CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CHINH PHỤC
KỲ THI
THPT
QUỐC
HOÀNG
TUYÊN
🙲 MINH
TÂMGIA
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN – KHỐI 12
CÂU HỎI & LỜI GIẢI CHI TIẾT
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
NĂM HỌC: 2020 – 2021 Trang | 1
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
MỤC LỤC
DẠNG TOÁN 1: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG .................3
Dạng 1.1: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (không có điều kiện) .................................3
Dạng 1.2: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (có điều kiện) ..........................................28
DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY .......54
Dạng 2.1: Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (không có điều kiện) ...........................54
Dạng 2.2: Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có điều kiện).......................................68
DẠNG TOÁN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG .......73
Dạng 3.1: Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quãng đường của chuyển động...................................73
Dạng 3.2: Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quãng đường của chuyển động .....................................83
DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC THẾ89
Dạng 4.1: Bài toán liên quan đến diện tích ..............................................................................................89
Dạng 4.2: Bài toán liên quan đến thể tích ..............................................................................................102
DẠNG TOÁN 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ .....117
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 2
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
PHẦN
3
DẠNG TOÁN 1: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1.1: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (không có điều kiện)
BÀI TẬP NỀN TẢNG & VẬN DỤNG
Câu 1:
(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f x xác
định và liên tục trên đoạn a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,
trục hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức
b
A. S f x dx .
a
b
b
B. S f x dx .
C. S f x dx .
a
a
a
D. S f x dx .
b
Lời giải
Chọn A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng
b
x a , x b được tính bởi công thức: S f x dx .
a
Câu 2:
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các
đường y 2 x , y 0 , x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. S 2 dx
x
0
2
2
B. S 2 dx
C. S 2 dx
x
2x
0
0
2
D. S 22 x dx
0
Lời giải
Chọn B
2
2
0
0
S 2 x dx 2 x dx (do 2 x 0, x 0; 2 ).
Câu 3:
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y e x , y 0 , x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. S e x dx
0
2
B. S e x dx
0
2
C. S e x dx
0
2
D. S e 2 x dx
0
Lời giải
Chọn A
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x , y 0 , x 0 , x 2 là: S e x dx .
0
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 3
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 4:
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
(Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 5 (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
5
1
A. S f ( x)dx f ( x)dx .
1
1
C. S
B. S
1
1
5
1
5
f ( x)dx f ( x )dx .
f ( x)dx f ( x )dx .
1
1
5
1
1
D. S f ( x)dx f ( x)dx .
1
Lời giải
Chọn C
1
Ta có: S
1
Câu 5:
5
f ( x ) dx f x dx
1
1
1
5
f x dx f x dx .
1
(Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1, x 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
1
A. S
2
1
f x dx + f x dx .
1
1
2
1
1
C. S f x dx+ f x dx .
1
2
B. S f x dx f x dx .
1
D. S
1
1
2
1
1
f x dx f x dx .
Lời giải
Chọn D
2
S
1
1
2
1
1
f x dx= f x dx f x dx
Nhìn hình ta thấy hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn 1;1 nên
1
1
2
1
f x dx
1
f x dx ; hàm số f x liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn 1;2 nên
1
2
f x dx f x dx
1
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 4
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
Vậy S
1
Câu 6:
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
2
f x dx f x dx
1
(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x 2 .
A.
37
12
B.
9
4
C.
81
12
D. 13
Lời giải
Chọn A
x 0
Phương trình hoành độ giao điểm x x x x x x 2 x 0 x 1
x 2
3
2
3
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x 2 là:
1
S
0
x 3 x x x 2 dx
2
1
x 3 x 2 2 x dx
2
0
x
3
x 2 2 x dx
0
1
x 4 x3
x 4 x3
16 8
1 1 37
.
x 2 x 2 4 1
4 3
4 3 12
4 3
2 4 3
0
Câu 7:
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi
các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1 , x 2 . Đặt a
0
f x dx ,
1
2
b f x dx , mệnh đề nào sau đây đúng?
