Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội BLOG TOÁN Tµi liÖu «n thi THPT quèc gia N¨m 2020 Họ và tên học sinh: …………………. Lớp: …………………………………. https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 1 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lời nói đầu ! Xin lấy một đoạn trích từ tiểu thuyết trinh thám rất nổi tiếng “ Phía sau nghi can X” của tác giả Higashino Keigo làm lời nói đầu, đây cũng là suy nghĩ của rất nhiều thầy, cô giáo dạy toán, chúc các em học sinh tìm được niềm yêu thích học toán, học toán vui vẻ và thắng lợi trong các kì thi sắp tới ! …… - Thưa thầy, có những trường đại học không thi đầu vào bằng môn toán. Ai thi vào những trường đó thì điểm môn toán thế nào mà chẳng được hả thầy. Ishigami nhìn về phía có tiếng nói. Cậu học sinh tên là Morioka. Cậu ta đưa tay gãi gãi gáy và nói với các bạn xung quanh:”Mọi người nhỉ!” Tuy không phải là giáo viên chủ nhiệm nhưng Ishigami cũng biết cậu Morioka nhỏ con này là thủ lĩnh của lớp. cậu ta bị nhắc nhở nhiều lần vì lén dùng xe máy đi học. - Em sẽ thi trường như thế hả Morioka? – Ishigami hỏi. - Nếu thi thì em sẽ chọn trường như thế tuy bây giờ em chưa muốn học lên đại học. nhưng dù thế nào thì lên lớp mười hai, em sẽ không học môn toán nữa. Điểm toán sẽ chẳng quan trọng gì đối với em. Ngay cả thầy cũng mệt vì phải dạy những đứa dốt như bọn em rồi. Thôi thì chúng ta, nói thế nào nhỉ, hãy cư xử như người lớn với nhau. Cả lờp cười ồ lên trước câu nói cuối cùng của Morioka. Ishigami mỉm cười. - Nếu em nghĩ tới các thầy thì hãy đỗ trong kì thi lại lần tới. Phạm vi chỉ có phần vi phân và tích phân thôi. Chẳng có gì đáng kể cả. Morioka tặc lưỡi một cái rất to. Cậu ta thu hai chân đang dạng ra hai bên rồi vắt tréo lên nhau. - Vi phân với tích phân thì có ích cho việc gì ạ? Có vẻ như chỉ phí thời gian. Ishigami đang quay lên bảng, định chữa bài thi cuối kì nhưng anh quay lại khi nghe thấy câu nói của Morioka. Đó là câu hỏi anh không thể bỏ qua. - Em thích xe máy, đúng không nhỉ? Em đã xem đua xe bao giờ chưa? Morioka bối rối gật đầu trước câu hỏi bất ngờ của Ishigami. - Các tay đua không chạy xe với một vận tốc nhất định. Họ luôn luôn thay đổi vận tốc, không chỉ để thích ứng với địa hình và hướng gió mà còn vì những lý do mang tính chiến thuật nữa. Việc phán đoán ngay tức thì xem chỗ nào nên giảm tốc, chỗ nào nên tăng tốc và tăng như thế nào sẽ quyết định việc thắng hay thua. Em có hiểu không? - Em hiểu, nhưng việc đó thì có liên quan gì tới toán học? - Mức tăng tốc này chính là phép vi phân của vận tốc tại thời điểm đó. Còn cự ly đua chính là phép tích phân của vận tốc liên tục thay đổi. trong một cuộc đua, tất nhiên xe nào cũng chạy cùng một cự ly nhưng để giành chiến https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 2 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội thắng thì việc tính vi phân vận tốc sẽ là yếu tố rất quan trọng. Thế nào, có phải vi phân và tích phân không có ích cho việc gì không? Mặt Morioka có vẻ bối rối, có lẽ cậu không hiểu điều Ishigami vừa nói lắm. - Nhưng mà những tay đua họ có nghĩ đến việc đó không? Tích phân với cả vi phân ấy. em nghĩ thắng hay thua là bằng kinh nghiệm và cảm giác thôi. - Tất nhiên. Nhưng những nhân viên hỗ trợ cho các tay đua thì có nghĩ đến đấy. để lên chiến lược cho tay đua, họ sẽ phải mô phỏng thật chi tiết nhiều lần xem tăng tốc ở đoạn nào và tăng tốc như thế nào thì có thể giành phần thắng. khi ấy họ phải dùng đến phép tích phân và vi phân. Có lẽ bản thân họ cũng không biết là mình đang sử dụng tích phân và vi phân nhưng việc học sử dụng phần mềm có ứng dụng vi phân và tích phân là sự thật. - Nếu thế thì chỉ cần người làm ra phần mềm đó học toán thôi phải không ạ? - Có lẽ vậy, nhưng không hẳn là em sẽ không trở thành người như vậy phải không Morioka? Morioka ưỡn người ra đằng sau. - Em không trở thành người như thế đâu. - Không phải là em thì sẽ là ai đó đang có mặt ở đây. Giờ toán là để cho một ai đó như thế. – Ishigami nhìn xuống cả lớp. – Thầy nói cho các em biết, những điều thầy đang dạy các em mới chỉ là cánh cửa