℝ, x.1 = x D. ∃x ∈ ℚ, x.1 = x C. P ( 4 ) D. P ( 5 ) Bài tập nâng cao Câu 5: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Mọi số thực nhân với 1 đều bằng chính A. ∀x ∈ ℤ, x.1 = x B. P ( 3) Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saỉ? A. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 11n + 2 chia hết cho 11. B. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 4. C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D. ∃x ∈ ℤ, 2 x 2 − 8 = 0 Câu 14: Chọn mệnh đề đúng. Câu 6: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Với mọi số thực thì bình phương của nó A. ∀n ∈ ℕ∗ , n 2 − 1 là bội số của 3 B. ∃x ∈ ℚ, x 2 = 3 luôn lớn hơn hoặc bằng 0”. C. ∀n ∈ ℕ, 2n + 1 là số nguyên tố. D. ∃n ∈ ℕ, 2n ≥ n + 2 A. ∀x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0 B. ∀x ∈ ℤ, x 2 ≥ 0 Câu 15: Cho mệnh đề: ∀x ∈ ℝ ; x 2 − 2 + a > 0 , với a là số thực cho trước. Tìm giá trị của a để mệnh đề C. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0 D. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≤ 0 đúng. Câu 7: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Có một số nguyên bằng bình phương A. a ≤ 2 B. a > 2 C. a ≥ 2 D. a = 2 Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề của chính nó”. A. ∀x ∈ ℝ, x = x 2 B. ∀x ∈ ℤ, x = x 2 C. ∃x ∈ ℤ, x = x 2 D. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x = 0 Bài toán 1. Phủ định một mệnh đề, tính đúng (sai) của mệnh đề phủ định Phương pháp giải Ví dụ: Cho mệnh đề P: “3 là số nguyên tố”: có Để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề, ta mệnh đề phủ định là P : “3 không phải là số Câu 8: Mệnh đề ∃x ∈ ℝ, x 2 = 2 khẳng định rằng thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) nguyên tố” A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2. vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2. P là mệnh đề phủ định của P. Khi đó: C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2. • Nếu P đúng thì P sai D. Nếu x là một số thực thì x 2 = 2 Trang 7 Trang 8 • A. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 vô nghiệm. Nếu P sai thì P đúng B. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có nghiệm kép. Ví dụ mẫu C. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau. D. Có hai giá trị phân biệt của x để x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 . a) “Hà Nội là thành phố lớn của Việt Nam. Hướng dẫn giải b) “Số 6 chia hết cho 2 và 3”. Chọn C. c) “2 là số lẻ”. Chú ý: Mệnh đề phủ Hai đáp án A và B đều thiếu trường hợp. d) “3 là số vô tỉ”. định của p có thể diễn Ví dụ 5: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó đạt theo nhiều cách khác đúng hay sai. Hướng dẫn giải a) “Hà Nội không phải là thủ đô của Singapore”. nhau b) “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”. Cách 1. Xét trực tiếp. c) 3 là số nguyên tố nhỏ nhất. d) “3 là số hữu tỉ” hoặc “3 không phải là số vô tỉ”. Cách 2. Xét tính đúng Hướng dẫn giải Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau. sai của mệnh đề ban a) Có hữu hạn số nguyên tố. Mệnh đề này sai. a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Một số chú ý khi chuyển b) "15 > 3" sang mệnh đề phủ định: c) "5 + 4 = 10" ≤→> d) " 2 ≤ 2" <→≥ b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 không phải ìà phương trình bậc hai một đầu. ẩn. Mệnh đề này sai. c) 3 không phải là số nguyên tố nhỏ nhất. Mệnh đề này đúng. Bài toán 2. Phủ định của mệnh đề với mọi và tồn tại =→≠ a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. đề phủ định có hai cách: b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn. c) “2 không phải là số lẻ” hoặc “2 là số chẵn”. Hướng dẫn giải Xét tính đúng sai mệnh a) Có vô số số nguyên tố. Phương pháp giải (và ngược lại) Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ , ∃ b) "15 ≤ 3" Ví dụ 1: Mệnh đề “Mọi học sinh đều giỏi” có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh không học Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ X , P ( x ) " là giỏi” c) "5 + 4 ≠ 10" " ∃x ∈ X , P ( x ) " d) " 2 > 2" Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ X , P ( x ) " là Ví dụ 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 vô nghiệm” là mệnh đề nào sau đây? Ví dụ 2: Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6” có mệnh đề phủ định là “ ∀n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) không chia hết cho 6” " ∀x ∈ X , P ( x ) " 2 A. Phương trình 2 x + 3 x + 4 = 0 có nghiệm Lưu ý: Phủ định của “với mọi” là “có ít nhất một” 2 B. Phương trình 2 x + 3x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt Ví dụ mẫu C. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 có nghiệm kép Ví dụ 1: Cho mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0" . Hỏi mệnh đề nào là mệnh mệnh đề chứa ∀ , ∃ : D. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 không có nghiệm đề phủ định của mệnh đề trên? Hướng dẫn giải Chọn A A. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0" Vì phủ định vô nghiệm là có nghiệm. B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 > 0" Ví dụ 4. Phủ định của mệnh đề “Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt” là mệnh đề nào? Tìm mệnh đề phủ đinh của +) Chuyển ∀ → ∃ và ngược lạ i +) Lấy phủ định của mệnh đề còn lại C. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0" Dễ mắc sai lầm: Chọn phương án A. Trang 9 D. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0" Trang 10 1 C. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − " . Đây là mệnh đề đúng 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 D. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x > − " . Đây là mệnh đề sai 4 Đáp án A đúng Ví dụ 2: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau. Câu 5: Cho X là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “ ∀x chẵn, x 2 + x là số chẵn” là mệnh đề a) “Mọi động vật đều di chuyển”. b) “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn”. Hướng dẫn giải a) Có ít nhất một động vật không di chuyển. A. ∃x lẻ, x 2 + x là số lẻ B. ∃x lẻ, x 2 + x là số chẵn C. ∀x lẻ, x 2 + x là số lẻ D. ∃x chẵn, x 2 + x là số lẻ Câu 6: Cho mệnh đề “Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là b) Mọi số vô tỷ đều không là số thập phân vô hạn tuần hoàn. A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 ≠ 0 có nghiệm. Ví dụ 3: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau. B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có vô số nghiệm. 2 a) “ ∃x : x + 2 x + 5 là số nguyên tố”. C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 b) " ∀x ∈ ℝ, x + x + 1 > 0" D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. 2 c) " ∀x ∈ ℝ : x ≥ 4" Câu 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: P : " 2 ≤ 2" là Hướng dẫn giải A. P : " 2 < 2" a) “ ∀x : x 2 + 2 x + 5 không là số nguyên tố”. B. P : " 2 > 2" C. P : " 2 ≥ 2" D. P :" 2 ≠ 2" Câu 8. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 = 1" là b) " ∃x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" c) " ∃x ∈ ℝ : x 2 < 4" Bài tập tự luyện dạng 2 B. “14 chia hết cho 2”. C. “14 không phải là số nguyên tố”. D. “14 chia hết cho 7”. Câu 2: Cho mệnh đề A: " ∀x ∈ ℝ : x 2 < x " .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào B. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 = 1" C. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≠ 1" D. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3x 2 ≥ 1" Câu 9. Cho mệnh đề A: “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của Câu 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là số nguyên tố” là mệnh đề A. “14 là số nguyên tố”. A. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 " mệnh đề phủ định là A. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. là phủ định của mệnh B. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. C. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. đề A? A. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x " B. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x " C. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x " D. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x " D. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương Bài toán 1. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo Câu 3: Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: " ∀x ∈ ℕ : x ⋮ 3" là A. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮/ 3" B. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3" C. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮ 3" D. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3" Phương pháp giải 1 Câu 4: Cho mệnh đê A : " ∀x ∈ ℝ : x + x ≥ − " . Gọi A là mệnh đê phủ định của A. Khẳng định nào sau 4 2 Ví dụ. Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và a) Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Đây là mệnh đề đúng. đúng trong các trường hợp còn lại. b) Nếu a 2 = b 2 thì a = b . Đây là mệnh đề sai. Chú ý: Định lí là các mệnh đề đúng. Ví dụ mẫu đây là đúng? Ví dụ: Xét tính đúng (sai) của các mệnh đề sau: 1 A. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − " . Đây là mệnh đề đúng 4 a) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân. 1 B. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≤ − " . Đây là mệnh đề đúng 4 b) Nếu 1 = 2 thì 12 = 22 . c) Nếu 3 ≥ 2 thì 3 x ≥ 2 x , ∀x ∈ ℝ . Trang 11 Trang 12 đề này đúng. Hướng dẫn giải Các mệnh đề đúng là: a), b). d) Mệnh đề đảo: “Nếu ABC là tam giác đều thì AB = BC = CA . Mệnh Bài toán 2. Xác định mệnh đề đảo của một mệnh đề Phương pháp giải Cho mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là Q ⇒ P đề này đúng. Ví dụ: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau. Bài toán 3. Phát biểu định lí toán học, định lí đảo dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Phương pháp giải a) “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. thường có dạng P ⇒ Q . b) “Nếu hai số nguyên chia hết cho 7 thì tổng bình phương của chúng chia hết cho 7”. c) “Nếu một tứ giác nội tiếp đường tròn thì lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều Hướng dẫn giải Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để kiện cần để có P. Định lý đảo số đó chia hết cho 5. Cho định lý có dạng " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1) . Hướng dẫn giải a) Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong. b) “Nếu tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 7 thì hai số nguyên đó chia hết cho 7.” c) “Nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.” Mệnh đề (1) có mệnh đề đảo là " ∀x ∈ X , Q ( x ) ⇒ P ( x ) " ( 2 ) Nếu mệnh đề ( 2 ) đúng thì ( 2 ) được gọi là định lý đảo của định lý (1) và khi đó định lý (1) được gọi là định lý thuận. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”. a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba thì hai Ví dụ mẫu đường thẳng ấ y song song nhau. Ví dụ. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. mệnh đề đảo. c) Nếu a + b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương. a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3 . Hướng dẫn giảỉ b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều ksện góc với nhau. đủ để hai đường thẳng ấ y song song nhau. c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn. b) Hai tam giác bằng nhau Bà đsều Sôộn đủ để chúng có diện tích bằng nhau. d) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều. c) a + b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương. Nhận xét: Tính đúng sai a) Mệnh đề đảo: “Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6”. của mệnh đề đảo không phụ Mệnh đề này sai. Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định hết cho 5. tổng của hai góc đối diện của nó bằng 180° Hướng dẫn giải Ví dụ: Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và “điều kiện đủ”: thuộc vào tính đúng sai của b) Mệnh đề đảo: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc mệnh đề ban đầu. Ví dụ 2. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần”: a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. với nhau thì tứ giác đó là hình thoi”. Mệnh đề này sai. Hướng dẫn giải c) Mệnh đề đảo: “Nếu một số là chẵn thì số đó chia hết cho 2”. Mệnh a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tương ứng bằng nhau. Trang 13 Trang 14 b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau. A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 6 là nó chia hết cho 3. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có ba góc vuông. Ví dụ 3. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. a) “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng 60° ”. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60° . Câu 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? b) “Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại”. A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. c) “Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại”. B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. Hướng dẫn giải a) “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. b) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 c) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau. A. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ Bài toán 4. Tính đúng sai của mệnh đề tương đương Phương pháp giải Câu 3. Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A. Mệnh đề nào sau đây sai? Ví dụ 1. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi 1 1 1 = + AH 2 AB 2 AC 2 B. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BH .BC Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau. C. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ HA2 = HB.HC P ⇔ Q và Q ⇔ P đều đúng và sai trong các Đây là mệnh đề tương đương đúng. D. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BC 2 + AC 2 trường hợp còn lại. Ví dụ 2. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi Câu 4: Cho mệnh đề: “Nếu một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau”. Chọn phát biểu chúng có các góc tương ứng bằng nhau. sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, hoặc “điều kiện đủ” đúng. Đây là mệnh đề tương đương sai vì: A. Điều kiện đủ để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau chưa B. Điều kiện cần để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. chắc đã bằng nhau (chúng có thể là các tam giác C. Điều kiện cần để một tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đó là tam giác đều. đồng dạng và không bằng nhau). D. Các phát biểu kia đều sai. Ví dụ mẫu Câu 5. Cho mệnh đề: “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. Trong các mệnh đề sau Ví dụ. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? đây, đâu là mệnh đề đảo của mệnh đề trên? A. Một tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. A. Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong. B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và một góc bằng 60° B. Nếu hai góc không ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau. C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cặp cạnh bằng nhau. C. Nếu hai góc không bằng nhau thì hai góc đó không ở vị trí so ỉe trong. D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. D. Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo đúng? Hướng dẫn giải A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. B. Nếu một số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3. C. Nếu một phương trình bậc hai có biệt thức âm thì phương trình đó vô nghiệm. D. Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Ý C sai vì trong trường hợp sau chúng đồng dạng có một cặp cạnh bằng nhau nhưng không bằng nhau. Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x ∈ ℝ, x > −2 ⇒ x 2 > 4 Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? Trang 15 Trang 16 B. ∀x ∈ ℝ, x > 2 ⇒ x 2 > 4 Giả sử 3 là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại a; b ∈ ℤ, b ≠ 0 và ( a; b ) = 1 sao cho 3= C. ∀x ∈ ℝ, x 2 > 4 ⇒ x > 2 Ta có D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 . Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? 3= a b a ⇔ 3b = a ⇒ 3b 2 = a 2 b Nhận thấy VT = 3b 2 ⋮ 3 nên VP ⋮ 3 hay a 2 ⋮ 3 ⇒ a ⋮ 3 (1) ⇒ a 2 ⋮ 9 . A. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3 Do đó VP⋮ 9 ⇒ VT ⋮ 9 ⇒ 3b 2 ⋮ 9 ⇒ b 2 ⋮ 3 ⇒ b⋮ 3 B. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3 ( 2) . Từ (1) ; ( 2 ) ta có ( a; b ) ≥ 3 ≠ 1 (mâu thuẫn). C. ∀x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9 Vậ y điều giả sử là sai hay D. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12 3 là số vô tỉ. Bài tập tự luyện Dạng 4. Phương pháp phản chứng Phương pháp giải 2 Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì Chứng minh định lí " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1) n là số lẻ. bằng phương pháp phản chứng. Hướng dẫn giải a) Nếu tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ. b) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ. c) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của hai số đó là số chẵn. Bước 1. Giả sử x0 ∈ X sao cho P ( x0 ) đúng và Giả sử n 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn. Q ( x0 ) sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai. Chứng minh rằng ĐÁP ÁN 2 Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n 2 = ( 2k ) = 4k 2 là 2 Dạng 1. Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề Bước 2. Dùng suy luận và những kiến thức toán một số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết n là 1-B 2-D 3-C 4-A 5-B học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn. số lẻ. 11-C 12-D 13-B 14-D 15-B Bước 3. Kết luận điều cần chứng minh. Vậy nếu n 2 ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì n là số lẻ. 6-A 7-C 8-B 9-B 10-C Hướng dẫn giải trắc nghiệm Câu 13. Chọn B Ví dụ mẫu 2 Trường hợp 1: n = 4k ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k ) + 1⋮/ 4 Ví dụ 1. Cho n ∈ ℤ , chứng minh rằng a) Nếu 7n + 1 là số chẵn thì n là số lẻ. 2 2 Trường hợp 2: n = 4k + 1( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 1) + 1 = ( 4k ) + 8k + 2 ⋮/ 4 3 b) Nếu n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ. 2 2 2 Trường hợp 4: n = 4k + 3 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 3) + 1 = ( 4k ) + 24k + 10 ⋮/ 4 a) Giả sử 7n + 1 là số chẵn nhưng n là số chẵn. Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra 7n + 1 = 7.2k + 1 = 14n + 1 là số lẻ. Câu 14. Chọn D Điều này mâu thuẫn với giả thiết 7n + 1 là số chẵn. Xét n = 2 ta có: 22 = 4 = 2 + 2 Khi đó ta có điều phải chứng minh. Câu 15. Chọn B Để mệnh đề đúng thì a − 2 > 0 ⇔ a > 2 3 b) Giả sử n + 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn. Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề 3 Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n3 + 2 = ( 2k ) + 2 = 8k 3 + 2 là số chẵn. 1-C Điều này mâu thuẫn với giả thiết n3 + 2 là số lẻ. Khi đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2. Chứng minh 2 Trường hợp 3: n = 4k + 2 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 2 ) + 1 = ( 4k ) + 16k + 5 ⋮/ 4 Hướng dẫn giải 2-B 3-A 4-C 5-D 6-D 7-B 8-C 9-B Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương 3 là số vô tỉ. 1-A Hướng dẫn giải 2-C 3-D 4-B 5-A 6-C 7-B 8-C Dạng 4. Phương pháp phản chứng Trang 17 Trang 18 a) Giả sử a là số nguyên chẵn, b là số nguyên lẻ. Khi đó a = 2m , b = 2n + 1 ( m, n ∈ ℤ ) Khi đó ta có a + b = 2m + 2n + 1 là số tự nhiên lẻ. Khi đó nếu a, b không cùng tính chẵn lẻ thì tổng của chúng là một số lẻ Do đó tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ b) Giả sử tích hai số nguyên là một số lẻ nhưng trong hai số có ít nhất một số chẵn Khi đó tích của một số lẻ với một số chẵn là một số chẵn (mâu thuẫn với giả thiết tích của hai số là một số lẻ). Do đó ta có điều phải chứng minh c) Từ câu b) ta thấ y tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ. Do đó tổng của chúng là số chẵn Trang 19 CHUYÊN ĐỀ I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Tập hợp và các cách biểu diễn Mục tiêu Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,  Kiến thức không định nghĩa. + Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con. Các cách xác định tập hợp Ví dụ: tập các ước nguyên dương của 6 + Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau. Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp A = {1; 2;3; 6} . + Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp. Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của  Kĩ năng tập hợp. + Cho tập hợp bằng hai cách. Tập rỗng + Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một tập con Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu ∅ . A = {n ∈ ℕ 6⋮ n} . { } Ví dụ: A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . Tập A các nghiệm của phương trình x 2 + x + 1 = 0 là tập rỗng. + Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp. Mối quan hệ giữa các tập hợp 1. Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp B. Kí hiệu: A ⊂ B hoặc B ⊃ A. 2. Hai tập hợp bằng nhau Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì A và B là hai tập hợp bằng nhau. Kí hiệu: A = B. Ví dụ: { } A = x ∈ ℝ x 2 + 3x + 2 = 0 và x 2 + 3x + 2 = 0   B = x ∈ ℝ  = 0 là hai tập x−4   hợp bằng nhau Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử Các tập con thường gặp của ℝ có bằng nhau không?” Khoảng ( a; b ) = {x ∈ ℝ a < x < b} Đoạn [a; b] = {x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} Nửa khoảng [a; b ) = {x ∈ ℝ a ≤ x < b} ( a; b ] = {x ∈ ℝ a < x ≤ b} [a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a ≤ x} ( −∞; b ] = {x ∈ ℝ x ≤ b} ( a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a < x} ( −∞; b ) = {x ∈ ℝ x < b} Trang 1 Trang 2 Các phép toán trên tập hợp • Mỗi phần tử chỉ được viết một lần. 1. Giao của hai tập hợp +) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. tử của tập hợp. A ∩ B = {x x ∈ A và x ∈ B} . • Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. x ∈ A x∈A∩B ⇔  . x ∈ B A = {x ∈ ℕ x < 5} . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho các tập hợp 2. Hợp của hai tập hợp { } A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B . a) A = x ∈ ℝ ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ; x ∈ A x∈A∪B ⇔  . x ∈ B b) B = {x ∈ ℕ 2x ≤ 8} ; { +) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần } c) C = {2x + 1 x ∈ ℤ và − 2 ≤ x ≤ 4} ; { } d) D = x ∈ ℕ ( x 2 − 10x + 21) ( x 3 − x ) = 0 . 3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B}. Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử. Hướng dẫn giải x ∈ A x∈A \ B ⇔  . x ∉ B  x 2 + 7x + 6 = 0  x = −1 a) Ta có ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  2 hoặc ⇔  x = −6 x − 4 = 0 x = 2  x = −2 .  Vậy A = {−6; −2; −1; 2} . Khi B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí x ∈ ℕ x ∈ ℕ ⇔ ⇔ x ∈ {0;1; 2;3; 4} . b) Ta có  2x ≤ 8  x ≤ 4 hiệu CA B. Vậy B = {0;1; 2;3; 4} . x ∈ ℤ c) Ta có  ⇔ x ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3; 4} . −2 ≤ x ≤ 4 Suy ra C = {−3; −1;1;3;5; 7;9} . x = 3  2  x − 10x + 21 = 0 x = 7 d) Ta có ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3 ⇔ . x = 0 x − x = 0     x = ±1 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tập hợp và xác định tập hợp Bài toán 1. Xác định tập hợp Phương pháp giải • Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5 định nghĩa. có thể được viết bằng 2 cách dưới đây • Các cách xác định tập hợp +) Liệt kê các phần tử: Liệt kê các phần tử theo quy tắc mà x là các số tự nhiên nên D = {0;1;3; 7} . Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng. a) A = {0;1; 2;3; 4;5;6}. +) Liệt kê các phần tử: b) B = {0;5;10;15; 20}. A = {0;1; 2;3; 4} . c) C = {1;3;9; 27; 81}. • Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu { }; d) D = {−4; −3; −2; −1; 0;1; 2;3; 4} . • Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ; Trang 3 Trang 4 c) C = x ∈ ℝ x > −3 . f) F = {0;1; 4;9;16; 25}. Hướng dẫn giải b) B = {x ∈ ℕ x ⋮ 5, x ≤ 20} . c) C = {3n n ≤ 4, n ∈ ℕ} . } e) E = x ∈ ℕ x laø soá leû nhoû hôn 10 . f) } 2 n laø soá töï nhieân nhoû hôn 6 . } d) 1; +∞ ) e) (1;8 . f)  −2;3) . { } a) A = {0;1; 2;3; 4;5}. b) B = x ∈ ℝ x ≤ 3 . c) C = {−3; −2; −1;1} d) D = {−3; −2; −1; 0;1} . b) Ta có x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ B = [ −3;3]. Mội số tập con của tập hợp số thực Chú ý: A; C; D là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn) Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Tập số thực ( −∞; +∞ ) Hình biểu diễn Bài tập tự luyện dạng 1 ℝ Đoạn a; b  Câu 1: Cho tập hợp X = {−2; −1;0;1; 2;3} . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng {x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} Khoảng ( a; b ) { Khoảng ( −∞;a ) {x ∈ ℝ x < a} Khoảng ( a; +∞ ) {x ∈ ℝ a < x} Nửa khoảng a; b ) Nửa khoảng ( a; b  {x ∈ ℝ a ≤ x < b} {x ∈ ℝ a < x ≤ b} Nửa khoảng ( −∞;a  {x ∈ ℝ x ≤ a} Nửa khoảng a; +∞ ) các phần tử của nó là x∈ℝ a < x < b } B. {x ∈ ℕ −2 ≤ x ≤ 3}. C. {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 3}. D. {x ∈ ℤ −2 ≤ x + 1 ≤ 6} .   1 A.  x ∈ ℕ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)     1 B.  x ∈ ℚ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)     1 C.  x ∈ ℤ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)     1 D.  x ∈ ℚ x = 2 ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)   1 1   Câu 3: Cho tập hợp X = 9; −3;1; − ; ;... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng 3 9   các phần tử của nó là {x ∈ ℝ x ≥ a} Ví dụ 1. Cho các tập hợp sau. Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. b) B = x ∈ ℝ x ≤ −8 . { A. {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3}. 1 1 1 1  Câu 2: Cho tập hợp X =  ; ; ; ;.... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng  2 6 12 20  các phần tử của nó là Ví dụ mẫu } c) ( −3; +∞ ) . Các ý a, c, d không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn. Phương pháp gỉải { b) ( −∞; −8 . Hướng dẫn giải Bài toán 2. Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực a) A = x ∈ ℝ x < 4 . a) ( −∞; 4 ) . Ví dụ 2. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn (nếu có thể): d) D = x ∈ ℤ x ≤ 4 . { F = {n { } f) F = {x ∈ ℝ −2 ≤ x < 3} . Hướng dẫn giải a) A = {x ∈ ℕ x ≤ 6}. { d) D = x ∈ ℝ x ≥ 1 . { } e) E = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 8} . e) E = {1;3;5; 7;9} . } Trang 5 n    1 A.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ*  .  3   n    1 B.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  .  3   n    1 C.  x ∈ ℝ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  . 3     n    1 D.  x ∈ ℕ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  . 3     Trang 6 Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = {x ∈ ℝ x ≤ 9}. ta được A. A = ( −∞;9 ) . B. A = ( −∞;9]. C. A = [9; −∞ ) . {1} , {3} , {5} , {1;3} , {1;5} , {3;5} , {1;3;5} , ∅ D. A = ( 9; +∞ ) . Ví dụ Câu 5: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ 2x + 1 ≤ 0} . A. A = ( −∞;0 ) . A = {2n + 1, n ∈ ℕ} ; B = {4k + 3, k ∈ ℕ} . Chứng tỏ B ⊂ A. B. A = ( −∞;0]. { 2: Cho hai tập hợp 1  D. A =  −∞; −  . 2  C. A = ( −∞; −1]. Hướng dẫn giải Giả sử x ∈ B, x = 4k + 3, k ∈ ℕ. Khi đó ta có thể viết } Câu 6: Cho các tập hợp B = x ∈ ℝ x ≤ 10 . Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoảng, nửa x = 2 ( 2k + 1) + 1. khoảng, đoạn. Đặt n = 2k + 1 thì n ∈ ℕ và ta có x = 2n + 1, suy ra x ∈ A. A. B = ( −10;10]. B. B = [ −10;10 ) . C. B = [ −10;10] . D. B = [ −∞;10]. Như vậy x ∈ B ⇒ x ∈ A hay B ⊂ A. Câu 7: Cho tập hợp A = x ∈ ℕ x laø öôùc chung cuûa 36 vaø 120 . là ước chung của 36 và 120}. Các phần { } A. A = {1; 2;3; 4; 6;12} . B. A = {1; 2;3; 4; 6;8;12} . C. A = {2;3; 4;6;8;10;12} . D. A = {1; 2;3; 4; 6;9;12;18;36} . { A. {1;5} . A. A = {0} . 3 C. A =   . 2 B. A = {1} . {1;5}  3 D. A = 1;  .  2 } − 5 = 0} . { D. D = {x ∈ ℚ x 2 2 } + x − 12 = 0} . {0;1;5} có ba phần tử nên có } 3 2 { D. D = {x ∈ ℚ x ( x } 23 = 8 (tập con). Phương pháp giải } + 3)} = 0. B. B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 . − 3)( x + l) = 0 . 22 = 4 (tập con). Bài toán 2. Tập hợp bằng nhau Câu 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? { C. C = {x ∈ ℤ ( x 21 = 2 (tập con) là {9} và ∅. {0;9} có hai phần tử nên có B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2x + 3 = 0 A. A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . D. {0;1;5} . có hai phần tử nên có 22 = 4 (tập con). {9} có một phần tử nên có Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 . C. {0;9} . Hướng dẫn giải } 2 B. {9} . Chọn B. Câu 8: Các phần tử của tập hợp A = x ∈ ℝ 2x − 5x + 3 = 0 là { C. C = {x ∈ ℝ x Ví dụ mẫu Ví dụ: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? tử của tập A là 2 Để chứng minh A = B ta đi chứng minh A ⊂ B và B ⊂ A hoặc ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B. π  Ví dụ 3. Cho các tập hợp A =  + kπ , k ∈ ℤ  , 3   2π  + kπ , k ∈ ℤ  . Chứng minh rằng A = B. A = −  3  Dạng 2: Quan hệ giữa các tập hợp Bài toán 1. Tập hợp con Hướng dẫn giải Phương pháp giải +) Chứng minh A ⊂ B. 1. Để chứng minh A ⊂ B. Lấy x ∈ A bất kì, sau đó chứng minh Ví dụ 1: Cho A = {1;3;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu x∈B tập con? Liệt kê các tập con của tập A. 2. Xác định số tập con của một tập hợp A có n phần tử Tập hợp có n phần tử có 2n tập hợp con Ta có ∀x ∈ A ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x = x= Hướng dẫn giải π 3 − π + ( k 0 + 1) π = − 3 + k 0π , suy ra 2π + ( k 0 + 1) π . 3 Tập hợp A có 3 phần tử, do đó có tất cả 23 = 8 tập hợp Vì k 0 ∈ ℤ nên k 0 + 1 ∈ ℤ. con. Suy ra x ∈ B. Do đó A ⊂ B. Các tập con của A bao gồm +) Chứng minh B ⊂ A. Trang 7 π (1) Trang 8 ∀x ∈ B ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x = − x=− 2π + k 0π , suy ra 3 A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B} . A \ B = {1} . B \ A = {7;9} . 2π π + π + ( k 0 − 1) π = + ( k 0 − 1) π . 3 3 Không tồn tại tập hợp CAB vì B không là tập hợp con của A. Vì k 0 ∈ ℤ ⇒ k 0 − 1 ∈ ℤ. Suy ra x ∈ A. Vậy B ⊂ A. Không tồn tại tập hợp CBA vì A không là tập hợp con của B. Ví dụ mẫu (2) { Bài tập tự luyện dạng 2 Xác định tập hợp X = A ∪ B; A ∩ B; A \ B. Câu 1: Cho A = {1; 2;3} . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ∅ ⊂ A. B. 1∈ A. C. {1; 2} ⊂ A. Hướng dẫn giải D. 2 = A. x = 3   x − 10x + 21 = 0 x = 7 Giải phương trình ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3 ⇔ x = 0 x − x = 0     x = ±1 2 Câu 2: Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con có đúng 3 phần tử? A. 32. B. 15. C. 25. D. 10. Câu 3: Cho tập hợp A = a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con? A. 16. B. 15. C. 12. Mà x ∈ ℤ nên A = {−1; 0;1;3;7} . D. 10. Câu 4: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. {x; y} . B. {x} . Giải bất phương trình −3 < 2x + 1 < 5 ⇔ −2 < x < 2. Mà x ∈ ℤ nên B = {−1; 0;1} . C. {0; x} . D. {0; x; y} . C. {a} ∈ [ a; b ] . D. a ∈ ( a; b ] . Khi đó x = A ∪ B = {−1;0;1;3; 7} ; A ∩ B = {−1; 0;1} và A \ B = {3;7} . Câu 5: Cách viết nào sau đây là đúng? A. a ⊂ [ a; b ]. B. {a} ⊂ [ a; b ]. Ví dụ 2. Cho tập A = {−1;1;5;8} , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”. a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử. Câu 6: Cho tập hợp A = [ m; m + 2] và B = [ −1; 2]. Điều kiện của m để A ⊂ B là A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0. B. −1 ≤ m ≤ 0. C. 1 ≤ m ≤ 2. D. m < −1 hoặc m > 2. Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử. b) Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B. Hướng dẫn giải Câu 7: Cho A = ( 2; +∞ ) , B = ( m; +∞ ) . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là A. m ≤ 2. B. m = 2. C. m > 2. { B. 1 < m < 2. C. 1 ≤ m ≤ 2. b) Ta có A ∩ B = {1;8} , A ∪ B = {−1;1; 2; 4;5;8;16} , A \ B = {−1;5} . D. m = 2. Ví dụ 3. Cho A = x x ∈ ℕ; x laø öôùc cuûa 12 , B = x x ∈ ℕ; x laø öôùc cuûa16 . { Dạng 3. Xác định tập hợp và phép toán trên tập số thực Phương pháp giải a) A ∩ B; b) A ∪ B; Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1; 2;3;5} và B = {2;3;5; 7; 9} . Hướng dẫn giải Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B / A. Ta có A = {1; 2;3; 4; 6;12} và B = {1; 2; 4;8;16} . Có tồn tại các tập hợp CAB, CBA hay không? a) A ∩ B = {1; 2; 4} . Hướng dẫn giải b) A ∪ B = {1; 2;3; 4;6;8;12;16} . A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B . A ∪ B = {1; 2;3;5;7;9} . A ∩ B = {x x ∈ A; x ∈ B} . A ∩ B = {2;3;5} . } } { } Hãy tìm Bài toán 1. Phép toán với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng. { } a) Ta có A = x ∈ ℝ ( x + 1)( x − 1)( x − 5 )( x − 8 ) = 0 ; B = {1; 2; 4;8;16} . D. m ≥ 2. Câu 8: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1. } Vi dụ 1. Cho hai tập hợp A = x ∈ ℤ ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 , B = {x ∈ ℤ −3 < 2x + 1 < 5}. Từ (1) và (2) suy ra A = B. c) A \ B. c) A \ B = {3; 6;12} . Trang 9 Trang 10 Bài toán 2. Phép toán với các tập hợp dạng nửa khoảng, khoảng, đoạn Phương pháp giải Cách tìm A ∪ B; A ∩ B; A \ B. Ví dụ: Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 2} , b) ( −1;5] ∪ ( 3;7 ) = ( −1;7 ) . B = {x ∈ ℝ 0 < x ≤ 7}. Xác định a) A ∪ B; c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) = ( −2;0 ) . b) A ∩ B; c) A \ B. Hướng dẫn giải • Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm d) ( −2; 2] ∩ [1;3) = [1; 2 ) . A = [ −3; 2] , B = ( 0;7 ] Để tìm A ∪ B ta làm như sau a) Ta có đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Tô đậm các tập A, B trên trục số. • Phần tô đậm chính là hợp của hai tập Ví dụ 2. Cho các tập hợp: Vậy A ∪ B = [ −3;7 ] . A = {x ∈ ℝ x < 3} , B = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 5} , C = {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 4}. hợp A ∪ B . Để tìm A ∩ B ta làm như sau b) Ta có a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. • Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm b) Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B. đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần c) Tìm ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) Vậy A ∩ B = ( 0; 2] . nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ). Hướng dẫn giải • Phần không bị gạch bỏ chính là giao a) Ta có A = ( −∞;3) ; của hai tập hợp A, B. Để tìm A \ B ta làm như sau B = (1;5] ; C = [ −2; 4]. b) Tìm A ∪ B. c) Ta có Biểu diễn trên trục số: Vậy A \ B = [3;0]. Suy ra A ∪ B = ( −∞;5] . • Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần Tìm A ∩ B. thuộc tập B trên trục số. Biểu diễn trên trục số: • Phần không bị gạch bỏ chính là A\ B. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xác định mỗi tập hợp số sau. Suy ra A ∩ B = (1;3) . a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) ; b) ( −1;5] ∪ ( 3; 7 ) ; Tìm A \ B. c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) ; d) ( −2; 2] ∩ [1;3) . Biểu diễn trên trục số: Hướng dẫn giải a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) = ( −2;3) . Trang 11 Trang 12 Suy ra A \ B = ( −∞;1]. c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có A ∩ C = [ −2;3) và B ∪ C = [ −2;5] . Để A ∩ B = ∅ thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo Suy ra ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) = [3;5]. Chú ý: điều kiện a ≤ b để E là một đoạn Ví dụ 3. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ℝ. Ví dụ 2: Tìm m sao cho a) A = [ −12;10 ) . a) A ∪ B = ℝ biết A = ( −∞;3] và B = [ m; +∞ ) . b) B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết C = ( m; m + 2 ) và D = ( −3;1) . c) C = [3; +∞ ) \ {5} . Hướng dẫn giải d) D = {x ∈ ℝ −4 < x + 2 ≤ 5}. a) Ta có A ∪ B = ℝ ⇔ m ≤ 3. b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi Hướng dẫn giải m < 1 ⇔ −5 < m < 1.   m + 2 > −3 a) Ta có A = [ −12;10 ) . Vậy Cℝ A = ( −∞; −12 ) ∪ [10; +∞ ) . b) Ta có B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Vậy Cℝ B = [ −2; 2]. Ví dụ 3. Cho A = ( −4;5] và B = ( 2m − 1; m + 3) , tìm m sao cho c) Ta có C = [3; +∞ ) \ {5} . Vậy Cℝ C = ( −∞;3) ∪ {5} . a) A ⊂ B. d) −4 < x + 2 ≤ 5 ⇔ −6 < x ≤ 3. b) B ⊂ A. Suy ra D = ( −6;3] . Vậy Cℝ D = ( −∞;6] ∪ ( 3; +∞ ) . c) A ∩ B = ∅. d) A ∪ B là một khoảng. Bài toán 3. Tập hợp xác định bởi tham số Hướng dẫn giải Ví dụ mẫu 3  2m − 1 ≤ −4 m ≤ − a) A ⊂ B ⇔  ⇔ 2 ⇔ m ∈∅. m + 3 > 5 m > 2 Ví dụ 1. Xác định điều kiện của a, b để a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4]. b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ]. 3   2m − 1 ≥ −4 3 m ≥ − b) B ⊂ A ⇔  ⇔ 2 ⇔ − ≤ m ≤ 2. m + 3 ≤ 5 2  m ≤ 2 Hướng dẫn giải a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4].  2m − 1 ≥ 5 m > 3 c) A ∩ B = ∅ ⇔  ⇔ ⇔ m ∈ ∅.  m + 3 ≤ −4  m ≤ −7 b ≥ a + 2  a − b ≤ −2 ⇔ A∩B = ∅ ⇔  .  b + 4 ≤ a − 1 a − b ≥ 5 m + 3 > 5 m > 2   d) A ∪ B là một khoảng ⇔  2m − 1 < m + 3 ⇔  m < 4 ⇔ 2 < m ≤ 3.  2m − 1 ≤ 5   m ≤ 3 b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ]. Ta có C ∪ D = ( −∞; −3] ∪ [ −1; +∞ ) . Ví dụ 4. Cho hai tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , với m ∈ ℝ.   b ≤ −3  E ⊂ ( C ∪ D ) ⇔  a ≥ −1 a ≤ b  a) A ∩ B ≠ ∅; b) A ⊂ B; Chú ý: để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau: c) B ⊂ A; d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) . Xác định m để Hướng dẫn giải Trang 13 Trang 14 Câu 8: Cho A = [ −4;7 ] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó A ∩ B. là Với A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , khác tập rỗng, ta có điều kiện m − 1 m < 5 ⇔ ⇔ −2 < m < 5 (*) .  2m + 2 > − 2   m > −2 Với điều kiện (*), ta có A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ] . B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) . C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) . D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) . Câu 9: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. a) A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu A ∩ B ≠ ∅ là − 2 < m < 5.  m − 1 ≥ −2  m ≥ −1 b) A ⊂ B ⇔  ⇔ ⇔ m > 1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu 2m + 2 > 4  m > 1 A ⊂ B là 1 < m < 5. A. m = 1. B. 1 < m < 2. { } {  13  B. ( −2; −1) ∪  ;5  . 3  B. C. ( −3;7 ) .  5 2; +∞ và B =  −∞;  . Khi đó ( A ∩ B ) ∪ ( B\ A ) là 2   ( 2; +∞ )  5 C.  −∞;  2   )  12  Câu 12: Cho tập hợp Cℝ A = [ 0; 6 ) , Cℝ B =  − ;5  ∪  3  Câu 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ 3x − 2 > 10} khi đó D. [ −2;5] . ( Câu 11: Cho hai tập hợp A =  5  A.  ; 2  2   Bài tập tự luyện dạng 3 } Tập hợp ( C ∩ D ) ∪ E là B ⊂ A là − 2 < m ≤ −1.  m − 1 ≥ −1 1 d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) ⇔  ⇔ 0 ≤ m ≤ (thỏa mãn (*)). 2m 2 3 + ≤ 2  D. m = 2. Câu 10: Cho các tập hợp C = x ∈ ℝ 2x − 4 < 10 , D = x ∈ ℝ 8 < −3x + 5 , E = [ −2;5] . A. [ −3;7 ].  m − 1 ≤ −2  m ≤ −1 c) B ⊂ A ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ −1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu  2m + 2 ≤ 4 m ≤ 1 C. 1 ≤ m ≤ 2. (  5 D.  −∞;  2   ) 17; 55 . Tập Cℝ ( A ∩ B ) là * A. Cℕ A = {1; 2;3; 4} . B. Cℕ A = {0;1; 2;3; 4} . C. Cℕ A = {1; 2;3} . D. Cℕ A = {1; 2; 4} . { } Câu 2: Cho tập hợp A = x ∈ ℤ 2x − 3x + 1 = 0 , B = {x ∈ ℕ 3x + 2 < 9}. Tập hợp A ∩ B là A. {1} . 2  1 B. 1;  .  