0
A. S b a
B. S b a
C. S b a
D. S b a
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 5
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Ta có:
2
S
1
Câu 8:
0
2
0
2
1
0
1
0
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a b .
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol
y 3x 2 , cung tròn có phương trình y 4 x 2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô
đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng
A.
4 3
12
4 3
6
B.
C.
4 2 3 3
6
D.
5 3 2
3
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được
với 0 x 2 nên ta có x 1
1
2
Ta có diện tích S 3x dx
2
0
1
1
2
3x2 4 x2 x 1
2
3 3
3
4 x dx
x 4 x 2 dx
4 x2 dx
3
3 1
1
0
2
Đặt: x 2 sin t dx 2 cos tdt ; x 1 t
6
; x 2 t
2
S
3
1
2 4 3
2 t sin 2t
3
6
2
6
Câu 9:
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo
trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 6
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
2
2
2 x 2 dx
A.
B.
1
1
2
C.
2 x 2 dx
2
2
2 x 2 x 4 dx
D.
1
2x
2 x 4 dx
2
1
Lời giải
Chọn C
Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
2
S
x2 3 x2 2 x 1 dx
1
2
2
2 x 2 2 x 4 dx
1
2 x
2
2 x 4 dx .
1
Câu 10: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
1
A. S
4
1
1
f x dx f x dx .
B. S
1
4
1
1
1
1
C. S f x dx f x dx .
4
f x dx f x dx .
1
1
4
1
1
D. S f x dx f x dx .
Lời giải
Chọn A
Ta có: hàm số f (x) 0 x 1;1 ; f (x) 0 x 1; 4 , nên:
S
4
1
4
1
4
1
1
1
1
1
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx . Chọn đáp án A.
Câu 11: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi cá đường y f x , y 0, x 2 và x 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 7
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
y
2
1
y=f(x)
x
3
1
O
1
3
A. S f x dx f x dx.
B. S
2
1
2
1
3
1
C. S f x dx f x dx.
2
D. S
2
1
3
f x dx f x dx.
1
3
f x dx f x dx.
1
Lời giải
Chọn B
3
Ta có S
f x dx S
2
1
2
3
f x dx f x dx.
1
Do f x 0 với x 2;1 và f x 0 với x 1;3 nên S
1
2
3
f x dx f x dx.
1
Câu 12: (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
2
A.
2x
2
2
2 x 4 dx .
B.
1
2 x
2
2 x 4 dx .
1
2
C.
2x
2
2
2 x 4 dx .
D.
1
2 x
2
2 x 4 dx .
1
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta thấy x2 3 x2 2 x 1 , x 1; 2 .
Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là
2
S x 2 3 x 2 2 x 1 dx
1
2
2 x
2
2 x 4 dx .
1
Câu 13: (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a, x b (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính S
nào dưới đây đúng?
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 8
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
c
b
A. S f x dx .
B. S
a
c
b
a
c
C. S f x dx f x dx .
b
f x dx f x dx .
a
c
c
b
a
c
D. S f x dx f x dx .
Lời giải
Chọn B
Câu 14: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x3 3x , y x . Tính S .
A. S 4 .
B. S 8 .
C. S 2 .
D. S 0 .
Lời giải
Chọn B
x 2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x 3 x x x 4 x 0 x 0 .
x 2
3
0
Vậy S
x
3
4 x dx
2
2
x
3
3
4 x dx 4 4 8 .
0
Câu 15: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x , y 0 , x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. S 3x dx .
0
2
B. S 32 x dx .
0
2
C. S 3x dx .
0
2
D. S 32 x dx .
0
Lời giải
Chọn A
2
Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức S 3x dx
0
Câu 16: (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y f x liên
tục trên đoạn a; b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục
hoành, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử S D là diện tích hình
phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 9
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
0
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
b
A. S D f x dx f x dx .
a
0
0
b
a
0
0
b
a
0
0
b
a
0
B. S D f x dx f x dx .
C. S D f x dx f x dx .
D. S D f x dx f x dx .
Lời giải
Chọn B
b
0
b
a
a
0
Ta có S D f x dx f x dx f x dx .
Vì f x 0, x a ; 0 , f x 0, x 0; b nên:
0
b
0
b
a
0
a
0
S D f x dx f x dx f x dx f x dx.
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 1 , trục hoành và hai đường
2
thẳng x 1, x 2 bằng
A.
2
.
3
B.
3
.
2
C.
1
.
3
D.
7
.
3
Lời giải
Chọn A
2
2
Ta có: S x 2 1 dx x 2 4 x 3 dx
2
1
1
2
x
2
4 x 3 dx
1
2
.
3
Câu 18: Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên a ; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của các hàm số y f ( x) , y g ( x) và các đường thẳng x a , x b bằng
b
A.
f ( x ) g ( x ) dx .
a
b
B.
b
f ( x) g ( x) dx .
C.
a
f ( x ) g ( x ) dx .
D.
a
b
f ( x ) g ( x ) dx .
a
Lời giải
Chọn C
Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường y f ( x) ,
b
y g ( x) , x a , x b được tính theo công thức S f x g x dx .
a
Câu 19: Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
đây?
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 10
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
x2 2
x2 2
1
A.
B.
2
x
x dx .
1
x dx .
1
2
1
1
x
1
x dx .
1
C.
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
D.
2
2
x dx .
1
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:
1
1
1
x 2 2 x dx
x x 2 2 dx ( vì x 1;1 x x 2 2 ).
1
Câu 20: (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y 4 x x và trục Ox
2
A. 11 .
B.
34
.
3
C.
31
.
3
D.
32
.
3
Lời giải
Chọn D
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4 x x và trục Ox .
2
x 0
.
x 4
Xét phương trình 4 x x 2 0
4
4
4
x3
32
Ta có S 4 x x dx (4 x x )dx (2 x )
.
3
3
0
0
0
2
2
2
Câu 21: (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
parabol y x 2 , đường cong y x 3 và trục hoành ( như hình vẽ ) bằng:
2
A.
11
2
B.
73
12
C.
7
12
D.
5
2
Lời giải
Chọn C
1
2
0
1
S x3dx x 2 dx
2
2 7
x 4 1 x3
2x2 4x
4 0 3
1 12
Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Diện tích của
hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 11
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
, x b a b (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ?
c
b
b
A. S f x dx f x dx .
a
B. S f x dx .
c
c
a
b
b
C. S f x dx f x dx .
a
D. S
f x dx .
a
c
Lời giải
Chọn C
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường
b
thẳng x a , x b là S f x dx
a
c
a
b
c
b
c
a
c
f x dx f x dx f ( x )dx f ( x )dx .
Câu 23: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi các đường y x2 1, x 1, x 2 và trục hoành.
A. S 6 .
B. S 16 .
C. S
13
.
6
D. S 13 .
Lời giải
Chọn A
2
Ta có: S
x
2
2
1 dx
1
x
2
1 dx 6 .
1
Câu 24: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y x 2 5 , y 6 x , x 0 , x 1 . Tính S .
A.
4
3
B.
7
3
C.
8
3
D.
5
3
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 5 6 x x 5; x 1 .
1
Diện tích hình phẳng cần tìm: S x 2 6 x 5 dx
0
7
.
3
Câu 25: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình phẳng giới
3 x 1
hạn bởi đồ thị hàm số C : y
và hai trục tọa độ là S . Tính S ?
x 1
4
4
4
4
A. S 1 ln
B. S 4 ln
C. S 4 ln 1
D. S ln 1
3
3
3
3
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 12
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Lời giải
Chọn C
3 x 1
1
0 x .
x 1
3
Hoành độ giao điểm của C và trục hoành là nghiệm của phương trình
Do đó diện tích hình phẳng là
0
3 x 1
S
dx
1 x 1
3
0
0
4
4
3
d
x
3
x
4
ln
x
1
1.
1 4 ln
1 x 1
3
3
3
Câu 26: (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số y x 3 x ; y 2 x và các đường x 1 ; x 1 được xác định bởi công thức:
0
A. S
x
1
1
3
0
3 x dx 3 x x 3 dx .
B. S
3
1
0
3
3 x dx .
0
1
1
C. S
1
3 x x dx x
3
3x x dx .
D. S
1
3x x dx .
3
1
Lời giải
Chọn A
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x 3 x ; y 2 x và các đường
1
x 1 ; x 1 là S
x
3
x 2 x dx
1
1
x
3
3x dx .
1
Bảng xét dấu x3 3x
Do đó dựa vào bảng
0
S
x
1
x
x 3x
3
-1
0
0
1
ta có:
1
3
3 x dx 3 x x 3 dx .
0
Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x 2 ; y 0; x 1; x 2 bằng
A.
4
.
3
B.
7
.
3
C.
8
.
3
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
2
2
7
Ta có S x 2 dx x 2 dx .
3
1
1
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 13
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Câu 28: (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình phẳng
x 1
giới hạn bởi đồ thị của hàm số H : y
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
x 1
A. 2 ln 2 1 .
B. ln 2 1 .
C. ln 2 1 .
D. 2ln 2 1 .
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị H và trục hoành
x 1
0 x 1.
x 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi H và các trục tọa độ là
1
1
1
1
x 1
x 1
2
dx
dx 1
dx x 2ln x 1 2ln 2 1 .
0
x 1
x 1
x 1
0
0
S
0
Câu 29: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của hình phẳng
ln x
giới hạn bởi các đường y 2 , y 0 , x 1 , x e . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x
e
A. S
1
e
ln x
dx .
x2
B. S
1
ln x
C. S 2 dx .
x
1
e
ln x
dx .
x2
ln x
D. S 2 dx
x
1
2
e
2
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D gồm các đường y
e
S
1
ln x
, y 0 , x 1 , x e là:
x2
e
ln x
ln x
ln x
dx 2 dx vì 2 0, x 1; e .
2
x
x
x
1
Câu 30: (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 2 2 x 1 , y 2 x 2 4 x 1 là
A. 8 .
C. 4 .
B. 5 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm là x 2 2 x 1 2 x 2 4 x 1 3x2 6 x 0
x 0
x 2
2
Diện tích hính phẳng là S 2 x 2 4 x 1 x 2 2 x 1 dx
0
2
3x
2
6 x dx x3 3x 2
0
2
4.
0
Câu 31: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x 2 2 x , y x 2 .
A.
7
.
2
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
B.
9
.
2
C.
5
.
2
D.
11
.
2
Trang | 14
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Lời giải
Chọn B
x 2
Xét phương trình: x 2 2 x x 2 x 2 x 2 0
.
x 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là:
1
S
2
1
x3 x 2
7 10 9
.
x x 2dx x x 2 dx 2 x
2
6 3
3 2
2
2
1
2
2
Câu 32: (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đường cong y x ln x , trục hoành và đường thẳng x e là
A.
e2 1
.
2
B.
e2 1
.
2
C.
e2 1
.
4
D.
e2 1
.
4
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ của đường cong y x ln x và trục hoành là
x 0
x 0
x ln x 0 x 0 x 0 x 1 .
ln x 0
x 1
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x ln x , trục hoành và đường thẳng x e
e
e
1
1
là S x ln x dx x ln xdx .
1
du dx
e 1e
u ln x
x2
e2 x 2 e e2 1
x
Đặt
.
Suy
ra
S
ln
x
x
d
x
.
2
1 2 1
2
2 4 1
4
dv xdx
v x
2
Câu 33: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng H được giới hạn bởi các
đường y x 2 , y 3x 2 . Tính diện tích hình phẳng H
A.
2
(đvdt)
3
B.
1
(đvdt)
3
C. 1 (đvdt)
D.
1
(đvdt)
6
Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
x 1
x 2 3x 2 x 2 3x 2 0
.
x 2
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
2
S x 3x 2 dx
2
1
2
x
2
3x 2 dx
1
1
(đvdt).
6
Câu 34: (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị các hàm số y ln x, y 1 và đường thẳng x 1 bằng
A. e 2 .
B. e 2 .
C. 2e .
D. e 2 .
Lời giải
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 15
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Chọn D
Ta có ln x 1 0 x e .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ln x, y 1 và đường thẳng x 1 là:
e
S ln x 1dx
1
e
ln x 1 dx
1
e
x ln x 1 1 dx 1 x 1 1 e 1 2 e e 2
e
e
1
Câu 35: Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y 2 x 3 và các đường thẳng y 0, x 0, x m bằng 10 là
7
A. m .
2
B. m 5 .
C. m 2 .
D. m 1 .
Lời giải
Chọn C
Vì m 0 nên 2 x 3 0, x 0; m .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x 3 và các đường thẳng
y 0, x 0, x m là:
m
S 2 x 3 .dx x 2 3x m 2 3m .
m
0
0
Theo giả thiết ta có:
m 2
S 10 m2 3m 10 m2 3m 10 0
m 2 do m 0 .
m 5
2
Câu 36: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 4 x x và đường thẳng y 2 x
bằng
A. 4 .
B.
20
.
3
C.
4
.
3
D.
16
3
Lời giải
Chọn C
x 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 x x 2 2 x x 2 2 x 0
x 2
2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là S
0
2
x3
4
x 2 x dx 2 x x dx x 2 .
3 0 3
0
2
2
2
Câu 37: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch
chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên.
A.
5
.
6
B.
5
.
6
C.
8
.
15
D.
8
.
15
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 16
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
Phương trình hoành độ giao điểm
x 1
2
x x 2 x2 5x 4 0
x 4
Dựa vào đồ thị, khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
1
2
0
1
S xdx x 2 dx
Vậy S
2
1 1 5
2 3 6
5
.
6
Câu 38: (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2 x , y 0 , x 10 , x 10 .
A. S
2000
.
3
B. S 2008 .
C. S 2000 .
D. S
2008
.
3
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường C : y x 2 2 x và d : y 0 là:
x 0
x2 2x 0
.
x 2
Bảng xét dấu:
10
0
Diện tích cần tìm: S
x 2 x dx
2
10
x
10
0
2
2
2
10
2 x dx x 2 x dx x 2 2 x dx
2
0
2
10
x3
x3
x3
1300 4 704 2008
2
2
x x x2
.
3
3
3
3
3
10 3
0 3
2
Câu 39: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 3 , x 2 (như
1
hình vẽ bên). Đặt a
3
2
f x dx , b f x dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng.
1
A. S a b .
B. S a b .
C. S a b .
D. S b a .
Lời giải
Chọn D
Ta có S
2
1
2
3
3
1
f x dx f x dx f x dx
1
2
3
1
f x dx f x dx a b .
Câu 40: (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 17
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
thị hàm số y x 2 và đường thẳng y 2 x là :
A.
4
3
B.
5
3
C.
3
2
D.
23
15
Lời giải
Chọn A
x 0
Xét phương trình x 2 x
x 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và đường thẳng y 2 x là :
1
S x 2 x dx
0
1
x
2
x dx
0
4
3
Câu 41: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
các hàm số y x 2 2 x 1 , y 2 x 2 4 x 1 là
A. 8
B. 5
C. 4
D. 10
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành đồ giao điểm hai đồ thị hàm số y x 2 2 x 1 , y 2 x 2 4 x 1 là:
x 0
.
x2 2x 1 2x 2 4 x 1 3x2 6 x 0
x 2
Diện tích hình phẳng đã cho là
2
0
2
2
0
0
3x 2 6 x dx 6 x 3x 2 dx 3 x 2 x 3
4.
7 4 x 3 khi 0 x 1
Câu 42: (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x
.
4 x 2 khi x 1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và các đường thẳng
x 0, x 3, y 0 .
A.
16
.
3
B.
20
.
3
C. 10 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 18
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
2
3
S 7 4 x dx 4 x dx x 2 4 dx
3
2
0
1
2
3
1
x 2 x
7
8
7 x x 4 | 4 x | 4 x| 6 4 3 8 10 .
0
2
3 1 3
3
3
3
3
Câu 43: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích S của hình phẳng
3
2
( H ) giới hạn bởi các đường cong y x 12 x và y x .
A. S
937
12
B. S
343
12
C. S
793
4
D. S
397
4
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:
x 0
3
2
2
x 12 x x x( x x 12) 0 x 3 .
x 4
4
⇒ Diện tích cần tìm là: S
0
x 3 x 2 12 x dx
3
0
x
3
3
x 12 x dx
2
4
0
3
4
x 3 x 2 12 x dx x 3 x 2 12 x dx
0
0
4
x 4 x3
x 4 x3
x x 12 x dx 6 x 2 6 x 2
4 3
3 4 3
0
3
2
99 160 937
.
4
3
12
Câu 44: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x , y x 2 và trục hoành. Diện tích của H bằng
y
2
y x
2
O
A.
7
.
3
B.
8
.
3
4
C.
x
10
.
3
D.
16
.
3
Lời giải
Chọn C
y x
y x 2
Xét các hình phẳng H 1 : y 0
và H 2 : y 0
.
x 2, x 4
x 0, x 4
H H1 \ H 2
Ta có
.
H H 2 H1
4
4
0
2
Do đó S H S H1 S H 2 xdx x 2 dx
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
4 x2
4 16
2
10
x x 2x 2
0 2
3
3
2 3
Trang | 19
CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM
x y2
2
10
Cách khác: Ta có H : x y 2 . Suy ra S H y 2 y 2 dy .
3
0
y 0, y 2
Câu 45: (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình
x 1
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S là
x 1
A. S 1 ln 2.
B. S 2ln 2 1.
C. S 2ln 2 1.
D. S ln 2 1.
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành:
x 1
0 x 1.
x 1
1
1
1
1
x 1
2
x 1
dx
dx 1
dx x 2 ln x 1 0 2ln 2 1.
x 1
x 1
x 1
0
0
Khi đó S
0
Câu 46: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x 2 x 1 và y x 4 x 1 là
A.
8
.
15
B.
7
.
15
2
.
5
C.
D.
4
.
15
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của y x 2 x 1 và y x 4 x 1 là
x 0
x x 1 x x 1 x x 0 x 1 .
x 1
2
2
4
4
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là S
0
x 2 x 4 dx
1
0
x
2
x 4 dx
1
1
x
0
2
1
1
x 2 x 4 dx x 2 x 4 d x
0
x
x
x 0
x
x 4 dx
3 5 1 3 5
3
5
3
5
1
2 2
4
.
0 15 15 15
Câu 47: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
x 1
hàm số ( H ) : y
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
x 1
A. S ln 2 1 .
B. S 2ln 2 1 .
C. S ln 2 1 .
D. S 2ln 2 1 .
Lời giải
Chọn D
Phương trình trục (Ox ) và (Oy ) lần lượt là y 0 và x 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( H ) và trục Ox:
1
Ta có: S
0
1
S
0
x 1
0 x 1.
x 1
x 1
x 1
dx . Vì
0, x 0;1 nên diện tích cần tìm là:
x 1
x 1
1
1
x 1
2
dx 1
dx x 2 ln x 1 0 2 ln 2 1 .
x 1
x 1
0
TÀI LIỆU TỰ HỌC K12
Trang | 20
- Xem thêm -
.PDF 
124 
1 
85 