để bước vào thế giới toán học mà thôi. Nếu các em không biết cánh cửa đó ở đâu thì các em không thể đi vào bên trong được. tất nhiên, em nào không thích thì không cần vào. Thầy kiểm tra các em là chỉ muốn xem các em có biết cổng vào ở chỗ nào hay không thôi. “Suy nghĩ, suy nghĩ, suy nghĩ nữa”. “Nghiên cứu khoa học giống như khoan gỗ, có người thích khoan gỗ mỏng, còn tôi thích khoan gỗ dày”. Anbe Anhxtanh https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 3 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan 1.Bảng các đạo hàm x n   n.x n 1 u n   n.u n 1.u       x  2   u  1 x 1  1     2 x x  x   1 , c  0 , u  2 u tại điểm M  x 0 ; y0  có hệ số góc là af  x   0  PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x 0 ; y0  có dạng : M được gọi là tiếp điểm x 0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm y 0 được gọi là tung độ của tiếp điểm f '  x 0  được gọi là hệ số góc của tiếp y  0 vô nghiệm.  https://www.facebook.com/letrungkienmath f   x0  y  f   x 0  x  x 0   y 0 , y0  f  x 0   b 2    b 2  4ac     b   ac  , b   4 2  +) Nếu   0    0  phương trình af  x   0 0 b   x1  x 2   a x1; x 2 ta có   x .x  c  1 2 a 3. Phương trình tiếp tuyến ( PT 3 )  PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x    af  x   0 Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai 2 ax  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm  Định lý về dấu của tam thức bậc hai y  ax 2  bx  c  a  0  X Y 0  1   u tan u   cos 2 x cos 2 u 1 u  cot x    2  cot u    2 sin x sin u 2. Xét dấu biểu thức.  Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất y  f  x  =ax  b  a  0  af  x   0 af  x   0 y  tan x   Y af  x   0  b    b     , sắp xếp hai 2a a nghiệm x1  x 2 x  x1 x2  cos u   u.sin u b a 0 af  x   0  x  cos x    s inx   y  0 có hai nghiệm phân biệt  s inx   cos x  x +) Nếu   0    0  phương trình u  1     2 u u  u  v   u  v  u  u v  uv    v2 v  sin u   u.cos u X b 2a b  2a 0 có nghiệm kép x1,2   y  k.u   k.u  uv   uv  uv +) Nếu   0    0  phương trình y=0 tuyến.  Nếu PT 3 song song với đường thẳng y  ax  b thì f   x 0   a  Nếu PT 3 vuông góc với đường 1 thẳng y  ax  b thì f   x 0    a https://sites.google.com/site/letrungkienmath  af  x   0 Trang 4 Lê Trung Kiên  Nếu PT 3 tạo với trục 0x một góc  thì f   x 0    tan   Nếu PT 3 cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân thì f   x 0   1 4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số  Tìm tập xác định của hàm số  Tính đạo hàn f   x  , tìm các điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.  Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu các kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số  Tìm tập xác định của hàm số  Tính f   x  , tìm các điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.  Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số. 6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số  Tìm tập xác định  Tính f   x  , giải phương trình f   x   0 và kí hiệu x i  i  1, 2...n  là các nghiệm của nó.  Tính f   x  và f   x i   Nếu f   x 0   0 thì x 0 là điểm THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn.  Tìm các điểm x1 ; x 2 ; ...; x n trên  a; b  mà tại đó f   x   0 hoặc không xác định.  Tính f  a  ; f  x1  ; f  x 2  ;...; f  x n  ;f  b  .  Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: M  max f  x  , m  min f  x  a;b  a;b  Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận. Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN. 8. Đường tiệm cận  Đường tiệm cân ngang: y  y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  nếu: lim f  x   y 0 x   Đường tiệm cận đứng: x  x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  nếu lim   x  x0 9. Tương giao của hai đồ thị.  Xét hai hàm số y  f  x  và y  g  x  tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình.  y  f  x    y  g  x   Đường thẳng y  ax  b là PT 3 cực tiểu.  Nếu f   x 0   0 thì x 0 là điểm của đồ thị hàm số y  f  x  , khi và chỉ khi cực đại. Chú ý nếu f   x0   0 thì ta không kết phương trình  luận được về tính cực trị hàm số tại x 0 https://www.facebook.com/letrungkienmath f  x   ax  b có nghiệm. f   x   a https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 5 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 10. Một số hàm số thường gặp: 10.1 Haøm soá baäc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Caùc daïng ñoà thò: a>0 y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät   ’ = b2 – 3ac > 0 a<0 y y I 0 x 0 I x y’ = 0 coù nghieäm keùp   ’ = b2 – 3ac = 0 y’ = 0 voâ nghieäm   ’ = b2 – 3ac < 0 y y I 0 I x 0 x Một số công thức cần nhớ:  y '  3a 2  2bx  c      Hàm số không có cực trị: b 2  3ac  0 Hàm số có hai điểm cực trị: b 2  3ac  0 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía 0y): ac  0 Hàm số có hai cực trị cùng dấu( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về một phía  '  0 trục 0y): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   x1.x2  0 Hàm số có hai cực trị cùng dương ( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải  '  0  2 trục 0y: y '  3a  2bx  c có hai nghiệm dương phân biệt  x1 x2  0 x  x  0  1 2 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 6 Lê Trung Kiên    THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Hàm số có hai cực trị cùng âm (đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên trái trục  '  0  0y ): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm âm phân biệt  x1 x2  0 x  x  0  1 2 Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng: Phương trình có ba b nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là:  3a Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số nhân: Phương trình có ba nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là:  3  d a 4e  16e3 a Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số: ,e  b 2  3ac 9a 10.2. Haøm soá truøng phöông y  ax 4  bx 2  c (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò: a>0 a<0 y y y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  ab < 0 0 y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm  ab > 0 0 x 0 x x y y 0 x Một số công thức cần nhớ: x  0 1. y '  4ax  2bx  0   2 b x   2a  2. Hàm số có một cực trị  ab  0 3. Hàm số có ba cực trị ab  0 3 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 7 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội a  0 4. Hàm số có đúng một cực trị và là cực tiểu:  b  0 a  0 5. Hàm số có đúng một cực trị và là cực đại:  b  0 a  0 6. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại:  b  0 a  0 7. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu:  b  0  b    b   2 8. Đồ thị hàm số có ba cực trị A  0;c  , B    ;  ; C   ;  với   b  4ac 2a 4 a   2a 4 a   cần điều kiện  ab  0  và Tam giác ABC vuông cân: b3 1  0 8a b3 Tam giác ABC đều: 3 0 8a Diện tích tam giác ABC: b 5 32a 3 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: b 3  8a 8ab 9. Phương trình y  0 có 4 nghiệm tạo thành một cấp số cộng: b 2  https://www.facebook.com/letrungkienmath 100ac 9 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 8 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội ax  b (c  0, ad  bc  0) : cx  d  d ad  bc  Taäp xaùc ñònh D = R \   , y '  2  c  cx  d  10.3. Haøm soá y  d a vaø moät tieäm caän ngang laø y  . Giao ñieåm c c cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.  Caùc daïng ñoà thò:  Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x   y y 0 x 0 ad – bc > 0 x ad – bc < 0 Các công thức cần nhớ: Diện tích hình chữ nhật tạo thành giữa hai tiệm cận và hai trục tọa độ  d a . c c Điểm thuộc đồ thị thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai cực trị là nhỏ nhất có hoành 2 độ là nghiệm của phương trình:  cx  d   ad  bc https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 9 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề 2: Mũ, Lô-ga 1. Bảng các đạo hàm  x   '  x 1  u   '  u 1.u '  x   1 c  0 1 1  '   2 x x 1 x ' 2 x  u  v  '  u ' v ' u' 1  '   2 u u u' u ' 2 u  uv  '  u ' v  v ' u  u  u ' v  v 'u  '  v2 v  s inx   cos x  ku  '  k.  u  '  cos x    s inx  cos u    sin u.  u  1 cos 2 x 1  cot x    2 sin x x x e  '  e 1  u  