2 C. {0;1; 2} . B. ( −∞;5]. C. ( 0;5] . D. {0; 2} . B. [ −2;6]. C. ( 5; +∞ ) . B. ( 3; +∞ ) . C. [ 2; +∞ ) D. ( −∞; −3) ∪ [ 2; +∞ ) 2 B. m < − . 3 { D. ( −4;0 ) . ) 17; 55 . 5 C. m ≤ . 6 { } 2 5 D. − ≤ m < . 3 6 } Câu 14: Cho A = x ∈ ℝ mx − 3 = mx − 3 , B = x ∈ ℝ x 2 − 4 = 0 . Tìm m để B \ A = B. 3 3 A. − ≤ m ≤ . 2 2 D. ( 2; +∞ ) 3 B. m < . 2 3 3 C. − < m < . 2 2 3 D. m ≥ − . 2 Bài tập tự luận { C. ( −∞;5]. b) A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) .   1 c) A =  x ∈ ℝ ≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 . x −1   { D. ( −∞;1) . Câu 7: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] và B = (1; +∞ ) . Tìm A ∩ B. C. A ∩ B = [1;3] . } a) A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 5} ; B = x ∈ ℝ x < 4 . Câu 6: Cho tập hợp A = ( −∞;3] ; B = (1;5] . Khi đó, tập A ∪ B là A. A ∩ B = [ −2; +∞ ) . B. A ∩ B = (1;3]. ( Câu 15: Xác định các tập A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A biết A. ( −∞; −3) B. ( 3;5].  12  D.  − ; 0  ∪  3  5 A. m ≥ . 6 Câu 5: Cho A = [ −3; 2 ) . Tập hợp Cℝ A là A. (1;3].  12  C.  − ; 55  .  3  các giá trị m để A ∩ B = ∅ là Câu 4: Cho A = {x ∈ ℝ : x + 2 ≥ 0} , B = {x ∈ ℝ : 5 − x ≥ 0} . Khi đó A \ B là A. [ −2;5]. B. ∅. Câu 13: Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A = [1 − 2m; m + 3] , B = {x ∈ ℝ x ≥ 8 − 5m}. Tất cả Câu 3: Cho tập hợp E = [ −4;5] ; F = ( −∞;0]. Khi đó, tập E \ F là A. ( −∞; −4]  12  A.  − ; 55  .  3  } d) A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) . D. A ∩ B = (1;3) . Trang 15 Trang 16 Câu 16: Cho các tập hợp A = ( −∞; m ) và B = [3m − 1;3m + 3] . Tìm m để a) A ∩ B = ∅ b) B ⊂ A. c) A ⊂ Cℝ B. d) Cℝ A ∩ B ≠ ∅.  x = −4 Đáp án D. Ta có x 2 + x − 12 = 0 ⇔  . Do đó D = {−4;3} . x = 3 Câu 10. Chọn D. Đáp án A. Ta có x 2 + x + 1 = 0 là phương trình vô nghiệm vì ĐÁP ÁN PHẦN KIẾN THỨC CHUNG 2 BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1 3  x 2 + x + 1 =  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ A = ∅. 2 4  Dạng 1. Tập hợp và xác định tập hợp Đáp án B. Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ℕ ⇒ B = ∅. 1-A 2-B 3-C 4-B 5-D 6-C 7-A 8-D 9-B 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM x3 − 3 = 0 Đáp án C. Ta có ( x 3 − 3)( x 2 + 1) = 0 ⇔  2 ⇔ x 3 − 3 = 0 ( do x 2 + 1 ≥ 1, ∀x ) x + 1 = 0  Câu 1. Chọn A. ⇔ x = 3 3 ∉ ℤ ⇒ C = ∅. Nhận thấy X là tập các số nguyên liên tiếp bắt đầu bằng số −2 và kết thúc bằng số 3 nên ta có X = {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3} . Câu 2. Chọn B. x = 0 ⇔ x = 0 ( do x 2 + 3 ≥ 3, ∀x ) ⇒ D = {0} . Đáp án D. Ta có x ( x 2 + 3) = 0 ⇒  2 x + 3 = 0 Dạng 2. Quan hệ giữa các tập hợp Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5... 1-D 1   Do đó X =  x ∈ ℚ x = ; n ∈ ℕ*  . n n + 1 ( )   2-D 3-A 4-B 5-B 6-B 7-D 8-C HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Chọn D. Câu 3. Chọn C. 0 1 2 3 Vì 2 không phải là một tập hợp nên đáp án D là sai. Sửa lại: 2 ∈ A. 4  −1   −1   −1  −1  −1  1  −1  Ta có: 9 = 9.   ; − 3 = 9.   ;1 = 9.   ; = 9.   ; =   ;...  3   3   3  3  3  9  3  Câu 2. Chọn D. Các tập con có 3 phần tử của A là n n      −1   −1  Do đó X =  x ∈ ℝ x = 9.   ; n ∈ ℕ  hoặc X =  x ∈ ℚ x = 9.   ; n ∈ ℕ  . 3 3         {1; 2;3} ; {1; 2; 4} ; {1; 2;5} ; {1;3; 4} ;{1; 4;5} ; {1;3;5} ; {2;3; 4} ;{2;3;5} ; {2; 4;5} ; {3; 4;5}. Câu 5. Chọn B. Câu 4. Chọn B. Câu 6. Chọn B. A = ( −∞;9]. m ≥ −1 m ≥ −1 Để A ⊂ B thì  ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0. m + 2 ≤ 2  m ≤ 0 Câu 7. Chọn A. Ta có Ö ( 36 ) = {1;2;3; 4; 6;9;12;18} và Ö (120 ) = {1;2;3; 4; 5;6;8;10;12;15; 20; 24;30; 40; 60} . Câu 7. Chọn D. Để B ⊂ A thì m ≥ 2. Vậy tập hợp các ước chung của 36 và 120 là A = {1; 2;3; 4; 6;12} . Câu 8. Chọn C. Câu 9. Chọn B. m ≥ 1 m ≥ 1 Để B ⊂ A thì  ⇔ ⇔ 1 ≤ m ≤ 2. m + 1 ≤ 3  m ≤ 2 x = 2 Đáp án A. Ta có x 2 − 4 = 0 ⇔  nên A = {−2;2} .  x = −2 Đáp án B. Ta có x 2 + 2x + 3 = 0 là vô nghiệm vì x 2 + 2x + 3 = ( x + 1) + 2 > 0; ∀x ∈ ℝ. Do đó B = ∅. 2 x = 5 Đáp án C. Ta có x − 5 = 0 ⇔  . Do đó C = − 5; 5 .  x = − 5 2 { } Trang 17 Dạng 3. Xác định tập hợp và các phép toán trên tập số thực 1-B 2-A 3-C 4-C 11 - C 12 - C 13 - D 14 - C 5-D 6-C 7-B 8-A 9-C 10 – C Trang 18 BÀI TẬP TỰ LUẬN c) Ta có Cℝ B = ( −∞;3m − 1) ∪ ( 3m + 3; +∞ ) . Câu 15. 1 Suy ra A ⊂ Cℝ B ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2 a) Ta có A =  −3;5 . x < 4 ⇔ −4 < x < 4. Do đó B = ( −4;4 ) . Vậy m ≥ 1 là giá trị cần tìm. 2 Vậy A ∪ B = ( −4;5] ; A ∩ B = [ −3; 4 ) ; A \ B = [ 4;5] ; B \ A = ( −4; −3) . d) Ta có Cℝ A = [ m; +∞ ) b) Ta có A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) . 3 Suy ra Cℝ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m ≤ 3m + 3 ⇔ m ≥ − . 2 Vậy A ∪ B = ( −3; 7 ] ; A ∩ B = [1; 2 ) ∪ ( 3;5] ; A \ B = [ 2;3] ; B \ A = ( −3;1) ∪ ( 5;7 ) . Vậy m ≥ −   1 c) A =  x ∈ ℝ ≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 . x −1   { 3 là giá trị cần tìm. 2 } x ≠ 1 x ≠ 1  1 3 1   ≥2⇔ 1 ⇔ 1 3 . Do đó A =  − ;  \ {1} . x −1 x 1 x − ≤ ≤ ≤  2 2   2 2 2 x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. Do đó B = 1;3 .  1   3  1  3  Vậy A ∪ B =  − ;3 ; A ∩ B = 1;  ; A \ B =  − ;1 ; B \ A =  ;3 .  2   2  2  2  d) Ta có A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) . Vậy A ∪ B ( −5; 2] ∪ ( 3; 6 ) ; A ∩ B = {0} ∪ ( 4;5 ) ; A \ B = ( 0; 2] ∪ [5;6 ) ; B \ A = ( −5;0 ) ∪ ( 3; 4]. Câu 16. Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ 1 a) Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2 Vậy m ≥ 1 là giá trị cần tìm. 2 3 b) Ta có B ⊂ A ⇔ 3m + 3 < m ⇔ m < − . 2 Vậy m < − 3 là giá trị cần tìm. 2 Trang 19 Trang 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan