Tài liệu B d t 2016

200 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ 2015-2016 Câu 1. Cho x,y thay đổi thỏa mãn x 2  y 2  1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P= 2( x 2  6 xy ) . 1  2 xy  2 y 2 Câu 2. Cho a, b > 0 và a + b  1. Tìm GTNN của biểu thức S= Câu 3. Cho x, y > 0 thỏa mãn x 4  y 4  P= 1 1 1  2  2. 3 a  b a b ab 3 1  xy  2 . Tìm GTLN của xy 2 2 3   . 2 2 1  x 1  y 1  2 xy Câu 4. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi sao cho x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = x 2  y 2  z 2  2 xyz . Câu 5. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= 1 2 2 2 a  b  c 1  2 . (a  1)(b  1)(c  1) Câu 6. Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= 24 3  . 13a  12 ab  16 bc a bc Câu 7. Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  2 . Tìm GTLN của biểu thức x2 yz 1  yz   P= 2 x  yz  x  1 x  y  z  1 9 (A, A1 2014) Câu 8. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P  a 3  b3  c 3 4 Nguyễn Thành Hiển Trang 1 Câu 9. (A-2011) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x  y, x  z . Tìm GTNN của biểu thức P x y z .   2x  3 y y  z z  x Câu 10. (D - 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2). Câu 11. (B-2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2).  a3 b3   a 2 b2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3  3   9  2  2  . a  b a  b Câu 12 . (Sở - GD-ĐT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả a 2  b 2  c 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 32  4  2 2 2 2 a  a b b  a b (1  c)3 4 Câu 13 . (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  7 a 2  b2  c2  121 . 14(ab  bc  ca ) Câu 14. (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ( a 2  2)(b 2  2)(c 2  2)  1296 . a bc Câu 15. (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 5(x 2  y 2  z 2 )  9(xy  2yz  zx ) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 1  . 2 y z (x  y  z )3 2 Câu 16. (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho các số thực x; y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  y 2  2 x  1  x2  y 2  2 x  1  y  2 . Câu 17. (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  x  y  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Nguyễn Thành Hiển Trang 2 3x 3y xy     x2  y 2  . y 1 x 1 x  y P Câu 18 . (THPT – Lương Thế Vinh – Lần 3 -2015) Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn ab  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 1 1 32   . 1 a 1 b 2a (1  a )  2b(1  b)  8 Câu 19. (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  8 1   a  b. 7 a  4b  4 ab ab Câu 20. (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x  3 y  7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 xy  y  5( x 2  y 2 )  24 3 8( x  y )  ( x 2  y 2  3) . 5 4 Câu 21. (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x là số thực thuộc đoạn [  1, ] . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  5  4x  1  x . 5  4x  2 1  x  6 Câu 22. (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng :  4  4  4  2  a 2  b 2  1  b 2  c 2  1  c 2  a 2  1   3(a  b  c) .     Câu 23. (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2 ab P   . b 1 a 1 a  b Câu 24. (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2016) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4 4 4 1 1 1      . a b bc c a a b c Câu 25. (THPT – Nguyễn Huệ - Nam Định – Lần 8 - 2015) Cho x, y, z là các số thực dương thoả y  z  x(y 2  z 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Nguyễn Thành Hiển 1 1 1 4    . 2 2 2 (1  x) (1  y ) (1  z ) (1  x )(1  y)(1  z) Trang 3 Câu 26. (Sở GD-ĐT Thanh Hoá – Lần 1 - 2015) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn  1  2 2  x  1  2 2 , y  0, z  0 và x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1   . 2 2 ( x  y) ( x  z) 8  ( y  z)2 Câu 27. (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn 2 x 4 +16y 4 +  2xy+1 =2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P=x  x 2 +3 +2y  4y 2 +3 . Câu 28. (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho 3 số thực dương x, y , z thỏa mãn x  y  1  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x y z2  2   . x  yz y  zx z  xy Câu 29. (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần 1 - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  1 ; c  a  b  c   3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) . 1 a 1 b Câu 30. (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần 2 - 2015) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c 2  3b  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P 1  a  1 2  4  b  2 2  8  c  3 2 . Câu 31. (THPT – Hậu Lộc 4 - 2015) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 y  xy 2  x  y  3 xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2  (1  2 xy ) 2  3 . 2 xy 1  2  Câu 32. (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho các số thực a, b, c   ;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P Nguyễn Thành Hiển a b bc c a   . c a b Trang 4 Câu 33. (THPT – Hưng Yên – Lần 1 - 2015) Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn 5  x 2  y 2  z 2   9  xy  2 yz  zx  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 1  3 2 y z  x  y  z 2 Câu 34. (THPT – Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 1 - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  a  b P= 2 . c  4  ab  bc  ca  Câu 35. (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2015) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x, y  1 và 3(x  y)  4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1 1  P  x3  y3  3  2  2  . y  x Câu 36. (THPT – Triệu Sơn 5 – lần 2 - 2015) Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn 1 1 1 (  1)(  1)(  1)  1 . Tìm GTNN của biểu thức :P = a2  b2  c2 . a b c Câu 37. (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)   . yz zx xy Câu 38. (THPT- Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần 1 - 2015) Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a  b  c  3 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2(ab  bc  ca )3  27 a 2b 2c 2  3(a 2  b 2  c 2 )  6(ab  bc  ca) . Câu 39. Cho các số thực dương a, b, c thoả a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a3 b3 c3   . (a  b)(a  c) (b c)(b  a) (c  a)(c b) Câu 40. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S Nguyễn Thành Hiển a3 b3 c3   . (1  b)(1  c) (1  c )(1  a) (1  a )(1  b) Trang 5 Câu 41. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a3 b3 c3   . b  2c c  2a a  2b Câu 42. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 S   . b(2 c a) c (2a  b) a(2 b c) Câu 43. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5  2 x  54  2 x  14 y . Câu 44. (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần 2 -2016) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 P  8 xyz  1 1 1   . xy yz zx Câu 45. (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho các số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  xyz . Chứng minh rằng x  yz  y  xz  z  xy  xyz  x  y  z . Câu 46. (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần 1 - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  1 ; c  a  b  c   3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) . 1 a 1 b Câu 47. (THPT – Bố Hạ - Lần 2 - 2016) Cho các số thực x, y , z thỏa mãn x  2, y  1, z  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 2 x 2  y 2  z 2  2(2 x  y  3)  1 . y ( x  1)( z  1) Câu 48. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  Nguyễn Thành Hiển 1 z  x  y  z . Tìm 2 x y 2z   . 2 y  z z  2x x  y  z Trang 6 Câu 49. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1; 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x  y z 2  4 xy  3z 2 . z 2  4 xy Câu 50. Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn điều kiện x 2  y 2  6 z 2  4 z  x  y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  x3 y  x  z 2  y3 x y  z 2  x2  y2 . z Câu 51. (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần 1 - 2016) Cho a, b, c là các số thực dương thoả a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b  c  2  5bc  b2 c  a 2  5ca  3 2 a  b . 4 Câu 52. (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 1 - 2016) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y ) 3  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P  3( x 2  y 2 ) 2  2( x  y ) 2  xy (3 xy  4)  2015 . x  y  z  0 Câu 53. (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x, y , z thoả  2 2 2 x  y  z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  x 3  y 3  z 3 . Câu 54. (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x, y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  1 1  . 6 xy  8 xz  7 z 9 x  y  z Câu 55. Cho hai số thực x, y thoả mãn x, y  1; 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x  2y y  2x 1  2  . x  3 y  5 y  3 x  5 4  x  y  1 2 Câu 56. Cho các số thực x, y thoả mãn 4 x 2  2 xy  y 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P  x 2  2 xy  y 2 . Câu 57. (THPT – Yên Lạc 2 – Lần 1 - 2016) Cho a, b là các số thực không âm thoả  a 2  1 b2  1  a b 2  a 2  b 2   a  b  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  6  2  2 .  (a  b) 2  5  a a b b Nguyễn Thành Hiển Trang 7 Câu 58. (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần 2 - 2015) Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a2 b3  8   c  1 2  b2 c 3  8   a  1 2 c2  a 3  8   b  1 2 . Câu 59. (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 4 - 2015) Cho các số thực dương x, y , z thoả 4(x 2  x  1)  16 x 2 yz  3 x(y z) 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y  3 x(x  1) 16 y   10 3 3 . 2 3 x z (y  1) x 2 Câu 60. (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần 1 - 2016) Xét các số thực dương x, y , z thoả mãn x 2  y 3  z 4  x 3  y 4  z 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  x 3  y 3  z 3 . Câu 61. (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 3  ln x  y 1  9 xy  3 x  3 y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3xy M 3x 3y 1 1 1    2 2 y ( x  1) x( y  1) x  y x y Câu 62. (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm x, y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4 2 2 2 x y z  4  4 (x  y ) (x  2z )(y  2z )  5 (y  z ) (y  2x )(z  2x ) . Câu 63. (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần 1 -2016) Cho ba số thực dương a, b, c và thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 3  b 3 b3  c3 c3  a 3   . a  2b b  2c c  2a Câu 64. (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 - 2015) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 4 1   . 4a  2b  4 2bc 8  a  2b  3c 4  b  2c Câu 65. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c3 P  a b  . 4 3 Nguyễn Thành Hiển 3 Trang 8 Câu 66. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì 3a 2  3b2  3c 2  4abc  13 . Câu 67. Cho ba số thực x, y, z  0 , chứng minh rằng x 3  y 3  z 3  3 xyz  x 2  y  z   y 2  z  x   z 2  x  y  . Câu 68. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng 1 1 1 27    . 1  ab 1  bc 1  ca 8 Câu 69. (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần 1 - 2015) Cho x, y là các số thực thuộc  0;1 x thoả mãn 3   y3  x  y  xy P  1  x 1  y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 x 2  1 1 y 2  4xy  x 2  y2 . Câu 70. (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 3 4 5   bca a cb a bc Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2 c  b  a b c . Câu 71. (THPT – Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá – Lần 1 -2016) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  a  3c 4b 8c   . a  2b  c a  b  2c a  b  3c Câu 72. (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần 1 - 2016) Cho x, y, z   0;2 thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1  2  2  xy  2 2 x  y  2 y  z  2 z  x2  2 2 yz  zx Câu 72. (THPT- Thuận Thành 1 – Bắc Ninh - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  1 ; c  a  b  c   3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Nguyễn Thành Hiển b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) . 1 a 1 b Trang 9 Câu 73. (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 -2016). Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 2 2   (x  y)(x  z). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3x  2y  z  1 3x  2z  y  1 2(x  3)2  y 2  z 2  16 P  2x 2  y 2  z 2 Câu 74. (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a 2b 2  c 2 b2  1  3b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1  a  1 2 4b 2  1  2b  2  8  c  3 2 2 y  x 2 Câu 75. (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 1 - 2016) Cho x, y   thỏa mãn  . Tìm giá 2  y  2 x  3 x trị nhỏ nhất của biểu thức P  x4  y 4  2  x  y 2 . Câu 76. (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần 1 - 2016) Cho x  0 và y  0 thỏa điều kiện x  y  2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy  1 xy  1 Câu 77. (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 abc . P 3 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Câu 78. (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho các số x, y , z thỏa mãn 0  x  y  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy 2  yz 2  zx 2 x  xyz  2  y2  z 2  6 2 . Câu 79. (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 .Chứng minh rằng x.2x  y.2 y  z.2z  3 2 Nguyễn Thành Hiển Trang 10 Câu 80. (THPT – Nguyễn Huệ) Cho các số thực không âm x , y , z thoả mãn x 2  y 2  z 2  27 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  2( xy  yz  xz )  3 x yz Câu 81. (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2. Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4. Câu 82. (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa x2  y2  z2  2 xy  3  x  y  z . Tìm GTNN P  6 x  6 y  z2  của 120 xz  120 y2 . Câu 83. (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y là 2 dương thoả x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x3  y 2 x 2  y3  x 2 y 2  3  3 2x 2y Câu 84. (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  5  a  b  c   2ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  3 1  P  a  b  c  48  3 .  a  10 b  c   Câu 85. (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a2  b2  c 2  c  a  c  b  Câu 86. (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn 2 x 4 +16y 4 +  2xy+1 =2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P=x  x 2 +3 +2y  4y 2 +3 . 2 Câu 87. Cho x, y là các số thực thỏa mãn  x2  y 2  1  3x2 y 2  1  4 x2  5 y 2 . Tìm GTLN và GTNN 2 2 2 2 của biểu thức P  x  22 y 2 3x y . x  y 1 Câu 88. (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng : P= 3 4( x3  y 3 )  3 4( y 3  z 3 )  3 4( z 3  x 3 )  2( x y z  2  2 )  12. 2 y z x Câu 89. (THPT – Phù Cát - 2015) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx . x y  y2z  z2 x 2 Câu 90. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x  y  z  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 y3 z3 2 P 3  3  3   xy  yz  zx  . y  8 z  8 x  8 27 Nguyễn Thành Hiển Trang 11 Câu 91. (THPT – Vân Canh - 2015) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  3(a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 )  3(ab  bc  ca )  2 a 2  b 2  c 2 Câu 92. (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x, y , z . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 4 x2  y2  z2  4  9  x  y   x  2 z  y  2 z  . Câu 93. (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c . Câu 94. (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f ( x )  5 x 2  8 x  32  3 x 2  24 x  3 x 2  12 x  16 . Câu 95. (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x  3 y  7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 xy  y  5( x 2  y 2 )  24 3 8( x  y )  ( x 2  y 2  3) . Câu 96. (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Câu 97. (THPT – Nguyễn x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)   . yz zx xy Diêu -2015) Cho ba số thực x, y , z thoả mãn: x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  2( x  z )  y. Câu 98. (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: a 2  1 b2  1 c 2  1 1 1 1      . 2 2 2 4b 4c 4a ab bc ca Câu 99. (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y là các số thực lần lượt thỏa mãn các phương trình x 2  2ax  9  0 với a  3 ; y 2  2by  9  0 với b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 1 1 thức M  3  x  y      . x y 2 Câu 100. (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z x  y  z và x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    3 y . z y Nguyễn Thành Hiển Trang 12 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Vì x 2  y 2  1 nên P = 2( x 2  6 xy ) . x 2  2 xy  3 y 2 Nếu x = 0 thì P = 0. Với x  0, đặt Xét hàm f (t )  2(1  6t ) 1  2t  3t 2 y 2(1  6t )  t suy ra P  x 1  2t  3t 2 2  t   2(18t  6t  4) 3 , t R thì f '(t )  , f '(t )  0   2 2 (3t  2t  1) t  1  3 2 BBT t – f’(t) –2/3 – 0 1/3 + 0 0 + – 3 f(t) –6 0 Suy ra MaxP = 3, MinP = – 6 Câu 2. S = Suy ra S  1 a b 1 2 ab 1 2   2 2  2  2 2  2 2 (a  b)(a  ab  b ) a b a  ab  b ab 1  3ab ab ab 2 1 2 1  (1). (1) xảy ra các đẳng thức khi và chỉ khi a = b = . 1  3ab ab ab 2 2 1 2 1  ab     và S  4 1  3t t t  2  Đặt t = ab, thì 0 < ab   Xét f(t) = 1 2 1 3 3 1  , t  (0, ] . Thì f’(t) =   5/2 < 0 , t  (0, ] 2 1  3t t t 4 (1  3t ) t 4 Nguyễn Thành Hiển Trang 13 suy ra f(t) nghịch biến trên (0, 1 2 1 1   20 . ]. Do đó f(t)  f( ) = 20, tức 4 4 1  3ab ab ab Suy ra S  20, dấu đt xảy ra khi a = b = Câu 3. GT  xy + 2  2x 2 y 2  1 . Vậy minS = 20. 2 1 1 . Đặt xy = t > 0 được t + 2  2t 2   2t 3  t 2  (2t  1)  0  xy t 1  t 1 2 Với x, y> 0 và xy  1 ta có  1 1 1 2 1   1 1       0  2 2 2 2 1 x 1 y 1  xy xy   1  x 1  xy   1  y  Khi đó P  ( x  y )2 ( xy  1)  0 đúng (1  xy )(1  x 2 )(1  y 2 ) 4 3 4 3 4 3 5t  1 1    . Đặt f (t )   = 2 , với t  [ ,1] 1  xy 1  2 xy 1  t 1  2t 1  t 1  2t 2t  3t  1 2 10t 2  4t  2 10t 2  2(2t  1) 1 1  0 , t  [ ,1] suy ra f(t) nghịch biến trên [ , 1] Thì f '(t )  2 = 2 2 2 (2t  3t  1) (2t  3t  1) 2 2 1 1 7 7 f (t )  f ( )  . Suy ra P  . Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = . 2 6 6 2 Vậy MaxP = 7 6 Câu 4. Không mất tính tổng quát, giả sử z là số nhỏ nhất. Lúc đó 0 < z < 1 (vì nếu z  1 thì x + y + z > 2) Ta có F = ( x  y )2  z 2  2 xy ( z  1)  (2  z ) 2  z 2  2 xy (1  z) x y 2  2 z  2  2 z  2 Mặt khác xy      nên 2 xy (1  z )  2   (1  z )  2   2   2  1 2 Từ đó F  ( z 3  z 2  4) (1). Xét f(z) = 1 2 1 3 2 ( z  z  4) với 0 < z < 1. 2 2 3 Ta có f '( z )  (3z 2  2 z )  0  z   (0,1) BBT Nguyễn Thành Hiển Trang 14 z 0 2/3 f’(z) – 1 0 + f(z) 52 27 Từ BBT suy ra f(z)  52 (2) 27 Từ (1) và (2) ta có F  52 52 2 . Vậy MaxF = đạt được khi x = y = z = 27 27 3 1 2 1 2 1 4 Câu 5. Áp dụng BĐT Côsi ta có : a 2  b2  c 2  1  (a  b)2  (c  1)2  (a  b  c  1) 2  a bc3  3   3 và (a  1)(b  1)(c  1)   suy ra P  2 54  . Đặt t = a + b + c + 1, t > 1 a  b  c  1 (a  b  c  3)3 2 t 54 2 54 . . Xét hàm f(t) =  với t > 1 thì 3 (t  2) t (t  2)3 f’(t) =  t  1 2 54.3 . Suy ra BBT   0  9t  (t  2) 2   2 4 t (t  2) t  4 thì P   t 1 4 +  f’(t) + 0 – 1/4 f(t) 0 Nguyễn Thành Hiển 0 Trang 15 1 4 Dựa vào BBT suy ra P  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 4  a = b = c = 1 Vậy GTLN của P là 1 , đạt được khi a = b = c = 1 4 Câu 6. Áp dụng BĐT Cô-Si ta có 13a  12 ab  16 bc  13a  6 a.4b  8 b.4c  13a  6. Dấu đẳng thức xảy ra  a  4b  16c . Suy ra P  Đặt t = a + b + c , t > 0. Khi đó P  Xét hàm f (t )  f '(t )  0  a  4b b  4c 8  16( a  b  c ) 2 2 3 3  2(a  b  c ) abc 3 3  2t t 3 3 3 3   2 trên khoảng (0, +  ), ta có f '(t )  2t t 2t t 2t 3 3  2  0  t 1 2t t 2t BBT t 0 1 f’(t) – 0 + + + 0 f(t) 3 / 2 3 2 a  b  c  1 16 4 1  a  ;b  ;c  21 21 21  a  4b  16c Vậy ta có P   , dấu đẳng thức xảy ra   3 2 Vậy MinP =  . Câu 7. Ta có 2 x( y  z )  x 2  ( y  z )2  2  2 yz  yz  1  x ( y  z ) Nguyễn Thành Hiển Trang 16 và x2 x2 x   2 2 x  yz  x  1 x  x  x( y  z ) x  y  z  1 Do đó P   x yz 1  yz 1 1  yz     1    x  y  z 1 x  y  z 1 9 9   x  y  x 1 Theo BĐT BCS ta có x  ( y  z )  2( x 2  ( y  z )2 )  2 1  yz . Do đó 1 1  yz 1 1  yz 1 u2      , với u = 1  yz  1 x  y  z 1 9 9 1  2u 9 1  2 1  yz Đặt f(u) = 1 u2 4 4 5  . Dùng đạo hàm chứng minh f(u)  , với u  1. Vậy P  1   . 1  2u 9 9 9 9 Câu 8. Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số a, b, c mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối xứng với a, b , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến a, b bằng nhau. 3 a 3  b3  a  b  Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức   , đẳng thức xảy ra khi hai biến số 2  2  3 3 3 2  a  b  1 3  1  c  1 3 c  3c  3c  1 a và b bằng nhau. Khi đó ta có P    c   c   f c .    8  2  4  2  4 Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số g  c   8. f  c  trên khoảng  0;1 . Ta có g '  c   3c 2  6c  3 , g '  c   0  c1  1  2, c2  1  2 . Lập bảng biến thiên của hàm số g  c  trên khoảng  0;1 ta có :   g  c   g  c2   g 1  2  6  4 2 , suy ra P  f  c   Vậy Pmin  1 3 2 2 . 4   1 1 3  2 2 khi và chỉ khi c  2  1, a  b  2  2 . 4 2     Câu 9. Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương, ab  1 thì 1 1 2   1  a 1  b 1  ab (*) Thật vậy, ta có (*)  ( ab  1)( a  b ) 2  0 luôn đúng do a, b dương và ab  1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1. Nguyễn Thành Hiển Trang 17 Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x  y, x  z ta có P x 1 1 1 1     . 2x  3y 1 x 1 x 2  3y x 1 y z x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Đặt z x x  hoặc  1 (1) y z y t2 2 x   t , t  1;2 , khi đó P  2 . y 2t  3 1  t 2 t 3  4  3  3t  2t  1  9  t2 2  , t  1; 2 ta có f '(t )  Xét hàm f (t )  2  0. 2 2t  3 1  t  2t 2  3 1  t 2 Suy ra, f (t )  f (2)  34 . 33 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t  2  Do đó P  x  4  x  4; y  1 (2) y 34 . Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1, z = 2. 33 Câu 10. Ta có  ( x  4)2  ( y  4) 2  2 xy  32  ( x  y ) 2  8( x  y )  0  0  x  y  8 3 4 xy  ( x  y ) 2   6 xy   ( x  y ) 2 2 3 3 A = x  y  3( xy  1)( x  y  2) = ( x  y )3  6 xy  3( x  y )  6  3 A  ( x  y )3  ( x  y ) 2  3( x  y )  6 2 3 Đặt t = x + y ( 0  t  8 ), xét f(t) = t 3  t 2  3t  6  f’(t) = 3t 2  3t  3 2 f’(t) = 0 khi t = 1 5 1 5 17  5 5 ; f(0) = 6, f(8) = 398, f( )= 2 2 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là Nguyễn Thành Hiển 17  5 5 1 5 xảy ra khi t = 4 2 Trang 18 A  f(t)  17  5 5 1 5 1 5 . Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y = hay x = y = 4 2 4 Câu 11. Theo giả thiết ta có 2  a 2  b 2   ab   a  b  ab  2  . Từ đây suy ra: 2 2 a b 1 1 a b 2     1      ab  2  hay 2     1  a   b  b a b a a b b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  Đặt t =  a 2 2 b b   2 2   b a a  b a b 5  , ta suy ra: 2t + 1  2 2 t  2  4t2 – 4t – 15  0  t  b a 2  a3 b3   a 2 b2  Mặt khác: P = 4  3  3   9  2  2  = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t) a  b a  b f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = 0  t =  1 hay t = 2 2  Min f(t) =  23 5 khi t = 4 2 Vậy min P =  23 khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1. 4 Nguyễn Thành Hiển Trang 19 Câu 12. Câu 13. Ta có 1  (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ) 1  (a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ca  . 2 7 121 Do đó A  2  a  b 2  c 2 7(1  (a 2  b 2  c 2 )) Đặt t  a 2  b 2  c 2 . Vì a,b,c  0 và a  b  c  1 nên 0  a  1, 0  b  1, 0  c  1 Suy ra t  a 2  b 2  c 2  a  b  c  1 Mặt khác 1  (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca )  3(a 2  b 2  c 2 ) 1  1 . Vậy t   ;1 3  3  1  7 121 Xét hàm số f (t )   , t   ;1  3  t 7(1  t )  Suy ra t  a 2  b 2  c 2  Nguyễn Thành Hiển Trang 20