2 cos u 1  cot u  '   2  u  sin u u u  e  '  e .u '  ln x  '  1x  ln u  '  uu'    t anx    a x  '  a x ln a  log a x '  1 x ln a  sin u   cos u. u   tan u    a u  '  a u .ln a.u ' a  ab   a b  lg b  log b  log10 b u '  b  log a  1   log a b1  log a b 2  b2  log a b    log a b 1 log a n b  log a b n log c b log a b  ;log a b.log b c  log a c , log c a 1 log a b  log b a 1 log a  b  log a b ,  4. Phương trình- Bất phương trình mũ. a)Phương trình mũ  Dạng cơ bản: x a  b  a  0, a  1 nếu b  0 phương trình vô nghiệm, nếu b>0 phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b  Đưa về cùng cơ số a  a g (x )  f (x)  g(x)  Đặt ẩn phụ Dạng 1: A.a 2x  B.a x  C  0 đặt t  a x  t  0  phương trình trở thành f (x ) u' u ln a 2. Các công thức lũy thừa 0 a n  a.a...a  , a  1 a n  1 n an m a  a   a  n m n a  a   a  a  a     a a  ln a  log e a; log a  b1b 2   log a b1  log a b 2    log log a  a      a a    b b 3. Các công thức Loogarít log a b    a   b , log a 1  0 A.t 2  Bt  C  0 Dạng 2: x A.a 2x  B  ab   C.b 2x  0 2x x a a  A.    B    C  0 b b x a Đặt t     t  0  b Dạng 3: A.a x  B.b x  C  0 với ab  1 hoặc a x .b x  1 ta đặt t  a x  t  0  . Khi đó b x  a loga b  b https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 1 t Trang 10 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội  Loogarít hóa Với M, N  0 và a  0, a  1 M  N  log a M  log a N a f x t  log a x  log x a   Mũ hóa log a b  c  b  a c  M  f  x   log a M  Dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình mũ  a  1: a f ( x )  a g(x )  f (x)  g(x)  0  a 1 a f (x )  a g(x )  f (x)  g(x)  Chú ý b  a loga b 5. Phương trình- Bất phương trình lôgarít a)Phương trình lôgarit  Dạng cơ bản log a x  b  x  a b  a  0, a  1 f (x)  0 Chú ý: điều kiện log a f (x) là  a  0; a  1  Đưa về cùng cơ số f (x)  g(x) log a f (x)  log a g(x)   f  x   0 f (x)  g(x)  g  x   0  Đặt ẩn phụ Dạng 1: A(log a x) 2  B  log a x   C  0 đặt t  log a x  At  Bt  C  0 , 2 chú ý  log a b   log a2 b 2 Dạng 2: A log a x  B log x a  C  0 đặt https://www.facebook.com/letrungkienmath 1  x  0, x  1 t  Dùng tính đơn điệu Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình lôgarit  a>1 f (x)  g(x) log a f (x)  log a g(x)   f (x)  0  0  a 1 f (x)  g(x) log a f (x)  log a g(x)   g(x)  0 6. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT 6.1.LÃI ĐƠN:là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền gửi ra. Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồngới lãi suất đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (0.1)  n  N *  là: Sn  A 1  nr  Chú ý trong các bài toán lãi suất cà các bài toán r liên quan, r% là . 100 Ví dụ: Thầy A gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7%/năm thì sau 5 năm số tiền thầy A nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? A.13,5 triệu B. 16 triệu C.12 triệu D. 12,7 triệu LG :Số tiền cả gốc lẫn lãi của thầy A nhận được sau 5 năm là : S5  10. 1  5, 7%   13,5(tr ) 6.2.LÃI KÉP : là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Công thức tính : Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn  n  N *  là : Sn  A. 1  r n (0.2) https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 11 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội VD1 :Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,59%/tháng. Nếu Ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu : A.92576000 B. 80486000 C. 92690000 D. 90930000 LG : đấy là bài toán lãi kéo, chu kỳ một quý lãi suất 3.0,59%=1,77%. Sau 3 năm(12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi 12 là : 75. 1  0, 0177   92576000 (đồng) VD2 : Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi.\ A.19 quý B. 15 quý C. 4 năm D. 5 năm LG :Gọi n là số quý cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn n 27 1  0, 0185   36 (dùng Shift Solve để tìm n). Ta có n=16 quý tức là 4 năm) 6.3.TIỀN GỬI HÀNG THÁNG :Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định. Công thức tính : Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% một tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng  n  N *  là : A n Sn  1 r  1 1 r  (0.3)   r VD1 :Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng.Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng.Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau ? A.535.000 B. 635.000 C. 613.000 D. 643.000 LG : T  15 10.000.000  1  0, 6%   1 . 1  0, 6%    0, 6%   T  635.000 VD2 :Đầu mối tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) https://www.facebook.com/letrungkienmath thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên. ? A.30 tháng B. 31 tháng C. 40 tháng D. 35 tháng  100.0, 006  LG: n  log1,006   1  30, 3117 . Vậy  3.1, 006  chon đáp án B. VD3: Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng.Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả gốc và lãi là 40 tỷ đồng.Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng? 3 12 Ta có 40  1  r   1 1  r   r X=0,016103725.Vậy lãi suất là 1,61% mối tháng. 6.4.GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG. Công thức: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% một tháng.Mối tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu? Công thức số tiền còn lại sau n tháng là: S n  A 1  r  n 1  r   X. n 1 (0.4) r VD1:Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu.Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu? A.11 tỷ B.15 tỷ C.13 tỷ D.16 tỷ LG: 24 1 24 9 6 1, 0075  S 24  20.10 . 1,0075   300.10 . 0, 0075  16, 07.109 đồng. Chọn D. VD2: Bố Lam gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi , Bố Lam rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng Bố Lam rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết? A. 300.000đ B.450.000đ B. C.402.000đ D.409.000đ https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 12 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội LG: 0  20.10 1  0, 7%  6 5.12 1  0, 7%   X. C. Gần 954 triệu 5.12 1  0, 7% X = 409367,376. Chọn D 6.5.VAY VỐN TRẢ GÓP: Vay ngân hang số tiền là A đồng với lãi suấ r%/tháng.Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. a)Công thức: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hang và rút tiền hang tháng: S n  A 1  r  n 1  r   X. n 1 r b)VD1: Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 2 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu? A.136.200 B.124.000 C.115.400 D.168.000 5.107. 1, 0115  .0, 0115 D. Gần 700 triệu 1, 07  12 S36  3.106.12. 0, 07 1, 0115  48 1  1361312,802 đồng VD2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng, mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ? A. 40 tháng B.50 tháng C.45 tháng D.48 tháng 500. 1, 009  n 1, 009   15. n 1  0 giải 0, 009 được n=39,80862049. Chọn A. 6.6.BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ n tháng thì lương người đó được tăng thêm r% /tháng. Hỏi sau nk tháng người đó được lĩnh tất cả bao nhiêu? LG: Công thức tính: S kn 1  r   Ak . k 1 (0.6) r VD: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm 7%/ tháng. Hỏi sau 36 tháng thì người đó lính được tất cả bao nhiêu? A.Gần 644 triệu B.Gần 623 triệu https://www.facebook.com/letrungkienmath  643984245,8 đồng. chọn A. 6.7.BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ Công thức S  A.e n.r . n: sau n thời gian, r: Tỉ lệ tăng.S: tổng số dân số sau n năm. VD:Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người.Dự đoán dân số năm 2010? LG:Theo công thức tang trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là S  7095.e7.0,0132  7781 triệu. 48 LG: X  1 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 13 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 1  tan(ax  b)dx   a ln cos(ax  b)  C Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 1. Bảng các nguyên hàm- tích phân  Các nguyên hàm cơ bản x  dx  x  1  1 1  co t(ax  b)dx  a ln sin(ax  b)  C  C,   1,    e 1  xdx  ln x  C ,  dx  x  c , 1 x 2   cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C 1  cos 2 x 1  sin 2 x dx  tan x  C dx  co t x  C  tan xdx   ln cos x  C x   x dx  x  x ln   C ,  > 0,  1 Các nguyên hàm thường dùng 1 (ax  b) 1  (ax  b) dx  a   1  C,  1,    1  ax  bdx  x 2 a 2 ln ax  b a C sin(ax  b) C  cos(ax  b)dx  a cos(ax  b) C  sin(ax  b)dx   a 1 ax  b e C a  ax  b  C ,  > 0,  1 a ln  2 x C x 2  C dx x   co t xdx  ln sin x  C  e dx  e dx  ax  b   dx  1 C x dx   ax  b dx 1 x  arctan  C 2 a a a dx 1 xa  ln C 2 a 2a xa dx 1 ax  ln C 2 x 2a ax dx x p 2 dx a x 2 2  ln x  x 2  p  C  arcsin x C a b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì b b  f  x dx  F  x  a  F(b)  F(a) a c) Tính tích phân.  Phương pháp đổi biến số dạng 1 b I   f    x   .  x  dx b Đặt t    x  . Khi đó b  b  b  a  I   f    x   .  x  dx   f  t  dt t    x   dt    x  dx 1 1  cos2 (ax  b)dx  a tan(ax  b)  C Chú ý: 1 1  sin2 (ax  b)dx   a co t(ax  b)  C  Phương pháp đổi biến số dạng 2. https://www.facebook.com/letrungkienmath g(t)    x   g  t  dt    x  dx https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 14 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội b b I   f  x  dx S   f  x   g  x  dx . a a Đặt x    t  . Với  là hàm số có đạo hàm liên tục trên  ;  , trong đó a      ; b      .Khi đó b  a  đổi dấu trên đoạn  a; b  thì : b I   f  x  dx   f  (t)    t dt x a 2  a x  asint a2  x2 1 2 a  x2 a=tant b  a Chủ đề 4: Số phức  Số phức Z  a  bi , a là phần thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số i 2  1  Mô đun của số phức Z  a  bi  Phương pháp tích phân từng phần b b a udv  uv a  a vdu được tính bởi công thức Chú ý: Z  a 2  b2 du  f   x  dx u  f  x    dv  g  x  dx  v   g  x  dx  dx P(x)sinx u dv P(x) Sinxdx x P(x)cosx  Z Z1  1 Z2 Z2 Cho số phức Z  a  bi thì số Z  a  bi Cho Z1  a  bi,  P(x)lnx Z 2  c  di Z1  Z2   a  c    b  d  i Z1Z2   ac  bd    ad  bc  i hoành,x=a; x=b (a un vôùi  n  N*.  un+1 – un > 0 vôùi  n  N* u  n1  1 vôùi n  N* ( un > 0). un 2 3. Caáp soá nhaân a. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá nhaân  un+1 = un.q vôùi n  N* (q: coâng boäi) vôùi n  2 c. Tính chaát caùc soá haïng: uk2  uk 1.uk 1  (un) laø daõy soá giaûm  un+1 < un vôùi n  N*.  un+1 – un< 0 vôùi  n  N*  un1 un un  u1.q n1 b. Soá haïng toång quaùt: vôùi k  2 d. Toång n soá haïng ñaàu tieân:  Sn  nu1 vôùi q  1  n  S  u1 (1  q ) vôùi q  1  n 1 q  1 vôùi n  N* (un > 0). c. Daõy soá bò chaën  (un) laø daõy soá bò chaën treân  M  R: un  M, n  N*.  (un) laø daõy soá bò chaën döôùi  m  R: un  m, n  N*.  (un) laø daõy soá bò chaën  m, M  R: m  un  M, n  N*. 2. Caáp soá coäng a. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá coäng  un+1 = un + d, n  N* (d: coâng sai) b. Soá haïng toång quaùt: un  u1  (n  1)d vôùi n  2 c. Tính chaát caùc soá haïng: u u uk  k 1 k 1 2 vôùi k  2 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 19 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chuû ñeà 8 : Giôùi haïn 1. Giôùi haïn höõu haïn cuûa daõy soá a. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 lim  0 ; lim  0 (k    ) k n n n n lim c  c ; x  lim q n  0 ( q  1) ; lim C  C n b. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1 1 q lim qn   (q  1) b. Ñònh lí: a  0  a   0  a.   xk 0 a0 a0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ 0  ñònh: , ,  – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû 0  daïng voâ ñònh. 5. Haøm soá lieân tuïc a. Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm: y = f(x) lieân tuïc taïi x0  lim f ( x )  f ( x0 ) 2. Giôùi haïn voâ cöïc cuûa daõy soá a. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim n   c x  b. Ñònh lí: a  0  a   0  a.   n lim lim nk   (k    ) x  x0 b. Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c  (a; b): f(c) = 0. a0 a0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ 0  ñònh: , ,  – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû 0  daïng voâ ñònh. 3. Giôùi haïn höõu haïn cuûa haøm soá a. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim x  x0 ; lim c  c (c: haèng soá) x  x0 x  x0 b. Giôùi haïn moät beân: lim f ( x )  L x  x0  lim  f ( x )  lim  f ( x )  L x  x0 x  x0 4. Giôùi haïn voâ cöïc cuûa haøm soá a. Giôùi haïn ñaëc bieät:  neáu k chaün lim x k   ; lim x k   x  x   neáu k leû https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath